CORRIGE DES EXERCICES DE PROBABILITE - Université Paris 8

2 CORRIGE DES EXERCICES DE PROBABILITE
P (X 285) = P (Y 284:5) = P
Z
284:5 276
= P (Z 0:809 5) = 1 P (Z 0:81) = 1 (0:81) ' 0:7910
10:5
avec Z = Y 276 , Z suivant la loi normale centrée réduite. P (262 X 290) = P (261:5 Y 290:5) soit :
10:5
P (261:5 Y 290:5) soit :
261:5 276
P
Z
10:5
7. Distributeur d'essence
290:5 276
' F (1:38) F ( 1:38) = 2F (1:38) 1 ' 0:832 4
10:5
a. On a une loi uniforme sur [ 2:5; 2:5] ; sa densité de probabilité est une fonction constante sur [ 2:5; 2:5], nulle ailleurs :
(
1
f (x) =
2:5 ( 2:5) = 1 si x 2 [ 2:5; 2:5]
5
f (x) = 0 si x 2 ] 1; 2:5[ [ ]2:5; +1[
et la fonction de répartition est dénie par : F (x) = P (X x) = x a
b a = x + 2:5 si x 2 [ 2:5; 2:5]
5
8
><
F (x) = 0 si x 2 ] 1; 2:5[
F (x) = x + 2:5 si x 2 [ 2:5; 2:5]
>:
5
F (x) = 1 si x 2 ]2:5; +1[
Son espérance est : E (x) = a + b
(b a)2
= 0 et sa variance V (X) = = 25
2
12 12 = 2: 08; avec (x) = p V (X) = p 2: 08 ' 1:
44
b. Théorème Central Limite : Si X 1 ; X 2 ; :::X n sont n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance
commune m et de variance 2 ; alors la distibution de leur moyenne X = 1 n
P
Xi peut être approchée par une loi normale, dès
que n est assez grand ( n 30) ; de plus, les paramètres de cette loi sont données par : E X = m et V X = 1 n 2 ; donc
X = p : De même la loi de la somme S = P X i tend vers la loi normale N (nm; p n) : On se ramène à la loi normale
n
centrée réduite (standardisation) et on en déduit que la loi de Z = X 1 + ::: + X n n
p tend vers la loi normale N(0; 1) quand
n
n tend vers l'inni.
Ici n = 1200, alors S la variable aléatoire désignant la somme totale des arrondis suit approximativement une loi normale de
moyenne m = 1200 E (X) = 0 et d'écart-type = p 1200 (X) = 1: 44 p 1200 ' 49: 88 ; si on pose Z = S m , alors Z
suit la loi normale centrée réduite.
La probabilité que le gain dû aux arrondis soit supérieur à 1 euro est donnée par : P (S > 100) = 1 P Z 100
=
49: 88
1 F (2:01) ' 1 0:9779 ' 0:0 221 , F désignant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
8. Si T désigne le temps, exprimé en mn; écoulé entre 20h25 et l'arrivée de Paul, alors T suit la loi uniforme sur [0; 20]; par ailleurs,
Paul et Virginie se rencontreront si T 17 ; la densité de T est la fonction constante par intervalle dénie par :
f (x) =
1
20
si x 2 [0; 20]
(1)
f (x) = 0 sinon
8
< F (x) = 0 si x 2 ] 1; 0[
et la fonction de réparttition est donnée par : F (x) = x
:
20
si x 2 [0; 20]
F (x) = 1 si x 2 ]20; +1[
P (T 17) = 17
20
= 0: 85 ;soit 85% de chance.....
9. On effectue un changement de variable pour se ramener à la loi normale centrée réduite, en posant Z = R m = R 4115 :P fR < 4150g
200
4150 4115
0:5675 + 0:5714
P Z < : = (0:175) ' = 0: 569 5
200
2
3900 4115 4150 4115
P f3900 < R < 4150g = P
< Z < : = F (0:175) F ( 1:075) = F (0:175) (1 F (1:075)) =
200
200
0:8577 + 0:8599
F (0:175) + F (1:075) 1 ' 0: 569 5 + 1 ' 0: 428 3
2
2 UFR 14