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Cours vision 3
• Traitement à base d’histogrammes
• Filtrage de lissage
• Filtrage dérivateur
1

Amélioration
I
J
f
ponctuelles : J(x0,y0) = f [I(x0,y0)]
Opération sur les histogrammes
locales : J(x0,y0) = f [I(V)]
V: voisinage de (x0,y0)
Filtres,..
globales : J(x,y) = f [I(x,y]
Transformée de fourrier,..
2

Histogramme des niveaux de gris
L'histogramme d'une image représente le
nombre des pixels en fonction du niveau de
gris.
L'histogramme normalisé représente la
proportion de pixel en fonction du niveau de
gris
Le nombre pi est la proportion de pixel ayant
pour niveau de gris I=i.
3

Moyenne (brillance, luminance)
B
=
1 N − x=
0
NM
1 M −1
∑∑
y=
0
f
( x,
y)
4

Contraste
• Mesure relative des différences dans l'image
autres définitions :
C
C
=
NM
max
max
N M
1 − 1 −1
x=
0 y=
0
= ∑∑
( f ( x,
y)
− B)
[ f ( x,
y)
] − min[ f ( x,
y)
]
[ f ( x,
y)
] + min[ f ( x,
y)
]
2
5

Traitements à base d’histogramme
(1) Normalisation
exploiter toute la dynamique de codage
(2) Égalisation
equilibrer la dynamique de codage et augmenter le contraste
(3) Segmentation
simplifier l’image en regroupant les pixels selon leurs valeurs
• Masquage de zone / fonctions de rehaussement
• Variantes : Techniques appliquées localement
6

Manipulation d’histogrammes
Image originale
décalage : Brillance
Étirement : Contraste
7

Histogramme : Normalisation
8

Histogramme : Étirement de contraste
Étirement de l'histogramme
= amélioration du
contraste
min
Niveau de gris avant
transformation
Niveau de gris après
transformation
max
f
255
′ y
max−
min
( x, y) = ( f ( x,
) − min)
Variantes
• saturation (Smin max)
• linéaires par morceaux…
9

Exemple : Normalisation d’histogramme
100
100
200
200
300
300
400
400
500
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800
600
100 200 300 400 500 600 700 800
x 10 4 0 50 100 150 200 250
x 10 4
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 50 100 150 200 250
10

Histogramme : Egalisation
11

égalisation d'histogramme
Consiste à calculer à partir de l'histogramme H I
de l'image I une fonction de
réhaussement des niveaux de gris f telle que l'image rehaussée J, définie par :
J(p)=f( I(p) ) ait son histogramme H j
se rapprochant le plus possible d'une
fonction plate
t
[] = p[ j]
C i
∑
j=
0
[ ], i ∈[ 0,255]
h i
Histogramme cumulé CI
Densité de probabilité cumulative
f
F(g) = 255 x Ci(g)
[ ]255 .
( x, y) ≈ C f ( x,
y)
12

Egalisation : Cas discret
n = 51
NdeG = 7
Arrondir C[f(x,y)] x 7 = ?
10/51 * 7 = 1.37
18/51 * 7 = 2.47
27/51 * 7 = 3.7
29/51 * 7 = 3.98
43/51 * 7 = 5.90
44/51 * 7 = 6.04
49/51 * 7 = 6.73
51/51 * 7 = 7
Valeur moyenne idéale: 51
pixels/8 Niveaux de gris
13

Histogramme : Exemple Egalisation
100
100
200
200
300
300
400
400
500
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800
600
100 200 300 400 500 600 700 800
x 10 4
x 10 4
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 50 100 150 200 250
0 50 100 150 200 250
14

Exemple d'égalisation
• L'effet de l'égalisation est de mettre à gauche de chaque niveau de gris un
écart dont la taille est proportionnelle au nombre de points ayant ce niveau
de gris dans l'image I
• tout niveau de gris fortement représenté dans l'image se verra écarté des
niveaux de gris plus sombres.
• En pratique l'image aura un aspect où les zones claires, moyennes et
sombres s'équilibreront
15

Attention si l'image est déjà bien contrasté une
égalisation peu dégrader l'image !!
16

Égalisation appliquée localement
Il est souvent nécessaire de rehausser localement les images
17

