Analyse d'un semis de points et autocorrélation spatiale - UMS-RIATE

Statistiques spatiales:
Analyse d’un semis de points
et
autocorrélation spatiale
Thérèse Saint-Julien, Hélène Mathian
Ecole d’été « Satistiques, , Cartographies
et Analyse spatiale »
Yaoundé 2006

Statistiques spatiales
1. Statistiques spatiales pour décrire un
semis de points
2. Analyse de la forme d’un semis de points
2.1 Méthode des quadrats
2.2 Méthode du plus proche voisin
3. Analyse de la dépendance spatiale:
l’autocorrélation spatiale
4. Approches locales
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Les questions que l’on peut poser à un
semis de points
Quel est le centre de la distributions des
dommages causés par un tremblement de terre ?
Quelle en est la dispersion ?
Comment se répartissent les vols dans le quartier
du centre ?
Quelle est la structure spatiale des arbres morts
par chablis ? Dépend-elle de la structure spatiale
du peuplement vivant ?
L’offre de soins couvre -t–il uniformément le
territoire ?
…
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Statistiques spatiales
1. Statistiques spatiales pour décrire un
semis de points
2. Analyse de la forme d’un semis de points
2.1 Méthode des quadrats
2.2 Méthode du plus proche voisin
3. Analyse de la dépendance spatiale:
l’autocorrélation spatiale
4. Approches locales
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Semis de points
Description de la position de la distribution
spatiale:
Le point moyen G (moy(x),moy(y))
si d est la distance euclidienne, Σ ι
d 2 (i,G) est minimal
Le point médian M(med(X),med(Y))
si d est la distance de Manhattan , Σ ι
d(i,M) est minimal.
Le point de distance minimale DM tel que
Σ ι
d(i,DM) est minimal (quelle que soit la distance).
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Semis de points: indicateurs de position
Point médian: le calcul
dépendant de l’orientation
des axes, il n’est pas unique
et fait l’objet d’une
résolution graphique.
Statistiques
centrographiques:
G est plus sensible aux points
isolés que DM, mais plus
utilisé à cause du moment
d’ordre 2.
Source: N.Levine &al., 2002
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Semis de points
Description de la dispersion de la distribution
spatiale:
Distance standard : σ 2 XY =1/n Σ i d2 (i,G)
Dispersion relative : σ XY
/r où r est le rayon du cercle
de même surface (r=√ S/π)
Distance moyenne d=Σ ii’
d ii’
/(n(n-1))
Ellipse de déviation standard: ellipse tel que l’axe
d’allongement soit l’axe de variance maximal. (alors que la
distance standard définit un cercle autour du barycentre sans
orientation spécifique)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Comparaison de semis de points
Source: N.Levine &al., 2002
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple: l’offre culturelle à Strasbourg
Laboratoire Image et villeEcole
d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Statistiques spatiales
1. Statistiques spatiales pour décrire un
semis de points
2. Analyse de la forme d’un semis de
points
2.1 Méthode des quadrats
2.2 Méthode du plus proche voisin
3. Analyse de la dépendance spatiale:
l’autocorrélation spatiale
4. Approches locales
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Semis de points:
de la structure au processus
Un semis est un ensemble de localisations, résultant d'un processus
ayant engendré chacun des points.
« La structure spatiale d'un écosystème, c'est-à-dire la manière dont sont organisés dans l'espace les individus
qui le composent, joue souvent un rôle essentiel dans son fonctionnement. Pour un peuplement forestier, par
exemple, la structure spatiale détermine l'environnement local autour de chaque arbre (en particulier le nombre
de voisins) et donc influence les processus naturels comme la croissance et la mortalité (Delvaux 1981, Barot et al.
1999), voire détermine le choix d'un scénario d'éclaircies pour les peuplements faisant l'objet d'une gestion
sylvicole. La structure spatiale influence également le développement des graines et donc la régénération du
peuplement. Inversement, les processus naturels ou les actions anthropiques modifient à leur tour la structure
spatiale du peuplement qui se trouve donc dans un cycle de rétroaction schématisé par la Figure 1. »
Source: Goreaud et Pélissier, 1999
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Formes des semis dans l'espace et processus de formation
effet de voisinage:
attraction
aucun effet de
voisinage
effet de voisinage:
répulsion
Formes des semis et
processus de formation
Processus
Forme
Interprétation
- - - - = = = = + + + +
- -
+ +- - = = = = + +
- - - - = = = = + + + +
- - - - = = = = + + + +
distribution
concentrée
Un processus dominant
avec faible
concurrence spatiale=
forte polarisation=
forte concentration
distribution
aléatoire
Aucun processus
dominant dans la
formation de ce semis.
Plusieurs processus
indépendants les uns
des autres ont pu
intervenir, soit
simulranément soit
successivement.
distribution
régulière
Un processus
dominant avectrès
forte concurrence
spatiale= forte
dispersion et
réguilarité dans la
dispersion
Il existe une relation
entre la forme d’une
distribution et les
processus qui ont
présidé àsa
formation.
On peut comparer
un semis observé àun
semis théorique dont
on connaît la loi de
probabilité
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Caractérisations d’un semis de points
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple
Quelle est l’évolution de la forme des habitats dans
le Lunellois: concentration ou dispersion ?
Archaeomédes, 1997
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

