1 - IREM de Grenoble - Université Joseph Fourier

JOURNAL POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES DU
PREMIER CYCLE DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
Ouverture vers les Sciences et les Technologies
petit x
1996-1997 n° 43
Comité de rédaction
René Berthelot
IUFM d'Aquitaine
Centre de Pau
Annie Bessot
Laboratoire Leibniz
Université J. Fourier - Grenoble
I.R.E.M. de Grenoble
Antoine Bodin
Collège d'Ornans
I.R.E.M. de Besançon
Bernard Capponi
Lycée Aristide Bergés, Seyssinet
Laboratoire Leibniz
I.R.E.M. de Grenoble
Gérard Chauvat
IUT GE II
Tours
François Conne
Chercheur en didactique des mathématiques
La Romanèche
Etoy (Suisse)
Ruhal Floris
Collège Voltaire et FAPSE Université de Genève
Carouge (Suisse)
Régis Gras
I.R.M.A.R. Campus de Beaulieu
Rennes
Denise Grenier
Laboratoire Leibniz
Université J. Fourier - Grenoble
Paule Kober
IUFMdeNice
Alain Mercier
Ecole Nationale de formation agronomique
Castanet
Nadine Milhaud
I.P.R.
Rectorat de Toulouse
Robert Noirfalise
lREM de Clermont-Ferrand
Marie-Jeanne Perrin-Glorian
I.R.E.M. - Université Paris VII
Paris
Jean Portugais
Didactique des mathématiques
Université de Montréal
Jean-Claude Rauscher
Collège Martin Schongauer, Ostwald
lREM de Strasbourg
Secrétariat de rédaction: Annie Bessot et Bernard Capponi
I.R.E.M. de Grenoble
B.P. 41 - 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex
© 1995-1996 - I.R.E.M. de Grenoble - Tous droits réservés pour tous pays.
ISSN 0759-9188. Directeur de publication le Directeur de l'I.R.E.M. Claude MOSER
Composition, Annie Bicais, I.R.E.M. de Grenoble.

petit x
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La revue dispose de correspondants en Suisse et au Canada. Si vous résidez dans ces deux pays,
adressez-vous directement à eux.
En Suisse*, à François CONNE ou Ruhal FLORIS.
Au Canada**, à Jean PORTUGAIS.
* François CONNE, Chercheur en didactique des mathématiques, La Romachère, Etoy.
Ruhal FLORIS, Didactique des mathématiques, équipe de Jean Brun, FAPSE, Université de Genève, 9, route de
Drize, CH-1227 Carouge. Tél. (41) 22-705-98-36. Fax (41) 22-300-14-82. E-mail. t1oris@fapse.unige.ch
** Jean PORTUGAIS, Université de Montréal, Faculté des sciences de J'éducation, Département de didactique, c.P.
6128, succursale Centre-ville, Montréal (Québec) H3C 317. Tél. (514) 343-7102. Fax (514) 343-7286. E-mail.
portugai@ere.umontreal.ca

SOMMAIRE
L'évaluation externe (l Tonnelle, C. Reymonet))
5
Activité Sans calcul et sans calculatrice . 27
Compétitions mathématiques (l-P. Kahane).........................................................................................
29
Activité Puzzle . 41
Activité Chemin . 41
A propos de l'apprentissage du concept d'aire
(P. Moreira Baltar) . 43
Erratum . 69
Actes de la 8 ième école d'été de didactique des mathématiques . 70
Sommaires des numéros de « petit x » de 1983 à 1996 . 71
Regards croisés sur le didactique...................................................................................................................
79
Liste des auteurs . 80

4
Le journal « petit x » : un journal pour le collège
Le journal « petit x » a été créé en 1983 par l'IREM de Grenoble pour favoriser la
diffusion de réflexions, de comptes rendus de travaux et d'activités réalisés dans les
classes du premier cycle de l'enseignement secondaire principalement dans le domaine
des mathématiques mais avec une ouverture vers les sciences physiques et la technologie.
Ses principaux objectifs sont:
- en ouvrant largement ses pages à des approches diverses, de constituer un lieu
d'échanges et de débats sur les problèmes soulevés par l'apprentissage et l'enseignement
des sciences au collège.
- d'ajouter un moyen nouveau de formation continue à ceux déjà disponibles dans
les IREM, et de constituer ainsi un complément aux stages de formation et aux
publications thématiques déjà existantes. La revue « petit x » est ainsi un outil précieux
pour les professeurs enseignant dans les IUFM.
- de constituer plus particulièrement un moyen de diffusion des travaux sur
l'enseignement notamment en ce qui concerne les recherches en didactique des
mathématiques. La revue « petit x » constitue un lieu d'interactions entre les enseignants
et les chercheurs.
Les articles publiés sont pour l'essentiel des types suivants:
- Vécu dans les classes: présentation et description d'activités ou de séquences
d'enseignement effectivement réalisées dans les classes de collège.
- Outils et documents: dans chaque numéro présentation d'activités directement
exploitables dans les classes et régulièrement de documents et de commentaires sur des
aspects historiques de notions.
- Recherches et réflexions : compte rendus de travaux portant sur des
problèmes d'enseignement ou d'apprentissages en mathématiques.
La revue « petit x » examine aussi tous les articles qui rentrent dans le cadre de ses
préoccupations et décide ou non de leur publication, éventuellement sous la forme de
courrier des lecteurs ou de tribune libre.
PROPOSITION n'ARTICLE
Les articles soumis pour publication dans la revue « petit x» doivent être envoyés
en trois exemplaires à l'adresse de l'IREM de Grenoble que vous trouverez dans ce
numéro. Indiquer si l'article a déjà été publié ou s'il a été proposé à d'autres revues.
Les textes sont examinés par deux lecteurs au moins. Dans le cas où ils sont
acceptés pour publication, il est demandé à l'auteur de fournir le texte définitif sous la
forme d'un fichier informatique dans un traitement de texte courant.
Copyright:
Le « copy right » de la revue est détenu par l'IREM de Grenoble qui accordera cependant aux auteurs, sur demande
et sans frais, l'autorisation de faire ré-imprimer leurs articles. Ils devront mentionner « petit x» pour première
publication, ainsi que le fait que c'est l'IREM de Grenoble qui détient le Copyright.

L'ÉVALUATION EXTERNE
Jacques TONNELLE
Professeur au Lycée Joliot Curie - Aubagne
Professeur à l'IUFM et animateur IREM
Christian REYMüNET
Professeur à l'IUFM et animateur IREM
Le présent article correspond à une mise en forme des notes utilisées à l'occasion
d'une intervention des auteurs auprès de la Commission Inter IREM réunie le 17 Mars
1995 à Paris.
Le dispositif présenté ci-après s'inscrit dans le cadre du développement de la
recherche en didactique des mathématiques menée au sein de l'équipe dirigée par Yves
Chevallard à Marseille. C'est une structure qui fonctionne à son rythme de croisière
depuis maintenant quatre années consécutives.
Ce dispositif, comme d'autres que nous avons mis en place, s'appuie sur les
éléments de la théorie anthropologique développée au sein de notre laboratoire.
Avant d'entrer dans le détail de la description de notre action, nous commencerons
par préciser quelques points et idées qui en constituent la raison d'être.
1 Quelques idées à la base de notre travail
1.1 Une mission pour l'école
Dans notre société, l'école est un lieu spécifiquement désigné pour organiser la
formation des futurs citoyens. A ce titre l'école occupe une place privilégiée pour ce
qui concerne la transmission de notre culture.
1.2 Le lieu de l'organisation des études
Dans le cadre plus restrictif de chaque discipline, à l'école on organise l'étude de
savoirs qui sont, en principe, reconnus et légitimés par la société. Cette légitimation est
médiée par des rouages ad hoc de l'institution scolaire (Ministère de l'Éducation
Nationale, corps d'inspection, ...), mais aussi par des associations et organismes
« petit x » n° 43, pp. 5 à 26, 1996 - 1997

6
parallèles à cette institution et qui s'intéressent à son fonctionnement (APMEP ou
IREM pour ce qui concerne les mathématiques par exemple).
1.3 Le principe d'une «bonne» visibilité
Pour que la recherche d'efficacité, au regard de la mission principale que la société
confie à son école, revête toute l'objectivité que l'on est en droit d'attendre, il est
indispensable que le degré de lisibilité des faits (et phénomènes) existant dans chacune
des deux institutions, par les membres de l'autre, soit le plus grand possible. Faire en
sorte que les élèves, considérés ici comme membres de l'institution scolaire, sachent
interpréter de mieux en mieux ce qui se passe dans la société est même une mission
fondamentale dont l'école doit se sentir investie.
L'objectivité du regard que porte la société sur son école est donc étroitement liée à
la quantité et la qualité des dispositifs qui organisent la visibilité réciproque entre ces
deux institutions. Lorsqu'une crise intervient, on peut souvent, comme c'est le cas
aujourd'hui, relever les signes d'un affaissement de cette visibilité en constatant
l'absence, ou la présence atténuée de ces dispositifs. Les mouvements pédagogiques
qui prônaient naguère « l'ouverture de l'école sur la vie» furent un témoignage direct
du besoin ressenti en ce domaine.
1.4 Les réponses classiques à ce besoin de visibilité
La visibilité (que d'aucuns appellent transparence) des idées, intentions, credo,
moyens et actions, est organisée par la mise en place de dispositifs adéquats:
- Programmes scolaires accessibles au plus grand nombre;
- Manuels mis à la disposition des élèves et de leurs familles;
- Réunions diverses auxquelles participent les parents;
- Existence d'organismes et associations permettant la plus grande diffusion des
informations;
- Système des examens, dont les sujets constituent au fil des ans des recueils et
annales;
1.5 Sur le rôle des examens
Outre la fonction que remplissent les examens comme moyen d'améliorer la lisibilité
des phénomènes scolaires, on peut leur reconnaître la capacité à se présenter comme
instruments, culturellement reconnus, permettant la restitution de verdicts (au sens
d'appréciations véridiques, jugeant de la conformité des assertions produites par les
candidats, avec des vérités dont la preuve ou l'acceptation fait partie du consensus au
sein d'institutions socialement acceptées).
Ils « travaillent» en quelque sorte dans le sens d'une objectivation des rapports
aux savoirs dont la nécessité est amplement justifiée par la mission principale que la
société assigne à son école (voir 1.1). A cet égard, courant le risque de paraître
rétrogrades, nous pouvons souligner l'insuffisance de leur présence sur la scène des

7
relations société-école. En effet, prenons l'exemple du cas des langues vivantes: un
élève doit aujourd'hui attendre d'atteindre la fin de ses études secondaires pour se
trouver confronté, pour la première fois, à un verdict portant sur ses connaissances. Ce
verdict émanant d'un jury constitué par des personnes compétentes, ignorant tout du
parcours didactique du candidat, bénéficie ainsi d'un degré d'objectivité différent
(souvent meilleur) de celui du professeur qui a assuré sa formation.
1.6 Sur la nécessaire intimité didactique de la classe
Durant les phases d'apprentissage, rien ou presque n'est laissé au regard extérieur à
la classe, si ce n'est, en de rares occasions, à l'oeil averti de quelques acteurs reconnus
compétents par l'institution (Inspecteurs, conseillers pédagogiques, ...), à des fins de
contrôle, de formation ou de recherche.
Cette phase de mise en relation du novice, avec les éléments de savoirs dont
l'apprentissage est visé, est entièrement laissée sous la responsabilité didactique de
l'enseignant.
Cette intimité de la relation didactique relève d'une nécessité technique liée aux
phénomènes cognitifs. Au moment où chacun des élèves de la classe doit vivre la
déconcertation qu'impose l'apparition de nouveaux savoirs, il faut éloigner de la classe
les perturbations supplémentaires qu'engendrerait un regard extérieur plus ou moins
indiscret (ou tout au moins considéré tel). C'est à ce prix que se paient la sérénité et la
confiance qui sont ici les ingrédients indispensables à la bonne marche de ce moment
de l'étude.
Cette intimité de la relation didactique va de pair avec une dépendance de l'élève par
rapport à toute l'organisation prévue par le professeur.
1.7 Les procédures d'évaluation interne
L'évaluation interne à la classe est un dispositif parmi d'autres qui joue une fonction
régulatrice au sein de ce processus d'apprentissage. C'est un lieu de communication
professeur - élèves à propos d'un savoir, permettant à chacun des protagonistes de
régler au mieux son action pour atteindre des buts assignés. Ce dispositif peut à ce titre
être regardé comme décisif dans la fixation des éléments du contrat didactique sur le
court et du moyen terme, comme le soulignent Johsua et Dupin (1993) dans leur
"Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques" :
"Les termes du contrat demeurent largement implicites avons-nous dit; cela ne
signifie pas qu'ils ne sont pas connus. Dans la fixation des termes du contrat,
l'évaluation joue un rôle décisif sur le court et moyen terme, les éléments plus
généraux et constants du contrat étant délimités par la sédimentation des pratiques
passées depuis les débuts de l'école primaire." (p. 7)
Les procédures ainsi mises en place par le professeur peuvent aussi être regardées
comme des succédanés permettant à chaque élève de se rapprocher des conditions qu'il
pourrait rencontrer lors d'un examen.
Le caractère intime que conserve encore toute épreuve d'évaluation interne à la
classe est cependant à l'origine d'un doute qu'il convient de circonscrire afin de mieux
le lever.

8
1.8 De l'intime vers le public : la source de réduction du doute
Tout allongement excessif des moments d'intimité didactique décrits ci-dessus
engendre en effet l'installation d'un doute sur l'objectivité des rapports établis entre les
trois pôles didactiques: élève, savoir, enseignant.
Ce doute peut prendre plusieurs formes:
- Incertitude du professeur sur les contenus de savoir dont il a la charge, mais aussi
sur des exigences qu'il fait peser sur ses élèves à leur propos. N'a-t-il pas, par
exemple, trop négocié à la baisse au travers de ses évaluations?
- Doute de l'élève: «Ce que le professeur m'apprend n'est il pas un simple effet
de ses caprices? Les notes qu'il m'a attribuées depuis le début de l'année
correspondent-elles à une réalité mathématique? »
Pour réduire ce doute, il existe, au sein de l'institution des dispositifs qui visent une
certaine objectivation de la relation didactique.
Les stages de formation continue, les réunions de concertation sont des outils que
se donnent des enseignants (de plus en plus nombreux) pour réduire leur incertitude
quant aux contenus.
Les épreuves communes qu'organisent aujourd'hui de nombreux établissements,
avec des procédures d'échanges de copies pour les corrections, visent quant à elles à
réduire le doute qui pourrait germer dans l'esprit des élèves.
Les mathématiques qu'enseigne leur professeur correspondent bien à ce savoir que
d'autres enseignants ont identifié dans leurs copies. Les jugements que le professeur
portait sur chacun des élèves de sa classe sont en grande partie conformes à ceux que
l'on peut identifier en observant les copies corrigées par d'autres. L'objectivité visée
par de tels processus est ici, bien que sous des formes souvent implicites (car non
formulées), portée au devant de la scène didactique.
1.9 A propos de certaines épreuves communes
La pratique de ces épreuves communes dans certaines classes à examens (niveau
troisième) appelle cependant quelques remarques.
Le calibrage de leurs énoncés se fait par rapport à un standard qui devient
aujourd'hui bien stéréotypé: le brevet. Or cet examen semble aujourd'hui s'écarter de
plus en plus d'une certaine réalité scolaire. Pour commencer, l'orientation d'un élève
de troisième n'est pas subordonnée à sa réussite à cet examen. Ensuite, d'un point de
vue plus strictement mathématiques, les capacités requises pour réussir l'épreuve
n'intègrent pas certaines compétences dont l'absence en classe de seconde pourra
pourtant se révéler désastreuse.
Ainsi, si de tels dispositifs résolvent bien le problème de la réduction du doute au
niveau considéré, on ne peut en revanche rien affirmer quant à leur capacité à prévoir
de façon efficace l'avenir mathématique de la majorité des élèves.
1.10 Une particularité propre aux classes à examens
Il n'en reste pas moins que de nombreux professeurs auront pu remarquer la
relative sérénité qui règne dans les classes à examens. Son origine est à chercher du

9
côté de la réduction de l'incertitude qui peut parfois venir peser lourdement sur la
relation didactique.
Compte tenu de l'existence d'un examen en fin d'année, la sortie de l'intimité
didactique, évoquée plus haut, est organisée (c'est une obligation pour le professeur) ­
et, de ce fait, le malaise engendré par le doute s'estompe.
1.11 Proposition d'une évaluation externe
Le dispositif d'évaluation externe que nous proposons, a pour ambition de venir
répondre à ces problèmes didactiques. Il permet notamment d'introduire au sein des
dispositifs classiquement mis en place et qui accompagnent les divers moments de la
relation didactique, un processus intermédiaire permettant une objectivation du regard
porté sur les savoirs en jeu à certains niveaux du cursus scolaire.
II Présentation du dispositif
ILl Les conditions générales de participation reproduites ci-après devraient
permettre de donner au lecteur une idée assez précise des principes du dispositif.
L'IREM, en collaboration avec la MAFPEN, organise au troisième trimestre de l'année scolaire en
cours une épreuve d'évaluation externe en mathématiques pour les classes de collèges et lycées de
l'Académie d'Aix-Marseille: les classes concernées cette année sont, pour les collèges la quatrième et
la troisième, et pour les lycées la seconde et la première S. La participation à cette épreuve suppose
l'acceptation des conditions suivantes.
1. La date, l'heure et la durée de l'épreuve sont fixées par l'IREM et sont communes à l'ensemble
des classes ayant souhaité participer. Elles seront précisées avant la fin du premier trimestre.
L'administration de l'établissement s'engage à libérer le créneau horaire réservé à la passation de
l'épreuve et à organiser les modalités de surveillance de celle-ci.
2. Le programme de l'épreuve consiste en une liste de thèmes d'étude pris dans le programme
officiel des classes considérées. Chacun de ces thèmes est précisé par un corpus d'exercices et de
problèmes.
3. Le choix des thèmes et le contenu des corpus correspondants sont établis par une équipe
constituée de professeurs et d'animateurs IREM, durant deux journées de travail. Ils seront
communiqués à tous les professeurs concernés à l'issue de ces réunions prévues dans les locaux de
l'IREM (Luminy), en novembre pour cette année. La participation aux réunions d'au moins un
représentant par établissement est indispensable.
4. Les exemplaires nécessaires de l'énoncé de l'épreuve, ainsi qu'un barème de notation, sont
communiqués à chacun des professeurs concernés, et pour chacune des classes, dans une enveloppe
fermée que le professeur n'ouvre qu'au moment de la passation de l'épreuve, en présence des élèves. Les
matériels nécessaires (calculettes, etc.) sont précisés sur cette enveloppe, qui est remise au professeur
avant la passation.
5. La correction des copies d'une classe est assurée par l'un des professeurs de l'établissement
participant à l'épreuve, sur la base d'un barème proposé par l'équipe « évaluation externe» de l'IREM.
Comme cela s'est réalisé les années précédentes, des procédures d'échange de copies entre
établissements peuvent être envisagées.

10
6. Pour chaque classe, les notes assignées, ainsi qu'un échantillon de copies, sont transmises à
l'IREM par le professeur de la classe deux semaines au plus après la passation.
7. Une analyse des données transmises est communiquée par l'IREM aux professeurs concernés
avant la fin de l'année scolaire. Pour des raisons évidentes de déontologie, tous les résultats auxquels
donne lieu ce processus d'évaluation externe sont anonymés. Chacun peut cependant se donner les
moyens de se reconnaître au sein de l'ensemble, mais personne ne peut désigner qui que ce soit du
doigt.
8. Dans toute la mesure du possible, la participation de la classe à l'épreuve est inscrite au projet
d'établissement du collège ou du lycée.
II.2 Les différentes phases du dispositif
Le schéma suivant donne les différentes étapes du déroulement du dispositif, et
complète la description en donnant une idée des rôles respectifs joués par les différents
protagonistes de l'action.
APPEL D'OFFRE
lancé le jour de la prérentrée auprès d'un certain nombre d'établissements
lPériode de un mois à un mois et demi réservée à
l'inscription des volontaires (pour l'épreuve ou
pour l'épreuve et les journées de travail)
CRÉATION D'UN STAGE MAFPEN
(Deux journées avant décembre pour les travaux sur les corpus
+ une journée en juin pour dresser un bilan)
ENVOI DES CORPUS QUI NE FERONT L'OBJET D'AUCUNE MODIFICATION
1 Période de temps nécessaire à la MAFPEN pour
, organiser le stage
Fin octobre - novembre
DEUX JOURNÉES DE TRAVAIL SUR LES CORPUS
ENVOI DES CORPUS D'EXERCICES
1 Constitution des énoncés des épreuves par des
, animateurs regroupés en binômes (un par niveau)
Avril- mai
PASSATION DES ÉPREUVES
CORRECTION ET RENVOI DES RÉSULTATS
1 Période réservée à la collecte, au regroupement et
, à une première analyse des résultats

Il
Juin
DERNIÈRE JOURNÉE DE TRAVAIL
AVEC LES PARTICIPANTS
(Portant sur le compte rendu des résultats et la présentation d'éventuels
réajustements)
II.3 La liste présentée ci-après, des thèmes ayant fait l'objet de notre travail au
cours de l'année scolaire 94-95, met en évidence la limitation volontaire de leur nombre
pour chaque niveau. Compte tenu de la date relativement avancée de passation de
l'épreuve (autour des vacances de printemps) et dans le souci de faciliter l'inscription
du plus grand nombre des professeurs pressentis, il est nécessaire de conserver son
caractère consensuel à l'ensemble du dispositif. La limitation du nombre des thèmes
d'étude répond assez bien à cette contrainte.
Voici donc cette liste, à la base du contrat passé avec les enseignants volontaires:
LISTE DES THEMES DE QUATRIEME
* Développements - Factorisations.
* Equations - Mise en équation d'un problème.
* Triangle rectangle - Cercle circonscrit - Pythagore.
* Projections - Droite des milieux.
LISTE DES THEMES DE TROISIEME
* Enoncé de Thalès - Utilisation dans le plan.
* Coordonnées, équations de droites.
* Equations, inéquations, systèmes.
* Trigonométrie.
LISTE DES THEMES DE SECONDE
* Problèmes amenant à des équations, des inéquations ou des systèmes avec
l'utilisation éventuelle de factorisations et de développements.
* Fonctions usuelles et s'y ramenant, sans oublier l'exploitation graphique.
* Calcul vectoriel.
* Transformations : homothéties, symétries et translations.
LISTE DES THÈMES DE PREMIERE S
* Fonctions polynômes et second degré.
* Fonctions numériques (limites, dérivées, étude).
* Calcul vectoriel dans le plan (barycentre, produit scalaire).
* Transformations planes.

