notes de cours

Analyse complexe et harmonique
Maillard Kenji
19 août 2012
Table des matières
1 Introduction aux fonctions harmoniques et holomorphes via les graphes 3
1.1 Fonctions harmoniques discrètes et fonctions harmoniques conjuguées . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Analogue continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 5
2 Définitions, premières remarques 5
3 Intégrale de contours et formule de Cauchy 6
3.1 Définition d’intégrale le long de chemins dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Théorème de Gowsat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Autres conséquences sympathiques de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6 Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.7 Zéros de fonctions holomorphes II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Tranformations conformes 18
4.1 Introduction & définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Le théorème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Automorphismes conformes d’un domaine Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Rappels sur les (homographies) transformations linéaires du plan . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Introduction à la métrique hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Comportement au “bord” des transformations conformes 26
5.1 Cas des polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Compléments (variés) sur les transformations conformes (& autres) . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.1 Sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.2 Singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.3 Fonctions univalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.4 Longueur extrémale et invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Fonctions holomorphes et méromorphes sur C 33
6.1 Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 “Resommation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Factorisation de fonctions entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Lien entre croissance d’une fonction entière et nombre de zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4.1 Rappels & intro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1

6.4.2 Résultats simple entre n(R) et C ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4.3 Théorème d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Fonctions Γ, ζ et applications 40
7.1 Fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.1.1 Approche #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.1.2 Approche #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.2.1 Equation fonctionelle de la fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
page principale du cours : wendelin.free.fr
page du TD : www.math.ens.fr/ taibi
Emploi du temps : partiel mercredi 21/3 ; pas cours lundi 26 ; mercredi 28 cours sur le Des Mathématiques
2

1 Introduction aux fonctions harmoniques et holomorphes via les
graphes
1.1 Fonctions harmoniques discrètes et fonctions harmoniques conjuguées
On se donne une fonction u : Z 2 → R. On dit que u est harmonique en x si u(x) = “la moyenne de u
en les 4 voisins de x”. Si D est un ensemble de points connexes 2 à 2 de Z 2 , on dit que u : Z 2 → R est
harmonique sur D si ∀x ∈ D, elle est harmonique en x.
Remarque 1.1.1. Pour voir si u est harmonique en D, il faut connaître u sur D et sur ∂D = {x ∈ Z 2 :
d(x, D) = 1}.
Remarque 1.1.2. Une fonction harmonique sur D fini ne peut atteindre son maximum que sur ∂D, autrement
dit si on se donne une fonction f : ∂D → R et si D est fini alors ∃!u : D ∪ ∂D → R harmonique dans D telle
que u = f sur ∂D.
Remarque 1.1.3. La fonction u minimise
parmi les fonctions u qui coincident avec f sur ∂D.
E(u) = ∑ (u(x) − u(y)) 2
x∼y
x∈D
Lorsque u est harmonique dans D et que D est “simplement connexe”, on définit l’ensemble des faces
F comme l’ensemble des petits carrés dont les quatres sommets sont dans D ∪ ∂D. Il y a une structure de
graphe naturelle sur les faces. On dit que v : F → R est une fonction harmonique conjuguée à u si : ∀x, y
voisins dans D, a, b sont les faces ayant x et y en commun et telles que angle( → xy, → ab) = 90 ◦ alors :
v(b) − v(a) = u(y) − u(x)
Remarque 1.1.4. Si v est une fonction harmonique conjuguée à u alors ∀c ∈ R la fonction v + c l’est aussi.
On peut donc chercher s’il existe une fonction v harmonique conjuguée à u telle que v(a 0 ) = 0 pour un
certain a 0 donné.
On cherche alors ∀b ∈ F, v(b) pour v(a 0 ) = 0 et v harmonique conjuguée à u. La condition impose alors
la valeur de v sur tout le chemin qui va de a 0 à b : Si elle existe, v est unique.
Existence : Le problème de l’existence est que si l’on choisit 2 chemins différents de a 0 à b, on est pas
certain d’arriver “au même résultat v(b)”.
Remarque 1.1.5. Sur une boucle de longueur 4, l’incrément de v (sa somme) est nulle. C’est à dire que
(v(x 0 ) − v(x 1 )) + (v(x 1 ) − v(x 2 )) + (v(x 2 ) − v(x 3 )) + (v(x 3 ) − v(x 0 )) = 0
3

Si on considère deux chemins γ 1 et γ 2 de a 0 à b, on peut compléter le “creux” entre les deux chemins par
des boucles de longueurs 4 γ 1 − γ 2 = 0 d’où l’existence de v.
Exercice 1.1.1. Avec les notations précédentes, montrer que :
⊲ v est alors harmonique.
⊲ u est une fonction harmonique conjuguée de −v.
1.2 Analogue continu
Soit Ω un ouvert connexe borné (sans trous) de R 2 . On dit qu’une fonction u ∈ C 2 dans Ω est harmonique
si : ∀z ∈ Ω, ∆u(z) = 0 avec ∆u = ∂2 u
∂x
+ ∂2 u
2 ∂y
. 2
Ce qui est équivalent à dire que la moyenne de u sur le cercle est nulle puisque :
∂u
u(x + h 1 , y + h 2 ) = u(x, y) + h 1
∂x + h ∂u
2
∂y + 1 ∂ 2 u
2 h2 1
∂x 2 + 1 ∂ 2 u
2 h2 2
∂y 2 + o(||h||2 )
Remarque 1.2.1. La moyenne de u sur un carré centré en z de largeur 2ɛ est u(z) + o(ɛ 2 ) lorsque u est
harmonique.
Définition 1.1. On dit que v est une fonction harmonique conjuguée à u si ∀z ∈ Ω :
⊲ ∂v ∂u
∂y
(z) =
∂x (z)
⊲ ∂v
∂u
∂x
(z) = −
∂y (z)
Si ∂v
∂x = − ∂u
∂y , alors sur un chemin γ 1 selon x (i.e. parallèlement à l’axe des abscisses) on a :
v(γ 1 (t 1 )) = v(z 0 ) +
∫ t1
0
− ∂u
∂y (γ 1(s)) ds
avec z 0 = γ(0)
Si v existe (avec v(z 0 ) = 0) alors il est unique. Pour l’existence, si γ est un lacet fermé, il faut montrer
que l’intégrale des “incréments de v” le long de ce lacet est nul. Pour cela on considére un petit lacet de
largeur ɛ et on montre que l’incrément et en o(ɛ 2 ). En dimension 2, si on pose F (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
alors si on fait le développement limité (comme dans R 2 )
( ) ∂u
F (z 0 + h) = F (z 0 ) +
}{{}
h
∈C
×
∂x + i ∂v
∂x
} {{ }
F ′ (z 0)
(z 0 ) + o(h)
4

