CORRIGE DES EXERCICES DE PROBABILITE - Université Paris 8

Master 1 CORRIGE DES EXERCICES DE PROBABILITE Mars 2009
1. La moyenne d'une loi uniforme sur [a; b] est a + b
9 + 5
; ce qui done ici : E (X) = = 7. La fonction de répartition est dénie par
8
8 2 2
< F (x) = 0 si x 2 ] 1; a[ < F (x) = 0 si x 2 ] 1; 5[
: F (x) = x a
:
b a
si x 2 [a; b] soit ici F (x) = x 5
:
4
si x 2 [5; 9] . On en déduit : P (X 3) = F (3) = 0 ; P (6 X 8) =
F (x) = 1 si x 2 ]b; +1[
F (x) = 1 si x 2 ]9; +1[
F (8) F (6) = 3 1
4 4 = 1 2 ; P (X 7) = 1 F (7) = 1 2
4 = 1 2
: Tous ces résultats doivent être visualisés graphiquement par
des considérations d'aires de rectangles.
F (x) = 0 si x < 0
2. La fonction de répartition est :
F (x) = 1 e x si x 0 soit ici : F (x) = 0 si x < 0
F (x) = 1 e 0:1x si x 0
P (X < 10) = F (10) = 1 e 1 ' 0:632 1 ; P (X > 5) = F (5) = e 0:5 = 0:606 5 (fonction de queue : F (x) = 1 F (x) =
e x , pour x 0) ; et P (10 X 20) = F (20) F (10) = 1 e 2 1 e 1 = e 1 e 2 ' 0:232 5:
3. On pose Z = X m = X 3 ; on sait que Z suit la loi normale N (0 ; 1) :
2
P (X 3) = P Z 3 3
= P (Z 0) = F (0) = 0:5 ; P (X 4) = P Z 4 3
= P (Z 0:5) = F (0:5) = 0:6915
2
2
; P (X 1) = P Z 1 3
= P (Z 2) = P (Z 2) = 1 F (2) = 1 0:9772 = 0:022 8 ;
2
3
P (0 X 4:5) = P
2 Z 4:5 3
= F (0:75) F ( 1:5) = F (0:75) (1 F (1:5)) = F (0:75) + F (1:5) 1 =
2
0:7734 + 0:9332
1 ' 0:706 6;
P (X 0) = P Z 3
= P Z 3
= F (1:5) ' 0:9332 : P (X 5) = P Z 5 3
= 1 F (1) = 1 0:8413 =
2
2
2
3
0:158 7 ; P (0 X 2) = P
2 Z 2 3
= P ( 1:5 Z 0:5) = P (0:5 Z 1:5) = F (1:5) F (0:5) '
2
0:9332 0:6915 = 0:241 7
Remarque : toutes les propriétés de symétrie utilisées doivent être visualisées sur la courbe de la densité de la loi normale centrée
réduite.
4. Le paramètre d'une loi de Poisson est son espérance donc = 25: P (X = 20) = 20
20! e = 2520
20! e 25 = 5:19 10 2 et
P (X = 25) = 2525
25! e 25 ' 7:95 10 2 ;
; 18; on peut donc approcher cette loi de Poisson par la loi normale de paramètre m = = 25 et = p = 5 ; on note Y la
variable aléatoire suivant la loi N (25; 5) :
24:5 25
P (X < 25) = P (X 24) = P (Y 24:5) en effectuant une correction de continuité, soit en standardisant : P Z
5
=
P (Z 0:1) =
1 F (0:1) = 1 0:5398 = 0:460 2 : P (X 28) = 1 P (X 27) = 1 P (Y 27:5) = 1
27:5 25
P Z = 1 F (0:5) ' 1 0:6915 = 0:308 5
5
5. X durée de la grossesse est une variable aléatoire normale qui suit la loi N (270; 10) et on la standardise en posant : Z = X 270 :
10
On doit calculer : P ((X 290) [ (X 240)) = P (X 290) + P (X 240) car ce sont des événements disjoints. On obtient
: P (Z 2) + P (Z 3) = 1 F (2) + P (Z 3) = 1 F (2) + 1 F (3) = 2 F (2) F (3) = 2 0:9772 0:9987 =
0:024 1
6. Les CV
a. L'état d'un dossier est une épreuve de Bernoulli : on peut nommer ”succès” l'événement : ”le dossier est falsié” et échec
l'événement ”le dossier n'est pas falsié” ; on se retrouve avec 460 épreuves de Bernoulli , identiques et indépendantes. ; le
nombre X de dossiers falsiés suit la loi B (460; 0:60), dénie par : P (X = k) = n
k p k q n k = 460
k 0:60 k 0:40 460 k ;
