Devoir maison no 10

Exercice 1 (Etablir un alignement de points)
• Avec les barycentres.
1. a. On sait que −→ AI = 2 3
CH10-Barycentre.
Devoir maison n o 10
−→
AB. On a donc :
3 −→ AI − 2 −→ −→ AB = 0
3 −→ AI − 2 −→ AI − 2 −→ IB = −→ 0
− −→ IA − 2 −→ IB = −→ 0
Donc I est la barycentre de (A, 1) et (B,2).
b. Comme J est le milieu de [BC], J est l’isobarycentre de C et B, c’est-à-dire :
J est le barycentre de (B,1) et (C,1)
c. Comme K est le symétrique de A par rapport à C ; on a :
Donc :
−−→
KA − 2 −−→ KC = −→ 0
K est le barycentre de (A, 1) et (C, −2)
2. a. On sait que −−→ KA − 2 −−→ KC = −→ 0 .
Donc, comme 2 −−→ KB − 2 −−→ KB = −→ 0 , on a :
Donc
−−→
KA + 2 −−→ KB − 2 −−→ KB − 2 −−→ KC = −→ 0
K est aussi le barycentre de (A,1), (B,2), (B,-2) et (C,-2).
b. On sait que :
• K est le barycentre de (A,1), (B,2), (B,-2) et (C,-2).
• J est le barycentre de (B,1) et (C,1), donc aussi de (B, −2) et (C, −2).
• I est la barycentre de (A, 1) et (B,2).
Donc, d’après le théorème d’associativité du barycentre,
K est le barycentre de (I,3) et (B, −4).
3. Comme K est le barycentre de (I,3) et (B, −4), K est sur la droite (IJ). Donc
Les points I, J et K sont alignés.
• Avec les coordonnées
1. Dans le repère (A; −→ AB,
−→ AC), on a
A0; 0) B(1; 0) C(0; 1)
Comme −→ AI = 2 −→
AB, on a :
3
Comme J est le milieu de [BC], on a :
( )
2
I
3 ; 0
(
1
J
2 ; 1 2)
Comme K est le symétrique de A par rapport à C :
K(0; 2)
1S2 1 2008-2009

2. −→ IJ
(
1
2 − 2 3 ; 1 2 − 0 )
. Donc
CH10-Barycentre.
(
−→ − 1
IJ
6 ; 1 )
2
De même,
(
−→ − 2
IK
3 ; 2)
3. Montrons que −→ IJ et −→ IK sont colinéaires.
Rappel : Deux vecteurs −→ u (a; b) et −→ v (a ′ ; b ′ ) sont colinéaires si et seulement si ab ′ − a ′ b = 0.
Ici,
ab ′ − a ′ b = − 1
6 × 2 + 2 3 × 1 2 = − 1
3 + 1 3 = 0
Donc, comme −→ IJ et −→ IK sont colinéaires, les points I, J et K sont alignés.
1S2 2 2008-2009