Formellement, on obtient donc :
F (z 0 + h) − F (z 0 )
h
h→0 dans C
−−−−−−−→ F ′ (z 0 )
Première partie
Fonctions holomorphes, fonctions analytiques
2 Définitions, premières remarques
Soit Ω un ouvert dans C, z 0 ∈ Ω. On dit qu’une fonction F : Ω → C est holomorphe en z 0 si
converge lorsque h → 0 dans C vers un nombre complexe que l’on note F ′ (z 0 ) :
Attention : h → 0 dans C
F (z 0 + h) = F (z 0 ) + hF ′ (z 0 ) + o(h)
Remarque 2.0.2. Holomorphe en z 0 =⇒ continu en z 0
Remarque 2.0.3. Si F est C 2 au voisinage de z 0 et F holomorphe alors si on pose F = u + iv
( ∂u
F (x 0 + iy 0 + x) = F (x 0 + iy 0 ) + x
∂x + i ∂v )
(x 0 + iy 0 ) + o(x)
∂x
( ) ∂u
F (x 0 + iy 0 + iy) = F (x 0 + iy 0 ) + y
∂y + i∂v (x 0 + iy 0 ) + o(y)
∂y
( ∂u
d’où
∂x + i ∂v )
(z 0 ) = F ′ (z 0 ) = 1 ( ) ∂u
∂x
i ∂y + i∂v (z 0 )
∂y
=⇒ ∂u
∂x = ∂v
∂y ∧ ∂u
∂y = − ∂v
∂x
F (z0+h)−F (z0)
h
Plus généralement : Si pour chaque η ∈ {z | |z| = 1}, on définit la dérivée directionnele de F dans la direction
η par :
∂F (def) F (z 0 + ηh) − F (z 0 )
= lim
∂η h→0 h
dans R
Alors F holomorphe en z 0 =⇒ ∀η, F ′ (z 0 ) = 1 η
Remarque 2.0.4.
F (z 0 + h) = F (z 0 ) + h F ′ (z 0 ) +o(h)
} {{ }
ρe iθ
Localement, « F » au premier ordre se comporte comme une similitude au voisinage de z 0 .
∂F
∂η
Définition 2.1. Une fonction F est holomorphe dans Ω si elle est holomorphe en tout point z 0 de Ω.
Remarque 2.0.5. Si F est C 2 alors si on pose u = R(F ) et v = I(F ), on a vu que
alors
d’où
∂u
∂x = ∂v
∂y
et
∂u
∂y = − ∂v
∂x
∂ 2 u
∂x 2 = ∂2 v
∂y∂y et ∂2 u
∂y 2 = − ∂2 v
∂x∂y
∂ 2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 = 0
5

Quelques exemples : Si F et G sont deux fonctions holomorphes dans Ω alors
– F + G l’est aussi (et (F + G) ′ = F ′ + G ′ )
– F × G l’est aussi (et (F × G) ′ = F ′ × G + F × G ′ )
– Si G ≠ 0 en tout point, F G est aussi holomorphe et ( )
F ′
G =
F ′ G−F G ′
G 2
– l’application z ↦→ z est holomorphe
– par conséquent tous les polynômes sont des fonctions holomorphes sur C.
– Toutes les fractions rationelles P (z)
Q(z)
sont des fonctions holomorphes sur leur ensemble de définition.
– Si F (z) = ∑ (
) −1
n≥0 a nz n avec R := lim sup n |a n | 1 n ≥ 1 alors F est holomorphe dans le disque unité
U = {z | |z| < 1}. Plus généralement F est holomorphe sur le disque ouvert de rayon R.
Preuve 2.1. On veut montrer que si z 0 ∈ U, F est holomorphe en z 0 .
On pose ˜F (z 0 ) = ∑ n≥0 na nz n−1
0
∑
n≥0
Remarque 2.0.6. ˜F (z0 ) est bien définie.
On veut montrer que
∑
n≥0
a n (z 0 + h) n − a n z n 0
h
a n
[ (z0 + h) n − z n 0
h
h→0 dans C
−−−−−−−−→ •
]
− nz0
n−1 h→0 dans C
−−−−−−−−→ 0
Idée : on fixe ɛ > 0 alors ∃N, ∀h petit tel que D(z 0 , |h|) ⊂ D(0, R)
∑
[ (z0 + h) n − z n ] ∣ 0 ∣∣∣∣ a n − nz0
n−1 ≤ ɛ
∣
h
et ensuite pour ce N donné, ∃h 0
n≥N
∣ ∣∣∣∣∣ N ∑
n≥0
a n
[ (z0 + h) n − z n 0
h
] ∣ ∣∣∣∣
− nz0
n−1 ≤ ɛ
pour tout |h| ≤ h 0 .
Conclusion : Une série entière ∑ n≥0 a nz n est holomorphe sur son disque de convergence.
3 Intégrale de contours et formule de Cauchy
3.1 Définition d’intégrale le long de chemins dans C
Supposons que γ est une fonction C 1 de [0; T ] → C. On se donne f une fonction continue sur un voisinage
de l’image de γ([0; T ]). On définit
∫
«
γ
f(z) dz » (def)
=
∫ T
0
f(γ(s)) · γ ′ (s)
} {{ }
∈ C
ds
6

Remarque 3.1.1. Si on change la paramétrisation de γ, c’est à dire si φ est une bijection croissante C 1 de
[0; S] → [0; T ] et on pose ˜γ(s) = γ(φ(s)). Alors
∫
˜γ
f(z) dz =
=
t = φ(s) → =
∫ S
0
∫ S
0
∫ T
0
f(γ(φ(s))) · ˜γ ′ (s) ds
f(γ(φ(s))) · γ ′ (φ(s))φ ′ (s) ds
f(γ(t)) · γ ′ (t) dt
Conclusion : ∫ f(z) dz ne dépend pas de la paramétrisation choisie par γ.
γ
Cas particulier : γ(0) = γ(T ) =⇒ « γ est un lacet »
Si γ est C 1 par morceaux, la définition de ∫ f(z) dz se généralise aisément. (On intégre sur chaque morceaux)
γ
Remarque 3.1.2. Supposons que F est une fonction holomorphe dans Ω telle que z ↦→ F ′ (z) soit continue sur
Ω, on note alors f = F ′ alors ∀γ chemin Cpm 1 à valeurs dans Ω et d’extrémités a et b
∫
γ
f(z) dz = F (b) − F (a)
Preuve 3.1.
∫
f(z) dz =
γ
=
∫ S
0
∫ S
0
F ′ (γ(s))γ ′ (s) ds
(F ◦ γ) ′ (s) ds ← dérivée de fonctions composées
= F (γ(S)) − F (γ(0)) ← intégration réelle
= F (b) − F (a)
Conséquence : Si γ est un lacet dans Ω alors ∫ γ f(z) dz = 0 si f = F ′ est continue dans Ω (avec f et F
holomorphes).
Attention : il existe des fonctions f holomorphes et des lacets γ tels que ∫ f(z) dz ≠ 0.
γ
Exemple : γ est une paramétriqation du cercle unité : t ↦→ e it et f(z) = 1 z
. On a alors :
∫
γ
∫
dz 2π
z = ie it dt
0 e it = 2iπ ≠ 0
Le but du prochain paragraphe sera pourtant de voir que si γ est un lacet sans point double et si f est
holomorphe sur Ω qui contient γ « et tout l’intérieur de γ » alors ∫ f(z) dz = 0.
γ
3.2 Théorème de Gowsat
On se donne un triangle T orienté et une fonction f holomorphe sur un voisinage de T ∪ { l’intérieur de
T } (f holomorphe sur Ω ouvert qui contient Z où Z est la surface du triangle). Alors
Théorème 3.1. ∫ T f(z)dz = 0 7