Masquage de zones
Remplace un intervalle de niveau de gris par du blanc (255) ou du noir (0)
18

Fonctions de rehaussement
Pour chaque pixel (x0,y0) de NdeG I(x0,y0) ∈ [0,M]
J(x0,y0) = f [I(x0,y0)]
(b) rehausse les bas niveaux de gris
(h) rehausse les hauts niveaux de gris
(m) rehausse les niveaux de gris moyens
(e) rehausse les niveaux de gris extrêmes
19

Utilisation de pseudo-couleurs
100
100
200
200
300
300
400
400
500
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800
600
100 200 300 400 500 600 700 800
255
255
255
255
Niveaux de gris
20

Filtrage de lissage
Les filtres de lissage sont des opérateurs qui éliminent des éléments pertubateurs / non significatifs
dans les images numériques, soit pour améliorer leur visualisation, soit pour les simplifier en but
d'un traitement postérieur
bruit d'acquisition, de numérisation, de transmission
bruit spatial fixe
bruit de compression
(1) Implantation des filtres linéaires
(2) Filtres non linéaires
(3) Filtrage dans le domaine de Fourier
21

Convolution :
Implantation des filtres linéaires
transformées basées sur
le voisinage d'un point
Les nouvelles valeurs du pixel sont calculées par
produit scalaire entre le noyau de convolution et
le voisinage correspondant du pixel.
effet de bord ?
périodicité, miroir,extérieur=0, on ne filtre pas les bords, on enlève les bords
22

Filtrage de lissage (linéaires)
Principe: INTEGRATION (sommation)
• Filtre de moyenne
• Filtre gaussien
• Filtre pyramidal, filtre conique
23

Filtrage de lissage : moyenne
j
j
NdG
i 0
i 0
j
i
i
lissage (flou apparent)
1/16 x
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Plus le filtre grossit plus le lissage
devient important, et plus le flou
s'accentue
Normalisé
(résultat divisé par la somme des poids w i )
24

Filtrage de lissage : Gaussien
gauss
( i j)
=
1
2Πσ
× e
2 2
( i + j )
2σ
,
2
Fonction gaussienne (normalisée) 2D
−
2
Taille du filtre idéal :
5σ x 5σ
1 2 1
1/16 x Cas discret : (σ=0.6)
2 4 2
1 2 1
1 9 18 9 1
9 81 162 81 9
1/1444 x
18 162 324 162 18
Cas discret : (σ=1)
9 81 162 81 9
1
9 18 9 1
25

Filtrage de lissage : pyramidal, conique
• Pyramidal 2D
Filtre pyramidal 1D rapide sur les
lignes et sur les colonnes
séparément
1/81 x
0 0 1 0 0
1 2 3 2 1
2 4 6 4 2
3 6 9 6 3
2 4 6 4 2
1 2 3 2 1
• Conique
1/25 x
0 2 2 2 0
1 2 5 2 1
0 2 2 2 0
0
0 1 0 0
• Exemple de combinaision de filtres (passe bas)
1/35 x
1 1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 2 1
1 2 2 2 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
= 1/35 x 1 1 1 1 1 +
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
+
1
26

Filtres non linéaires
27

Filtres non linéaires : Filtre Médian
bloc 3x3 de l'image
30 10 20
10 250 25
20 25 30
Rangement des valeurs de
NdG dans l'ordre croissant
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10, 10, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 250
médiane = 25
Moyenne = 47 à
cause du 250
Filtre utile pour un bruit du type Poivre et Sel (0 et 255)
Image bruitée Moyenne 3x3 Moyenne 5x5 Moyenne 7x7 Médiane 3x3
28

Filtres non linéaires : Filtre adaptatif
si |filtre PB [I(x,y)] - I(x,y)| < T
J(x,y) = filtre PB [I(x,y)]
Sinon
J(x,y) = I(x,y)
29

Filtres non linéaires : Filtre de Nagano
30

Filtres Dérivatifs :
Filtres passe-haut (PH)
Mise en évidence des contours
Principe: DERIVATION (différence)
• Filtre passe-haut et filtre passe-bas
• Opération mathématique sur les filtres
• Filtres différentiels et applications
31

Opération sur les filtres de voisinage
(a) passe-bas
1/35 x
1 1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 2 1
1 2 2 2 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
= 1/35 x 1 1 1 1 1 +
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
+
1
(b) passe-haut
1/25 x
-1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 24 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
= 1/25 x - 1 1 1 1 1 + 25
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
32