12
II.4 Le bilan de l'action
- L'évaluation externe en chiffres
Bien que conservant un caractère relativement intime par rapport à ce que
représente une académie, l'opération évaluation externe n'en reste pas moins un
dispositif qui touche un nombre non négligeable des acteurs (professeurs ou élèves) du
système éducatif. Le tableau de nombres suivant, qui concerne l'année 1993-1994,
précisera davantage ce propos.
BILAN CHIFFRÉ DE L'ÉVALUATION EXTERNE 1993-1994
17 ÉTABLISSEMENTS
ENGAGÉS
Il COLLÈGES
6 LYCÉES
139 classes
4056 élèves et
93 professeurs
100 réponses au
questionnaire
40 classes de 38 classes de 42 classes de 19 classes de
quatrième troisième seconde première
1117 élèves et 1021 élèves et 1358 élèves et 560 élèves et
28 professeurs 30 professeurs 36 professeurs 19 professeurs
33 classes soit 28 classes soit 32 classes soi t 15 classes soit
842 élèves 713 élèves 892 élèves 399 élèves
Cette action a nécessité le tirage de 33000 photocopies.
- Le retour des résultats
Les réponses collectées auprès de la majorité des professeurs ayant participé,
donnent lieu à une exploitation anonymée permettant la confection d'un document (200
pages environ) qui, par les soins de leur chef d'établissement, est ensuite mis à la
disposition des personnels enseignants dans le CDI avant la fin de l'année scolaire. Un
travail d'analyse des épreuves et des résultats obtenus constitue le dernier volet de cette
action et un compte rendu de cette dernière phase est présenté lors de la première demijournée
de rencontre avec les professeurs au cours de l'année scolaire suivante. En
effet, parce qu'il doit être confectionné dans des délais relativement serrés, le bilan
annuel envoyé dans les établissements ne contient que les valeurs récupérées brutes de
tout commentaire didactique, hormis une introduction générale..
III Quelques réflexions et analyses suscitées par le dispositif
II!.1 Avant de poursuivre, il convient de mieux préciser le caractère réciproque de
l'action décrite dans cet article. D'un côté le système d'enseignement, tel qu'il se
présente sous son jour le plus ordinaire, s'engage, par le biais d'une partie de ses
représentants, dans une procédure lui permettant de retirer un certain nombre
d'informations utiles pour la régulation du pilotage des classes. De l'autre une équipe
proche des préoccupations de la recherche en didactique des mathématiques retire des
informations sur le système qu'elle se donne pour but principal d'étudier. Ce simple

13
constat permet de comprendre le caractère nécessairement interactif du dispositif.
Aucun des deux groupes engagés ne sort inchangé de « l'aventure ».
Pour l'équipe IREM, l'opération évaluation externe constitue un lieu privilégié pour
l'observation, au même titre qu'un laboratoire peut l'être pour d'autres domaines de
recherche. Comme toute observation scientifique, l'observation didactique se nourrit
d'hypothèses à tester et impose, pour ce faire, la fabrication d'outils adéquats
permettant la sollicitation du système étudié afin d'en interpréter ensuite les réponses. Il
suffit alors que la sollicitation soit mal calibrée et l'expérience échoue (rien ne peut
confirmer ou infirmer l'hypothèse de départ). Il n'y a, a priori, aucune raison que cela
arrive moins en didactique que dans d'autres domaines. L'essentiel pour le laborantin
est d'éviter de faire « exploser le laboratoire ». Le progrès d'un tel travail est lié à des
conditions d'un équilibre assez fragile qu'il convient de prendre en compte et respecter.
Outre le fait que le dispositif peut être regardé comme un « banc d'essai », on peut
relever sa capacité à se présenter aussi comme un lieu où naissent de nombreuses
conjectures.
111.2 Afin d'illustrer ce propos et montrer quelques unes des aptitudes diverses de
cet outil, nous prendrons l'exemple suivant, tiré de l'épreuve proposée en 94 en classe
de quatrième. Voici le texte de l'épreuve qui fut proposée cette année-là:
EXERCICE 1
CI et Cz sont deux cercles de centres respectifs 01 et Oz sécants en A et B. La droite (AOI)
coupe le cercle CI en A,. La droite (AOz) coupe Cz en A z.
al"
" 02
1. Compléter la figure ci-dessous:
II. Dans la suite de l'exercice les questions 1) et2) peuvent être traitées indépendamment l'une
de l'autre.
1) Prouver que les droites (AIAz) et (O,Oz) sont parallèles.
2)
a) Quelle est la nature du triangle ABAI ? Pourquoi?
b) Après avoir fait un raisonnement analogue pour un autre triangle de la figure, prouver que
l'angle AzBAI est plat. Qu'en déduit-on sur la position des points AI' B et A z ?

14
EXERCICE 2
Calculer le périmètre du trapèze ABCD ci-dessous, en détaillant les raisonnements et les
calculs qui permettent de le faire:
A 70 B
28~C
K
EXERCICE 3
a) Développer et réduire (lorsque cela est nécessaire) les expressions suivantes:
A = a (b + 3) ; B = b (3b - 5 - 3d) C= !:(~- b).
35'
D = 7d + 2 (4d - 1) - 4 (7d - 2) + 15d E = (3x + 4)(x - 5)
b) Factoriser les expressions suivantes
F = 2ab - 3a
; G = 25xy - 35 ay + 20 y
c) Dans cette question, toutes les lettres représentent des entiers relatifs.
Règle:
Pour montrer qu'un nombre est pair on l'écrit sous la forme 2xk (produit par
deux d'un entier k).
Exemple: 14 x - 8 Y est un nombre pair car 14 x -8 y = 2 x (7 x - 4 y).
pair:
Donner l'écriture de chacune des expressions suivantes qui montre qu'elle représente un nombre
A=2x+12y-4
B=8x-2
C=6y
D=x+2y+3x
Les résultats globaux auxquels nous eûmes accès sont résumés dans les
histogrammes suivants, qui font partie de l'ensemble de la documentation renvoyée
dans les établissements au titre de bilan.
...
crn~ 1
Pour la totalité de l'épreuve
-;­ 1'=
11=
11=
...... "" ... ~
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Moyenne 10

15
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120
100
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60
40
20
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Pour l'exercice 1
-
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Moyenne: 3,2
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-
o 2 3 4 5 6 7
Pour l'exercice 2
200 A'I.......------------...,
150
100
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o0II'I--'-'-........-'-'--'-'---..'-'---.......--..

16
L'exercice 3, tout au moins pour ses deux premières questions, est constitué
d'injonctions simples censées provoquer" un automatisme longuement travaillé à ce
niveau d'étude. En revanche, la tâche requise dans l'exercice 2 doit amener l'élève,
avant toute chose, à se saisir de l'outil adéquat pour régler la question. La référence au
théorème de Pythagore, n'est pas mentionnée dans l'énoncé, et, de plus, l'indice qui
aurait pu permettre à l'élève d'utiliser cet outil, à savoir la présence de triangles
rectangles dans la figure qu'il s'agit d'étudier, est seulement signalée par la présence,
sur le dessin, des signes marquant deux angles droits. Les résultats observés montrent
qu'un tiers des élèves ne dépasse pas cet obstacle. On peut affirmer que la première
capacité testée dans cet exercice 2 est relative à la prise d'initiatives, que nous appelons
l'autonomie didactique de l'élève. Cette autonomie va de pair avec la définition pour
chaque élève de rapports aux savoirs robustes, résistant au plus grand nombre de
perturbations. L'hétérogénéité des élèves au regard de cette capacité semble répartie de
façon très particulière au sein des classes qui ont été observées, comme en atteste
['annexe 1 (p 21) du présent article. La nette différence observée entre les profils des
classes 402 et 410 pour l'exercice 2 devient quasiment inexistante pour les profils
attachés à l'exercice 3. On peut notamment conjecturer que dans certaines classes (410,
413,414,425) les pratiques qui auraient pu développer cette robustesse des rapports
personnels au savoir sont absentes. Le grand nombre des problèmes didactiques qui se
posent au quotidien dans la classe, ainsi que les habitus provoqués par les nouvelles
techniques de gestion didactique des savoirs, ne permettent malheureusement pas de
travailler cet aspect toujours autant qu'il serait nécessaire. Il ne faudrait pas néanmoins
que les pratiques des enseignants dans certains types de classes ou certains collèges,
les amènent à perdre de vue cet élément essentiel, sans lequel toute activité scientifique
authentique reste impossible.
En annexe 2 (p. 25) le lecteur trouvera un ensemble d'histogrammes explicitant,
pour chaque classe, les taux moyens de réussite pour chaque partie de l'épreuve. Un
examen attentif de ce document permet de voir, par exemple que pour 26 classes sur 33
les performances des élèves diminuent lorsqu'on passe de la question b à la question c
de l'exercice 3. Il s'agit pourtant dans la question c comme dans la question b de
factoriser des expressions algébriques, mais en c, bien qu'un exemple soit fourni, ce
geste n'est pas explicitement demandé. Les sept classes restantes, pour lesquelles il y a
inversion du processus, correspondent à un groupe réussissant globalement moins
bien que l'autre. Ces élèves ne réussissent cependant pas mieux la question c que ceux
de l'autre groupe. Tous les élèves ont profité également de l'exemple donné pour
résoudre cette question. Là encore, comme dans l'exercice 2, c'est la robustesse des
rapports personnels de certains élèves au savoir algébrique qui est mise à mal.
Un autre document d'analyse, produit à partir des résultats de la même épreuve,
mérite un instant d'attention. Bien que venant confirmer certaines conjectures sur le
mode de répartition des populations d'élèves dans les établissements et dans les
classes, ce document constitue une surprise, par le caractère exagéré que prend cette
confirmation.
Voici ce document:

17
Distribution des classes de quatrième 1 sur l'échelle des taux de réussite
-
425
419
-
427
424 - 430
433
428
.----­
432
431
421
429 422 415 418 417
423
414
413
416
410
408
412
406
404
411
403
401
409
405
402
426
420
407
10% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%1
Global
- 430
427
422
-
415 432
413 431
429 412 428
425 410 418
-
424 419 406 403 433
423 416 405 402 421 417 426
408 414 404 401 411 409 407 r420l
10% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%1
-
-
423
419
425 413
414 410
0% 10%
427
422
20%
-
433
429
415
412
408
30%
-
430
424 428
416 417
40% 50%
Exercice 1
-
432
421
420
418
411
406
405 431 426
404 409 407
403 401 402
60% 70% 80% 90% 100%1
Exercice 2
1. Chaque nombre représente le codage d'une classe de quatrième

18
433
430
424
418
415 r--­
-
423
412 432
411 431
'--­
422 416 405 428
- 429
414 427 404 421 426
413 410 403 417 409
419 425 408 406 401 402 407 420 1
10% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%1
Exercice 3
La forte dispersion des classes sur cette échelle révèle la très grande diversité des
pratiques mathématiques à l'intérieur de chacune d'elles. L'ampleur de ce phénomène
est telle que l'identité-même du niveau de quatrième en mathématiques s'en trouve
affectée. Que penser aujourd'hui du quotidien mathématique d'un jeune homme ou
d'une jeune fille qui affirmerait être en classe de quatrième? Selon qu'il sera dans la
classe 425 ou 426, on peut imaginer que les rapports qu'il (ou elle) entretiendra avec
les savoirs mathématiques inscrits au programme officiel seront de natures bien
différentes.
IV Conclusion
Le dispositif « évaluation externe» tel qu'il existe aujourd'hui est un processus
interactif en évolution. C'est une création née de l'ingénierie didactique à l'oeuvre dans
notre laboratoire dont les performances sont à améliorer. Les fonctions qu'il remplit
dépassent cependant déjà le cadre de celles qui lui étaient assignées lors de sa
conception. Par exemple, le rôle de point d'observation du système éducatif qu'il joue
pour les équipes de recherche en didactique des mathématiques, se précise en même
temps qu'il se complète. L'observation des pratiques à l'oeuvre au sein de ce système
permet de définir un champ de possibilités mais aussi certaines limites indépassables.
L'attention particulière qu'il faudrait porter aux parcours curriculaires potentiels que
permettent de définir les programmes, leurs traductions au niveau des curriculums
réels, ainsi que les effets que produisent sur le système les changements auxquels ils
sont soumis, est une étude qu'il nous reste largement à mener à partir de cet
observatoire.
Les réunions de travail sur les corpus d'exercices à la base du contrat, par le fait
qu'elles permettent l'ouverture d'un espace dialectique, constituent un lieu privilégié
pour la diffusion de la culture didactique. La pertinence de cette culture est mise à
contribution à propos des analyses sur le contenu des thèmes, mais aussi sur les
pratiques didactiques que leur étude peut engendrer. Ces analyses sont nécessaires

19
pour décrire au mieux, à propos d'un thème, l'espace intellectuel (techniques mises à
disposition par la technologie étudiée, domaines d'application, caractère générique ou
exceptionnel des gestes imposés dans les corpus, ...) qu'il conviendra de prendre en
compte pour concevoir le sujet.
Outre ce rôle formateur, le travail dans ces rencontres permet la constitution d'un
fonds de réflexions que les promoteurs et animateurs de l'évaluation externe espèrent
consolider au fil des années. L'expérience gagnée en la matière ne peut que favoriser la
maîtrise de ce dispositif et de ses évolutions.
Par les enseignants participant à l'opération jusqu'à son terme (c'est-à-dire le retour
des questionnaires à l'IREM), l'évaluation que nous leur proposons est jugée pour une
très grande majorité intéressante, nécessaire pour certains et même indispensable pour
quelques uns. Les raisons invoquées par ces professeurs pour justifier cette
appréciation se réfèrent pratiquement toutes au caractère objectif que présentent, à leurs
yeux, et pour leurs élèves, les notes obtenues à cette épreuve. Outre l'avantage
souligné d'engager des procédures de concertation entre les professeurs au sein d'un
établissement, leur participation est ressentie comme un moyen d'organiser dans leur
classe la sortie de l'intimité didactique.
Il arrive parfois que certaines clauses du contrat ne soient pas remplies. Ce sera, par
exemple du côté des professeurs, un thème non traité ou traité dans l'urgence, ou, du
côté des concepteurs, un sujet relevé comme peu conforme aux corpus préétablis. Cette
imperfection doit être regardée comme une des perturbations de l'équilibre dans lequel
se trouve tout processus social. A ce titre, elle n'invalide, en aucun cas, la totalité de
l'opération. Ce dispositif, comme nous l'avons déjà dit, ne se présente pas comme
parfait mais susceptible de perfection.
De même, un verdict concernant la robustesse du rapport au savoir de l'élève n'a
rien d'absolu. L'évaluation externe fournit ici non pas la vérité, mais une vérité. C'est
dans cet esprit qu'il faut éventuellement aborder la question de la légitimité de certaines
questions mathématiques qui font l'objet des épreuves. D'ailleurs la surprise des
élèves, face à une épreuve de provenance extérieure à la classe, ne recouvre pas
nécessairement la surprise de leur professeur.
Comme tous les objets introduits dans le système d'enseignement, le dispositif
d'évaluation externe subit la dure loi de l'obsolescence (certains enseignants en
viennent par exemple à se demander quelle est l'utilité du corpus). Pour endiguer les
conséquences de cette usure morale, il est utile, dans un premier temps de revenir aux
termes du contrat. Bien assimilé par les professeurs qui acceptent le dispositif, le
maniement de celui-ci devient non problématique. Si, malheureusement, cela ne suffit
pas, il appartient aux contractants - professeurs ou animateurs - de savoir trancher en
décidant, pour les uns de laisser leur place à de nouveaux volontaires, ou pour les
autres de proposer le dispositif à d'autres enseignants. Ce processus de
renouvellement, qui touche chaque année une minorité d'enseignants, s'est jusqu'à
présent déroulé sans heurt.
Quoi qu'il en soit, on peut cependant craindre alors que cette obsolescence ne
provoque dans l'esprit des participants l'évacuation, l'oubli des questions vives que
cette structure véhicule:

20
- Quels moyens techniques, quels conseils faut-il fournir aux élèves, quels
dispositifs faut-il leur proposer, pour favoriser l'étude des thèmes retenus et le
développement de rapports personnels aux savoirs qui les constituent et qui soient
conformes aux attentes?
- Quels sont les rapports personnels des élèves aux connaissances dont l'étude est
visée et qui caractérisent une meilleure robustesse?
- Etc.
L'aide à l'enseignement, que nous prétendons servir avec le dispositif que nous
venons de décrire, est d'abord un problème ouvert dont il convient de poursuivre
l'analyse, et ce avec des outils adaptés que nous fournit la théorie didactique. C'est une
tâche permanente que l'instance organisatrice que nous représentons essaie de
poursuivre avec vigilance et fermeté, et en collaboration avec tous les acteurs
concernés. La variété des compétences qu'abrite un IREM est une source de richesse
culturelle incontestable, qui se révèle, de ce fait, une aide précieuse pour
l'accomplissement de cette mission.
Références
CARDINET J. (1987) Evaluation externe, interne, ou négociée ?, in Hommage à Jean
Cardinet (1990) Extrait du texte de la Conférence donnée à Nice le 1er décembre 1987,
sous le titre Evaluation externe et auto-évaluationdans le système scolaire. Conférence
finale du Projet N°8 relatif à L'innovation dans l'enseignement primaire, Strasbourg:
Conseil de l'Europe 1987 .
CASTELLA C. et LAURENT S.(1990) in Evaluation et projet d'établissement
document édité par la MAFPEN et diffusé dans les collèges de l'académie d'Aix­
Marseille.
CHEVALLARD y. (1986) Vers une analyse des faits d'évaluation, in J.M. De Ketele
(éd), L'évaluation: approche descriptive ou prescriptive ?, De Boeck-Wesmael,
Bruxelles.
CHEVALLARD Y. (1989) Le concept de rapport au savoir - Rapport personnel,
rapport institutionnel, rapport officiel, Séminaire de didactique de mathématiques et de
l'informatique 1989-90, Grenoble, Université Joseph Fourier.
CHEVALLARD Y. (1990) Evaluation, véridiction, objectivation, in J. Colomb et J.
Marsenach (eds), L'évaluation en révolution, INRP, Paris.
CHEVALLARD Y. et FELDMANN S. (1986) Pour une analyse didactique de
l'évaluation, Publication de l'IREM d'Aix -Marseille.
JOHSUA S. et DUPIN J.J. (1993) Introduction à la didactique des sciences et des
mathématiques, Presses Universitaires de France, Paris

21
ANNEXE 1
Evaluation externe . Classes de quatrième
Profils des classes pour l'exercice 2
Classe 401 Classe 402
Classe 403
Moyenne 4,27
Moyenne 5,20 Moyenne 4,13
10 r-------------~ 20···-·--·--------·---­
x ,
fi l
4l
10
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o 1 2 o 1 2 3 4 5
15
Classe 404 Classe 406
Classe 405
Moyenne 3,62 Moyenne 3,80
Moyenne 3,73
10 , ............................................................•......................................
12'·----
4
21
o. 1
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, 4 5
1
5 f
Classe 407 Classe 408 Classe 409
Moyenne 4,97 Moyenne 1,88 Moyenne 4,28
1?
1~1
X'
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I
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Classe 410 Classe 411
Moyenne 1,07 Moyenne 3,94
20,.···················································.......................................................................•
Classe 412
Moyenne 2,15
10
5
J o
Classe 414
Classe 413 Classe 415
Moyenne 0,54
Moyenne 0,63
Moyenne 2,12
o

22
Classe 416
Moyenne 2,45
l
Classe 417
Classe 418
Moyenne 3,20 Moyenne 3,75
14>---------­
12
10
Classe 419
Moyenne 0,71
1.11
1
4 5
0'
Classe 420
Moyenne 3,89
12,-----­
lOi
d
Classe 421
Moyenne 3,87
Classe 422
Moyenne 1,53
Classe 425
Moyenne 0,26
Classe 423
Classe 424
Moyenne 0,89
Moyenne 2,63
12'!"····
i
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1
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1 5 6
••
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0'" o 11 2 6
2()~
Classe 426
Moyenne 5,14
Classe 427
Moyenne 1,76
12 >-,-------------~
1
1
15~
loi
loi
5 ~
-
,
0 0 1
Classe
429 Classe 430
Classe 428 Moyenne 1,98
Moyenne 2,42
Moyenne 3,50
20
J(H 1
,
1
4
Classe 431
Classe 432
Classe 433
Moyenne 4,63
14,,,·,,,
Moyenne 4,16
Moyenne 2,16
(Or'
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4 f
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O' •
o
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1
1
IÛ
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o
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o o 1 2 3 4 5
l

23
Evaluation externe - Classes de quatrième
Profils des classes pour l'exercice 3
Classe 401
Moyenne 4,12
1
1
1
1
1
,--.J 1
7
Classe 402
Moyenne 3,50
1
Classe 403
Moyenne 3,9B
12]
101
1
xt 1 1
1.IJ •
r'f
J
o 1 2 3 4 7
Classe 404
Moyenne 3,79
IOr·------­
i
xl
Ou
x,
~.
Classe 405
Moyenne d4,56
4.
2 •
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o 1 2 3 4
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x ~ .
~
4 .
2
Classe 406
Moyenne 3,42
:
1
,
1
Il''0 "/
14r
IÛ
10\
X ;
~ f
Classe 407
Moyenne 5,10
4 ~
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S ~
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3 r
2 ,
l'
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Classe 40B
Moyenne 2,7B
.1
Classe 409
Moyenne 5,32
l
4 r
2 ,
0' '(j'i 7
Classe 410
Moyenne 3,30
Classe 411
Moyenne 3,77
Classe 412
Moyenne 4.04
111'----------­
0;" 0
Classe 413
Moyenne 2,55
Classe 414
Moyenne 2,78
, .
7 •......
Classe 415
Moyenne 3,60
··············1
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Il.
(:.Ittlil. ~
o 1 2 3 4 5 -7