Preuve 3.2. Par l’absurde, supposons que ∫ T f(z)dz ≠ 0. On divise T en 4 triangles T 1 , T 2 , T 3 , T 4
∫
∫
∫
∫
∫
f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz + f(z) dz + f(z) dz
T
T 1 T 2 T 3 T ∫
∣∫ ∣ 4 =⇒ ∃j ∈ {1, 2, 3, 4},
∣ f(z) dz
f(z) dz ∣ ≥
T 4
j
∥ ∫ f(z) dz
T ∣
1
4
.
On note T 1 ce triangle. On divise T 1 en 4 triangles, et l’un des 4 (noté T 2 ) vérifie ∣ ∫ T 2
f(z) dz∣ ≥
Par récurrence, il existe une suite de triangles emboités (T n ) n telle que :
le périmètre de T n = 1
2
× périmètre de T .
n
l’aire de T n = 1
4
× aire de T .
n
l’aire de T n = 1
4
× aire de T .
n
– ∣ ∫ T n
f(z) dz∣ ≥ 1 4
∣ ∫ ∣∫
T n−1
f(z) dz∣ ≥ . . . ≥ 1
4 n T f(z) dz∣ ∣
T n est une suite de fermés emboités dont le « rayon » tend vers 0 donc ∃z 0 ∈ ⋂ n T n.
On sait que diamètre T n ≤ cste
2
et donc ∀z ∈ T n n , |z − z 0 | ≤ cste
2
. On sait que f est holomorphe en z n 0
donc lorsque z −→ C z 0
f(z) = f(z 0 ) + (z − z 0 )f ′ (z 0 ) + o(z − z 0 )
∫
∫
f(z) dz =
T n
T n
f(z 0 ) dz
} {{ }
=0
∫
+
T n
(z − z 0 )f ′ (z 0 ) dz
} {{ }
=0
∫
∣ ∣∣∣ ∣ f(z) dz
∣ = ‖z − z 0 ‖ · R(z − z 0 ) dz
∣
T n
∫T n
∫
+ ‖z − z 0 ‖ · R(z − z 0 ) dz
T n
≤ cste
2 n × Périmètre(T n) × MANQUEQUELQUECHOSE
≤ cste
4 n u n
8

avec R(z − z 0 ) −−−→
z→z 0
0.
Or par construction
∫
∣∫
∣ f(z) dz
∣ ≥ T f(z) dz∣ ∣
T n
4 n
On a donc une contradiction car alors
cste
4 n u ∣ ∫ T
n ≥
f(z) dz∣ ∣
4 n
Remarque 3.2.1. Si R est un rectangle orienté dont l’intérieur est contenu aussi dans un ouvert Ω et si f est
holomorphe dans Ω alors ∫ f(z) dz = 0 (il suffit de couper le rectangle en deux triangles).
R
3.3 Conséquence
Supposons que f est holomorphe dans un disque D(0, r). On va fabriquer une fonction F holomorphe
dans D(0, r) telle que F ′ = f. A chaque z 1 ∈ D(0, r) on associe le chemin γ z1 de 0 à z 1 comme sur le schéma
2 et on pose :
∫
F (z 1 ) = f(z) dz
γ z 1
Alors
car
∫
F (z 1 + h) − F (z 1 ) = f(z) dz
∫
∫
f(z) dz = 0 et
˜γ
ˆγ
[z 1;z 1+h]
f(z) dz = 0
∫
F (z 1 + h) − F (z 1 ) =
[z 1;z 1+h]
∫
= hf(z 1 ) +
(f(z 1 ) + R(z)) dz avec R(z) −−−→ z→z1
0
[z 1;z 1+h]
R(z) dz
9

Or ∣ ∫ ∣ ∣∣
[z R(z) dz 1;z 1+h] ≤ ‖h‖ maxD(0,r) R
Donc
F (z 1 + h) − F (z 1 ) h∈C→0
−−−−−→ f(z 1 )
h
Conclusion : f est continue et est la dérivée d’une autre fonction holomorphe F dans D(0, r) =⇒ ∀γ lacet
(C 1 par morceaux) inclus dans le disque alors
∫
f(z) dz = 0
γ
Résumé ∫ : si f est holomorphe dans un disque D(z 0 , r) alors ∀γ lacet (C 1 par morceaux) inclus dans ce disque
f(z) dz = 0.
γ
Supposons maintenant que f est holomorphe dans un domaine D(z 1 , R) \ D(z 0 , r) (en fait f est holomorphe
sur un voisinage de cet ensemble). On définit γ 1 le bord extérieur et γ 2 le bord intérieur (cf schéma 5).
Théorème 3.2. Alors :
∫
∫
f(z) dz = f(z) dz
γ 1 γ 2
Preuve 3.3. On divise D(z 1 , R) \ D(z 0 , r) en plein de parcelles disjointes de diamètre <
schéma 6) et avec des bords C 1 par morceaux.
ɛ
10
chacune (cf
Pour chaque parcelle, f est holomorphe dans un disque qui contient cette parcelle donc ∫ f(z) dz =
contour de la parcelle
0. On somme sur toutes les parcelles (cf schéma 7). Tout se simplifie sauf les contributions de γ 1 et γ 2 .
=⇒
∫
f(z) dz =
γ 1 ∫
f(z) dz
γ 2
10

3.4 Formule de Cauchy
Théorème 3.3. Supposons que f est holomorphe sur un voisinage d’un disque D = D(z 0 , R). Soit a ∈ D.
Soit γ le bord du disque orienté directement. Alors :
f(a) = 1 ∫
f(z)
2iπ z − a dz
Preuve 3.4. Soit a fixé dans D(z 0 , R). La fonction z ↦→ f(z)
z−a est holomorphe sur un voisinage de D(z 0, R) \
D(a, r) (pour tout r donné). On applique le résultat précédent à cette fonction ˜f(z) = f(z)
z−a
∫
∫
˜f(z) dz = ˜f(z) dz
γ
γ
C(a,r) +
∫
C(a,r) +
∫
f(z)
2π
z − a dz =
=
0
∫ 2π
0
f(a + re it ).ire it
dt
re it
if(a + re it ) dt
= 2iπ × Moyenne de f sur C(a, r) +
r→0
−−−→ 2iπf(a)
car f continue en a
Conclusion : La donnée de f sur γ caractérise complétement la donnée de f dans « l’intérieur de γ »
On peut voir le résultat précédent comme une intégrale à paramètre. De plus, a étant dans l’intérieur du
disque, ∃ɛ > 0, ∀z ∈ γ, |z − a| ≥ ɛ.
Conséquence :
11