b. La distribution est proche d'un modèle symétrique, car 0:4 p 0:60 ; on pense à une loi normale ; cette approximation est
justiée car 0:4 p 0:60 et n 50 ; on approxime alors la loi binomiale par la loi :N np; p npq ; ce qui donne ici :
N 276; p 110:4 :On approxime une loi disrète par une loi continue, on doit donc effectuer la correction de continuité.On note
Y la variable aléatoire normale suivant la loi N 276; p 110:4 :
c. Correction de continuité (à penser graphiquement)
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P (X 285) = P (Y 284:5) = P
Z
284:5 276
= P (Z 0:809 5) = 1 P (Z 0:81) = 1 (0:81) ' 0:7910
10:5
avec Z = Y 276 , Z suivant la loi normale centrée réduite. P (262 X 290) = P (261:5 Y 290:5) soit :
10:5
P (261:5 Y 290:5) soit :
261:5 276
P
Z
10:5
7. Distributeur d'essence
290:5 276
' F (1:38) F ( 1:38) = 2F (1:38) 1 ' 0:832 4
10:5
a. On a une loi uniforme sur [ 2:5; 2:5] ; sa densité de probabilité est une fonction constante sur [ 2:5; 2:5], nulle ailleurs :
(
1
f (x) =
2:5 ( 2:5) = 1 si x 2 [ 2:5; 2:5]
5
f (x) = 0 si x 2 ] 1; 2:5[ [ ]2:5; +1[
et la fonction de répartition est dénie par : F (x) = P (X x) = x a
b a = x + 2:5 si x 2 [ 2:5; 2:5]
5
8
><
F (x) = 0 si x 2 ] 1; 2:5[
F (x) = x + 2:5 si x 2 [ 2:5; 2:5]
>:
5
F (x) = 1 si x 2 ]2:5; +1[
Son espérance est : E (x) = a + b
(b a)2
= 0 et sa variance V (X) = = 25
2
12 12 = 2: 08; avec (x) = p V (X) = p 2: 08 ' 1:
44
b. Théorème Central Limite : Si X 1 ; X 2 ; :::X n sont n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance
commune m et de variance 2 ; alors la distibution de leur moyenne X = 1 n
P
Xi peut être approchée par une loi normale, dès
que n est assez grand ( n 30) ; de plus, les paramètres de cette loi sont données par : E X = m et V X = 1 n 2 ; donc
X = p : De même la loi de la somme S = P X i tend vers la loi normale N (nm; p n) : On se ramène à la loi normale
n
centrée réduite (standardisation) et on en déduit que la loi de Z = X 1 + ::: + X n n
p tend vers la loi normale N(0; 1) quand
n
n tend vers l'inni.
Ici n = 1200, alors S la variable aléatoire désignant la somme totale des arrondis suit approximativement une loi normale de
moyenne m = 1200 E (X) = 0 et d'écart-type = p 1200 (X) = 1: 44 p 1200 ' 49: 88 ; si on pose Z = S m , alors Z
suit la loi normale centrée réduite.
La probabilité que le gain dû aux arrondis soit supérieur à 1 euro est donnée par : P (S > 100) = 1 P Z 100
=
49: 88
1 F (2:01) ' 1 0:9779 ' 0:0 221 , F désignant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
8. Si T désigne le temps, exprimé en mn; écoulé entre 20h25 et l'arrivée de Paul, alors T suit la loi uniforme sur [0; 20]; par ailleurs,
Paul et Virginie se rencontreront si T 17 ; la densité de T est la fonction constante par intervalle dénie par :
f (x) =
1
20
si x 2 [0; 20]
(1)
f (x) = 0 sinon
8
< F (x) = 0 si x 2 ] 1; 0[
et la fonction de réparttition est donnée par : F (x) = x
:
20
si x 2 [0; 20]
F (x) = 1 si x 2 ]20; +1[
P (T 17) = 17
20
= 0: 85 ;soit 85% de chance.....