1
1
24
Classe 416
Moyenne 3,05
10·----­
1
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i
Classe 417
Classe 418
Moyenne 4,54 Moyenne 4,00
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o
Classe 419
Classe 420
Classe 421
Moyenne 1,36 Moyenne 5,76
Moyenne 4,35
X,
Classe 422
Moyenne 2,37
Il
o j ..•...• 0'· il 1 2 3 7
o
Classe 423
Moyenne 2,72
6~
,
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2 ~
X•
1..........1... 1
Classe 424
Moyenne 4,85
J l
1 ~ ,
- 1
1
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Il.
1 4 ~
1
1
2 ~
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o
oL--o­
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Classe 425
Classe 426
Classe 427
Moyenne 1,82 Moyenne 4,31 Moyenne 2,98
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i
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i
I
1
l
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III..
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ol.
o
o..
2 o 1 2 3 4 o 1
Classe 428 Classe 429 Classe 430
Moyenne 4,63 Moyenne 1,26
Moyenne 3,90
1
~--~
4 '
Classe 431
Classe 432
Classe 433
Moyenne 4,71
Moyenne 4,75
Moyenne 4,09
1 1.
2,
ol._..R.:j
4 r
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12 3456 7
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25
Correspondances:
a: ExIl 1
b : Exl II 1
c: Exl TI 2 a
d : Ex1 II 2 b b1
Classe 401
llX) , ,,"', .
XII
ANNEXE 2 : Profil de chaque classe
Au regard du taux de réussite pour chaque partie de l'épreuve.
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g: Ex2
h: Ex3 a
Classe 402
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Classe 404
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Classe 405
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Classe 407 Classe 408
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26
Profil de chaque classe
Au regard du taux de réussite pour chaque partie de l'épreuve (Suite) .
Correspondances:
a: Ex1 1 1 e : Ex 1 Il 2 b b 2 i : Ex3 b
b: Ex1 Il 1 f: Ex1 j : Ex3 c
c: Ex1 112 a g:Ex2 k: Ex3
d : Ex 1 Il 2 b b1 h: Ex3 a 1: Note Globale
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Classe 416 Classe 417
Classe 418
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Classe 419 Classe 420
Classe 421
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Classe 422
Classe 423
Classe 424
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Classe 425
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h c d e f g h ; k 1

ACTIVITÉ ... SANS CALCUL ET SANS CALCULATRICE
Philibert CLAPPONI
IREM de Grenoble
1.
Tu peux vérifier avec la calculatrice que 123 + 458 =581
Donne les résultats suivants seulement quand tu peux le faire pratiquement sans
calcul ni sans la calculatrice mais en utilisant 123 + 458 =581 :
3 123 + 458 = 1 230 + 458 = .
123 + 7 458 = ., 1 230 + 4580 = .
12 300 + 45 800 = 1 023 + 4 058 = .
1 203 + 4 508 = 321 + 854 = .
100 123 + 50458 = 201 230 + 54 580 = ..
2.
Tu peux vérifier avec la calculatrice que 542 - 213 =329.
Donne les résultats seulement seulement si tu peux le faire pratiquement sans
calcul et sans la calculatrice mais en utilisant 542 - 213 =329:
329 + 213 = 542 - 329 = .
5 420 - 213 = 5 420 - 2130 = ..
7 542 - 213 = 5 042 - 213 = ..
642 - 213 = 542 - 313 = ..
542 007 - 213 007 = ......... 987 542 - 987 213 = .........
1 084 - 426 = 542 - 312 = .
Vérifie tes réponses avec la calculatrice.
3.
Tu peux vérifier avec ta calculatrice que 8 x 12 =96.
Explique comment sans calculatrice et pratiquement sans calcul en utilisant ce
résultat, tu peux trouver les produits suivants:
80 x 12 = .
800 x 120 = ..
8x24= .
4x24= .
« petit x » n° 43, pp. 27 à 28, 1996 - 1997

28
4.
Tu peux vérifer avec la calculatrice que 123 x 468 =57 564
Donne les résultats suivants seulement si tu peux le faire pratiquement sans
calcul et sans la machine mais en utilisant le résultat précédent:
468 x 123 = 12300 x 468 = ..
1 023 x 468 = 123 000 x 468 000 =
246 x 234 = 3123 x 468 = ..
.
321 x 864 = 12 300 123 x 468 =
57 564 : 468 = 57 564 - 123 =
123 468 - 57 564 = 57 564 : 123 = ..
5.
Tu peux vérifier avec ta calculatrice que 374 : 17 =22
Donne les résultats seulement si tu peux le faire pratiquement sans calcul ni sans
la machine mais en utilisant le résultat précédent:
37 400 : 17 = 374 : 34 = .
17 x 22 = 374: 22 = .
374 : Il = 374 : 2 = .
6.
Pour chacun des produits suivants, on te propose plusieurs résultats.
Explique sur ton cahier pourquoi tu peux être sûr que certains sont faux.
121 x 981 20 518 2058 2085 258
1803x47173741 371 37741 36621
Vérifie avec la calculatrice le résultat.
7
Une tache cache le deuxième facteur du produit donné pour lequel quatre résultats
sont proposés. Tu sais que le nombre caché est un nombre entier.
/1 8 x _1 3 546 3 465 992
16
a) Sans utiliser la calculatrice et sans poser d'opération, pourquoi peux-tu dire
qu'un seul des résultats proposés est possible?
b) En utilisant la calculatrice, peux-tu deviner le nombre caché?

COMPÉTITIONS MATHÉMATIQUES*
Jean-Pierre KAHANE
Université de Paris-Sud
Orsay
Introduction
Il y a déjà beaucoup de documents et d'études sur les compétitions mathématiques. Les
documents sont souvent publiés par les organisateurs, sous forme de brochures ou de
livres, et ils donnent les caractéristiques de la compétition, les sujets, les résultats et des
informations statistiques. La Fédération mondiale des compétitions mathématiques
nationales (World Federation of National Mathematics Competitions: WFNMC)
regroupe, analyse et édite régulièrement des informations sur ce qui se passe" dans le
monde entier. La Commission internationale de l'enseignement mathématique (CIEM en
français, ICMI en anglais, International Commission on Mathematical Instruction) a
d'autre part considéré les jeux, les examens, les concours et les compétitions dans leurs
relations mutuelles et en relation avec la vulgarisation et l'enseignement, dans les études
sur la vulgarisation (The Popularization ofMathematics) et sur les examens (Assessments
in Mathematics).
La matière existe donc pour une synthèse, et je crois que le temps serait venu de la
faire. Mais ce ne sera pas mon propos dans cet exposé. J'évoquerai seulement quelques
cas typiques, au sujet desquels se posent des questions essentielles, et je donnerai làdessus
mon opinion. Je ne serai donc ni exhaustif, ni même objectif. J'exprimerai un
sentiment personnel, fondé sur mes souvenirs, mes lectures et mon expérience. Mon
expérience est celle d'un mathématicien français intéressé à l'enseignement et longtemps
impliqué dans les activités de la CIEM, et aussi celle d'un citoyen concerné par tous les
aspects des activités humaines.
Je débuterai par un cadrage général, sur compétition et société, en prenant comme
exemples la compétition sportive et la compétition économique; cela suffit à mettre en
évidence la notion de règle du jeu, son importance et ses limites. Je m'attarderai un peu
sur certaines formes de la compétition scientifique en mathématiques, depuis les défis que
se lançaient les mathématiciens du 17 ième siècle jusqu'aux prix contemporains, en
passant par les controverses, les concours et les problèmes; il s'agit donc des aspects de
* Ce texte reprend le contenu de la conférence que Jean-Pierre Kahane avait préparé pour le 7 ième congrès
du Sud-Est Asiatique sur l'enseignement des Mathématiques qui a eu lieu à Hanoï, du 3 au 7 juin 1996.
« petit x» nO 43, pp. 29 à 40,1996 - 1997

30
la compétition scientifique qui se retrouvent, plus ou moins, dans les compétitions
mathématiques destinées aux jeunes. Parmi celles-ci, je ferai un choix tout personnel: les
concours français, les Olympiades internationales, la compétition australienne, la
compétition de Leeds, et les championnats télévisés hongrois. Il s'agit de compétitions
extrêmement différentes, par les buts, les formes, les types de sujets, les procédés
d'évaluation. Mais il se pose à leur sujet des questions générales qui feront l'objet de la
dernière partie de l'article: quelle est leur relation aux examens et à l'enseignement? quel
est leur impact social? quel est leur rapport à la science vivante? Mon but est bien plus de
cerner ces questions que d'y apporter réponse. Mais c'est aussi de stimuler une réflexion
critique et collective en vue, peut-être, de nouvelles initiatives.
Compétitions et sociétés
économique
compétition sportive, compétition
Les concours et les compétitions, dans tous les domaines, qu'il s'agisse de sport,
d'économie, de science, ont toujours eu et ont toujours une forte résonance affective et
sociale. Pour les individus et les équipes qui y participent, il s'agit souvent d'un
engagement total, au moins pendant la durée de l'épreuve. Autour d'eux, il y a une attente,
et des supporters. C'est un grand moment de tension individuelle et collective.
Cette tension peut aboutir, selon les sujets et les époques, à l'exaltation des concours et
des compétitions ou à leur rejet, et, parfois, simultanément, à l'exaltation et au rejet. Dans
l'histoire du sport, la grande référence en Occident se trouve dans la Grèce antique, avec
les Jeux Olympiques, objets d'un enthousiasme universel. Mais les jeux du cirque, à
Rome, même s'ils ont joui d'une grande faveur populaire, sont vite apparus odieux. Les
immenses compétitions sportives d'aujourd'hui ont souvent ces deux caractères à la fois:
enthousiasmantes et odieuses.
En matière d'économie, la compétition est de règle, et personne ne devrait s'en plaindre
s'il s'agissait principalement d'obtenir de meilleurs produits et de meilleurs services, à un
moindre coût et pour un plus grand nombre de gens. Mais, depuis quelques années, on
assiste à une curieuse dérive en Europe, en Amérique, et un peu partout dans le monde:
l'identification entre l'économie et la compétitivité économique. La compétitivité
économique est fonction des règles du jeu et, en fonction de ces règles, elle peut produire
le meilleur et le pire ; elle ne peut pas, par elle-même, remettre ces règles en cause.
L'économie comme science, devrait au contraire avoir ces règles du jeu pour objet
d'étude, de critique et de remise en cause. A la mesure de l'engouement pour la
compétitivité économique, il y a maintenant déception, inquiétude, et risque d'une attitude
de rejet à l'égard de l'économie, qui serait très grave.
Les traits communs à tous les concours et compétitions, c'est qu'il y a des règles du jeu
et qu'il faut s'y tenir. Qui fixe les règles, comment et pourquoi ? Quelles sont les
conséquences et les dérives possibles? Comment faire évoluer les choses et dans quelles
directions ? Ces questions se posent autour de tous les types de compétitions et de

31
concours. Au surplus, l'aspect sportif et l'aspect économique y sont généralement très
présents. C'est pourquoi je m'y suis un peu attardé dans ce cadrage général.
Compétition scientifique
problèmes, prix
défis, controverses, concours,
La science est également un terrain de compétition, sous des formes diverses.
Aujourd'hui, on pense d'abord à la course aux publications, à la course aux crédits, à la
course aux honneurs. Mais il vaut la peine de réfléchir à d'autres formes, qui sont
apparues tout au cours de l'histoire de la science, et particulièrement de l'histoire des
mathématiques: les défis, les controverses, les concours, les problèmes, les prix.
Le défi est une forme primitive de communication scientifique. "Voici ce que je sais faire.
Qui peut en faire autant 7" Au début du 17 ième siècle, en France, le Père Mersenne
entretenait un abondant courrier avec tous les savant de l'époque, Galilée, Hobbes,
Fermat, Descartes, et transmettait les défis des uns aux autres. Quelquefois,
l'affrontement était direct, comme ce fut le cas entre Fermat et Descartes sur la
détermination des tangentes à une courbe.
Les controverses, parfois courtoises, parfois polémiques, ont joué un grand rôle dans
la vie mathématique des 17 ième et 18 ième siècles. La plus célèbre est sans doute celle qui
opposa au milieu du 18 ième siècle d'Alembert, Euler, Daniel Bernoulli et Lagrange sur la
question des cordes vibrantes; c'est à partir de cette controverse que se dégagèrent les
notions de solutions d'une équation aux dérivées partielles soumises à des conditions aux
limites, de fonctions plus générales que les fonctions usuelles, et de représentation des
fonctions par des séries trigonométriques. La controverse cristallisait l'attention du monde
scientifique, et désignait son objet comme un sujet d'actualité. Même les querelles
apparemment les plus stériles, comme celle de Newton et Leibniz sur la naissance du
calcul infinitésimal à la fin du 17 ième siècle, ont joué un rôle pour populariser les grandes
avancées scientifiques.
Les concours, comme formes structurées de la compétition scientifique, apparaissent
au 18 ième siècle. Les sujets mis au concours par l'Académie des sciences de Paris attirent
des contributions venant de toute l'Europe et leur effet est double: le lauréat est désigné
comme un savant éminent, ce qui lui ouvre quelquefois le chemin des Académies et des
carrières, et le sujet est pointé comme digne de l'attention des meilleurs esprits. Sous ce
double aspect, les concours participent de ce que nous appellerions aujourd'hui la
politique scientifique. Parmi les lauréats et les sujets, je me bornerai à deux exemples:
Joseph Fourier en 1811, sur la propagation de la chaleur, et Sophie Germain en 1816, sur
les vibrations des lames élastiques. Joseph Fourier devint ensuite académicien. Sophie
Germain dut se contenter de sa notoriété.
Les concours ouverts par les Académies des sciences ont perdu de leur importance au
cours du 19 ième siècle et ont complètement disparu au 20 ième. La programmation de la

32
recherche se fait d'autre manière. Mais rien ne dit que la forme du concours, sur des
grands sujets d'intérêt général, soit une forme périmée.
En mathématiques, les problèmes ont pour une part pris le relais des concours. Je
pense naturellement aux grands problèmes de Hilbert en 1900, qui ont inspiré une partie
de l'activité mathématique de ce siècle. Mais je pense plus encore au "Livre écossais" de
Banach et de ses amis, où, dans les années 1930, ils notaient au fur et à mesure les
problèmes intéressants qu'ils ne savaient pas résoudre. Au cours des années 1950,
beaucoup de journaux mathématiques contenaient des sections de problèmes. Aujourd'hui
encore, certains mathématiciens, comme Paul Erdos, constituent et renouvellent en
permanence la mine des problèmes ouverts auxquels de jeunes énergies peuvent s'atteler.
Il suffit de consulter la littérature mathématique pour constater l'influence des problèmes et
des conjectures dans les recherches contemporaines.
Cependant le statut même des problèmes est en train de changer. Les problèmes
historiques (disons, l'hypothèse de Riemann) conservent leur valeur et assurent une
certaine permanence dans les intérêts des mathématiciens, mais les problèmes qui
affleurent aujourd'hui sont très différents de ceux des années 1950. Ils sont beaucoup plus
inspirés par l'extérieur des mathématiques, les autres sciences, les techniques, l'industrie,
et de ce fait souvent beaucoup moins formalisés. D'une certaine façon, l'esprit du 18 ième
siècle est de retour.
Lorsqu'il y a concours ou compétition, il y a généralement un ou plusieurs prix.
D'ailleurs, lorsqu'il y a prix (à commencer par les prix Nobel ou les médailles Fields), on
peut supposer qu'il y a compétition sous-jacente. Il y aurait toute une étude à faire sur les
prix et leur influence dans la vie scientifique. En France, un prix me semble avoir
conservé sa valeur tout au cours du siècle: c'est le prix Peccot, qui ouvre à un jeune
docteur la possibilité de donner un cours sur ses travaux au Collège de France. René Baire
et Henri Lebesgue furent parmi les premiers bénéficiaires, et c'est ainsi que leurs travaux
furent connus des étudiants de l'époque (Denjoy, Fatou). Quoiqu'il y ait aujourd'hui, avec
les séminaires et les colloques, beaucoup plus de moyens d'expression, le prix Peccot
nous rappelle que la plus précieuse récompense pour un jeune chercheur, c'est d'être en
mesure de faire largement connaître ses travaux.
Il y a encore beaucoup à dire sur science, concours et compétitions. J'y reviendrai.
Mais il est temps de passer maintenant à ce qui vous intéresse en priorité, les concours et
compétitions chez les jeunes élèves et étudiants, et leur relation à l'enseignement des
mathématiques.
Sports et mathématiques. Exemples typiques de compétitions
mathématiques
Pour une part, les mathématiques s'apparentent au sport. Les épreuves mathématiques
ressemblent à des épreuves sportives, les compétitions mathématiques à des compétitions

33
sportives. Et de même qu'on parle des sports et du sport, de sport professionnel et de
sport amateur, de sport de masse et de compétitions de haut niveau, et de l'universalité du
sport, on parle des mathématiques et de la mathématique, des mathématiciens
professionnels et des amateurs, des mathématiques pour tous et de l'élitisme en
mathématiques, et de la mathématique comme langue universelle. Il y a, en matière
sportive, un très grand nombre de concours et de compétitions. Et c'est le cas aussi en
mathématiques. Je n'en tenterai pas un dénombrement, et je me bornerai à quelques
exemples très différents.
École Polytechnique, agrégation, concours général
Je partirai de ma propre expérience, à savoir, des concours français traditionnels à
dominante mathématique. Le plus ancien de ces concours est le concours d'entrée à
l'École Polytechnique, celui auquel échoua Evariste Galois. Il servit de modèle au
concours d'entrée à l'École normale supérieure et à toutes les grandes écoles scientifiques.
Il exige, en principe, deux ans de préparation après le baccalauréat, et la préparation
s'effectue, au sein de certains Lycées, dans des classes préparatoires au concours appelées
"mathématiques supérieures" et "mathématiques spéciales". Actuellement, ces classes
fonctionnent en parallèle avec le premier cycle de l'enseignement universitaire. Les élèves
y sont sélectionnés, et les professeurs recrutés parmi les meilleurs agrégés de
l'enseignement secondaire. Les concours comprennent un écrit et un oral, et portent sur
plusieurs matières, la dominante étant mathématique.
L'agrégation de mathématiques est un concours destiné au recrutement de professeurs
de lycée. L'agrégation exige aussi une préparation, au delà de la licence et de la maîtrise, et
elle comporte aussi un écrit et un oral. A mon époque, il y avait des agrégations séparées
pour les hommes et pour les femmes. L'écrit comprenait, au cours d'une semaine, quatre
épreuves de sept heures chacune, portant sur les mathématiques élémentaires, les
mathématiques spéciales, le calcul différentiel et intégral et la mécanique rationnelle; il Y
fallait une bonne résistance physique! L'oral consistait en deux leçons, de mathématiques
élémentaires et de mathématiques spéciales. L'agrégation est devenue mixte, elle s'est
modernisée et humanisée. Elle reste un concours difficile.
Le concours général de mathématiques se situe à la fin des études secondaires, au
niveau du baccalauréat, et il n'apporte aux lauréats aucun avantage particulier. Il est
difficile et s'adresse à des élèves déjà sélectionnés dans leurs Lycées. Il ne comporte
qu'un écrit, une épreuve de six heures.
Olympiades internationales
Je passe à la mieux connue des compétitions internationales : les Olympiades
mathématiques internationales. Elles rassemblent, chaque année, en un lieu différent, des

34
équipes restreintes et sélectionnées venant d'un grand nombre de pays. L'initiative en
vient de la Roumanie. Les Olympiades se sont successivement élargies aux pays de l'Est
de l'Europe et à l'Union soviétique, puis au reste du monde. Les Vietnamiens les
connaissent bien, ils y ont obtenu des succès remarquables. L'organisation générale est
très souple et, dans l'ensemble, fonctionne très bien. Les organisateurs ont des rôles
multiples: au plan national, sélectionner les candidats et assurer la logistique; au plan
international, constitués en jury, choisir les sujets et assurer les corrections. Un contrôle
discret, efficace à l'occasion, est effectué par la CIEM (ou lCMl) par l'intermédiaire d'un
comité de choix du site et du planning (lMOSC). Le principe est le suivant: des sujets
difficiles à traiter chacun en deux heures.
Je reviendrai sur la question générale du choix des sujets. Mais il est bon de remarquer
dès maintenant une très grande différence entre les sujets d'Olympiades, sujets à énoncés
courts, à traiter rapidement et sans indication de méthode, et les sujets des concours
français, dont les énoncés sont longs et articulés, à traiter en temps assez long.
Le nom même des Olympiades évoque l'aspect sportif. Les candidats sont des
individus, de même que les lauréats. Mais, comme en matière sportive, il est naturel et
légitime que les nations auxquelles appartiennent les lauréats s'en fassent gloire. De ce
fait, la compétition internationale est, pour une part, une compétition entre les nations. Il
faut être conscient des dangers que cela comporte, et veiller soigneusement à l'éthique de
la compétition. Cela dit, la règle du jeu des Olympiades mathématiques est saine et claire,
elle valorise une activité de l'esprit et un champ de la connaissance. Elles se distinguent
par là des grandes compétitions sportives, et, plus encore, des formes actuelles de la
compétition économique.
Compétition nationale australienne ; Kangourou
La plus importante et la plus célèbre des compétitions nationales ne date que de la fin des
années 70 : c'est la compétition australienne dont le créateur est le regretté Peter
O'Halloran. La conception en est très originale: concours ouvert à tous les élèves, sur une
série de questions à choix multiples auxquelles on ne répond que par une croix dans une
case, en un temps très court, avec un programme d'évaluation automatique. Je me
souviens d'avoir été choqué au départ par cette conception d'épreuves mathématiques en
QCM, habitué que j'étais aux concours français et aux Olympiades. Mais je me suis
aperçu très vite, à l'occasion d'une visite en Australie en 1983, que ces QCM pouvaient
déceler des aptitudes que les concours français auraient ignorées, justement parce qu'elles
n'exigent pas de mettre en forme les raisonnements et qu'elles éliminent ainsi tout ce qui
tient à la maîtrise de l'expression écrite et de la langue. La compétition mathématique
australienne est extrêmement populaire. Un demi-million d'élèves y participent et la
compétition apparaît chaque année, dans la presse et dans les médias, comme un grand
événement.