– Soit a ∈ D, et h avec ‖h‖ petit
f(a + h) − f(a)
h
= 1 ∫
2iπ
= 1 ∫
2iπ
γ
γ
f(z)
h
[
1
z − a − h − 1 ]
dz
z − a
dz
f(z)
(z − a)(z − a − h)
∫
1
dz
f(z)
2iπ (z − a) 2
(Convergence dominée)
−−−−−−−−−−−−−−→
h→0
} {{ }
intégrale unidimensionnelle
γ
Donc
– De même on montre que
∀a ∈ D, f ′ (z) = 1 ∫
f(z)dz
2iπ γ (z − a) 2
f ′ (a + h) − f ′ (a)
h
h→0
−−−→ 2 ∫
2iπ γ
– Si f est holomorphe dans un ouvert Ω alors f ′ l’est aussi.
– On a
f (n) = n! ∫
f(z)dz
2iπ (z − a) n+1
γ
f(z)dz
(z − a) 3
Théorème 3.4. (De Morera) Si f est une fonction continue dans un disque D telle que ∀T triangle ⊂ D
∫
f(z)dz = 0
alors f est holomorphe.
Preuve 3.5. On définit ∀Z ∈ D, F (Z) = ∫ T Z
f(z)dz (cf schéma 9) alors F est holomorphe
et F ′ = f =⇒ f est holomorphe car dérivée d’une fonction holomorphe.
T
(
F (Z+h)−F (Z)
h
)
h→0
−−−→ f(Z)
∫
On se donne f holomorphe au voisinage du disque D et on sait qu’alors ∀a ∈ D, f(a) = 1 f(z)dz
2iπ γ z−a .
12

Supposons pour commencer que le centre du disque est 0 et que D a pour rayon R. Alors
f(a) = 1 ∫
f(z)dz
2iπ γ z(1 − a z )
= 1 ∫
f(z) ∑ ( a
) n
dz
2iπ γ z z
n≥0
= 1 ∫ 2π
f(Re it )iRe it ∑ ( a
) n
2iπ 0 Re it Re it dt
n≥0
} {{ }
|·|≤sup γ |f| ∑ ( |a|
R ) n
= 1 ∑
∫
f(z)a n
2iπ
n≥0
γ z n+1 dz
= ∑ ( ∫ )
1 f(z)
2iπ
n≥0
γ z n+1 dz a n
} {{ }
|·|≤ sup γ |f|
R n
Conclusion : f(a) = ∑ n≥0 A ∫
na n avec A n = 1 f(z)dz
2iπ γ z
=⇒ f est en fait une série entière de rayon de
n+1
convergence ≥ R. De même si le centre z 0 du disque n’est pas 0 :
∀a ∈ D, f(a) = ∑ ( ∫
)
1 f(z)dz
2iπ
n≥0
γ (z − z 0 ) n+1 (a − z 0 ) n
Remarque 3.4.1. On dit qu’une fonction f définie sur un ouvert Ω est analytique si ∀D disque D(z 0 , R) ⊂ Ω, f
s’ecrit comme une série entière au voisinage de z 0 . Avec cette définition on vient de voir que f est holomorphe
dans Ω ⇐⇒ f est analytique dans Ω.
Récapitulatif : On a équivalence entre :
– f est holomorphe dans D disque
– f est une série entière qui converge dans D
– f continue et ∀T triangle ∫ T f(z)dz = 0
– f = u + iv où u et v sont des fonctions harmoniques conjuguées.
3.5 Autres conséquences sympathiques de la formule de Cauchy
Théorème 3.5. Si f est une fonction holomorphe dans Ω ouvert connexe et s’il existe une suite z k dans Ω
qui converge vers z ∞ (/∈ {z k , k ≥ 0}) dans Ω avec ∀k, f(z k ) = 0 alors f = 0.
Conséquence : Si Ω est connexe ouvert, f et g deux fonctions holomorphes dans Ω qui sont égales dans
un petit disque D ⊂ Ω alors f = g dans Ω.
Preuve 3.6. (de la conséquence) f − g est holomorphe dans Ω, on a une suite z k qui converge dans D et
(f − g)(z k ) = 0 =⇒ f − g = 0. C’est l’unicité du prolongement analytique (s’il existe).
Autre formulation : Si Ω est un ouvert connexe et si z k est une suite de points distincts dans Ω qui
convergent vers un point z ∞ ∈ Ω, alors ∀(f k ) k≥0 suite dans C, il existe au plus une fonction analytique dans
Ω telle que ∀k, f(z k ) = f k
Preuve 3.7. 1ère étape :
On montre que f = 0 au voisinage de z ∞ . Supposons que f n’est pas nulle au voisinage de z ∞ , comme on
13

sait que f est analytique au voisinage de z ∞ , on a ∀z proche de z ∞ , f(z) = ∑ n≥0 a n(z − z ∞ ) n et comme
f ≠ 0, ∃n, a n ≠ 0. Soit n 0 le plus petit n avec a n non nul alors
f(z) = a n (z − z ∞ ) n0 [1 + o(1) ]
}{{}
−−−→ 0
z→z 0
∃ρ tel que ∀z |z − z ∞ | < ρ |”o(1)”| ≤ 1 2 et alors |f(z)| ≥ |a n 0
| · |z − z ∞ | n0 1
2 et donc ∀z ∈ D(z ∞, ρ) \ z ∞ ,
f(z) ≠ 0 ce qui contredit l’hypothése (car dans ce disque il y a des z k ).
2ème étape :
On note Ω ′ = {a ∈ Ω | ∃voisinage de z sur lequel f = 0} On sait que Ω ′ est ouvert par définition, l’étape 1
montre que si z k −→ z ∞ avec z k ∈ Ω ′ et z ∞ ∈ Ω alors z ∞ ∈ Ω ′ donc Ω ′ est fermé. =⇒ Ω ′ = Ω car Ω est
connexe et Ω ′ ≠ ∅ (cf étape 1).
Résultat plus anecdotique :
Théorème 3.6. Si f est une fonctionholomorphe sur C tout entier et qui est bornée (∃M < ∞ : ∀z ∈ C, |f(z)| ≤ M)
Alors f est constante.
On peut faire une analogié avec les polynomes ( « polynômes infinis »).
Preuve 3.8. Soit z 0 ∈ C, R > 0 (grand), alors comme f est holomorphe sur C tout entier, si γ R dénote le
cercle de centre z 0 et de rayon R « orienté », on a :
f ′ (z 0 ) = 1 ∫
f(z)dz
2iπ (z − z 0 ) 2
donc
|f ′ (z 0 )| ≤ 1 ∫ 2π
sup γR
|f| · Rdt
2π 0 R 2 = sup γ R
|f|
≤ M R→∞
−−−−→ 0
R R
Conclusion : f ′ (z 0 ) = 0 Ceci est vrai ∀z 0 =⇒ f ′ = 0 =⇒ f = cste
Remarque 3.5.1. Dans cette preuve on a utilisé une majoration de |f ′ (z 0 )| due à la formule de Cauchy. On
peut démontrer immédiatement de façon analogue que si f est holomorphe sur un voisinage de D(z 0 , R)
alors
sup γR
f
γ R
|f (n) | ≤ 1 n! R n
Par ailleurs, si |f| est minorée par un ɛ > 0 sur D(0, 1). Donc (exo) f est bornée sur C (il suffit de
1
considérer
f( 1 z
)).
Conclusion f est constante
3.6 Suites de fonctions holomorphes
a) On suppose que (f n ) est une suite de fonctions holomorphes sur un même voisinage du disque unité
D = D(0, 1) [ = ∃epsilon : ∀nf n est holomorphe sur D(0, 1 + 2ɛ) ]. On suppose qu’il existe M > 0 tel que
∀z ∈ D(0, 1 + ɛ), ∀n, |f n (x)| ≤ M
Théorème 3.7. Alors ∃n k ↗ strictement (⇐⇒ f nk sous-suite de (f n )), ∃f holomorphe tels que f nk (0, 1) D f
et f ′ n k
(0, 1) D f ′ et f ′′
n k
(0, 1) D f ′′ , etc...
Notion de convergence pour les fonctions :
– 1er ingrédient : Étant donné f n : [0; 1]− > [0; 1], on peut trouver une sous-suite n 1 (k) telle que f n1(k)(0)
converge (but compact). Puis on peut à nouveau extraire une sous-suite n 1 (n 2 (k)) telle que f n1(n 2(k))(1)
converge. Ainsi de suite, étant donné une suite dense (x k ) dans [0; 1] (source séparable), on peut définir
une extraction N k (k) = n 1 (n 2 (. . . n k (k) . . .)) telle que ∀x j , f Nk (x j ) converge.
14

