Syst`emes linéaires : TD2 - La Recherche

Systèmes linéaires : TD2
Antoine Drouin
26 septembre 2011
1 Exercice
Soit le système LTI décrit par la représentation d’état suivante :
⎛
Ẋ = ⎝ 1 3 2
⎞ ⎛
3 1 2⎠ X + ⎝ 1 ⎞
2⎠ u
2 0 1 1
Y = ( 1 0 0 ) X
Donnez sa représentation d’état sous forme compagne de commande
2 Exercice
Soit le système à deux entrées et une sortie réprésenté par le diagramme suivant :
où a, b et c sont des nombres réels.
⎛ ⎞
x 1
1. Donnez une représentation d’état du système en utilisant X = ⎝x 2
⎠ comme vecteur d’état.
x 3
2. Étudiez la stabilité, la commandabilité et l’observabilité du système en fonction des valeurs
des paramètres a, b et c.
3 Exercice
Soit le circuit éléctrique suivant comportant en série un condensateur de capacité C, une bobine
d’inductance L et une résistance R.
1

IENAC-S09 Systèmes linéaires 2
1. Donnez un système d’équations différentielles caractérisant le système
2. Donnez une représentation d’état du système en utilisant u comme entrée et v comme sortie
3. Calculez les modes du système
4. Étudiez sa stabilité
5. Donnez une condition sur R, L et C pour que le système soit non oscillant.
6. En supposant R = 3, L = 1 et C = 1 2
, calculez la matrice de transition, puis la réponse du
système à un échelon unitaire.
4 Exercice
Soit le système dynamique LTI SISO de fonction de transfert
1. Étudiez sa stabilité.
H(p) =
4p2 + 4p
p 2 + 4p + 6
2. Donnez sa représentation d’état sous forme compagne de commande.
3. Donnez une représentation d’état sous forme modale.