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Depuis quelques années s'est développée en France, à l'imitation de la compétition
mathématique australienne, un concours pour les élèves des Lycées et des collèges qui
s'appelle Kangourou. Il connaît également un très grand succès, et il mérite une très
grande attention. J'y reviendrai à propos du choix des sujets. J'insiste encore sur le rôle
de contrepoids que joue ce type de compétition, très populaire dans tous les sens du terme,
par rapport à la compétition de type élitiste. Les candidats les plus enthousiastes ne sont
pas forcément les meilleurs élèves, et l'avantage donné à la rapidité, à l'intuition, au flair,
par rapport à la pensée discursive, peut amener des surprises dans le classement. Ainsi la
compétition de type populaire peut dégager de nouvelles élites, tandis que d'autre part la
. compétition de type élitiste peut très bien provoquer l'intérêt et même l'enthousiasme
populaire.
Compétition de Leeds
J'évoquerai pour finir deux compétitions très intéressantes, très différentes, et peu
connues: la compétition de Leeds en Angleterre, qui a lieu chaque année, et la compétition
télévisée en Hongrie, qui n'a eu que quelques années d'existence, au cours des années 60.
La compétition de Leeds a pour concurrents non des individus, mais des établissements
d'enseignement. Trois sujets de recherche sont proposés au début de l'année scolaire, par
des professeurs de l'Université de Leeds. L'étude de ces sujets s'opère en équipe,
nécessite plusieurs mois, et aboutit à la création de documents variés : explications
rédigées sur papier, posters pour dire l'essentiel, films, programmes informatiques. Elle
se conclut parfois par la solution complète du problème posé, mais, le plus souvent, le
problème posé n'a pas de solution complète; j'ai vu les deux cas se présenter lorsque j'ai
participé au jury, à l'occasion du colloque de Leeds organisé par la CIEM sur la
vulgarisation: un décryptage difficile, nécessitant un peu d'algèbre, pouvait être mené
jusqu'à son terme ; une question sur des pavages du plan permettait beaucoup de
variations autour du thème ; et un problème d'évolution de population amenait
naturellement aux mystérieuses fractales de la dynamique non linéaire. La durée qu'elle
implique et la nature des sujets font de cette compétition le modèle le plus proche de la
recherche mathématique professionnelle. J'ai été personnellement fasciné par la qualité des
travaux réalisés par les jeunes anglais. Je crois que la compétition de Leeds mérite d'être
étudiée et imitée. Un défaut est qu'elle couronne toujours les établissements les plus
réputés et les plus riches. Peut-on, tout en en conservant l'esprit, introduire là des germes
de variabilité?
Championnats télévisés hongrois
Les championnats télévisés hongrois se sont développés dans les années 1960, sous le
titre général "Ki miben kudos ?" (qui est savant en quoi ?). Ils concernaient toutes les
sciences, et les mathématiciens n'y ont pris part qu'en 1964 et 1966. L'organisation était

36
assez complexe. Le niveau était celui des études secondaires, mais les candidats pouvaient
être des étudiants des universités. Une épreuve éliminatoire, écrite, avait lieu dans toute la
Hongrie, pour sélectionner 8 candidats; puis venait la compétition proprement dite, en
trois étapes, préparatoire, demi-finales (4 candidats), et finales (2 candidats), comprenant
chacune un écrit de 45 minutes et une série de questions très courtes, à traiter en 2 ou 3
minutes. Les téléspectateurs étaient témoins: ils assistaient au début de l'épreuve écrite (et
pouvaient s'atteler aux questions si l'envie leur en venait), puis aux conclusions du jury
après une heure et demie de délibération, puis aux épreuves orales. Le jury, en charge des
sujets et de l'évaluation, était très professionnel; j'ai relevé les noms de mathématiciens
tels que Georges Alexits, Paul Turan, Georges Hajos et Alfred Rényi. Il est remarquable
que la plupart des 16 candidats sélectionnés en 1964 et 1966 soient devenus des
mathématiciens connus. Les sujets étaient à la fois élémentaires, intéressants, et variés.
Dans plusieurs cas, il s'agissait de démonstrations à donner, et le jury appréciait alors non
seulement la correction mais l'élégance de la démonstration. Voici un exemple. Dans la
finale de 1966, la seconde question à résoudre devant les téléspectateurs en moins de 3
minutes était celle-ci: démontrer que le plus grand commun diviseur de a + b et du plus
petit commun multiple de a et de b est égal au plus grand commun diviseur de a et de b.
Vu le niveau des candidats et malgré le stress, ils devaient pouvoir répondre correctement,
ce qui devait à la fois impressionner les téléspectateurs et les mettre en situation de partager
avec le jury le souci d'apprécier la meilleure réponse. De fait, ces championnats ont été un
grand succès de la télévision.
Questions générales
Peut-on tirer quelques leçons de la comparaison des concours français, des
Olympiades, de la compétition australienne, de celle de Leeds, et de l'émission télévisée
hongroise?
Je me bornerai à trois aspects: 1) le rapport aux examens et à l'enseignement; 2)
l'impact social; 3) le rapport à la science vivante.
Enseignement et examens versus concours et compétitions
En général, l'enseignement a pour but le développement de l'esprit, l'acquisition de
méthodes, de concepts et de connaissances. Les examens sont inséparables de
l'enseignement: ils indiquent dans quelle mesure cet objectif a été atteint. Par là même, les
examens pondèrent l'objectif et réagissent sur l'enseignement. Testent-ils uniquement des
connaissances? L'enseignement s'orientera vers les connaissances testées ou testables.
Donnent-ils une grande place aux problèmes ? L'enseignement ira dans ce sens.
Négligent-ils la démonstration, le raisonnement hypothético-déductif? L'enseignement
négligera aussi cet aspect essentiel des mathématiques.
Les examens ont aussi une fonction autonome: ils valident un certain niveau de
formation pour sa reconnaissance sociale. En cela, particulièrement en mathématiques, ils
sanctionnent des performances, telles que l'aptitude à résoudre un problème en temps

37
limité, plus que le travail et le développement de l'esprit. Or le travail d'un élève et le
développement de son esprit n'ont pas nécessairement un effet immédiat sur ses
performances. II s'ensuit que, même sous forme de contrôle continu, les examens ne
constituent pas toujours un stimulant pour le travail des élèves. Comment apprécier et
évaluer le travail en tant que tel? Tous les enseignants savent l'importance et la difficulté
de cette question.
Même s'ils retentissent fortement sur l'enseignement, les examens n'ont pas pour rôle
d'en définir les formes et le contenu.
C'est le contraire dans le cas des concours et de leur préparation. Dans ce cas, le but
premier de l'enseignement est la réussite au concours. Le rôle de formation de l'individu,
qui est très réel, lui est subordonné et vient en second. Ce sont les programmes de
concours qui déterminent les programmes d'enseignement et non l'inverse. C'est ainsi
qu'en France, pendant une longue période, le programme du concours d'entrée à l'École
Polytechnique a joué un rôle déterminant dans l'enseignement scientifique dispensé aux
meilleurs élèves. L'évaluation même des enseignants obéit alors au critère simple qu'est la
réussite au concours; toutes choses égales d'ailleurs, le meilleur enseignant est celui qui
obtient les meilleurs résultats au concours.
Les concours d'accès aux grandes écoles, aux universités, aux emplois publics ont
ainsi, dans le monde entier, un rôle très structurant pour l'enseignement des
mathématiques. II faut en avoir conscience pour éviter les scléroses et les dérives.
L'effet des autres concours, plus ludiques, sans préparation spéciale, est bien plus
indirect, mais il n'est pas insignifiant. Voici un exemple de dérive possible, par
l'intermédiaire paradoxal des questions innovantes. Au dernier concours Kangourou,
l'épreuve destinée aux enfants de 13 ou 14 ans comportait parmi les dernières questions,
considérées comme astucieuses ou difficiles, la suivante, dont je traduis librement
l'énoncé: un champ ayant la forme d'un quadrilatère est partagé en quatre triangles au
moyen des diagonales; les aires de trois de ces triangles, dans l'ordre de parcours, sont
3 000 m 2 , 4 000 m 2 , 5 000 m 2 . L'aire du quatrième triangle est-elle inférieure à
3 000 m 2 , comprise entre 3 000 et 4 000 m 2 , comprise entre 4 000 et 5 000 m 2 ,
supérieure à 5 000 m 2 ? L'énoncé fournit une figure très approximative. II est difficile
pour l'élève de faire une figure exacte; par contre, il a depuis longtemps les connaissances
suffisantes pour conclure. Supposons qu'une question analogue soit posée l'an prochain.
On enseignera alors dans toutes les classes que, lorsqu'on divise un quadrilatère convexe
au moyen des diagonales, les aires des triangles obtenues, soit A, B, C, D, vérifient AC =
BD. La question astucieuse sera devenue un exercice standard, incorporé au cours.
La préparation aux concours conduit naturellement à ce que nous appelons en France le
bachotage, c'est-à-dire l'enseignement et l'effort des élèves uniquement orientés vers les
sujets susceptibles d'être proposés au concours. II en est de même pour la préparation à
certains examens: bachotage vient de bachot, qui désigne familièrement le baccalauréat. A
cet égard, plus la règle du jeu du concours est claire, simple, normalisée, plus le concours
peut avoir sur l'enseignement un effet direct et pervers.

38
D'un autre côté le concours, comme aussi l'examen terminal, peut être un levier
puissant pour l'introduction dans l'enseignement de nouvelles matières et d'un nouvel
esprit. Toute inflexion donnée aux sujets de concours a un effet sur l'enseignement; c'est
évident pour les concours finalisés, objets d'une préparation spéciale; c'est intéressant à
étudier pour les grands concours populaires ; c'est vrai sans doute, mais moins direct,
pour les compétitions de très haut niveau à caractère gratuit.
Impact sur la société et les individus. Compétitions et sélection. Effet
sur le public
L'impact social des concours et compétitions mathématiques ne se borne pas à leur
effet sur l'enseignement. Quel est l'effet sur l'opinion publique? sur les candidats eux
mêmes? Cela dépend de bien des facteurs, et les réponses sont fonction, non seulement
du type de concours, mais des traditions nationales et du type de société. J'examinerai ces
questions, une fois de plus, d'après mon expérience personnelle.
Pour une bonne partie de l'opinion publique, l'image des mathématiques est associée à
la sélection, et cela, en France et actuellement, a une connotation négative. Il est vrai que
les performances mathématiques se prêtent bien à la mesure chiffrée, donc à la sélection
sur la base de notes à des épreuves, examens ou concours. Et l'on conteste à juste titre le
rôle abusif que jouent des épreuves de mathématiques dans la sélection des médecins ou
des architectes. D'autre part, on observe que la sélection opérée par des concours tels que
ceux de l'École normale supérieure ou de l'École polytechnique recouvre pour une grande
part une sélection sociale; les jeunes gens issus de classes populaires sont absents des
promotions actuelles, et les enfants de normaliens et de polytechniciens y sont
surreprésentés. Mais il n'en a pas toujours été ainsi. Au 19 ième siècle et au début du 20
ième, la sélection opérée par ces concours a contrebalancé pour une part l'inertie sociale;
elle a été une voie de promotion pour des enfants pauvres, et un moyen de renouvellement
pour la bourgeoisie française. Le rôle sélectif des mathématiques et leur usage dans les
concours est comme la langue d'Esope : ce peut être le meilleur et le pire.
Il est bon de souligner que la sélection au cours des études s'effectue en premier lieu à
partir de la maîtrise de la langue, qui dépend beaucoup du contexte familial. A cet égard,
j'ai déjà indiqué le rôle de contrepoids que peuvent jouer des grands concours populaires
tels que la compétition mathématique australienne et Kangourou. Ces grands concours
contribuent d'ailleurs à changer les vues des parents : quand les mathématiques
apparaissent comme un jeu et que, massivement, les élèves apprécient ce jeu, il n'est plus
possible de les considérer uniquement comme tyranniques et inhumaines.
Beaucoup plus que les examens, les concours et compétitions se prêtent à une grande
variété de règles du jeu et de contenus. Ils peuvent ainsi intéresser des secteurs variés de
l'opinion publique. Ils peuvent, par exemple, donner un "aliment" à des adultes amateurs;
c'est certainement l'une des voies par lesquelles les adultes amateurs peuvent se lier aux
mathématiques vivantes, pour peu que les mathématiques vivantes aient leur place dans les
sujets de concours G'ai dit que c'était le cas pour la compétition de Leeds). Ils peuvent

39
passionner un public: c'est le cas des championnats télévisés de Budapest en 1964 et
1966. Ils peuvent être un sujet de fierté nationale; c'est le cas pour les Olympiades
internationales.
Ainsi, les concours et compétitions jouent un rôle positif dans la popularisation des
mathématiques. Ils contribuent à donner aux mathématiques une image ludique et humaine
Une image d'autant plus attrayante que ce sont des jeunes qui se trouvent au premier plan.
A cet égard, et sans chercher à faire de nos jeunes champions des vedettes de télévision,
ne serait-il pas utile de les présenter, de les montrer en action, de les faire parler devant le
très large public de la télévision? L'expérience hongroise montre que c'est possible, et on
pourrait inventer des formes différentes.
Je ne dirai qu'on mot de l'effet des concours sur les candidats eux-mêmes. Quand le
concours est dur, il n'est pas toujours bon. Lorsque le concours est passé avec plaisir, il
est excellent. Dans certains cas, il éveille ou confirme des vocations. Les lauréats des
Olympiades mathématiques internationales sont souvent devenus des mathématiciens
importants. Les championnats hongrois ont révélés le talent de Laszlo Lovasz, qui est
devenu un combinatoriste éminent. La compétition mathématique australienne de 1983 a
couronné un mauvais élève, qui est devenu un brillant informaticien.
Rapport à la science vivante. Rôle des chercheurs. Sélection des sujets.
Du bon usage de la liberté
J'ai déjà évoqué une question qui ne va pas de soi : le rapport des concours et
compétitions à la science vivante. Bien entendu, il ne s'agit pas de transformer en sujets de
concours tout ce qui progresse en mathématiques; c'est impossible, et d'ailleurs sans
intérêt. Mais il y a toujours danger de sclérose et nécessité de renouvellement. Il est bon
que ce renouvellement se fasse au contact de la science vivante. Par conséquent, il est bon
que des chercheurs actifs contribuent au choix des sujets de concours.
Il arrive que des chercheurs aient la totale responsabilité des sujets. C'est le cas dans la
compétition de Leeds, et cela absorbe d'ailleurs une partie de l'activité du département de
mathématiques de l'Université. C'était le cas dans les championnats télévisés de Budapest.
C'est le cas en France dans les concours les plus difficiles, qui ont les épreuves les plus
longues: agrégation, concours d'entrée à l'École normale supérieure, qui permettent en
effet, en 6 ou 7 heures, de découvrir toute une théorie ; je me souviens, préparant
l'agrégation, d'avoir ainsi reconstitué dans un devoir de mécanique la théorie de l'équilibre
de la bicyclette, et, plus tard, d'avoir donné comme sujet du concours d'entrée à l'École
normale la démonstration alors toute nouvelle, par Thoger Bang, des inégalités de
Kolmogoroff sur les dérivées successives des fonctions d'une variable réelle. Il est alors
indispensable que les auteurs des sujets aient également en charge la correction des devoirs
et l'évaluation des candidats; c'est la seule garantie à l'égard de sujets trop ambitieux.
Les sujets des Olympiades mathématiques s'inspirent parfois de travaux
contemporains. II existe au moins un exemple d'un problème de recherche fameux qui,
immédiatement après sa résolution, a été proposé aux Olympiades: démontrer que, si un

40
ensemble fini dans le plan a la propriété que toute droite joignant deux de ses points en
contient un troisième, tous les points de l'ensemble sont alignés. La solution en est en
effet élémentaire. Mais on peut vérifier sur un tel sujet, comme sur d'autres, l'avantage
considérable qu'a un mathématicien expérimenté sur un jeune étudiant, même très brillant.
Cela montre bien que la mathématique est une science, et pas seulement un sport. Je suis a
priori convaincu que l'on peut trouver dans la production mathématique contemporaine, et
retrouver dans la production mathématique des temps passés, de quoi renouveler
constamment le contenu des problèmes d'Olympiades.
Pour les Olympiades comme pour les compétitions nationales, il y a sans doute
avantage à associer dans l'organisation et le choix des sujets des chercheurs et des
enseignants connaissant bien le niveau des élèves. Ainsi l'organisation du concours peut
être un lieu de rencontre entre la science vivante et son enseignement.
De même que la vulgarisation déborde de l'enseignement et peut servir de banc d'essai
pour son renouvellement, les concours et compétitions jouissent de beaucoup plus de
liberté que les examens et permettent d'en amorcer l'évolution. Je prendrai un seul
exemple. Dans l'enseignement secondaire et dans des examens tels que le baccalauréat, la
notion de démonstration a pratiquement disparu, comme celle d'ailleurs de contre-exemple
(qui est la démonstration de la négation d'une proposition). Or c'est non seulement une
spécificité des mathématiques, mais une conquête majeure de l'esprit humain, dont la
valeur est inestimable. On devra y revenir. Mais le mieux est d'y revenir en douceur.
Proposer des démonstrations comme sujets de concours U'en ai donné un exemple avec le
championnat télévisé de Hongrie), juger de l'élégance des démonstrations (rôle du jury
dans le dit championnat), et intéresser à cela un large public, ce peut être la meilleure voie
pour que la notion de démonstration reprenne sa place dans l'enseignement.
Un mouvement à poursuivre
Au cours des trente dernières années, les concours.et compétitions mathématiques se
sont multipliés. Les règles du jeu, les formes, les contenus sont extrêmement variés. Il me
semble qu'il y a là un mouvement profond, qui répond aux besoins des individus comme
de la société. Ce mouvement devra se poursuivre, et la collaboration de mathématiciens
actifs en recherche me paraît indispensable. D'autre part il nécessite déjà, comme je l'ai dit
dès l'introduction, un examen critique et un bilan. Ce que j'ai indiqué de l'économie
trouve ici son exacte contrepartie. A l'intérieur d'une compétition, il faut obéir aux règles
du jeu. Mais il faut également regarder les règles du jeu de l'extérieur, en créer de
nouvelles, tenter de stimuler de nouvelles activités et de répondre à des besoins nouveaux.
Les mathématiques sont assez riches pour fournir aux concours et aux compétitions un
aliment illimité. Puissent les concours et compétitions servir de relais entre ces
mathématiques foisonnantes et tous les hommes, auxquels, en dernière instance, elles sont
destinées.
1. Il serait intéressant à l'occasion de cet article d'ouvrir un dossier en élargissant les exemples. Miguel de
Guzman me signale une forme de compétition très intéressante qu'ils ont en Argentine, sur une base très
large et des sélections successives. En France même nous avons beaucoup de formules à comparer.

ACTIVITÉ ... PUZZLE
Philibert CLAPPONI
IREM de Grenoble
81
A1 ~
A2
A3
En utilisant les définitions fournies, remplir les hexagones avec des nombres.
Il y a un seul chiffre dans chaque hexagone. Chaque lettre représente un entier
naturel différent de zéro et plus petit que 20.
Deux lettres différentes représentent deux nombres différents.
Inscrire ci-dessous ce que vous trouvez pour chaque lettre.
Al: (lOb+1)2+2; ab BI: x + c + 1 ; ac - u 2 +1
A2: c2 ; (a+ x)2 B2 : ( d2 +1)2 + 19
A3: Il cu B3:d-y; llx
. y+x B4 : 1O(a + c) - 5
A4: (ac +y)2 ,
2
B5 : xy ; 2a + 1
«petit x» n° 43 p. 41, 1996 - 1997

ACTIVITÉ
CHEMIN
Philibert CLAPPONI
IREM de Grenoble
Sur un segment [AB] choisir un point M quelconque.
Construire deux triangles équilatéraux AMS et MBT (d'un même côté de [AB]).
U est le milieu de [ST].
T
1 ' \\
/ '\
u / \ / \
• / '
1 \\
s / \
1 \
~ /. \
/ \ \
/ \ Il \\,
1/ / ;' \ \
V \
\ / \
\ / \
A M B
Sur le même dessin placer M dans 3 positions différentes l sur le segment [AB].
Que peut-on dire de la position de U ?
Justifiez soigneusement vos observations.
1. Dans Cabri-géomètre on se contentera de déplacer M et d'observer le déplacement de U.
« petit x » nO 43, p. 42, 1996 - 97

À PROPOS DE L'APPRENTISSAGE DU CONCEPT D'AIRE
Paula MOREIRA BALTAR 1
Équipe de Didactique des Mathématiques du Laboratoire Leibniz - Grenoble 1
LEMAT - Universidade Federal de Pernambuco - Brésil.
Introduction
Les analyses présentées dans cet article sont issues d'un travail de thèse 2 autour de
l'enseignement et l'apprentissage du concept d'aire de surfaces planes. Nous nous
intéressons, dans ce travail, à la construction du concept d'aire au niveau de collège et
plus particulièrement, à l'acquisition, par les élèves de début de collège, des relations
entre les longueurs et les aires.
Le but de cet article est de tracer un état des lieux des problèmes d'apprentissage du
concept d'aire à l'heure actuelle en France à partir de l'étude des programmes, des
évaluations nationales et des recherches antérieures sur le thème.
Dans le premier paragraphe, nous présentons la place du concept d'aire dans les
programmes de l'école élémentaire et du collège (antérieurs aux changements de 1995).
Le deuxième paragraphe est consacré à la mise en évidence des difficultés
d'apprentissage rencontrées par les élèves à partir de l'étude des résultats des évaluations
1 . Boursière de la CAPES - Ministère de l'Éducation Nationale Brésilienne.
2 Thèse préparée sous la direction de Madame Claude Comiti, au sein de l'Équipe de Didactique des
Mathématiques du Laboratoire Leibniz de Grenoble.
«petit x» n° 43, pp. 43 à 68,1996 - 1997

44
nationales du Ministère de l'Éducation Nationale à l'entrée en sixième et de l'APMEp3 en
sixième et cinquième.
Dans le troisième paragraphe, nous faisons une synthèse des résultats des recherches
antérieures qui permettent d'apporter des éléments d'interprétation et d'analyse des
erreurs des élèves et contribuent, par conséquent à une meilleure compréhension du
processus de construction de connaissances autour du concept d'aire au collège.
1. Les programmes
Nous nous intéressons ici à la place occupée par le concept d'aire dans les
programmes de l'école élémentaire et du début de collège (sixième et cinquième). Notre
étude est restreinte aux programmes en vigueur en France au moment des
expérimentations de notre recherche et au moment de la réalisation des évaluations
analysées dans le paragraphe suivant de cet article.
1.1. Les programmes de l'école élémentaire
Notre étude est centrée sur les programmes de 1985, mais nous présentons également
quelques remarques sur les nouveaux programmes de l'école élémentaire - ceux de 1995 ­
en mettant particulièrement l'accent sur l'évolution qui concerne le concept d'aire.
Dans les programmes de l'école élémentaire de 1985, les notions d'aire et de périmètre
étaient introduites au cours moyen dans un chapitre nommé "mesures".
Les programmes et instructions officielles prévoyaient pour ce niveau:
"Formation des concepts de longueur, d'aire, de volume, de masse, d'angle et de
durée; l'utilisation des systèmes de mesure: expression par un nombre ou par un
encadrement du résultat d'un mesurage.
Utilisation des unités du système légal et usuel.
{'oof
Détermination du périmètre d'un cercle, de l'aire d'un disque, de l'aire d'un rectangle,
de l'aire d'un triangle, et du volume d'un pavé.
Utilisation d'un formulaire pour calculer l'aire ou le volume d'un objet donné"4
Les compétences à acquérir au niveau du cours moyen étaient ainsi précisées:
- maîtriser les notions d'aire et de volume;
- connaître les unités couramment utilisées (cm 2 , m 2 , l, dm 3 , m 3 ) ;
- calculer le périmètre et l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un disque
- savoir utiliser un formulaire.
En ce qui concerne les programmes de 1995, l'introduction de la notion d'aire est
3. APMEP = Association des Professeurs de Mathématique de l'Enseignement Public.
4. Les cycles à l'école primaire : Programmes et instructions pour l'école élémentaire - Chapitre
Mathématiques