Filtres passe-haut
à partir d'un passe-bas
- =
passe-bas
passe-haut
1/49 x
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/49 x
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
48
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
33

Le gradient
∂f
∂x
∂f
∂y
=
=
lim
lim
h→0
h→0
f
f
( x + h,
y) − f ( x − h,
y) f ( x + 1, y) − f ( x −1,
y)
2h
( x,
y + h) − f ( x,
y − h) f ( x,
y + 1) − f ( x,
y −1)
2h
≈
≈
2
2
∂f
∂x
∂f
∂y
=
=
lim
lim
h→0
h→0
f
f
( x + h,
y) − f ( x,
y)
h
( x,
y + h) − f ( x,
y)
h
≈
≈
f
f
( x + 1, y) − f ( x,
y)
( x,
y + 1) − f ( x,
y)
34

Filtre de Roberts, Prewitt et Sobel
Roberts (Gradient croisé)
0 0 0
0
0
1 0
0 -1
Image
0 0 0
∂ f
= ( − )
= ( z )
0 0 1
6
− z 8
∂y
z1 z2 z3
z4 z5 z6
z7 z8 z9
z 5
z 9
z x valeur du
niveau de gris
0
-1 0
∂f
∂x
∇f
≈
∂f
∂x
+
∂f
∂y
Approximation du
module du gradient
Prewitt
-1 -1 -1
0 0 0
1 1 1
∂
∂
⎡ ( z7
+ z8
+ z )
-1 0 1
f 9
( ) ⎥ ⎤
=
∂f
⎡ ( z3
+ z6
+ z9
)
⎢
y ⎣−
z1
+ z2
+ z3
⎦
( ) ⎥ ⎤
-1 0 1 = ⎢
∂x
− z1
+ z4
+ z7
⎦
-1 0 1
⎣
Sobel
-1 -2 -1
0 0 0
1 2 1
∂
∂
-1 0 1
f ⎡ ( z7
+ 2z8
+ z9
)
( ) ⎥ ⎤
∂f
⎡ ( z3
+ 2z6
+ z9
)
= ⎢
y ⎣−
z1
+ 2z2
+ z3
⎦
( ) ⎥ ⎤
-2 0 2 = ⎢
∂x
− z1
+ 2z4
+ z7
⎦
-1 0 1
⎣
35

(a) Image originale
(b) |gradient| masque de Prewitt
(c) Image originale dont
les pixels ayant un
|gradient|>10%I max
=25
sont mis à 255
(d) Idem à (c) sauf
|gradient|

∂f
=
=
2
∂
( x,
y)
2
x
= f ′′
Laplacien
( x,
y) = f ′( x + 1, y) − f ′( x,
y)
[ f ( x + 1, y) − f ( x,
y)
] − [ f ( x,
y) − f ( x −1,
y)
]
f ( x + 1, y) − 2 f ( x,
y) + f ( x −1,
y)
∇
2
2
⎛ ∂
=
⎜
2
⎝ ∂ x
+
∂
∂
2
⎞
⎟
y ⎠
2
1
Convolution avec (1,-2,1) + -2 =
1
0 1 0
1 -4 1
0 1 0
Autres formes
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
-1 -1 -1
-1 8 -1
-1 -1 -1
37

Rehaussement des contours avec le Laplacien
Edge image
f
( x)
1st derivative
∂f
∂x
2ndt derivative
(laplacian)
2
∂f
2
∂ x
−
2
∂f
2
∂ x
( x)
2
∂f
∂ x
f −
2
38

Filtre de Mahr-Hildreth
(filtre passe-bande)
∇
2
( G * f ) = ∇
2 G * f
• On filtre d'abord l'image avec un filtre Gaussien G
• Le but est de réduire le bruit associé aux filtres différentiels et de
faciliter la détection du passage par zero (contour)
39

Exemple : Filtre de Mahr-Hildreth
40

Différence de 2 gaussiennes
≈ Laplacien d'une gaussienne
41

Laplacien de la Gaussienne
exemple
Image originale
(320x320 pixels)
Convolution de l'image avec
le Laplacien de G
(montre seulement les
passage par 0 en noir)
42