1. La méthode des quadrats
Gobran I., 2004, Source:
DREIF, accidents
entre 1998 et 2002 en
Seine-Saint-Denis
•La méthode se base sur un quadrillage de l’espace. On comptabilise
dans chaque maille le nombre de points.
•Puis on dénombre les mailles en fonction du nombre de points
qu'elles contiennent.
On note N k le nombre de mailles ayant k points.
On a N mailles. Le nombre total de points est M= Σk* N k
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

La méthode des quadrats (2)
On compare la distribution observée des N k avec ce
qu'elle serait dans le cadre d'un semis de points obtenu
par processus ponctuel aléatoire stationnaire (Poisson).
processus de Poisson : processus tel que chaque maille a la même
probabilité de recevoir un point, et cette probabilité est
indépendante de ce qui s'est passé avant.
La probabilité qu'une maille contienne k points s'écrit
dans le cadre d'un processus de Poisson:
P(ν=k)=e -D *D k /k!
où D est la densité de points, égale à la densité observée D=M/N
On construit alors la distribution théorique Ñ k par:
Ñ k = P(ν=k)* N
On fait l'hypothèse nulle d'égalité des 2 distributions
(H0: le semis est aléatoire). Et on teste l'égalité des 2
distributions par un test du chi2.
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple de calcul:
les établissements hospitaliers à Paris
64 établissements (M=64) et 231 mailles (N=231)
D=M/N=64/231=0.28
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple de calcul:les établissements hospitaliers à Paris
k
Nk
(observés)
Calcul du Chi2
Nk
(estimés)
χ2
obs-est
∑
= l
k=
1
χ2 suit une loi du chi2 à l-1 degré de liberté
⎛
⎜
⎝
N
(obs-est)^2/
est
0 185 175.10 9.90 0.56
1 33 48.51 -15.51 4.96
2 9 6.72 2.28 0.77
3 3 0.62 2.38 9.12
4 1 0.04 0.96 21.31
chi2 36.72
k
−N
~
k
N
~
k
2
⎞
⎟
⎠
Ici le χ2 observé vaut 36.7 . Le χ2 théorique à 4 d.d.l associé à un
risque d'erreur de 0.05 vaut 9.49. On rejette l'hypothèse nulle
que le semis est aléatoire.
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Limites de la méthode des quadrats
Choix de la largeur de la maille
Choix de l'origine de la grille
Agrégation et perte d'information
Reste cependant très utilisée en écologie, en
archéologie …
Beaucoup de méthodes plus sophistiquées se sont
développées sur cette base.
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

2. Méthode du plus proche voisin (Clarck, Evans, 1954)
Basée sur le calcul de la moyenne des distances d'un
point à son plus proche voisin: dpv
Dans le cadre d'un processus de Poisson, générant un
semis aléatoire, on peut calculer la distance moyenne
théorique d'un point à son plus proche voisin:
dP =0.5 * √(S/M)
où S est la superficie de l'espace étudié et M le nombre de
points localisés sur cet espace.
Sous H0 (le processus ayant généré le semis est un processus
de Poisson) la moyenne dP à une variabilité
SE(dP )=0.261/√(M²/S)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Méthode du plus proche voisin (2)
1. Statistique R du plus proche voisin: R= dpv / dP
2. Test
z = |dpv- dP |/ SE(dP )
Sous H 0 , z ~ N (0,1)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple de calcul:les établissements hospitaliers à Paris
Observé
M=64
S=760.8
S/M=11.88
Calculs théoriques:
dP =0.5 * √(S/M) = 0.5 * √11.88 = 1.72
SE(dP )=0.261/√(M²/S) = 0.261 /
√5.38=0.11
dpv=1.32
R=1.32/1.72 = 0.77
Z=|1.32-1.72|/0.11 = 3.56
Sous H0, Z suit une loi normale. Au risque d'erreur de 0.05, l'écart
réduit doit être inférieur à 1.96 pour que l'on accepte l'hypothèse
nulle. Ici on rejette l'hypothèse que le semis est aléatoire.
Le semis des établissements de santé à Paris est significativement
concentré
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Statistiques spatiales
1. Statistiques spatiales pour décrire un
semis de points
2. Analyse de la forme d’un semis de points
2.1 Méthode des quadrats
2.2 Méthode du plus proche voisin
3. Analyse de la dépendance spatiale:
l’autocorrélation spatiale
4. Approches locales
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