45
prévue dans le cycle des approfondissements.
Dans les instructions officielles de 1995 on ne parle plus de formation des concepts de
longueur, d'aire, ... (on peut d'ailleurs se poser la question de ce que les auteurs des
programmes de 85 mettaient derrière l'expression "fonnation des concepts").
La distinction entre l'aire et le périmètre apparaît de façon explicite en tant qu'objet visé
par l'apprentissage. On remarque également l'insertion des questions sur l'ordre de
grandeur et la suppression de l'aire du disque et de l'aire d'un triangle. En ce qui
concerne les compétences à acquérir, les changements sont moins importants: il ne s'agit
que de la suppression du calcul de l'aire du disque et de l'aire d'un triangle.
1.2. Les programmes de collège
Les programmes et instructions du collège sur lesquels se basent nos analyses datent
de 1985. Les notions d'aire et de périmètre sont traitées, directement ou indirectement,
dans les trois parties intitulées : "travaux géométriques", "travaux numériques" et
"organisation et gestion de données; fonctions".
En classe de sixième, les objets d'apprentissage sont:
- la comparaison d'aires planes et la mise en évidence de la conservation des aires dans
la symétrie orthogonale (dans la partie "travaux géométriques") ;
- le calcul du périmètre et de l'aire d'un rectangle (dans la partie "organisation et
gestion de données; fonctions" ).
Dans les commentaires, les auteurs des programmes précisent que les travaux
géométriques doivent constituer le support d'activités numériques conjointes, et en
particulier le travail sur des grandeurs et des mesures. En ce qui concerne la comparaison
d'aires planes, "il s'agit de déterminer des aires à l'aide, soit de reports, de
décompositions, de découpages et de recollements, soit de quadrillages et
d'encadrements. Des travaux permettront de retenir sous forme d'images mentales, le
passage du rectangle au triangle rectangle ou au parallélogramme, et de mettre en place
des calculs sur l'aire à partir de l'aire du rectangle." 5
L'un des objectifs d'apprentissage à ce niveau est la mise en évidence des
conservations des longueurs et des aires par la symétrie orthogonale. Pourtant les auteurs
précisent qu'il faut prendre garde de "ne pas demander aux élèves de prouver des
propriétés perçues comme évidentes" 6. Comme, par exemple, la conservation des
aires par la symétrie orthogonale qui n'apparaît pas dans les textes officiels parmi les
compétences exigibles.
Dans la partie destinée à l'étude des "travaux numériques", les notions d'aire et de
périmètre apparaissent comme outil pour l'introduction des écritures litténiJes. Il s'agit de
5 . Extraits de la brochure "Mathématiques classes des collèges 6e, Se, 4e, 3e" éditée par le Centre
National de Documentation Pédagogique (Edition 1990; réimpression 1991) relative aux programmes de
collège- page 25.
6. ibidem, page 26.

46
schématiser des calculs, en utilisant des lettres qui seront remplacées par des valeurs
numériques.
Les compétences exigibles des élèves en ce qui concerne les concepts d'aire et de
périmètre, en classe de sixième sont les suivantes:
- évaluer l'aire d'un triangle rectangle à partir de celle d'un rectangle;
- appliquer les formules littérales au cercle et au rectangle;
- effectuer, éventuellement avec une calculatrice, des calculs sur les mesures des
grandeurs figurant au programme;
- effectuer, pour les longueurs et les aires, des changements d'unités de mesure.
En ce qui concerne la classe de cinquième, les objectifs prévus sont la mise en
évidence de la conservation des aires dans la symétrie centrale (dans la partie consacrée
aux "travaux géométriques") et le calcul de l'aire d'un parallélogramme, d'un triangle et
d'un disque (dans la partie "organisation et gestion de données; fonctions").
Dans la partie "compléments" du programme officiel destinée aux "travaux
géométriques" et en particulier à l'étude de la symétrie centrale nous trouvons la
conservation des distances, de l'alignement et des angles, mais la conservation des aires
n'apparaît pas parmi les propriétés élémentaires de la symétrie que les élèves doivent
connaître. Par contre, une remarque précise que les propriétés de la symétrie centrale sont
à relier à la caractérisation du parallélogramme et permettent aussi d'établir la liaison entre
l'aire d'un triangle et celle d'un parallélogramme.
La partie "organisation et gestion de données; fonctions" prévoit des activités sur les
variations de l'aire d'un triangle ou d'un parallélogramme quand la mesure d'un côté est
fixée. Cette étude peut se faire en liaison avec celle de la proportionnalité. "Les élèves
seront familiarisés avec l'écriture littérale des formules d'aires et de volume du
programme" 7. Il s'agit en particulier, des formules d'aire du parallélogramme, du
triangle et du disque.
Les compétences exigibles en classe de cinquième sont:
- évaluer, à partir de l'aire d'un rectangle, l'aire d'un parallélogramme et l'aire d'un
triangle.
- utiliser les formules d'aires et de volumes du programme.
L'étude des changements d'unités de longueur, d'aire et de volume est prévue dans la
partie sur les fonctions numériques.
Dans les nouveaux programmes de la sixième en vigueur depuis 1995, nous pouvons
remarquer une évolution en ce qui concerne:
- l'explicitation dans le contenu de la partie destinée aux travaux géométriques, d'un
item sur la mesure, la comparaison et le calcul d'aire et de périmètre de surfaces planes;
- l'introduction, en tant que compétence exigible, de la mesure de l'aire d'une surface
par pavage simple et de la comparaison des aires et des périmètres de surfaces planes;
7. ibidem, page 43.

47
Dans les commentaires, les auteurs des programmes explicitent l'importance des
procédures de décomposition, découpage et recollements, pavages et encadrements dans
la prise de sens de la notion d'aire en général et des formules en particulier: "On pourra
s'appuyer sur ces travaux qui donnent du sens à la notion d'aire pour constituer et utiliser
un formulaire. Cette utilisation peut être liée aux unités usuelles et aux changements
d'unités. " 8
Si dans les programmes antérieurs on observe un accent sur la mesure et en particulier
le calcul de l'aire, dans les nouveaux programmes les situations de comparaison prennent
de l'importance, en tant que contenus visées par l'apprentissage et en tant que
compétences exigibles. Les objectifs autour de la mesure de l'aire sont maintenus, et en
même temps, les procédures (aussi bien de mesure que de comparaison) qui permettent de
donner du sens au concept sont mises en valeur.
Les évaluations nationales que nous avons analysé concernent un enseignement
antérieur à cette réforme curriculaire. Il serait intéressant, dans une étude postérieure,
d'étudier l'effet de ces changements de programme sur l'apprentissage de la notion d'aire
en début de collège.
2. Les évaluations du ministère de l'éducation nationale et de
l'APMEP : quelques pistes sur les difficultés d'apprentissage
Les résultats des évaluations menées par le Ministère de l'Éducation Nationale et par
l'APMEP montrent que l'apprentissage du concept d'aire est à l'origine de nombreuses
difficultés pour les élèves. Les questions des évaluations concernant ce thème sont en
général réussies par moins de 50 % des élèves.
2.1. L'évaluation du Ministère de l'Éducation Nationale entrée en
sixième
L'évaluation du Ministère de l'Éducation Nationale est réalisée depuis 1989 sur tous
les élèves de CE2 et de sixième. Son objectif, selon les réalisateurs, est d'aider les
enseignants "à mieux identifier les acquis et les lacunes de leurs élèves dans les
apprentissages de base: lecture, écriture, mathématiques" 9. Les résultats nationaux
présentés sont fondés sur des échantillons représentatifs des élèves évalués, tirés de façon
aléatoire dans les établissements d'enseignement public et privé de tous les départements,
y compris ceux d'outre-mer.
En ce qui concerne plus particulièrement notre travail, nous n'avons étudié que les
résultats relatifs à l'entrée en sixième, car comme nous l'avons mis en évidence dans le
paragraphe antérieur la notion d'aire n'est introduite qu'au cours moyen.
8. Programmes de sixième 1995 mathématiques, page 20.
9. Éducation et Formation Publication hors série du ministère de l'éducation nationale de la jeunesse et des
sports "Évaluation CE2 - sixième Résultats nationaux septembre 1990.

48
Les résultats de ces évaluations donnent des indices de la maîtrise de certaines
connaissances du domaine des grandeurs, et des difficultés d'apprentissage liées à
l'absence d'autres connaissances.
Les résultats de l'évaluation du Ministère de l'Éducation Nationale montrent que les
objectifs d'apprentissage définis pour l'école élémentaire en ce qui concerne le concept
d'aire sont loin d'être atteints.
En ce qui concerne la formation des concepts de longueur et d'aire, si plus de la moitié
des élèves réussissent aux questions de comparaison et mesure sur papier quadrillé et à la
dissociation de la surface et son contour, les taux de réussite pour l'addition et
soustraction des aires sont seulement voisins de 50%. De plus, aucune question n'est
posée sur l'invariance de l'aire par découpage recollement, ce qui est pourtant, à notre
avis, un point fondamental dans la formation du concept d'aire.
L'utilisation des unités d'aire n'est pas testée directement, mais on peut remarquer des
taux importants d'absence d'unité dans les réponses des élèves; ce que nous interprétons
comme le témoignage d'un certain malaise face à l'usage des unités d'aire.
En ce qui concerne la détermination de l'aire et du périmètre d'un rectangle, les taux de
réussite sont assez faibles (à peu près 40% pour l'aire et 50% pour le périmètre).
L'utilisation d'un formulaire pour calculer l'aire d'un objet donné paraît très mal
maîtrisée également. Le formulaire étant donné (avec des figures et les formules d'aire
correspondantes) les tâches à la charge de l'élève sont:
- choisir la formule pertinente dans le formulaire;
- remplacer les lettres par les bonnes valeurs numériques;
- calculer l'aire.
Seulement 27,4% des élèves calculent correctement l'aire du triangle et 28,3% donnent
une réponse exacte pour le calcul de l'aire d'un parallélogramme. La difficulté majeure ne
repose ni sur la reconnaissance de la forme de la figure ni sur le choix de la formule d'aire
à utiliser (tâche réussie entre 45% et 60% à peu près). C'est sur le remplacement des
lettres par les nombres et le calcul à proprement parler, que l'on trouve une chute
importante des taux de réussite.
Les questions autour de la dissociation entre l'aire et le périmètre ne font pas partie des
objectifs d'apprentissage et des compétences exigibles au niveau de l'école élémentaire
dans les programmes de 85. Ce sont pourtant des situations souvent présentes dans les
évaluations et dont les taux d'échec sont en général importants. Cet aspect est pris en
compte de façon explicite dans les nouveaux programmes de l'école élémentaire qui sont
entrés en vigueur en 1995.

49
2.2. Les évaluations de l'APMEP en sixième et en cinquième
La motivation principale des évaluations menées par l'APMEP depuis 1987 a été
d'accompagner la mise en place des nouveaux programmes de collège et lycée, en
particulier du point de vue de l'évolution des compétences des élèves. Les questionnaires
ont été conçus de façon à vérifier l'acquisition des compétences exigibles et des capacités
complémentaires définies dans les programmes officiels. L'évaluation des compétences
exigibles et de celles dites d'approfondissement ou complémentaires sont faites
séparément, par l'intermédiaire de deux types d'épreuves. Nous analysons ici les résultats
des évaluations au niveau de sixième (1987 et 1989) et de cinquième (1988 et 1990).
Les exercices des questionnaires d'approfondissement sont destinés à tester la capacité
de l'élève à mobiliser certaines connaissances et à les articuler dans la résolution de
problèmes complexes.
Dans l'interprétation des taux de réussite à ces questions il faut prendre en compte le
fait que les exercices proposés sont en général d'un niveau de complexité important du
point de vue des tâches à la charge de l'élève "Il faut lire l'énoncé, se l'approprier,
l'analyser, résoudre des questions intermédiaires, puis ilfaut synthétiser les informations
et présenter les résultats."IO. Les erreurs sont donc dues en partie à la difficulté de traiter
des situations complexes. Les échecs sont cependant également des indices de difficultés
à mobiliser des connaissances, tout au moins dans des situations complexes.
On ne peut pas ici déduire directement des taux faibles de réussite que les élèves ne
disposent pas des connaissances en jeu dans les exercices. Certaines erreurs peuvent
relever de la complexité de la situation elle-même, ou des aspects secondaires de la
situation, plutôt que des connaissances dont on veut tester la disponibilité. De plus, les
brochures de l'APMEP, ne fournissent pas les réponses et justifications des élèves, mais
seulement les taux de réussite et les interprétations des auteurs de la brochure, ce qui
réduit nos conditions d'analyse des sources d'erreurs possibles.
Dans les évaluations APMEP les compétences exigibles à propos du concept d'aire
sont ainsi précisées:
En classe de sixième:
- évaluer l'aire d'un triangle rectangle, à partir d'un rectangle;
- appliquer les formules littérales au rectangle et au cercle;
- effectuer des changements d'unité de mesure des longueurs et des aires;
- effectuer, éventuellement avec une calculatrice, des calculs sur les mesures des
grandeurs figurant au programme longueurs et aire.
En classe de cinquième :
- évaluer, à partir de l'aire d'un rectangle, l'aire d'un parallélogramme et l'aire d'un
triangle;
10. EVAPM sixième, 1989, page 52.

50
- utiliser les formules d'aire du programme: parallélogramme, triangle, disque et aire
latérale d'un cylindre de révolution.
Dans l'esprit des programmes de 1985, comme les auteurs de la brochure eux-mêmes
le mettent en évidence, les figures planes et les solides servent de support au calcul
numérique et littéral - calcul sur les mesures de longueurs, d'aires et de volumes, et
utilisation des formules. Ceci se traduit en particulier par le fait que les compétences
exigibles à propos des grandeurs géométriques sont essentiellement de type calculatoire.
Les exercices proposés dans l'évaluation sont en général cohérents avec cet esprit. Il
s'agit surtout du calcul sur les mesures de longueurs, aires et volumes, et de l'utilisation
de formules en tant que moyen de calcul.
Les résultats des premières évaluations APMEP en sixième (1987) et en cinquième
(1988) montrent que deux des trois points faibles des programmes actuels signalés par les
enseignants, concernent la construction du concept d'aire: les compétences concernant le
calcul sur les grandeurs (aires, volumes, ...) et l'utilisation des unités (le troisième point
faible concerne la géométrie dans l'espace). La réussite aux questions sur l'aire dépassent
rarement les 50%.
2.2.1. Résultats des évaluations APMEP en fin de sixième
a - Résultats concernant les compétences exigibles
Dans l'évaluation en fin de sixième réalisée en 87, les auteurs mettent en évidence
certaines erreurs fréquemment commises par les élèves dans les exercices sur les aires :
- confusions entre aire et périmètre ;
- du point de vue du calcul, erreurs du type:
aire =périmètre x 2 ;
aire =L + 1
aire = L-I
aire =(L+I) x3, 14
aire =(LxI) - périmètre.
- en ce qui concerne les unités: expression de l'aire d'une surface dont les dimensions
linéaires sont données en mètres, en m, m 3 , cm, cm 2 , ...
Certaines de ces erreurs concernent la dissociation de l'aire et du périmètre. Les items
consacrés à ce sujet concernent l'association de l'aire à la surface et du périmètre au
contour; le calcul de l'aire et du périmètre de surfaces usuelles (distinction des formules
d'aire et de périmètre) et le choix des unités pertinentes pour exprimer l'aire et le
périmètre. Les résultats obtenus sont les suivants:
- seulement 42% des élèves associent l'aire à la surface, calculent correctement l'aire
d'un rectangle et expriment le résultat avec l'unité pertinente;
- 46% des élèves associent le périmètre au contour, calculent correctement le périmètre
d'un rectangle et expriment le résultat avec l'unité pertinente.
Les auteurs de la brochure mettent en évidence que la notion d'aire discrimine les
futurs redoublants (pour lesquels les taux de réussite chutent de moitié) contrairement aux

51
questions sur le périmètre dont les taux de réussite pour l'ensemble des élèves et pour les
futures redoublants sont assez proches.
Il n'y a aucun exercice dans les évaluations de l'APMEP en sixième sur l'étude des
variations de l'aire et du périmètre (ce qui s'explique par l'absence de cet aspect du
concept d'aire dans les instructions officielles en tant que compétence exigible ou objectif
d'apprentissage explicite).
Les seules compétences exigibles qui présentent des taux de réussite supérieurs à 50%
sont le calcul de l'aire et du périmètre d'un rectangle (respectivement 54% et 58%).
Les objectifs d'apprentissage à propos de l'aire définis pour la classe de sixième dans
les programmes actuels ne sont pas atteints:
- moins de 50% des élèves ont évalué l'aire d'un triangle rectangle à partir de celle
d'un rectangle (les taux de réussite varient entre 40% et 46% pour les longueurs entières
ou décimales, avec ou sans usage de la calculatrice) ;
- les taux de réussite pour les changements d'unité d'aire sont compris entre 40% et
50% (tandis que pour les longueurs ces taux varient entre 50% et 70%).
- à peu près deux tiers des élèves font des erreurs dans le choix de l'unité correcte
associée à un résultat numérique (par exemple, mesurer l'aire en cm).
b -
Interprétations des difficultés de certains items des questionnaires
d'approfondissement
Pour l'ensemble des items sur l'aire des questionnaires d'approfondissement, le score
maximum est de 31 % de bonnes réponses.
Le calcul de l'aire d'un carré est une compétence exigible au CM2. Dans les situations
proposées dans les questionnaires d'approfondissement, plusieurs situations mettent en
jeu le calcul de l'aire d'un carré (implicitement, car il n'est jamais demandé directement à
l'élève de calculer l'aire du carré) et les taux de réussite sont très faibles (entre 14% et
31 %).
Analysons de manière comparative des résultats de l'évaluation à propos de deux
questions sur l'aire du trapèze.
La première question qui nous intéresse ici est la suivante:
b
L..c .--.-----.--.
~r-----------------­
1
1
!
hi
1
_L--+ _
-------~
B

52
L'aire d'un trapèze est donnée par la formule:
A = (B+ b) xh
2
Utilise cette formule pour calculer l'aire d'un trapèze qui vérifie
B =2,5 cm
b = 1,5 cm
h=5 cm
Écris le détail de tes calculs.
Il s'agit du calcul de l'aire d'un trapèze étant données la figure, la formule et les
longueurs nécessaires au calcul. Les longueurs sont décimales et l'usage de la calculatrice
est interdit. Cet exercice fait partir d'un questionnaire portant sur des compétences
exigibles, mais le codage adopté par les auteurs de l'évaluation montre que le caractère de
compétence d'approfondissement lui est accordé.
Les tâches à la charge de l'élève ici sont le remplacement des lettres par des valeurs
numériques pertinentes, la manipulation de l'expression numérique ainsi obtenue, et le
calcul. Les données numériques sont données dans l'énoncé: ce qui exclut les difficultés
liées à la lecture de la figure. En fait, la figure n'est pas nécessaire dans la résolution du
problème. La réussite à cette question est de 50% pour la réponse exacte et de 57% pour
la démarche correcte.
Analysons maintenant un autre exercice portant sur l'aire du trapèze, proposé dans des
questionnaires d'approfondissement des évaluations APMEP de 87 et 89.
Calculer l'aire du trapèze en prenant comme unité l'aire du petit carré:
°l--~--Î-
!O--T­
! i ! i !
-:-­ -,--- ",-­ ~--- "-­
i
l ' 1 i 1
, ,
!
- --t -
1
°i-·
i--­
i
!
._-_.
. .0. ._.....__•. _,_ •..... ,_. .... > ._, ;
~--._i.-. -i-· -­ -.--­ ------1---­ -----.+---1--+--+­
Il ne s'agit pas ici de l'utilisation de formules littérales, car la formule de l'aire du
trapèze n'est pas donnée et elle ne fait pas partie des objectifs d'apprentissage en sixième.
Les élèves sont donc censés mettre en oeuvre des connaissances d'une autre nature telles

53
que le dénombrement des unités, le "découpage-recollement", la décomposition de la
figure (en par exemple un rectangle et deux triangles rectangles), l'additivité et la
soustraction des aires; éventuellement les formule de l'aire d'un rectangle et d'un
triangle. Les évaluations à l'entrée en sixième montrent que l'addition des aires et la
mesure de l'aire de surfaces dessinées sur quadrillage (surfaces pavables avec les
carreaux du quadrillage) sont des connaissances mobilisables dans certains cas pour plus
de la moitié des élèves.
A peu près 80% des élèves sont en échec dans cette situation: les taux de réussite pour
cet exercice dans les évaluations de 1987 et de 1989 sont respectivement de 21 % et de
14%.
Les tâches à la charge de l'élève ne sont pas ici d'un niveau de complexité très élevé.
Les faibles taux de réussite ne sont donc pas essentiellement dus à la complexité de la
tâche. Comme les côtés du trapèze ne suivent pas les lignes du quadrillage, nous ne
pouvons pas non plus affirmer que le comptage des carreaux n'est pas disponible.
Cependant, l'échec de 80% des élèves à cette question nous semble être un indice de la
non disponibilité dans le type de situation proposée des connaissances que nous avons
énoncées ci-dessus.
On peut attribuer aussi une part de l'échec à une certaine rupture par rapport au contrat
didactique habituel. Normalement, quand on demande à un élève de sixième de calculer
l'aire d'une figure, il s'agit d'utiliser une formule d'aire. Or, il ne s'agit pas ici
d'appliquer une formule. Les taux de réussite pourraient être différents si à la place de
calculer on avait demandé de trouver l'aire du trapèze.
Notons que:
- 57% des élèves réussissent dans l'application de la formule de l'aire du trapèze, ce
qui représente une augmentation importante des taux de réussite par rapport à ceux du
début de la sixième (autour de 28%) ;
- seulement 20% des élèves calculent correctement l'aire d'un trapèze dessiné sur
quadrillage.
La différence de pourcentages de réussite entre les deux questions (57% et 20%) et le
faible taux de réussite pour la deuxième question conduisent à une réflexion plus
profonde sur la construction du concept d'aire chez les élèves de collège: les procédures
telles que le "découpage-recollement", l'addition des aires, la décomposition de la figure
ne semblent pas avoir été mobilisées.
2.2.2. Des résultats en fin de cinquième
a - Résultats concernant les compétences exigibles
L'utilisation des unités de mesure est un objectif d'apprentissage de la classe de CM2.
Cependant, dans les exercices sur les aires, quand il est demandé d'indiquer l'unité
seulement la moitié des élèves de cinquième le font correctement. Lorsque les unités ne
sont pas explicitement demandées, un élève sur deux mentionne les unités de longueur et