– 2nd ingrédient : l’Équicontinuité
(f n ) est équicontinue si ∀ɛ > 0, ∃δ, ∀n, ∀x, ∀y, |x − y| ≤ δ =⇒ |f n (x) − f n (y)| < ɛ
Preuve 3.9. Soit γ le cercle de centre 0 et de rayon 1 + ɛ orienté positivement. On fait la convergence en
deux étapes
– d’abord sur le cerle
– puis on « remplit » le disque
On choisit γ ′ le cercle de centre 0 et de rayon 1 + ɛ 2
. On sait que :
1. La suite de fonction f n restreinte à γ ′ est une suite de fonctions continues, bornées par M.
2.
car
∀z ∈ γ ′ , ∀n, |f ′ n(z)| ≤
∫
f n(z) ′ =
γ
M
( n 2 )2
1 f(z ′ )dz ′
2π (z ′ − z) 2
Conclusion : ∃N k ↗ une suite, ∃g une fonction continue sur γ ′ telle que f ′ Nk → +∞ γ
g
Mais alors, par convergence dominée : ∀a ∈ D(0, 1)
∫
∫
f Nk dz k→+∞ g(z)dz
−−−−→
z − a
γ z − a
′
et plus généralement :
∫
γ ′
γ ′
f Nk dz
(z − a) 2 k→+∞
−−−−→
f Nk
f (n)
N k
∫
1
2iπ
∫
1
2iπ
γ ′
γ ′
∫
γ ′
g(z)dz
z − ·
g(z)dz
(z − a) 2
:= f(·)
g(z)dz
:= f(·)
(z − ·)
n+1
Il faut encore montrer que f est une fonction holomorphe : Si T est un triangle dans D(0, 1)
∫
∫
0 = f Nk (z)dz k→+∞
−−−−→ f(z)dz = 0
Par le théorème de Morera, f est donc bien holomorphe.
T
Théorème 3.8. Si f n est une suite de fonctions holomorphes sur une même ouvert Ω avec ∃M, ∀z, ∀n, |f n (z)| ≤
M alors il existe une sous-suite N k telle que f Nk converge sur tous compact K ⊂ Ω vers une fonction holomorphe
f (et on a aussi la convergence uniforme des dérivées).
Preuve 3.10. On choisit une famille de disque fermés recouvrant Ω (et inclus dans Ω), puis on extrait une
famille finie recouvrant K. Sur chaque disque la convergence est uniforme (on peut intercaller un disque dans
Ω contenant strictement notre disque et de rayon ɛ plus grand).
3.7 Zéros de fonctions holomorphes II
Soit f une fonction holomorphe sur Ω connexe ouvert
T
k
15

Rappel : Si f est non constante, alors il n’existe pas de suite z n
n→+∞
−−−−−→ z ∞ avec z ∞ ∈ Ω et z n ≠ z ∞ qui
vérifie ∀n, f(z n ) = 0
Définition 3.1. Si f est holomorphe non-constante dans Ω et si f(z 0 ) = 0, on appelle multiplicité du zéro
z 0 la valeur entière n 0 telle qu’il existe a n0 ≠ 0 avec f(z) = a n0 (z − z 0 ) n0 + o((z − z 0 ) n0 ) lorsque z → z 0 .
(l’existence et l’unicité de n 0 à cause du développement en série entière de f au voisinage de z 0 )
Théorème 3.9. Si f est holomorphe au voisinage d’un disque D et si γ désigne le cercle orienté positivement
de D. Si ∀z ∈ γ, f ≠ 0 alors si z 1 , . . . , z J désignent les zéros de f dans D
où n(z) est la multiplicité du zéro z.
J∑
j=1
n(z j ) = 1 ∫
f ′ (z)dz
2iπ γ f(z)
(Si une telle formule surprend, c’est surtout que l’on a pas compris la formule de Cauchy).
∫
f ′ ∫
(z)dz
= d ln(f(z))
f(z)
(Informellement)
Preuve 3.11. Pour ɛ petit, on considère l’ouvert D \ ⋃ J
j=1 D(z j, ɛ) = D ɛ , f ′
f
même sur un voisinage de D ɛ ). Alors
J ɛ j
J ɛ j
∫
γ
γ
f ′ (z)dz
f(z)
=
γ
J∑
∫
j=1
J ɛ j
f ′ (z)dz
f(z)
Mais (avec un développement limité à l’ordre 2)
∫
f ′ ∫ [ ]
(z)dz (exo) n(zj )
=
+ O(1) dz = 2iπn(z j ) + O(ɛ) −−→ 2iπn(z j )
f(z)
z − z j ɛ→0
est holomorphe dans Dɛ (et
Conséquence : Si f et g sont deux fonctions holomorphes au voisinage d’un disque D et ∀z ∈ ∂D, |f(z)| >
|g(z)| (=⇒ f et f − g non nulle sur ∂D) alors le nombre de zéros (multiplicité comprise) de f dans D est
égual au nombre de zéros de f − g dans D.
Preuve 3.12. ∀t ∈ [0; 1] on définit f t (z) = f(z) − tg(z). Par hypothése, ∀t ∈ [0; 1], f z ≠ 0 sur ∂D. Donc
∀t, (#zéros de f t dans D) = 1 ∫
f t(z)dz
′
2iπ ∂D f(z)
+
∫
1 f t(z)dz
′ = 1 ∫
f ′ (z) + tg ′ (z)
2iπ ∂D f(z) 2iπ
+
∂D f(z) + tg(z) dz
est une fonction continue par rapport à t sur [0; 1] et à valeurs entière.
Conclusion c’est une fonction constante et la valeur en 0 est la même que celle en 1.
Récapitulatif :
∫
– Si f est holomorphe dans Ω ouvert =⇒ f ′ aussi etc . . . et
cercle ⊂ Ω.
Cercle
f(z)dz = 0 si le disque intérieur au
16