La notion d'autocorrélation spatiale
Chaque phénomène est relié à tous les autres, mais des phénomènes
proches dans l’espace auront tendance à être d’avantage liés que des
phénomènes éloignés " [Tobler]
Autocorrélation
L'apparition en un lieu dépend de ce
qui se passe dans les lieux voisins
Absence
d'autocorrélation
Positive
2 lieux proches se
ressemblent plus
que 2 lieux éloignés
Négative
2 lieux proches se
ressemblent moins
que 2 lieux éloignés
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple: Disparités sociales / Inscriptions spatiales
© Géographie-cités, 2004
On cherche à évaluer si les lieux proches ont plus tendance à se
ressembler que des lieux éloignés et à mesurer cette relation.
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Le gradient
Structures spatiales simples
Les régions homogènes
Charre J, 1995.
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemples d’organisations spatiales simples:
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

La variance locale
Mesure l’intensité de la relation entre la
proximité des lieux et leur degré de
ressemblance.
Les coefficients sont généralement basés
sur la comparaison entre la variance totale
et la variance locale:
var ( X)
= 1∑(
X −X
T
n
i
i
2
)
var ( X)
= (
2 1 ∑∑ X −X
L
K
i
où V(i) désigne un voisinage de i
Et K le nombre de couples (i,j) voisins
j∈v
( i)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006
i
j
)
2

Exemple:
0 0 5 10 10 0 15 5 10 15
moyenne 7.4
std 4.7
0 0 5 10 10 5 10 5 10 5
5 5 5 10 10 10 5 15 0 10
5 5 10 15 15 15 5 10 5 5
Légende
5 5 10 15 15 0 10 5 5 0
0
5 Var.T 22.2 Var.T 22.2
10 Var.L 4.4 Var.L 25.6
15
20
0 0 0 0 5 5 15 0 15 5
moyenne 7.4
std 6.2
0 0 5 5 10 10 0 5 5 10
0 5 5 10 15 0 5 0 15 0
5 5 15 15 15 15 5 15 10 0
10 10 15 15 20 5 10 15 0 20
Var.T 38.2 Var.T 38.2
Var.L 8.4 Var.L 52.0
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Indices globaux
Indice de Moran
Indice de Geary
Avec N le nombre d’individus,
X i et X j valeur de la variable X en i et j
X est la moyenne de la variable X
et W ij est une pondération appliquée à la relation
entre les lieux (i,j)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Analyse des indices
Le système de pondération (W ij )
• Ce peut être une matrice de contiguité
• Ce peut être aussi une fonction continue, par exemple
inversement proportionelle à la distance entre i et j:
(1/d ij )
I varie entre –1 et 1, C varie habituellement entre 0
et 2.
La significativité de la valeur de I peut être testée
par comparaison à une distribution théorique, sous la
forme:
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple:
Le revenu par habitant
dans le County de Monroe
I= .66 P: < .001
Une variable aléatoire
I: .012 p: .515
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Effets de l'autocorrélation spatiale sur l'agrégation
Mesure de l’hétérogénéité
la part d'étrangers hors CEE par arrondissement et par quartier IRIS à Paris (1990)
% étrangers (hors CEE)
Moyenne
Écart-type
C.V.
Arrondissements
10.9
3.7
0.34
Quartiers Iris
11.3
6.9
0.62
%étrangers hors CEE
14.2 - 17.2 (5)
9.3 - 14.2 (5)
8.4 - 9.3 (4)
6 - 8.4 (6)
%étrangers hors CEE
14 - 48.9 (94)
9 - 14 (100)
8 - 9 (32)
2.6 - 8 (158)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Effets de l'autocorrélation spatiale sur l'agrégation
Mesure de l’hétérogénéité
La part des cadres par arrondissement et par quartier IRIS à Paris (1990)
% cadres
Moyenne
Écart-type
C.V.
Arrondissements
32.8
7.7
0.23
Quartiers Iris
30.8
10.7
0.35
Part moyenne des cadres
19.5 - 23.2 (5)
18.4 - 19.5 (4)
15.1 - 18.4 (5)
10.3 - 15.1 (6)
part des cadres
19.8 - 27.2 (96)
16.8 - 19.8 (91)
12.3 - 16.8 (99)
2.5 - 12.3 (98)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Extension du coefficient de Geary: Le
corrélogramme pour l'identification de portées
Graphique Lebart
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Statistiques spatiales
1. Statistiques spatiales pour décrire un
semis de points
2. Analyse de la forme d’un semis de points
2.1 Méthode des quadrats
2.2 Méthode du plus proche voisin
3. Analyse de la dépendance spatiale:
l’autocorrélation spatiale
4. Approches locales
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Approches locales: identifier les zones de
concentrations dans un semis de points
Comment identifier les zones de concentrations des
accidents à Lille
Banos A., 2002
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Le lissage par la méthode des noyaux
Choix d’une pondération
fonction de la distance
• Balayage de la zone d’étude
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Approches locales: les indicateurs locaux
d'association spatiale (LISA)
L'indice local de Moran mesuré au lieu i est défini
comme un LISA de la façon suivante :
∑
I = X − X ) W ( X − X )
i
(
i
j i,
j
j
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006

Exemple de LISA
L’identification des zones de concentrations spatiales
des accidents de la route (B.Flahaut)
Ecole d’été « Statistiques, Cartographies et Analyse Spatiale, Yaoundé 2006