54
un élève sur trois seulement mentionne les unités d'aire.
Les compétences exigibles sur l'aire en cinquième sont de deux types: évaluer l'aire
d'un triangle et d'un parallélogramme à partir de l'aire d'un rectangle et utiliser les
formules d'aire du programme.
Dans le premier cas, la seule compétence acquise par plus de la moitié des élèves est le
calcul de l'aire d'un triangle rectangle à partir de l'aire d'un rectangle ll (72% de réussite
dans une situation en absence de figure d'accompagnement).
Pour les autres questions, les taux de réussite sont les suivants:
- seulement 34% évaluent l'aire d'un triangle quelconque à partir de celle d'un
rectangle et 33% évaluent l'aire d'un parallélogramme à partir de celle d'un rectangle;
- la relation "l'aire du triangle est la moitié de celle d'un rectangle de même base et
même hauteur" est disponible seulement pour un élève sur quatre (il en est de même pour
la décomposition du triangle en deux triangles rectangles suivie de l'addition des aires des
triangles rectangles).
L'utilisation des formules d'aire est comprise par les auteurs de l'évaluation comme
"calculer à l'aide de formules non données aux élèves". Ainsi, dans les exercices qui
concernent cette compétence, les formules ne sont pas fournies. En 1988 les taux de
réussite varient entre 15% et 45% ; on observe une augmentation des taux de réussite en
1990, mais ces taux ne dépassent jamais les 60% de réussite:
- pour le calcul de l'aire d'un triangle, les taux de réussite sont compris entre 42% et
58% ;
- pour le calcul de l'aire du parallélogramme, les taux de réussite sont compris entre
22% et 50%;
Dans les questions de calcul de l'aire par usage de formules, les mesures des
longueurs des côtés sont entières ou décimales; l'usage de la calculatrice est permis dans
certaines épreuves et interdit dans d'autres et il y a parfois présence du dessin, parfois
absence. Certains des taux d'échec sont dus en partie à la difficulté des élèves dans le
calcul avec les nombres décimaux. La présence de la figure cotée facilite la tâche des
élèves, mais une hauteur tracée à l'extérieur du triangle paraît être source d'erreur
également.
L'étude des corrélations entre questions a montré que la réussite conjointe à des
questions sur l'aire du triangle varie entre 37% et 42%, ce qui est interprété par les
auteurs de l'évaluation comme un indice de la maîtrise du calcul de l'aire d'un triangle
pour environ 40% des élèves (avec ou sans calculatrice).
b - Arrêtons-nous sur l'aire du parallélogramme
Le fait que les items proposés soient souvent en rupture avec le contrat didactique
habituel est, à notre avis, l'une des raisons des erreurs commises. Habituellement, dans
II. Il faut remarquer pourtant qu'il s'agit ici d'une compétence de fin de sixième.

55
les exercices d'utilisation d'une formule, les seules mesures indiquées sur la figure sont
celles nécessaires au calcul. Or, dans les items des évaluations sur l'aire du
parallélogramme, on donne une figure cotée sur laquelle sont indiquées les longueurs
d'une base, celle de la hauteur relative à cette base et celle de l'autre côté. On dispose
donc d'informations qui ne sont pas toutes nécessaires à la résolution du problème.
Une deuxième source d'erreur liée au contrat concerne la lecture de la figure: dans les
situations habituellement rencontrées par les élèves, la base d'un parallélogramme est le
côté plus grand placé horizontalement et la hauteur du parallélogramme est verticale.
Or, dans les questions de l'évaluation, le parallélogramme est penché: il n'y a pas de
côté horizontal et il n'y a aucun indice qui signale où se trouvent la base et la hauteur. Le
choix d'un côté comme base, et l'indication sur le dessin de la hauteur relative à cette
base, sont des tâches à la charge de l'élève.
Aux difficultés dues à la position de la figure, s'ajoute de plus celle (signalée cidessus)
du calcul avec des décimaux.
Ces sources d'erreurs, pour pertinentes qu'elles soient, sont-elles suffisantes pour
expliquer des taux d'échec si importants? Les échecs des élèves ne décèlent-ils pas en fait
des difficultés d'ordre conceptuel liées au concept d'aire et au sens donné aux formules
par les élèves?
c) Interprétation des difficultés de certains items des questionnaires
d'approfondissement
Nous avons souligné ci-dessus que les taux importants d'échec dans les questions sur
l'aire sont des indices de la non maîtrise de connaissances de base, dans la construction
du concept. C'est ce que nous voulons illustrer avec les deux questions suivantes, qui
concernent respectivement l'invariance de l'aire par découpage recollement et l'addition et
la soustraction des aires.

56
Observe la figure ci-contre:
a) Mesure ce dont tu as besoin pour
calculer l'AIRE de cette figure.
Reporte ces mesures sur la figure.
b) CALCULE l'AIRE de cette figure.
Quels calculs fais-tu?
Réponse : Aire de la figure : .
--------------"
Les taux de réussite pour cette question sont les suivants:
- dans l'évaluation de 1988, 41 % des élèves mettent en oeuvre le découpage
recollement convenable et 44% des élèves aboutissent à une réponse juste;
- dans l'évaluation de 1990, 69% des élèves donnent la valeur numérique correcte,
39% mettent en oeuvre le découpage recollement; 37% donnent la réponse exacte avec
l'unité correcte.
4
ABCD est un rectangle
Les mesures des longueurs sont faites en cm.
En n'utilisant que les mesures portées sur la
figure:
1°) CALCULE l'aire du triangle DAI.
8
6
2°) CALCULE l'aire du triangle DIJ.
2
5
3°) Toujours sans mesurer, COMPARE la hauteur issue de A dans le triangle DAI et la
hauteur issue de J dans le triangle DJI.
Les taux de réussite pour cet exercice sont les suivants:
- le calcul de l'aire du triangle rectangle DAI - compétence exigible en fin de sixième ­
n'est réussi que par 53% des élèves;
- le calcul de l'aire d'un triangle scalène DIJ est réussi par seulement 17% des élèves;
- seulement 3% des élèves réussissent la comparaison des hauteurs des triangles DAI
(issue de A) et DJI (issue de J) dont DI est une base commune.
Seulement40% des élèves ont mobilisé le découpage recollement et moins de 20% des
élèves ont mis en oeuvre une procédure de soustraction des aires. Ces procédures sont
cependant à la base des justifications de la pertinence des formules d'aire du triangle et du
parallélogramme.
De plus, le taux très faible de réussite (3%) à la comparaison des hauteurs de triangles

57
de même base à partir de la comparaison de leurs aires, est un indice du degré de
complexité des questions mettant en jeu la relation de dépendance de l'aire d'un triangle,
par rapport aux longueurs d'une base et de la hauteur correspondante.
2.3. Synthèse des résultats des évaluations du Ministère de
l'Éducation Nationale et de l'APMEP et mise en évidence des points
significatifs par rapport à notre problématique
Au delà de l'importance des taux d'échec dans les questions concernant le concept
d'aire (aussi bien à l'entrée en sixième que en début de collège) et du constat que les
objectifs d'apprentissage des programmes actuels ne sont pas atteints, nous retiendrons
plus particulièrement des évaluations du Ministère de l'Éducation Nationale et de
l'APMEP:
- la disponibilité de la procédure de pavage et l'acquisition de la dissociation entre la
surface et son contour, pour un nombre non négligeable d'élèves, depuis le CM2 ;
- la non disponibilité, dans des situations complexes, chez un nombre significatif
d'élèves de CM2 et (dans une moindre mesure) chez les élèves de cinquième, des
procédures de découpage recollement, des décompositions d'une figure et de l'addition et
soustraction des aires;
- la mise en oeuvre, chez les élèves CM2, sixième et cinquième, de procédures où
interviennent des confusions entre aire et périmètre (du point de vue des variations) ;
- les faibles taux de réussite en sixième lors du calcul à l'aide de formules de l'aire et
du périmètre d'un rectangle quand on exige simultanément d'établir les correspondances
entre aire et surface, périmètre et contour, de calculer l'aire et le périmètre en exprimant
les résultats avec les unités de mesure pertinentes;
- la non disponibilité du CM2 à la cinquième, de l'utilisation pertinente des unités de
longueur et d'aire et des conversions d'unités de mesure;
- la non acquisition par environ 2/3 des élèves de cinquième de la compétence "évaluer
l'aire d'un triangle à partir de celle d'un rectangle" et le faible taux de réussite en ce qui
concerne les questions autour de l'aire du triangle et du parallélogramme.
Nous faisons l'hypothèse que, dans les questions sur le calcul de l'aire par l'utilisation
de formules, quelques sources possibles d'erreurs reposent sur:
- l'absence de connaissances géométriques l2 permettant de justifier la pertinence des
formules;
- la lecture de la figure (hauteur extérieure au triangle, position de la figure sur la
feuille de papier provoquent la difficulté à identifier la base et la hauteur du
parallélogramme et du triangle, ...) ;
- la manipulation d'écritures littérales;
- le calcul avec des nombres décimaux;
- l'utilisation des unités de mesure.
L'invariance de l'aire par "découpage-recollement" n'est traitée directement que dans
les évaluations de cinquième. Il s'agit, cependant d'un aspect central de la formation du
12. L'invariance de l'aire par "découpage-recollement", par exemple.

58
concept d'aire, et d'un support important pour donner du sens aux formules d'aire en
particulier.
La dissociation de l'aire et du périmètre n'est pas un objet d'apprentissage explicite
dans les programmes 1985 de l'école élémentaire, ni dans les programmes de collège à
l'heure actuelle.
Si l'association de l'aire à la surface et du périmètre au contour semble acquise depuis
le CM2, les confusions entre aire et périmètre sont fréquentes à tous les niveaux, en ce
qui concerne leurs formules et leurs variations respectives. Ainsi certains élèves
fabriquent des formules pour calculer l'aire de figures usuelles en faisant intervenir le
périmètre ou mettent en oeuvre des procédures que nous attachons à des raisonnements
tels que "deux surfaces de même aire ont même périmètre" ou "l'aire et le périmètre
varient dans le même sens".
3. Les résultats de recherches antérieures : des supports pour
comprendre les sources des erreurs des élèves
Nous chercherons ici à mettre en évidence les résultats des recherches antérieures
(aussi bien en France que dans d'autres pays) qui nous apportent des éléments pour
comprendre les sources des erreurs commises par les élèves.
3.1. Deux pôles de conceptions : les conceptions géométriques et les
conceptions numériques
Un certain nombre de difficultés rencontrées par les élèves sont liées au traitement des
problèmes d'aire en ne prenant en compte que l'un des deux points de vue suivants: celui
des surfaces ou celui des nombres. À ce propos, Douady et Perrin-Glorian montrent que
"...au sujet de l'aire, les élèves développeraient une "conceptionforme" liée au cadre
géométrique ou une conception nombre liée au cadre numérique, ou les deux mais de
façon indépendante, et ils traiteraient les problèmes sans établir de relation entre les deux
points de vue. Or les problèmes d'aire mettent de façon essentielle en relation les cadres
numérique et géométrique" (Douady et Perrin-Glorian, 1989, p. 395).
Ceci les conduit à proposer deux pôles de conceptions: les conceptions géométriques
et les conceptions numériques. On trouve chez Balacheff ce même classement des
conceptions dans le traitement de questions sur l'aire et le périmètre de rectangles.
3.1.1. Les conceptions géométriques
Pour Balacheff (1988), les conceptions géométriques sont celles selon lesquelles les
élèves confondent aire et surface, périmètre et contour. Dans ces types de conception
domine une notion forme: toute modification de l'aire correspond à une modification du
périmètre et réciproquement. Il remarque que l'origine de ces conceptions peut être dans
le fait que les significations de ces mots sont attachées dans la langue naturelle.

59
On retrouve aussi cette idée de conception attachée à la forme chez Douady et Perrin­
Glorian (1989) : "Au démarrage, au CM2, certains enfants ont de la place occupée par
une surface une conception liée à saforme et se référant plutôt à l'encombrement ou à la
situation de la surface dans la feuille de papier ou même à la manière dont elle a été
obtenue : pour comparer la place occupée par des surfaces obtenues par découpage
recollement sans perte ni chevauchement de rectangles superposables, des élèves ne
peuvent accepter qu'une surface encombrante {...} puisse ne pas occuper plus de place
qu'une autre plus "compacte" {. ..} " (Douady et Perrin-Glorian, 1989, p. 404)
Certaines des procédures des élèves peuvent être analysées comme conséquences de la
mise en oeuvre de ce type de conception:
- une diminution de l'aire est comprise comme une diminution de la surface. La forme
étant conservée, l'aire et le périmètre vont varier forcément ensemble;
- deux surfaces de même aire auront forcément même périmètre;
- deux surfaces composées des mêmes morceaux seront comparées selon
l'encombrement: celle qui est plus encombrante aura une aire plus grande.
Les conceptions liées à l'encombrement peuvent être associées à la perception, ou à
une approche pratique de la "place occupée par la surface".
La mise en oeuvre de conceptions géométriques entraîne notamment des difficultés
liées à la dissociation de l'aire et du périmètre. La demande de dessiner une surface d'aire
plus petite et de périmètre plus grand qu'une autre surface donnée au départ paraît absurde
aux élèves, car la forme étant conservée, aire et périmètre varient forcément dans le même
sens, à leurs yeux.
3.1.2. Les conceptions numériques
Balacheff appelle "conceptions arithmétiques" celles qui sont caractérisées par le
traitement des assertions en référence aux formules de l'aire et du périmètre du rectangle.
L'aire et le périmètre désignent respectivement les nombres associés à la surface et au
contour d'un rectangle, mais la connaissance des formules d'aire et de périmètre d'un
rectangle n'est pas suffisante pour caractériser ce type de conception. Il faut de plus
établir, à partir des formules d'aire et du périmètre, les relations fonctionnelles entre les
quatre nombres qui désignent les côtés, l'aire et le périmètre.
Le point de vue de Douady et Perrin-Glorian est différent. Les conceptions
numériques sont aussi caractérisées par le fait que l'aire est un nombre, mais cet aspect
fonctionnel est absent:
"on est sur le plan du calcul et on ne relève que des éléments pertinents pour le calcul,
par exemple des mesures de longueur qui paraissent caractéristiques de la surface
considérée et qu'on combine dans des formules plus ou moins fondées: par exemple
'ajouter des mesures de deux côtés d'un triangle et multiplier par la troisième', pour
calculer l'aire d'un triangle enfaisant le produit de deux longueurs." (Douady et Perrin­
Glorian, 1989, p. 395)
Pour caractériser une conception arithmétique au sens de Balacheff, il ne suffit pas de
connaître les formules d'aire et de périmètre, mais il faut maîtriser les relations

60
fonctionnelles qui en sont implicites. Tandis que pour Douady et Perrin-Glorian il suffit
que l'aire soit un nombre (les moyens, justes ou erronés, mis en oeuvre pour trouver ce
nombre ne sont pas en question dans la caractérisation des conceptions numériques).
Il nous faut certes distinguer les élèves qui connaissent et utilisent les formules justes
d'aire et de périmètre et ceux qui associent l'aire à un nombre par l'intermédiaire de
"formules fabriquées". Mais, il ne suffit pas de maîtriser l'usage des formules pour
pouvoir traiter tous les types de situations autour du concept d'aire. Les résultats des
évaluations montrent d'ailleurs que l'absence de connaissances géométriques sur l'aire
empêche la résolution de certains types de situation13.
Dans notre travail, nous utiliserons la modélisation en termes de conceptions
géométriques et numériques afin de mettre en évidence que la seule prise en compte de
l'un des deux points de vue - surfaces ou nombres - n'est pas suffisante pour traiter tous
les problèmes sur les aires et essaierons de montrer les conséquences de la négligence
dans l'apprentissage, de l'un ou l'autre de ces points de vue.
3.2. L'aire en tant que grandeur
Nous adoptons dans ce travail l'approche de l'aire en tant que grandeur l4 . Ce choix
est justifié par les résultats des recherches antérieures. En effet, l'analyse faite par Douady
et Perrin-Glorian les amène à distinguer trois pôles:
- le pôle géométrique avec les surfaces;
- le pôle "grandeur" avec les aires;
- le pôle numérique avec les mesures.
Douady et Perrin-Glorian mettent en évidence que le point de vue généralement adopté
dans l'enseignement consiste à choisir une unité et puis à identifier aires et mesures. Dans
ce cas, il n'y a que deux pôles retenus: surfaces et nombres.
"Dans ces conditions, l'aire est un invariant non pas de la surface mais du couple
(surface, unité) : pour une surface fixée, l'aire considérée comme nombre dépend du
choix de l'unité. C'est légitime si on n'a pas l'intention de changer d'unité, mais c'est un
point de vue difficile à tenir si on veut s'occuper de surfaces matérielles et si on veut que
l'aire soit un invariant de la surface et d'elle seule" (Douady et Perrin-Glorian, 1989,
p. 393)
Elles formulent alors les deux hypothèses suivantes:
- Le développement dans l'enseignement du concept d'aire en tant que grandeur
permet aux élèves d'établir les relations nécessaires entre les deux cadres (géométrique et
numérique).
- Une identification trop précoce entre grandeurs et nombres favorise l'amalgame des
différentes grandeurs (ici longueurs et aires).
13. Les faibles résultats dans le problème de calcul de l'aire d'un trapèze dessiné sur papier quadrillé en
sixième sont un exemple.
14. Le terme grandeur est pris ici dans un sens très naïf: notion indépendante à la fois de la forme de la
surface et de quelque unité de mesure que ce soit.
1·

61
L'étude des conceptions d'une part, et les résultats des évaluations d'autre part,
montrent que l'identification entre aire et nombre (conceptions numériques) est source
d'erreurs: en l'absence de connaissances géométriques à propos des aires, les élèves
peuvent, par exemple, fabriquer des formules plus ou moins fondées, pour aboutir à un
nombre qui mesure la surface.
Douady et Perrin-Glorian ont construit et expérimenté une ingénierie didactique
adaptée à ces hypothèses et dans laquelle on distingue trois points:
(a) construire la notion d'aire comme grandeur autonome;
(b) étendre l'application mesure à des surfaces non pavables avec l'unité A;
(c) pointer les différences et établir des relations entre aires et longueurs.
La construction de la notion d'aire en tant que grandeur autonome consiste à :
- dissocier l'aire de la forme (des surfaces de formes différentes peuvent avoir même
aire) et à
- distinguer l'aire du nombre (à une même surface peuvent correspondre des nombres
différents si l'unité d'aire change).
On utilise pour cela les procédures de comparaison par inclusion, superposition et
"découpage-recollement" ; et le pavage de surfaces avec des unités variées.
En ce qui concerne l'extension de l'application mesure à des surfaces non pavables
avec l'unité A, deux points de vue sont abordés:
- l'usage du découpage recollement pour obtenir une surface S' de même aire que S et
pavable avec l'unité A ;
- l'utilisation des encadrements successifs de S par des surfaces pavables avec A ou
des subdivisions de A par l'intérieur et l'extérieur.
Du point de vue purement mathématique, l'utilisation d'encadrements est suffisante
pour traiter toutes les surfaces, mais elle ne permet pas de surmonter la prégnance de la
forme (caractéristique des conceptions géométriques) qui est une source importante
d'erreurs chez les élèves.
On trouve dans les travaux de Héraud (1989) à propos de la construction du concept
d'aire chez les élèves de l'école élémentaire, une hypothèse similaire à celle de Douady et
Perrin-Glorian. Pour lui, la compréhension du concept d'aire comporte deux paliers qui
correspondent respectivement à la construction de l'aire en tant que grandeur autonome et
à l'acquisition de la mesure d'aire.
Nous nous intéressons ici au premier palier, par rapport auquel cet auteur propose
trois niveaux de conceptualisation.
Au premier niveau, la surface est associée à l'étendue et l'élève se satisfait d'une
estimation visuelle pour exprimer des jugements qui sont très approximatifs.
Au deuxième niveau, l'élève est capable de mettre en oeuvre des procédures
d'inclusion et superposition pour comparer les aires de deux surfaces. Si la superposition
n'est pas possible, on envisage la procédure de découpage-recollement. Toutefois, cette
procédure ne peut être utilisée par l'élève que s'il admet l'invariance de l'aire par
"découpage recollement".

62
Le troisième niveau consiste en l'acceptation que l'aire d'une surface est invariante
sous l'effet de certaines transformations géométriques, même si son aspect globale
change. On peut citer l'invariance de l'aire par rapport à la position et à l'orientation de la
surface (translation et rotation) et l'invariance par découpage-recollement.
Plusieurs recherches convergent vers l'importance de l'utilisation du découpage
recollement dans l'élaboration du concept d'aire - Douady et Perrin-Glorian (1989),
Héraud (1989) , Hirstein et al (1978) et Hart (1981), par exemple. L'invariance de l'aire
par découpage recollement s'appuie du point de vue mathématique, sur le fait que des
surfaces équidécomposables1 5 ont même aire.
La procédure de pavage est également un point important dans la construction de l'aire
en tant que grandeur autonome, car elle permet de mesurer l'aire de surfaces directement
par usage d'unités d'aire.
Les résultats des évaluations montrent que cette procédure est disponible chez la
plupart des élèves à l'entrée en sixième. Hart (1981) montre aussi que les taux de réussite
aux questions de mesure de l'aire par pavage sont assez élevés et la maîtrise de cette
procédure est antérieure à celle de l'usage de formules d'aire.
Nunes, Light et Mason (1993) mettent en évidence l'importance de donner un
fondement à la formule d'aire d'un rectangle basé sur le dénombrement d'unités d'aire
associé à la multiplication plutôt que sur le produit de longueurs.
La prise en compte de l'approche de l'aire en tant que grandeur autonome permet de
dépasser un certain nombre de difficultés des élèves. Cette approche permet en particulier
d'établir des liens entre les cadres géométrique et numérique.
Cependant, cette approche n'est pas suffisante pour rendre compte de l'acquisition du
concept d'aire par les élèves. Les relations entre l'aire et les longueurs (relativement
marginales quand on considère l'aire en tant que grandeur autonome) sont fondamentales
dans la construction du concept d'aire et au niveau de collège cette relation prend une
place particulièrement importante.
3.3. L'aire en tant que grandeur bidimensionnelle l'acquisition des
relations entre aire et longueur
La construction de l'aire en tant que grandeur bidimensionnelle est un processus
complexe et de longue durée qui s'insère dans le cadre plus large de l'acquisition des
relations entre les différentes grandeurs géométriques.
A ce propos, Rogalski met en évidence que "ces relations mettent en oeuvre un double
processus de différenciation et de coordination : différenciation de propriétés
simultanément présentes dans un objet ou une figure (la longueur du bord / la surface
15. Deux surfaces sont équidécomposables quand il est possible d'obtenir une partition finie de chacune
d'elles en morceaux deux à deux superposables.