– Si f est holomorphe dans un disque on peut définir F holomorphe dans le même disque avec F ′ (z) =
f(z) ∫
dz
– Mais
C(0,1) z = 2iπ
Question : Quelle hypothése naturelle faut-il pour qu’une fonction f holomorphe dans un ouvert Ω
admette une primitive
Définition 3.2. On dit que deux chemins continus γ 0 et γ 1 de a à b dans l’ouvert Ω sont homotopes dans
Ω si ∃Γ une application [0; 1] × [0; T ] → Ω continue telle que :
– ∀s ∈ [0; 1], Γ(s, 0) = a, Γ(s, T ) = b
– γ 0 (·) = Γ(0, ·)
– γ 1 (·) = Γ(1, ·)
Théorème 3.10. Si f est holomorphe dans Ω ouvert et si γ 0 et γ 1 sont homotopes dans Ω alors
∫
∫
f(z)dz = f(z)dz
γ 0 γ 1
Preuve 3.13. ∃ɛ d(∁Ω, Γ([0; 1]×[0; T ])) > 4ɛ. Γ est continue sur [0; 1]×[0; T ] =⇒ ∀ɛ > 0, ∃δ > 0∀s 1 , s 2 , t 1 , t 2
|s 1 − s 2 | < δ et |t 1 − t 2 | < δ =⇒ |Γ(s 1 , t 1 ) − Γ(s 2 , t 2 )| < ɛ
∫
∃N et s 0 = 0, s 1
∫
= 1 N , . . . , s N = 1, t 0 = 0, t 1 =
1
N , . . . , t N = 1 de sorte que 1 N < δ et T N < δ. Montrons que f(z)dz = f(z)dz,
Γ(s j,·)
Γ(s j,·)
Γ(s j , [t i , t i+1 ]) ∪ [Γ(s j , t i+1 ); Γ(s j+1 , t i+1 )] ∪ Γ(s j+1 , [t i+1 ; t i ]) ∪ [Γ(s j+1 , t i ); Γ(s j , t i )]
est un circuit de diamètre ≤ 2ɛ, contenu dans un disque de rayon 2ɛ contenu dans Ω l’intégrale de f le
long de ce chemin ∫ est nul. Si ∫ on fait la somme de toutes ces intégrales pour i = 0, . . . , N − 1, on trouve
exactement f(z)dz = f(z)dz.
Γ(s j,·)
Γ(s j,·)
Définition 3.3. On dit que Ω ouvert connexe est simplement connexe si ∀a, ∀b ⊂ Ω, ∀γ 0 , γ 1 chemins continus
reliant a à b dans Ω, γ 0 est homotope γ 1 .
Théorème 3.11. Si Ω est un ouvert simplement ∫connexe et si f est holomorphe dans Ω alors
∀γ circuit C 1 par morceaux formé dans Ω, f(z)dz = 0
∃F holomorphe dans Ω avec F ′ = f (f admet une primitive dans Ω)
γ
Preuve 3.14. Pour Le premier point, on combine la définition de la simple connexité, le théorème précédent
et le fait que ∫ γ est homotope au chemin ˜γ qui reste en un point de γ. Pour le second point, on a montré que
l’intégrale f(z)dz où γ est un chemin reliant a à b dans Ω ne dépend pasdu choix de ce chemin ( ne
γ
dépend que du choix de a et b). On fixe a ∈ Ω, et on pose F (b) = ∫ f(z)dz pour γ un chemin a → b qui
γ
reste dans Ω. En particulier si γ a→b est un tel chemin, alors ∀c proche de b : « γ a→b ∪ [b; c] » est un chemin
reliant a à c dans Ω et :
∫
F (c) − F (a) = f(z)dz ∼ f(b)(c − b) lorsque c → b
=⇒ F est holomorphe en b et F ′ (b) = f(b).
[b;c]
1
∫
Conséquence : C \ {0} n’est pas simplement connexe. En effet,
z
est holomorphe sur C \ {0} et
dz
C(0,1) z ≠ 0.
+
Conséquence importante : Si Ω est un ouvert simplement connexe qui contient 1 mais pas 0, il existe
une unique primitive de 1 z dans Ω qui vaut 0 en 1. On la note log Ω(z).
17

