Intégration et Probabilités TD 2 : Intégrale de Lebesgue
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École <strong>de</strong>s Mines <strong>de</strong> Nancy Année 2009-2010<br />
FICM 1ère Année<br />
Intégration <strong>et</strong> Probabilités<br />
<strong>TD</strong> 2 : Intégrale <strong>de</strong> <strong>Lebesgue</strong><br />
Dans tous les exercices, λ d désigne la mesure <strong>de</strong> <strong>Lebesgue</strong> sur R d <strong>et</strong> δ a la masse <strong>de</strong> Dirac en a.<br />
Exercice 1 Soient µ une mesure positive sur l’espace mesurable (Ω, A) <strong>et</strong> A ∈ A tel que A ≠ ∅. Nous posons<br />
∀B ∈ A, ν(B) = µ(A ∩ B).<br />
1. Vérifier que ν est une mesure positive sur (Ω, A).<br />
2. Déterminer les fonctions ν-intégrables.<br />
Exercice 2 Considérons sur R la mesure discrète ν =<br />
sur R par rapport à ν.<br />
+∞∑<br />
k=1<br />
1<br />
+∞∑<br />
k δ 1/k + δ k . Caractériser les fonctions intégrables<br />
k=2<br />
Exercice 3 Soit α ∈ R. Pour tout n ∈ N ∗ , considérons la fonction f n définie sur [0, 1] par<br />
( ) −1<br />
∀x ∈ [0, 1], f n (x) = x α + ex .<br />
n<br />
1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , f n est <strong>Lebesgue</strong>-intégrable sur [0, 1].<br />
∫<br />
2. Déterminer, si elle existe, lim f n (x)λ 1 (dx).<br />
n→+∞<br />
[0,1]<br />
Exercice 4 Soit a ∈]0, +∞[. Pour tout n ∈ N ∗ , considérons la fonction f n définie sur ] − ∞, a] par<br />
∀x ∈ R, f n (x) = 1 + enx<br />
1 + e 2nx ex .<br />
1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , f n est <strong>Lebesgue</strong>-intégrable sur ] − ∞, a].<br />
∫<br />
2. Déterminer, si elle existe, lim f n (x)λ 1 (dx).<br />
n→+∞<br />
]−∞,a]<br />
Exercice 5 (Examen Avril 2007)<br />
( √ ) x<br />
Pour tout n ∈ N ∗ <strong>et</strong> tout x ∈ [0, 1], posons f n (x) = n sin 2 n 1/3 .<br />
1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , f n est <strong>Lebesgue</strong>-intégrable sur [0, 1].<br />
∫<br />
2. Déterminer, si elle existe, lim f n (x)λ 1 (dx).<br />
n→+∞<br />
Exercice 6 (Examen Avril 2007)<br />
Soit a ∈]0, +∞[, b ∈]0, +∞[ <strong>et</strong> f la fonction définie sur [0, +∞[ par<br />
[0,1]<br />
∀x ∈ [0, +∞[, f(x) =<br />
1<br />
xe−ax<br />
1 + e −bx .
1. Montrer que f est <strong>Lebesgue</strong>-intégrable sur [0, +∞[.<br />
1<br />
2. En utilisant un développement en série entière <strong>de</strong><br />
1+x<br />
, montrer que<br />
∫<br />
+∞∑ (−1) n<br />
f(x) λ 1 (dx) =<br />
(a + nb) 2 .<br />
[0,+∞[<br />
Exercice 7 Pour a, b ∈ R + <strong>et</strong> b positifs, montrer que<br />
Calculer x = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · ·<br />
∫<br />
Exercice 8 Calculer la valeur <strong>de</strong> I =<br />
Exercice 9 On définit la fonction f :<br />
]0,1[<br />
∑<br />
n∈N<br />
∫∫<br />
n=0<br />
(−1) n ∫ 1<br />
a + bn = t a−1<br />
1 + t b dt.<br />
0<br />
ln x<br />
x 2 − 1 λ 1(dx), en considérant l’intégrale double<br />
[0,+∞[ 2<br />
λ 2 (dx, dy)<br />
(1 + y)(1 + x 2 y)<br />
f(x, y) = sin (x) e −xy2 .<br />
1. C<strong>et</strong>te fonction est-elle <strong>Lebesgue</strong>-intégrable sur R 2 + <br />
2. Montrer que pour tout a > 0, f est <strong>Lebesgue</strong>-intégrable sur [0, a] × R + .<br />
3. En∫utilisant le théorème <strong>de</strong> Fubini sur [0, a] × R + , puis en faisant tendre vers +∞, en déduire la valeur<br />
<strong>de</strong> sin(t 2 )λ 1 (dt).<br />
R +<br />
Exercice 10 Soient f <strong>et</strong> g les fonctions définies sur R 2 par<br />
∀(x, y) ∈ R 2 , f(x, y) = (x + y)1 {0