9. On effectue un changement de variable pour se ramener à la loi normale centrée réduite, en posant Z = R m = R 4115 :P fR < 4150g
200
4150 4115
0:5675 + 0:5714
P Z < : = (0:175) ' = 0: 569 5
200
2
3900 4115 4150 4115
P f3900 < R < 4150g = P
< Z < : = F (0:175) F ( 1:075) = F (0:175) (1 F (1:075)) =
200
200
0:8577 + 0:8599
F (0:175) + F (1:075) 1 ' 0: 569 5 + 1 ' 0: 428 3
2
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10. La somme totale que la compagnie doit verser est : S = i=120 P
i=1
X i , X i désignant des variables aaléatoires de même loi, indépendantes,
de moyenne 508
et d'écart-type
30 ; le Théorème central limite permet d'afrmer que S peut être assimilée à une variable aléatoire
<
i=120
P
E (S) = E X
normale avec:
i = i=120 P
E (X i ) = 120 50 = 6000:
i=1
i=1
:
(S) = (X i ) p 120 = 30 p Il reste à effectuer un changement de variable pour
120 ' 328: 63
se ramener à une loi normale centrée réduite ; on pose Z = S 6000 et on doit calculer
328: 63
P (S 6500) = P
Z
6500 6000
soit P (Z 1: 52) ' 0:9357:
328: 63
11. La compagnie d'assurance
a. On est clairement devant un schéma de Bernoulli, les sinistres étant indépendants, X ,! B (n; p) ; la loi binomiale de paramètres
n = 10000 et p = 0:01: On a : E (X) = np = 100 et (X) = p npq = p 10000 0:01 0:99 ' 9: 95
T = 1 avec la probabilité 0:01
b. On peut noter que Y i = 100000T ; T étant une variable aléatoire de Bernoulli, dénie par :
T = 0 avec la probabilité 0:99
T ,! B (1; 0:01) ; on a alors : E (T ) = 0:01 et (T ) = p pq = p 0:01 0:99 ' 9: 9 5 10 2 ; on en déduit : E (Y i ) =
100000E (T ) = 1000000:01 = 1000 et (Y i ) = 100000 (T ) = 1000009: 9 510 2 = 9950 car (aX + b) = jaj (X) :
c. On note Y la charge totale annuelle des 10000 assurés.
On a Y = 100000X et on en déduit par linéarité de l'espérance : E (Y ) = 100000E (X) = 100000 100 = 1000 000;puis
(Y ) = 10000 (X) = 100000 9:95 = 995000:
Autre solution : Y = P Y i et E (Y ) = i=10000 P
E (Y i ) = 10000 1000 = 10 000 000; les Y i étant indépendantes, les variances
s'ajoutent et on a : V (Y ) = i=10000 P
i=1
i=1
V (Y i ) = 10000 9950 2 ; ce qui donne : (Y ) = p 10000 9950 2 = 995000:
d. Théorème central limite : Si X 1 ; X 2 ; :::X n sont n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance
commune m et de variance 2 ;alors la distibution de la variable aléatoire
X 1 + ::: + X n
p n
nm
tend vers la loi normale N(0; 1)
On en conclut que les Y i étant identiquement distribuées et indépendantes, la loi de probabilité de leur somme peut être assimilée
à une loi normale de paramètre 10 000 000 et d'écart-type 995000; n étant grand.
e. Il reste à centrer et à réduire Y ; on pose Z = Z
P (Z 1) = F (1) ' 0:8413
f. R = 1400 10000 3500000 Y = 10 500 000 Y:
X 10 000 000
; Z ,! N (0; 1) . P (Y 11000000) = P
995000
P (R 0) = P (10 500 000 Y 0) = P (Y 10 500 000) = 1 P (Y 10 500 000) = 1 P
= 1 P (Z 0:50) ' 1 0:6915 = 0:308 5
Z
11000000 10 000 000
995000
10500000 10 000 000
995000
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