Remarque 3.7.1. La fonction
exp(z) = ∑ n≥0
z n
n!
est définie sur C. Elle vérifie (si on pose E(z) = exp(z) : E ′ (z) = E(z). Si Ω est simplement connexe alors
on a :
∀z ∈ Ω, exp(log Ω (z)) = z
Preuve 3.15. Si G(z) = log Ω (z), on a ∀z ∈ Ω, G ′ (z) = 1 z
. On pose H(z) = zE(−G(z)). On dérive :
H ′ (z) = E(−G(z)) − E(−G(z)) = 0 et H(1) = 1. Donc H = 1.
4 Tranformations conformes
Idée / Approche : Voir les applications holomorphes « localement » comme des applications qui
transforment/envoie un ouvert Ω en/vers un autre ouvert Ω’.
4.1 Introduction & définition
⋆ Si f est holomorphe au voisinage d’un point z 0 et si f ′ (z 0 ) ≠ 0 alors ∃r > 0 (ou alors ∀r assez petit),
f est une bijection de D(z 0 , r) dans f(D(z 0 , r)).
Preuve 4.1. f ′ est continue donc ∃r > 0 tel que ∀z ∈ D(z 0 , r),
Donc :
|f ′ (z) − f ′ (z 0 )| ≤ |f ′ (z 0 )|
=⇒ ∀z ∈ D(z 0 , r), |f ′ (z)| ≥ |f ′ (z 0 )|
2
2
∫
∀z 1 , z 2 ∈ D(z 0 , r), f(z 2 ) − f(z 1 ) = f ′ (z)dz
[z 1;z 2]
|f(z 2 ) − f(z 1 )| ≥ |z 2 − z 1 | |f ′ (z 0 )|
2
⋆ Si f est holomorphe au voisinage d’un point z 0 et si f ′ (z 0 ) = 0 alors ∀r > 0, f |D(z0,r) n’est pas injective.
Autrement dit : ∀r > 0, ∃z 1 ≠ z 2 ∈ D(z 0 , r) avec f(z 1 ) = f(z 2 ).
Preuve 4.2. On peut supposer f non constante (=⇒ f ′ n’est pas constamment nulle au voisinage de z 0 =⇒
∃r 0 tel que f ′ n’a pas d’autre 0 que z 0 dans D(z 0 , r 0 ). Au voisinage de z 0 : f(z) = f(z 0 ) + a k (z − z 0 ) k +
o((z − z 0 ) k ) avec k ≥ 2(car f ′ (z 0 ) = 0 et k < ∞ (car f est non constante). Si on pose f z0 (z) = f(z) − f(z 0 )
alors z 0 est un zéro de multiplicité k ≥ 2 de f z0 . D’aprés le théorème de Rouché,
∫
si on se donne r < r 0 et
f ′ (z)
si on choisit un cercle γ centré en z 0 dans D(z 0 , r) tel que f ≠ f(z 0 ) sur γ alors
dz = 2iπ{
γ f(z) − f(z 0 )
nombre de zéros de f z0 à l’intérieur de γ } ≥ 2 × 2iπ. Ainsi ∀η ∈ C suffisament proche de 0, on aura aussi
f ′ (z)
dz = la même chose.
f(z) − f(z 0 ) − η
Ainsi ∀η assez petit, f(z) − f(z 0 ) − η a au moins deux zéros à l’intérieur de γ. Ces deux zéros z 1 et z 2
sont forcéments distincts car sinon, on aurait f ′ (z 1 ) = 0 ce qui n’est pas possible par définition de r 0 .
Conclusion : Pour qu’une fonction holomorphe au voisinage de z 0 puisse être localement interprétée
comme une bijection, il faut et il suffit que f ′ (z 0 ) ≠ 0.
Définition 4.1. On dit que f définie sur un ouvert Ω de C est une transformation conforme si
→ f est holomorphe dans Ω.
→ f est une bijection de Ω → f(Ω).
Si Ω 1 = f(Ω), on dit aussi que f est alors une transformation conforme de Ω dans Ω 1 .
18

Remarque 4.1.1. On vient de voir que si f est une transformation conforme de Ω → Ω, alors ∀z ∈ Ω, f ′ (z) ≠ 0.
Remarque 4.1.2. Alors f(Ω) est un ouvert aussi, et on peut définir f −1 : f −1 : f(Ω) → Ω, et df −1 est
holomorphe aussi ( si Z 0 = f(z 0 ) ) :
et on a
z 0+h(H)
{ }} {
f −1 (Z 0 + H) −f −1 (Z 0 )
=
H
h(H)
f(z 0 + h(H)) − f(z 0 )
(f −1 ) ′ (f(z 0 )) = 1
f ′ (z 0 )
H∈C→0
−−−−−→ 1
f ′ (z 0 )
Exemples : Il y a plein de transformations conformes définies sur Ω = U = {z | |z| < 1}, il suffit de
considérer une série entière de rayon de convergence quelconque ∑ n≥0 a nz n et de choisir : φ(z) = ∑ n a n(ɛz) n
avec ɛ assez petit.
Remarque 4.1.3. L’ensemble des transformations conformes d’un ouvert Ω dans lui même ( { automorphismes
conformes de Ω } ) est un groupe.
Exemples :
– Quelques automorphismes conformes de H = {z = x + iy|y > 0} :
→ translation horizontale : z ↦→ z + a, a ∈ R
→ homothéties centrées en 0 : z ↦→ λz, λ > 0
→ z ↦→ −1
z
– Il existe des transformations conformes H −→ U
ψ : z ↦→ z + i
z − i
F est un automorphisme conforme de H ⇐⇒ ψ ◦ F ◦ ψ −1 est un automorphisme conforme de U.
– Quelques automorphismes conformes de U
ψ α : z ↦→ z − α
ᾱz − 1
où α ∈ U. ψ α « échange » α et 0. Le calcul montre que ψ −1
α
4.2 Le théorème de Riemann
Théorème 4.1. Soit Ω un ouvert simplement connexe dans C et z 0 un élément de Ω, (et on suppose Ω ≠
C ). Alors il existe une unique transformation conforme φ de Ω dans le disque unité U avec φ(z 0 ) = 0 et
φ ′ (z 0 ) ∈ R + .
Lemme 4.1. Clé #1 (Lemme de Schwarz) Si f est une application holomorphe sur U avec f(U) ⊂ U et
f(0) = 0 alors ∀z ∈ U, |f(z)| ≤ |z|. De plus s’il existe z 0 ∈ U \ {0} tel que |f(z 0 )| = z 0 alors f est une
rotation (∃θ, f(z) = e iθ z). Et si |f ′ (0)| = 1 alors f est une rotation.
Preuve 4.3. Au voisinage de 0, f(z) = ∑ n≥1 a nz n donc f(z)
z
= ∑ n≥1 a nz n−1 est holomorphe au voisinage
de 0. Si on pose G(z) = f(z)
z
, on a une fonction holomorphe dans U. Sur U, f est bornée par 1, donc ∀r < 1,
on sait que ∀z ∈ ∂D(0, r), |G(z)| ≤ 1 r , or d’aprés le principe du maximum, ∀z ∈ D(0, r), |G(z)| ≤ 1 r . Si z ∈ U
est fixé, alors ∀1 > r > |z|, |G(z)| ≤ 1 r . On fait tendre r → 1− , |G(z)| = 1. Maintenant, sil existe z 0 avec
|G(z 0 )| = 1 (le maximum est atteint à l’intérieur) alors G est constante donc G = e iθ . Pareil si |G(0)| = 1
= ψ α
19