63
intérieure .. la surface d'un solide / son volume ...) et coordination de ces propriétés de
façon non seulement qualitative mais quantitative, aboutissant aux "équations aux
dimensions" (Rogalski, 1982, p.348)
Les résultats des évaluations du Ministère de l'Éducation Nationale et de l'APMEP
présentés précédemment montrent que la dissocÏ

64
additive des longueurs, dans des tâches de production d'une surface de même aire qu'une
autre surface donnée au départ. Dans ce type de procédure, il y a invariance du périmètre
mais l'aire n'est pas conservée. On ne peut pas savoir a priori si ces procédures se
justifient par une confusion entre l'intérieur de la surface et son bord (l'élève ne sait pas
très bien de quel objet il s'agit) ou s'il y a mise en oeuvre d'un raisonnement faux de type
"l'aire et le périmètre varient dans le même sens" (ce qui "autorise" l'élève à conserver le
périmètre, par compensation additive des longueurs des côtés, pour obtenir une surface
de même aire).
Les raisonnements de type "aire et périmètre varient dans le même sens" apparaissent à
plusieurs reprises et dans des types de situations diverses, dans les recherches
développées par Hart (1981). Dans des tâches de comparaison des aires et des périmètres
de surfaces équidécomposables, un nombre significatif d'élèves (autour de 30%)
affirment que le périmètre ne change pas, parce que l'aire est conservée. La même
confusion est observée lorsqu'on demande de produire un rectangle de même périmètre
qu'un rectangle donné au départ: 36% des élèves construisent un rectangle de même aire.
Un autre type d'erreur à propos de l'aire et du périmètre est celui qui concerne les
moyens de calcul. Les résultats des évaluations montrent que les élèves "fabriquent" des
formules plus ou moins fondées, dans lesquelles interviennent les longueurs, l'aire et le
périmètre.
Dans les pratiques sociales où la mesure de l'aire intervient (dans le contexte de
l'agriculture, par exemple) on trouve également des processus de "fabrication" de
formules qui ne correspondent pas à celles enseignées à l'école. Les recherches
développées par Acioly (1994) et par Kjinski (1993) analysent les procédures de mesure
mises en oeuvre dans le contexte de l'agriculture par les travailleurs de canne à sucre du
Nordeste du Brésil et par des travailleurs du "mouvement des travailleurs ruraux sans
terre" au Sud du Brésil. Il faut mettre en avant que la problématique de ces sujets n'est
pas celle de l'apprentissage scolaire et que les objets qu'ils manipulent ne sont pas des
surfaces du micro-espace d'une feuille de papier, mais des extensions de terrains. Il leur
faut trouver une mesure approchée de l'aire, pour calculer le salaire, pour partager les
terrains, pour prendre des décisions pratiques.
Ces recherches s'éloignent un peu de notre objet d'étude (centré sur les apprentissages
scolaires) mais elles permettent de mettre en évidence des procédures erronées proches de
celles mises en oeuvre par les élèves de l'école élémentaire et du collège. Nous pouvons
remarquer parmi les méthodes de calcul de l'aire employées:
- l'identification d'un terrain "à quatre côtés connus" via un processus de
modélisation, à un rectangle de même périmètre, dont les côtés sont calculés par la
moyenne des côtés opposés;
-l'identification d'un terrain "à quatre côtés connus" à un carré de même périmètre;
- l'identification d'un terrain de forme triangulaire; à un quadrilatère dégénéré (l'un des
côtés est nul).
Acioly fait remarquer que les Égyptiens primitifs utilisaient des méthodes de calcul de
l'aire similaires à celles des agriculteurs de la canne à sucre "tous leurs calculs de surface
sontfondés sur celui du rectangle, qu'ils ont déterminé exactement comme étant égal au

65
produit de deux côtés adjacents." (Acioly, 1994, p. 158)
A ce propos, Perrin-Glorian (1992) remarque que "les élèves ont tendance à recourir à
des procédures périmétriques dans des situations où le calcul d'aire risque d'amener des
résultats approchés ou des processus infinis. Par exemple, un élève de CM2 réclame de la
ficelle pour 'transformer en rectangle' une surface aux bords arrondis. {. .. ] "Les gestes
de l'élève montrent cependant qu'il cherchait une compensation perceptive des aires.
Perrin-Glorian interprète ceci de la façon suivante : "ce recours aux procédures
périmétriques ne veut pas dire que les enfants confondent aire et périmètre de la surface. Il
semble plutôt qu'ils pensent qu'on peut tirer des informations sur l'un à partir
d'informations sur l'autre, par exemple leurs variations ne sauraient que se produire dans
le même sens ou bien on se réfère à l'un quand il est trop coûteux d'utiliser l'autre [...]"
(Perrin-Glorian, 1992, p. 3)
Des erreurs concernant les moyens de calcul ont été également analysées dans les
recherches sur le volume menées par Vergnaud et al (1983). En effet, il a été observé,
dans le traitement de situations de calcul du volume, la mise en oeuvre de procédures
périmétriques, de procédures de type surface et de procédures mixtes. Les élèves
cherchent à prendre en compte toutes les dimensions du solide, mais ils ne savent pas
comment les articuler. A ce propos, Vergnaud et al mettent en évidence la difficulté de
mise en oeuvre d'une composition multiplicative des dimensions ce qui s'insère dans
l'étude du champ conceptuel des "structures multiplicatives".
Les difficultés concernant le passage d'opérations de compensations additives ­
suffisantes pour traiter les situations de conservation des longueurs - aux compensations
multiplicatives - nécessaires pour traiter les situations de conservation des aires sont
abordées également dans les recherches menées par Vinh Bang et Lunzer (1965) à propos
de l'étude des conservations. Il s'agit ici de l'acquisition de l'indépendance entre l'aire et
le périmètre du point de vue de leurs variations respectives. Les situations expérimentales
étudiées par Vinh Bang et Lunzer sont centrées sur des surfaces usuelles (rectangles,
parallélogrammes, triangles...), essentiellement du point de vue dynamique et il y a
toujours conservation de l'aire avec variation du périmètre ou réciproquement.
On trouve chez Balacheff (1988) une expérimentation en classe de quatrième autour
des variations respectives de l'aire et du périmètre pour le cas des rectangles.
Contrairement à Vinh Bang et Lunzer, Balacheff étudie aussi bien le cas de conservation
de l'aire (respectivement du périmètre) avec variation du périmètre (respectivement de
l'aire) et celui des variations simultanées des deux mesures.
L'analyse des réponses des élèves et en particulier des "retours en arrière" montre que
tous les binômes acceptent que rectangles de même aire peuvent avoir des périmètres
distincts et rectangles de même périmètre peuvent avoir des aires différentes. Ce n'est pas
le cas des assertions à propos des variations simultanées de l'aire et du périmètre. Tous
les binômes affirment que "l'aire et le périmètre de rectangles varient dans le même sens".
et la production de contre-exemples lors du traitement des autres assertions ne provoque
pas la mise en cause de cette affirmation.

66
Balacheff fait l'hypothèse que la résistance de cette difficulté est renforcée dans le
cadre numérique par le théorème en acte "si on augmente une somme (respectivement un
produit) alors chacun des termes (respectivement des facteurs) est augmenté".
Nous avons étudié nous-même, lors de notre mémoire de DEA, le problème de la
dissociation de l'aire et du périmètre de rectangles16. Nous avons cherché en particulier à
approfondir l'analyse des sources de difficulté des élèves liées au cadre numérique,
notamment le rôle de la mise en oeuvre du théorème en acte énoncé par Balacheff.
L'expérimentation que nous avons faite en classe de cinquième, à ce moment là, a montré
que:
- sur une centaine de copies analysées, à peu près un tiers des élèves n'ont pas acquis
la formule de l'aire et/ou celle du périmètre d'un rectangle;
- la mise en cause de "deux rectangles de même périmètre ont même aire" paraît
antérieure à celle de "l'aire et le périmètre d'un rectangle varient dans le même sens";
- le "domaine de validité" pour les variations de l'aire et du périmètre de rectangles en
sens opposés est en général restreint l ? : étant donné un rectangle A, on a beaucoup plus
de chance de produire des exemples de rectangles dont l'aire et le périmètre sont tous les
deux plus grands (ou plus petits) que ceux de A que des rectangles d'aire plus grande et
périmètre plus petit (ou réciproquement)
- certaines des réponses des élèves peuvent être interprétées comme la mise en oeuvre
du théorème en acte selon lequel si on augmente une somme (respectivement un produit)
alors chacun des termes (respectivement des facteurs) est augmenté) et/ou d'un autre
théorème en acte proche à celui-ci: "une somme (respectivement un produit) ne peut
augmenter si l'un des termes (respectivement des facteurs) diminue".
Conclusion
Le panorama que nous venons de présenter permet
- de mettre en évidence l'importance et la variété de difficultés d'apprentissage autour
du concept d'aire de surfaces planes
- d'analyser et comprendre les sources d'un certain nombre d'erreurs commises par les
élèves.
Les séquences d'apprentissage construites lors des recherches antérieures favorisent le
dépassement de certaines difficultés mais se montrent insuffisantes pour permettre de
dépasser des erreurs liées à la dissociation de l'aire et du périmètre de surfaces usuelles et
à l'usage des formules d'aire.
Le thème de l'apprentissage du concept d'aire présente donc une ouverture et demande
à être approfondi. Nous avons ressenti en particulier la nécessité de construire un outil
16. Voir (Moreira Baltar et Comiti, 1993).
17. D'autant plus que dans les observations chez Balacheff et dans notre expérimentation les élèves
cherchent les contre-exemples dans l'ensemble des entiers (les décimaux ne sont pratiquement pas pris en
compte).

67
d'analyse locale, mais permettant en même temps de prendre en considération la
construction du concept d'aire d'un point de vue globale. Pour cela, nous avons
développé, dans le cadre de la théorie des champs conceptuels, une étude des situationsproblème
qui peuvent être traitées a priori au niveau de l'école élémentaire et du collège.
Cette étude devrait faire l'objet d'un article dans un numéro ultérieur de « petit x ».
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MOREIRA BALTAR P. (1996), Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes:
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VERGNAUD et al., (1983), Didactique du concept de volume. Recherches en didactique des
mathématiques, n04.1, La Pensée Sauvage, Grenoble.
VINH BANG et LUNZER, (1965), Conservations spatiales. Etude d'épistemologie génétique. PUF, Paris.

COURRIER AUX LECTEURS
ERRATUM
Nous avons reçu une lettre de Gérard KUN1Z que voici :
Dans la note de lecture concernant le livre de Raymond Duval (note de lecture parue
dans « petit x » n° 42), une coquille rend difficilement compréhensible le dernier
paragraphe de la page 30 : "argumentation" est devenu "augmentation". Peut-être
faudrait-HIe signaler aux lecteurs.
C'est chose faite.
Acceptez nos
hlImbles excuses
pOLIr ces quelques
erreurs...
« petit x» nO 43, p. 69, 1996 - 1997

ACTES DE LA HUITIÈME ECOLE D'ÉTÉ DE DIDACTIQUE
DES MATHÉMATIQUES
22 - 31 Août 1995 - Saint-Sauves d'Auvergne
Organisée par l'Association pour la Recherche en Didactique des
Mathématiques, l'école d'été est un temps fort de débat de la communauté française de
didactique des mathématiques: c'est un lieu d'échanges sur les savoirs et les questions
vives de la didactique et ses relations avec la formation des enseignants de
mathématiques.
La huitième Ecole d'Eté a été organisée autour de quatre thèmes:
- L'enseignant dans les théories en didactique des mathématiques,
- La prise en compte du cognitif en didactique des mathématiques,
- La modélisation dans l'enseignement des mathématiques,
- la didactique de l'algèbre.
Les actes rassemblent en 424 pages les 9 cours et les 33 travaux dirigés réalisés
pendant l'école.
Un document en 2lx29,7 au prix de 120 F. (port compris)
ACTES DE LA HUITIÈME ECOLE D'ETÉ (1995)
(Bon de commande)
NOM ou ORGANISME .
Adresse précise .
Code postal Ville .
Bulletin à renvoyer à IREM de Clermont-Fd - Complexe Scientifique des Cézeaux ­
63177 - AUBIERE cedex accompagné du règlement de 120 F. à l'ordre de l'agent
comptable de l'Université Blaise Pascal ou d'un bon de commande de votre
établissement.
« petit x » n° 43, p. 70, 1996 - 1997

SOMMAIRES DES NUMEROS DE « petit x » DE 1983 À 1996
ANNEE
1983: les 3 numéros 95 F
NUMERO 1 (35 F)
NUMERO 2 (35 F)
- Un journal pour le premier cycle "petit x" - Des "problèmes ouverts" dans nos classes
(N. BALACHEFF).
de premier cycle (G. ARSAC, M. MANTE).
- Instrumentation de notions - Les objectifs "implicites" de
mathématiques. Un exemple: la symétrie
l'enseignement de l'électrocinétique au
(R. GRAS). premier cycle
- C.P.P.N (B. CAPPONI, Ph. CLAROU). (S. JOSHUA)
- Les cosmonautes ... une recherche du - Activité... Graphique (B. CAPPONI,
groupe "apprentissage du raisonnement" de
Ph. CLAROU).
l'IREM de Grenoble (M. LEGRAND).
- Représentation d'assemblages de cubes au
- Le musée : une nouvelle arithmétique, cycle moyen et en cinquième (A. BESSOT,
mise en vers.
M. EBERHARD, M.Th. CHABROULET).
- Le musée: Les Eléments de géométrie de
Clairaut.
NUMERO 3 (35 F)
- Représentation d'assemblages de cubes au cycle moyen et en cinquième (deuxième partie) (A.
BESSOT, M. EBERHARD, M.Th. CHABROULET).
- Mathématiques en L.E.P : le nombre d'or (A. NICOLAS).
- Activité... Equation (Ph. CLAPPONI).
- La valeur absolue: difficultés majeures pour une notion mineure (A. DUROUX).
- Expérience... Isolant ou conducteur? (M. LEGRAND).
- Qu'est-ce que le courant électrique? (M. LEGRAND).
- Le musée: Traité élémentaire d'algèbre de Tombeck.
ANNEE 1984
NUMERO 4 : épuisé.
NUMERO 5 : épuisé
- Apprentissage de la démonstration - Erreurs et incompréhensions en algébre
(D. GAUD, IP. GUICHARD).
élémentaire (L. BOOTH).
- Activité... Pliage (Ph. CLAPPONI). - Eléments pour J'élaboration d'activités de
- La notion d'élément chimique au premier calcul algébrique en 1er cycle
cycle (M. GASSENO, R. VENTO).
(B. CAPPONI, Ph. CLAROU).
- La géométrie des transformations : une - Le passage de l'arithmétique à l'algèbrique
approche en classe de 4ème et 3ème
dans l'enseignement des mathématiques au
(R. METREGISTE).
collège (1ère partie) (Y. CHEVALLARD).
- Courrier des lecteurs.
- Le musée: les géométries de Sébastien Le
Clerc.
NUMERO 3 (35 F)
- Représentation d'assemblages de cubes au cycle moyen et en cinquième (deuxième partie) (A.
BESSOT, M. EBERHARD, M.Th. CHABROULET).
- Mathématiques en L.E.P : le nombre d'or (A. NICOLAS).
- Activité... Equation (Ph. CLAPPONI).
- La valeur absolue: difficultés majeures pour une notion mineure (A. DUROUX).
- Expérience... Isolant ou conducteur? (M. LEGRAND).
- Qu'est-ce que le courant électrique? (M. LEGRAND).
- Le musée: Traité élémentaire d'algèbre de Tombeck.
«petit x» nO 43, pp. 71 à 78, 1996 - 1997

72
ANNEE 1985
NUMERO 7 (Les Numéros 7 et 8 sont
vendus ensemble: 80 F).
- Problèmes de l'évaluation des savoirs
mathématiques (A. BODIN).
- La matière, comment c'est fait ?
Représentation des élèves et pré­
sentation des manuels (première partie)
(D. BAIN, F. BERTRAND).
- Quelques aspects de la symétrie
orthogonale pour des élèves de classes de
4ème et 3ème (D. GRENIER).
- Activité... orange (Ph. CLAPPONI).
- Publications des IREM pour le premier
cycle: 1983-1984.
- Activi... TO 7 : Simplif. Entraînement à
la simplification de fractions en quatrième
(B. CAPPONI, Ph. CLAROU).
- Le musée : Traité de Géométrie
Supérieure.
NUMERO 8 (Vendu avec le numéro 7
uniquement).
- Aires de surfaces planes (2ème partie)
(R. DOUADY, M.J. PERRIN).
- Activités... Hex (Ph. CLAPPONI).
- La matière, comment c'est fait ?
Représentation des élèves et présentation des
manuels (deuxième partie) (D. BAIN,
F. BERTRAND).
- Sur les cercles qui se "frôlent"
(J. WEBER-KUBLER).
- Un utilitaire pour le TO 7. Catalogue
disquette sur écran ou sur imprimante
(G. MOUNIER).
- Activité... Carpette (Ph. CLAPPONI).
- Etude de modèles érronés utilisés par les
élèves du 1er cycle en algèbre, un essai
thérapeutique (M. AUBREE).
- Un utilitaire pour le TO 7. Tran­
fert du D.O.S sur disquette (G. MOUNIER).
- Activité... Boîte (Ph. CLAPPONI).
NUMERO 9: épUise.
- Apprentissages numériques au collège. Un exemple d'utilisation de l'informatique dans une démarche
pédagogique (première partie) (B. CAPPONI, Ph. CLAROU).
- Activité... Ficelle (Ph. CLAPPONI).
- Grandeurs et relations algébriques: pratique courante des étudiants en physique (L. VIENNOT).
- La résolution d'un problème non routinier en géométrie (A. CHEVALlER).
- Activité... découpes (Ph. CLAPPONI).
- Activi... TO 7 : BING BANG: un logiciel d'entraînement pour les additions et les soustractions
(B. CAPPONI, Ph. CLAROU).
- Le musée: La composition des forces dans le cours de mécanique de BEZOUT.
ANNEE 1986
NUMERO 10 (40 F)
- Représentation des fractions et des
nombres décimaux chez des élèves de CM 2
et du collège (M.J. PERRIN-GLORIAN).
- Activité... lettres (Ph. CLAPPONI).
- La physique «qualitative» au collège
ambiguïtés et difficultés (S. JOSHUA).
- Activité... jeux de cubes (Ph.
CLAPPONI).
- Activité... vaisselle (Ph. CLAPPONI).
- Mathias ou «un moment de
compréhension» (F. CONNE).
- Publications des IREM pour le premier
cycle: 1984-1985.
- Le musée: A propos de l'irrationalité de
n.
NUMERO 11 (40 F)
- La géométrie construite mise à l'essai
(F. PLUVINAGE, J.C. RAUSCHER).
- Représentation d'un objet de l'espace: la
construction d'un problème (F. BONAFE).
- Activité unités (Ph. CLAPPONI).
- Activité trouve x (Ph. CLAPPONI).
- Une banque d'exercices de mathématiques:
Bruyère (D. BOISNARD).
- Activités... graphique (Ph. CLAPPONI).
NUMERO 12 (40 F)
- Ruptures dans le statut mathé-matique des nombres négatifs. (G. SCHUBRING)
- Symétrie orthogonale: des élèves français et japonais face à une même tâche de construction (B.
DENYS, D. GRENIER).
- Peut-on corriger des devoirs par ordinateur? (G. LOPATA).
- Activité... Magique (Ph CLAPPONI).
- On ne l'a pas démontré, on n'a pas l'droit d'le faire (N. BALACHEFF, E. COULOMB).
- Activité... Tourne (Ph CLAPPONI).

73
ANNEE 1987
NUMERO 13 Spécial Sixième (45 F)
- Présentation (A. BODIN, R. GRAS,
M. MANTE).
- Attendus et intentions des nouvelles
propositions de programmes en France
(A. BAREIL).
- Activité... Frise (PH. CLAPPONI).
- Elaboration de l'outil, symétrie
orthogonale en sixième (D. GAUD).
- Activité... Course (PH. CLAPPONI).
- Programmes de construction-angles
(D. GAUD).
- Activité... La bonne longueur
(PH. CLAPPONI)
- La proportionnalité en classe de sixième
(A. BODIN).
- Activité... Ovale (PH. CLAPPONI).
- Les fractions en sixièmes (A. MARTIN,
CH. MASSOT)
- "Organisation et gestion de données"
(B. COSTE, P. KOBER)
- Publications des IREM pour la classe de
6ème 1986-1987.
NUMÉRO 14-15 (85 F)
- Apprentissages numériques au collège
(deuxième partie)
(B. CAPPONI, Ph CLAROU).
- La résolution de problèmes comme
activité de recherche : un instrument de
changement conceptuel et méthodologique
(D GIL PEREZ et al.).
- Représentation des élèves en
mathématiques et en physique sur les
vecteurs et les grandeurs vectorielles lors de
la transition collège-lycée
(CH GENIN, J MICHAUD-BONNET,
A. PELLET).
- Publications des IREM pour le premier
cycle 1986-1987.
- Micro-ordinateur et enseignement des
mathé-matiques un enseignement
expérimental d'introduction au basic à Halle
(L. FLADE, M. PRUZINA).
- Activité... Tangram (PH CLAPPONI).
- Le sphynx et les autres... jeux et activités
arithmétiques orientés vers la formulation et
la validation de conjectures (B. CAPPONI).
- Un essai d'expérience didactique :
l'enseignement mathématique à l'école
élémentaire de Bonneuil sur Marne
(1. BLOCH).
Les numéros 13 et 14-15 sont vendus ensemble au prix de 115 Frs
ANNEE 1988
NUMERO 16 (45 F)
- Mémoire sur une Inconnue (A.
SAINFORT).
- Cabri-Géomètre: un CAhier de BRouillon
Informatisé pour la résolution de problèmes
de géométrie plane (F. BELLEMAIN).
- Activité... Jeux de cubes (Ph.
CLAPPONI).
- Une étude sur les difficultés
d'enseignement des nombres réels
(C. MARGOLINAS).
- Activité... Pour un carreau de plus
(Ph CLAPPONI).
- L'essence des mathématiques
(B. FUNTOWICZ).
- Activité... Figure (Ph. CLAPPONI).
NUMERO 17 (45 F)
- Une étude sur les représentations du
mouvement comme moyen d'accéder au
concept de fonction ou de variable
dépendante (S. RENE DE COTRET).
- Activité... Marelle (Ph. CLAPPONI).
- Mesure et démonstration. Un exemple
d'activité en classe de quatrième
(B. CAPPONI).
- Le puzzle (C. MORIN).
- Additions utilisant une fois et une seule,
chacun des dix chiffres 0, l, ... , 9
(J. KUNTZMANN).
- Activité Ajoute (Ph. CLAPPONI).
- Activité Enlève (Ph. CLAPPONI).
- Aide logicielle aux problèmes de démonstration
géométrique dans l'enseignement
secondaire (R. GRAS).
NUMERO 18 spécial LOGO (45 F)
- Présentation (D. GRENIER).
- «Schèmes informatiques programmables» : utiliser l'environnement LOGO pour construire des
situations d'apprentissage de tracés graphiques (P. MENDELSHON).
- Présentation et analyse d'activités de programmation en LOGO (C. DUPUIS et al.).
- Minilogo : un logiciel adaptable (R. GUILLERMARD).
- LOGO géométrique et l'école élémentaire (A. MYX).
Les numéros 16, 17 et 18 sont vendus ensemble au prix de 115 Frs.

74
ANNEE 1989
NUMERO 19
- Aspects analytiques et aspects analogiques
de la proportionnalité dans une situation de
formulation (S.B. SOKONA).
- Activité... Un angle à l'aide de l'autre
(Ph. CLAPPONI).
- L'E.D.A au secours de l'O.G.D
concernant l'enseignement de la statistique
dans les collèges (M. JULLIEN et G. NIN).
- Activité... Angles (Ph. CLAPPONI).
- Le passage de l'arithmétique à l'algèbrique
dans l'enseignement des mathématiques au
collège (2ème partie) (Y. CHEVALLARD).
NUMERO 20
- Racines carrées : conceptions et mises en
situations d'élèves de quatrième et troisième
(T. ASSUDE).
- Activité... La plus grande surface
(Ph. CLAPPONI).
- Les échelles : préparation d'une situation
d'enseignement en classe de cinquième
(A. BODIN).
- Activité... Le plus grand volume
(Ph. CLAPPONI).
- Quel avenir pour les classes
technologiques? Pour l'ouverture d'un débat
(J. TONNELLE).
- Invitation à une réflexion sur le rôle du
langage dans l'enseignement des
mathématiques (F. CONNE et L. PAULI).
NUMERO 21
- Symétrie centrale: évolution des procédures d'élèves dans un contexte demi-tour (R. RIVOIRE).
- Activité... Angles... dans un polygone régulier (Ph. CLAPPONI).
- Présentation d'un modèle particulaire cinétique des gaz à des élèves de 6ème. Obstacles et
acquisitions (M.G. SÉRÉ, M. MOPPERT).
- Activité... Angle... inscrit, angle au centre (Ph. CLAPPONI).
- Information: la fondation Anatole Decerf.
- Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de collège (G. BROUSSEAU).
- Activité... Spirale (Ph. CLAPPONI).
- Sommaires petit x 1983-1989.
Les numéros 19-20-21 sont vendus ensemble au prix de 130 F (pas de vente au numéro).
ANNEE 1989·90
Numéro 22 (50 F)
- Analyse de deux situations-problèmes
autour de la proportionnalité (M. C.
GALAI, M. GERENTE,D. GRENIER, R.
RIVOIRE)
- Une activité pour l'introduction de la
géométrie analytique tridimensionnelle
en 3ème à l'aide de l'ordinateur (1. OSTA)
- Activité... Une boîte et des sucres (Ph.
CLAPPONI)
- Psychologie du développement cognitif
et didactique des maths: un exemple: les
structures additives (G. VERGNAUD)
- Activité... Quatre fois ? (Ph.
CLAPPONI)
- Activité... Emboîte (Ph. CLAPPONI)
- Quelques remarques à propos de
l'opération d'évaluation décidée par le
Ministère pour la rentrée 89-90 et
destinée à l'ensemble des élèves entrant
en classe de sixième (A. BODIN)
- Activité...Construction : triangle (Ph.
CLAPPONI)
Numéro 23 (50 F)
- Le passage de l'arithmétique à l'algébrique
dans l'enseignement des mathématiques au
collège (3ème partie) (Y. CHEVALLARD)
- Activité... Camion (Ph. CLAPPONI)
- La proportionnalité en géométrie : le
théorème de Thalès (J. MICHONNEAU,
N. PFAFF)
- Activité... Triangles (Ph. CLAPPONI)
- Utiliser des situations-problèmes pour
enseigner les sciences physiques
(G. ROBARDET)
- Courrier des lecteurs (L. FELIX)
- Activité... Essence (Ph. CLAPPONI)

75
Numéro 24 (50 F)
- L'aire et la mesure (M.J. PERRIN-GLORIAN)
- Géométrie et informatique : vers la médiatrice. L'expérimentation : lieu d'interaction entre la
problématique du chercheur et cel1e de l'enseignant (F. BELLEMAIN, M. GERENTE)
- Activité... Piscine (Ph. CLAPPONI)
- L'algèbre avant la lettre (A. ARCAVI, A. FRIEDLANDER, R. HERSHKOWITZ)
- Activité... Trajets (Ph. CLAPPONI)
- Le calcul algébrique au col1ège. Etude d'un exemple (M. JULLIEN)
- Activité Tuyaux (Ph. CLAPPONI)
- Activité Pétanque (Ph. CLAPPONI)
Les numéros 22-23-24 sont vendus ensemble au prix de J30 F (pas de vente au numéroJ.
ANNEE 1990-91
Numéro 25 (60 F)
Numéro 26 (55 F)
- Techniques susceptibles de faciliter les - Analyse de processus en environnement
diagnostics individuels et col1ectifs (A.
informatique (M. ARTIGUE)
BODIN)
- Activité... La rosace du temple de Diane
- Stratégies de prise en compte de l'erreur (Ph. CLAPPONI)
par des enseignants de mathématiques en
- Initiation à la démonstration en 4ème,
liaison avec certaines de leurs compte rendu d'expérimentation (A. PEIX,
représentations (S. ROUSSET-BERT)
M. LE POULICHET)
- Essai d'élaboration d'une stratégie - Activité... Il Y a des fractions dans l'air
didactique. Trois tentati ves pour
(Ph. CLAPPONI)
enseigner la notion de force - Les erreurs en arithmétique, un siècle de
newtonnienne à un groupe d'étudiants en
présomption américaine (M. BELANGER)
formation continue (J. VIARD) - Activité... Fractions dans un
- Activité ... De l'eau et du sucre (Ph. paral1élogramme (Ph. CLAPPONI)
CLAPPONI)
- Géométrie ou trahison des dessins? (F.
REYNES)
- Activité... Carrés, rectangles (Ph.
CLAPPONI)
- Activité... Losanges (Ph. CLAPPONI)
- Activité... Parallélogrammes (Ph.
CLAPPONI)
Numéro 27 (55 F)
- De la figure vers la démonstration (D. BERGUE, J. BORREANI, B. POULAIN)
- Activité ... Cercle et parallélogramme (Ph. CLAPPONI)
- Autour de l'enseignement de la géométrie - première partie (Y. CHEVALLARD)
- Activité... Fractions dans un carré (Ph. CLAPPONI)
- Cabriole.
Les numéros 25-26-27 sont vendus ensemble au prix de J30 F (pas de vente au numéroJ.

76
ANNEE 1991-92
Numéro 28 (60 F)
Numéro 29 (60 F)
- Une introduction à la perspective cavalière - Une utilisation du logiciel "Géomètre" en
en classe de sixième-observation didactique
5ème (D. BERGUE)
des premières activités (P. LAUR, R.
- Activité... La plus grande aire (Ph.
NOIRFALISE)
CLAPPONI)
- Activité... Fractions (Ph. CLAPPONI) - Autour de l'enseignement de la géométrie
- Connaissances d'élèves maliens à propos au collège (2ème partie) (A MERCIER, J.
de la racine carrée (A BRONNER)
TONNELLE)
- Activité... Le journal (Ph. CLAPPONI) - Désignations dans un tableur et interaction
- Lecture de textes mathématiques par des avec les connaissances algébriques (B.
élèves (14-15 ans) : une expérimentation (c.
CAPPONI)
LABORDE)
- Activité... Comparons les aires (Ph.
- Activité... Dodécagone (Ph. CLAPPONI) CLAPPONI)
Numéro 30 (55 F)
- Le caractère expérimental de l'activité mathématique (Y. CHEVALLARD)
- Activité... Un triangle et ses bissectrices (Ph. CLAPPONI)
- Réflexions sur les représentations, les conceptions et les compétences (A BODIN)
- Activité... Moitié? (Ph. CLAPPONI) .
- Une méthode d'apprentissage: activité losange (M. BENOIS, J. CABANAC, D. COSI,
1. EDOUARD, M. GUILLARD, M. GUILLARD, AM. LAFFARGUE)
- Activité... Un triangle à partir de ses bissectrices (Ph. CLAPPONI)
- Expérimentation du tutoriel Mentoniezh en classe de quatrième (D. PY, B. EL GASS)
- Activité... Deux bissectrices pour un angle... (Ph. CLAPPONI)
Les numéros 28-29-30 sont vendus ensemble au prix de 130 F (pas de vente au numéro).
ANNEE 1992-93
Numéro 31 (60 F)
Numéro 32 (60 F)
- Enseigner la géométrie à l'aide de - Didactique de la résolution de problèmes
schémas-concepts (H. MANSFIELD, J.
(F. PLUVINAGE)
HAPPS)
- Analyse de similarités et d'implications
- Activité... 4 cadeaux de Noël (Ph. entre procédure d'élèves dans de courtes
CLAPPONI)
démonstrations de géométrie (A LARHER)
- Proportionnalité, agrandissement et échelle - Activité... Itinéraires 1 (Ph. CLAPPONI)
(J. P. LEVAIN)
- Réflexions didactiques autour d'une
- Activité... Canon (Ph. CLAPPONI) situation d'enseignement de l'équation de la
- Argumenter, démontrer, expliquer droite (R. FLORIS)
continuité ou rupture cognitive ? (R.
- Le puzzle de Lewis Carroll. Modèle local,
DUVAL)
modèle régional (G. NIN)
- Activité... De drôles de nombres (Ph. - Activité... des bols et des verres (Ph.
CLAPPONI)
CLAPPONI)
- Et si on tirait un trait sur le ... trait de
fraction? (F. REYNES)
Numéro 33 (60 F)
- Autour de l'enseignement de la géométrie au collège (3ème partie)(M. MERCIER, J. TONNELLE)
- Activité... Le bouchon et l'éléphant (Ph. CLAPPONI) .
- Modifications de menus dans cabri-géomètre: des symétries comme outils de construction (B.
CAPPONI)
- Activité Avec 2, 3, 4 chiffres (Ph. CLAPPONI)
- Activité Des familles de carrés (Ph. CLAPPONI)
- Narration de recherche: un nouveau type d'exercice scolaire (A CHEVALIER)
Les numéros 31-32-33 sont vendus ensemble au prix de 130 F (pas de vente au numéro).

77
ANNEE 1993-94
Numéro 34 (65 F)
- Difficultés rencontrées par des élèves de
cinquième en ce qui concerne la dissociation
aire/périmètre pour des rectangles (P.
MOREIRA BALTAR, C. COMITI)
- Activité... Stationnement (Ph.
CLAPPONI)
- L'influence du dessin sur la rédaction d'une
démonstration (C. SOUVIGNET)
- Activité ... Drôles de découpages (Ph.
CLAPPONI)
- Activité... Carrés qui roulent (Ph.
CLAPPONI)
- Les répercussions des changements de
programme entre 1964 et 1989 sur
l'enseignement du théorème de Thalès (Y.
MATHERON)
Numéro 35 (65 F)
- Contraintes de fonctionnement des
enseignants au collège: ce que nous apprend
l'étude de "classes faibles"
M.J. PERRIN GLORIAN)
- Activité... Carrés et rectangles sur
quadrillage (Ph. CLAPPONI)
- Ecologie de l'objet "racine carrée" et
analyse du curriculum (T. ASSUDE)
- Activité... Identités (Ph. CLAPPONI)
- Le concept d'égalité: clef ou verrou? (F.
REYNES)
- Activité... Spaghetti (Ph. CLAPPONI)
- Le Musée : Eléments de géométrie de
Clairaut (R. NOIRFALISE)
- Activité... Partage d'un triangle (Ph.
CLAPPONI)
- Activité... Des bissectrices parallèles (Ph.
CLAPPONI)
Numéro 36 (65 F)
- Problèmes de construction et de rédaction de procédés (N. RIVAL)
- Activité ... Pyramides (Ph. CLAPPONI)
- Une étude du contrat didactique à propos de la racine carrée (A. BESSOT, LE TRI HOAI AN)
- Activité Croix dans un carré (Ph. CLAPPONI)
- Activité Histoires de rail (Ph. CLAPPONI)
- Le Brevet bien tempéré (D. WOILLEZ, A. BERTE)
- Activité ... Des bissectrices parallèles (Ph. CLAPPONI)
Les numéros 34-35-36 sont vendus ensemble au prix de J30 F (pas de vente au numéro).
ANNEE 1994-95
Numéro 37 (65 F)
- Vérité des axiomes et des théorèmes en
géométrie. Vérification et démonstration (G.
ARSAC)
- Activité ... Citerne (Ph. CLAPPONI)
- L'équivalence logique en Collège
fantasme didactique ou impératif catégorique
? (F. REYNES)
- Un nouveau modèle de l'algèbre
élémentaire comme alternative à
l'«arithmétique généralisée» (l GASCON)
- Activité ... L'argent du football (Ph.
CLAPPONI)
- La mesure en géométrie confiance et
utilisation. Une expérience en classe de
seconde (S. THIZON)
Numéro 38 (65 F)
- Une analyse de pratiques des élèves et des
enseignants de mathématiques à partir du
cahier de l'élève : deux études de cas (R.
NOIRFALISE)
- Activité ... Avec une règle (Ph.
CLAPPONI)
- Trian~les isocèles et cercles au collège (A.
BERTE et D. WOILLEZ)
- Activité ... Armoire (Ph. CLAPPONI)
- Activités de représentation et de
modélisation dans une approche exploratoire
de la mathématique et des sciences. Première
partie : Les activités de représentation (c.
BÉGUIN, J-L. GURTNER, O. DE
MARCELLUS, M. DENZLER, A.
TRYPHON, B. VITALE)
- Activité Carré hachuré (Ph.
CLAPPONI)
- Le Musée

78
Numéro 39 (65 F)
- Ricochets (F. CONNE)
- Activité ... Dessine-moi un poisson (Ph. CLAPPONI)
- La géométrie traite-t-elle des illusions d'optique? Quatre élèves aux prises avec le triangle aplati (R.
FLORIS)
- Activité ... La famille poisson (Ph. CLAPPONI)
- Réflexions à propos de l'utilisation des calculatrices dans l'enseignement (Ph. CLAROU)
- Activité ... Carré hachuré (Ph. CLAPPONI)
Les numéros 37-38-39 sont vendus ensemble au prix de 140 F (pas de vente au numéro).
ANNEE 1995-96
Numéro 40 (65 F)
Numéro 41 (65 F)
- Mathématiques et formation (J.-P. - Peut-on enseigner des méthodes ?
KAHANE)
Comment les élèves apprennent-ils des
- Réflexions à propos de l'utilisation des méthodes (C. CASTELLA, A. MERCIER)
calculatrices dans l'enseignement (Ph.
- Activité... Deux constructions (Ph.
CLAROU)
CLAPPONI)
- Activité... Dans un cube (Ph. - Quelles conceptions des nombres chez des
CLAPPONI)
élèves de troisième? (1. JACQUIER)
- Réflexions sur inégalité triangulaire et - Activités de représentation et de
distance d'un point à une droite à partir
modélisation dans une approche exploratoire
d'observations de classes (A. BERTÉ)
de la mathématique et des sciences.
- Courrier aux lecteurs: Erratum Deuxième partie: Les activités de
- Pour démarrer en géométrie et en classe de modélisation dans le contenu (c. BÉGUIN,
3ème : une situation problématique (S.
J-L. GURTNER, O. DE MARCELLUS,
PELLEQUER, A. BRONNER) M. DENZLER, A. TRYPHON, B.
- Activité... Autour d'un triangle, d'un VITALE)
quadrilatère (Ph. CLAPPONI)
- Musée
- Activité... Avec les mains (Ph.
CLAPPONI)
Numéro 42 (65 F)
- Activités de représentation et de modélisation dans une approche exploratoire
de la mathématique et des sciences. Troisième partie: Les activités de modélisation dans le discret;
conclusions générales et enjeux pédagogiques (c. BÉGUIN, J.L. GURTNER, O. DE MARCELLUS,
M. DENZLER, A. TRYPHON, B. VITALE)
- Activité... Deux carrés (Ph. CLAPPONI)
- Note de lecture: Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels
(G. KONTZ)
- Activité... Deux hexagones (Ph. CLAPPONI)
- Les outils sémiotiques du travail mathématique (Y. CHEVALLARD)
- 9ème Ecole d'été de didactique des mathématiques
- Les nombres négatifs dans l'abstrait, dans le contexte et sur la droite (A. BRUNO, A. MARTINON)
- Activité... Deux triangles (Ph. CLAPPONI)
Ces numéros ne sont pas vendus séparément. ILs ne peuvent être vendus que par abonnement.
Rappe1
abonnement pour France Etranger
1 an (96-97) 190 F 250 F
2 ans (96-97 et 97-98) 340 F 420 F

REGARDS CROISÉS SUR LE DIDACTIQUE
Un colloque épistolaire
Ouvrage coordonné par
Claudine BLANCHARD-LA VILLE, Yves CHEVALLARD, Maria-Luisa SCHUBAUER-LEONI
Ce colloque a constitué le dispositif de travail privilégié d'un sous-groupe de recherche du Groupement
Didactique du CNRS intitulé «Fonctionnement et dysfonctionnements du système didactique: échec,
thérapeutique et remédiations» .
Tout au long de la période sur laquelle s'étale cet échange, les chercheurs de ce groupe ont eu l'occasion
de se rencontrer dans divers autres lieux institutionnels tels que le Séminaire National de Didactique des
Mathématiques, les Ecoles d'été de Didactique des Mathématiques, le Centre d'Observation et
d'Expérimentation Didactique de Marseilleveyre (COED), etc. Les échanges d'idées et les évolutions des
positions respectives que ces rencontres hors groupe ont provoqués apparaissent en filigrane dans les
lettres du Colloque.
Le texte se subdivise en trois parties quasi naturellement:
- la première partie met en place les enjeux du débat épistémologique portant sur la question de
l'articulation de différentes approches théoriques en didactique des mathématiques;
- la deuxième partie rapporte le travail présenté à l'Ecole d'été de Didactique des Mathématiques d'août
1989. Les lettres de cette partie témoignent des différentes analyses d'un même corpus effectuées par
cinq chercheurs du groupe, un cours de mathématiques en classe de Première B dont la transcription est
donnée au début de cette deuxième partie ainsi que les interpellations réciproques que ces analyses ont
suscitées.
-la troisième partie retrace l'évolution du débat après cette confrontation directe à l'analyse d'un corpus
commun.
Le groupe s'est formé autour d'une question, celle du didactique. Le didactique, comme on parle du
religieux ou du politique. A ceci près qu'il s'agit en l'espèce d'une réalité culturellement
évanescente dont, à vrai dire, le monde ne parle guère de cette réalité sui generis, à la fois psychique et
sociale, que nous rencontrons dès lors que s'ébauche devant nous, voire en nous, une volonté ou un
désir d'apprendre (au double sens du mot). Dimension partout présente (et pas seulement à l'école), et en
même temps presque constamment ignorée, sinon ouvertement péjorée, tel un simple déchet de la vie
qui va même lorsque, comme ici, c'est d'apprendre des mathématiques qu'il s'agit. (Le contraste, de la
noblesse d'un savoir si légitime à l'oubli de sa vie concrète; charnelle, n'en est alors que plus vif.)
Le groupe s'est donc voué à interroger ce qui, encore aujourd'hui, est un silence de la culture.
Questionnement insistant, opiniâtre parfois qui croise par dessein des regards les uns aux autres
étrangers et va contre les convenances du monde. Le lecteur ne l'oubliera pas en ouvrant la relation de
notre voyage en cette terra incognita, où une autre «autre scène» se dessine.
Yves CHEVALLARD (Extrait de l'avant-propos)
NOM/ORGANISME/ADRESSE
BON DE COMMANDE
.............. exemplaire(s) de l'ouvrage "REGARDS CROISÉS SUR LE DIDACTIQUE" pour le prix
unitaire de 170 FF (+ 16 F. de frais de port).
Ci-joint mon règlement: par chèque ou virement postal (CCP GRENOBLE 20041-01017-0101500 J
028-22) ou par carte bancaire:
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Carte N° .. Date d'expiration ..
Signature:
Ce bon est à retourner accompagné du règlement à : EDITIONS LA PENSÉE SAUVAGE - BP 141 ­
38002 GRENOBLE Cedex
« petit x » nO 43, p. 79, 1996 - 1997

LISTE DES AUTEURS AYANT PARTICIPÉ À CE NUMÉRO
Paula Moreira Baltar
Equipe de didactique des mathématiques
Laboratoire Leibniz - IMAG
46 avenue Felix Viallet
38 000 Grenoble
Jean-Pierre Kahane
Département de mathématiques
Université de Paris-Sud, Orsay
Christian Reymonet
IUFM et IREM de Marseille
70, rue Léon Lachamp - Case 901
13288 Marseille Cedex
Jacques Tonnelle
IUFM et IREM de Marseille
70, rue Léon Lachamp - Case 901
13288 Marseille Cedex
LOUIS-JEAN
avenue d'Embrun, 05003 GAP cedex
Tél.: 04.92.53.17.00
Dépôt légal: 943 - Décembre J996
Imprimé en France