Rappel :
– Si f n est une suite de fonctions définie sur Ω et si ∃M > 0 tel que ∀n, ∀z, |f n (z)| < M alors ∃(n k ) une
sous-suite telle que f nk converge uniformément sur tout compact K ⊂ Ω vers une fonction holomorphe
f (et alors f n ′ k
→ +∞ K
f ′ , ∀K ⊂ Ω compact).
– On a vu le lemme de Schwarz (juste ci-dessus).
k
Remarque 4.2.1. Si φ est une transformation conforme de U dans U telle que φ(0) = 0 et φ ′ (0) ∈ R + alors
φ(z) = z.
Preuve 4.4. φ et φ −1 vérifient les conditions du lemme de Schwarz donc
∀z ∈ U
{ |φ(z)| ≤ |z|
|z| ≤ |φ(z)|
=⇒ |φ(z)| = |z|
donc par le lemme de Schwarz, φ est une rotation.
Lemme 4.2. Si U est un ouvert simplement connexe avec 0 ∈ U, U ⊂ U et U ≠ U alors il existe ϕ une
transformation conforme de U dans ϕ(U) ⊂ U avec ϕ(0) = 0 et |φ ′ (0)| > 1.
Rappel : Si Ω est simplement connexe avec 0 /∈ Ω alors on peut définir une primitive de z ↦→ 1 z dans Ω
notée log Ω (·) et alors log Ω est une bijection de Ω −→ log Ω (Ω) car on sait que ∀z ∈ Ω, exp(log Ω z) = z. On
peut aussi définir « Ω√ z »:= e 1 2 log Ω (z) holomorphe dans Ω et injective.
Preuve 4.5. (du lemme) Rappel :
∃ψ α :
{ U −→ U
z ↦−→ α−z
1−ᾱz
est une bijection holomorphe dès que |α| < 1 avec ψ α (ψ α (z)) = z qui échange 0 et α (cf schéma 11). On
définit G holomorphe sur U (cf. : schéma 11), G(0) = 0, G(U) ⊂ U. Mais G n’est pas bijectif puisque ψ α et
ψ β le sont mais pas z ↦→ z 2 , donc |G ′ (0)| < 1 (s’il y avait égalité, G serait bijectif). On note que : ψα
−1 (U)
est simplement connexe, 0 /∈ ψα
−1 (U) := Ω. Alors on peut définir sur Ω, z ↦→ Ω√ z tel que ( Ω√ z) 2 = z. On note
« Ω ′ := Ω√ Ω » (cf. : schéma 12). On pose :
F := ψ −1
β
◦ Ω√· ◦ ψ −1
α
est une application holomorphe sur U qui vérifie F (U) ⊂ U, F (0) = 0, ∀z ∈ U, G(F (z)) = z =⇒ F est
injective et |F ′ (0)| = 1
|G ′ (0)| > 1
Preuve 4.6. (du théorème de Riemann)
1er cas : Ω est un ouvert simplement connexe borné, z 0 ∈ Ω. On pose
C = {f | f holomorphe et injective dans Ω, f(Ω) ⊂ Ω, f(z 0 ) = 0}
– C ≠ ∅ car ∃z ↦→ ɛ(z − z 0 ) qui appartient à C(si Ω ⊂ D(z 0 , 1 ɛ )).
– Soit r = d(z 0 , ∁Ω) de sorte que D(z 0 , r) ⊂ Ω. Si f ∈ C, alors h : z ↦→ f(z 0 + rz) est une transformation
holomorphe qui envoie U sur un sous-ensemble de U et 0 et 0 :
|h ′ (0)| ≤ 1 (Schwarz)
=⇒ |f ′ (z 0 )| ≤ 1 r
∀f ∈ C, |f ′ (z 0 )| ≤ 1 r
20

Idée : Trouver dans Cune fonction f qui « maximise » |f ′ (z 0 )|. On pose M = sup f∈C |f ′ (z 0 )|. Alors ∃f n
suite dans Ctelle que |f n(z ′ 0 )| −−−−−→ M. Or ∀n, ∀z, |f n(z)| ≤ 1 donc ∃(n k ) une sous-suite, ∃f holomorphe
n→+∞
dans Ω avec ∀K compact dans Ω
⎧
⎨
f K
nk f
⎩
f n ′ K
k
f ′
∣
en particulier : |f ′ (z 0 )| = lim k→+∞ f n ′ k
(z 0 ) ∣ = M. Que sait-on sur f :
– Elle est holomorphe sur Ω
– f(z 0 ) = 0
– |f ′ (z 0 )| = M
◦
– f(Ω) ⊂ U ⊂ U
Montrons que f est inective par l’absurde : Supposons ∃z 1 , z 2 ∈ Ω, z 1 ≠ z 2 , f(z 1 ) = f(z 2 ). Alors on définit
g n (z) = f n (z) − f n (z 1 ) et on a
⎧
⎨
⎩
g nk K
f(·) − f(z 1 )
g ′ n k K f ′
Soit γ ⊂ Ω une petite courbe autour de z 2 où f ≠ f(z 2 ) et z 1 à l’extérieur de z 1 . Alors
∫
g ′ (z)
dz = 2iπ × (nombre entier > 0)
g(z)
γ
avec g(z) = f(z) − f(z 1 ). Donc ∀k assez grand, on en déduit que g nk ≠ 0 sur γ et
∫
g n ′ k
(z)
dz = 2iπ × (nombre entier > 0)
g nk (z)
γ
=⇒ g nk a au moins un zéro à l’intérieur du cercle γ ce qui est impossible car alors ∃z ≠ z 1 ∈ Ω avec
f nk (z) = f nk (z 1 ). Conclusion : f ∈ C.
Montrons que f(Ω) = U. Par l’absurde si U = f(Ω) est un sous-ensemble stricte de U avec 0 ∈ U =⇒
∃F : U −→ F (U) ⊂ U conforme avec F (0) = 0 et |F ′ (0)| > 1 d’aprés le lemme clé et alors F ◦ f ∈ C avec
|(F ◦ f) ′ (z 0 )| = |F ′ (0)| |f ′ (z 0 )| > M ce qui est absurde.
Ensuite on pose φ(z) = e −iθ f(z) avec θ choisi de sorte que φ ′ (0) ∈ R + et on a bien ∃φ : Ω → U, bijective
avec φ(z 0 ) = 0 et φ ′ (z 0 ) ∈ R + .
Dernier point, l’unicité : Si φ 1 et φ 2 conviennent alors φ 1 ◦ φ −1
2 est une transformation conforme de U
dans U de dérivée à l’origine positive =⇒ c’est l’identité et donc φ 1 = φ 2 .
2nd cas : Ω n’est pas borné mais simplement connexe avec z 0 ∈ Ω, Ω ≠ C. ∃α /∈ Ω =⇒ s ↦→ z − α envoie
Ω sur Ω 0 qui ne contient pas 0.
log Ω0
−−−→ Ω1
On note que si z ∈ Ω 1 alors z + 2iπ /∈ Ω 1 car exp est une bijection de Ω 1 −→ Ω 0 . Dans Ω 1 ,
Donc
Ω 0
∃D(z 1 , ɛ) ⊂ Ω 1 =⇒ D(z 1 + 2iπ, ɛ) ⊂ ∁Ω 1
z ↦−→
ɛ
z − (z 1 + 2iπ)
On s’est ramené à un domaine inclus dans D(0, 1), donc borné. Il ne reste plus qu’à composer les différentes
applications pour obtenir le résultat :
ɛ
(z ↦→
z − (z 1 + 2iπ) ) ◦ log Ω 0
◦(z ↦→ z − α)
z ↦→ log Ω0
(z − α) − (log Ω0
(z − α) + 2iπ)
21

Rappel :
– Si Ω est un ouvert simplement connexe, avec Ω ≠ C, z 0 ∈ Ω et θ ∈ [0; 2π[ alors ∃!φ conforme Ω −→ U
avec φ(z 0 ) = 0 et φ ′ (z 0 ) ∈ R + · e iθ (cf schéma 12)
– Si Ω 1 et Ω 2 sont deux ouverts simplement connexes avec Ω 1 ≠ C, Ω 2 ≠ C, z 1 ∈ Ω 1 , z 2 ∈ Ω 2 et
θ ∈ [0; 2π[ alors ∃!φ conforme de Ω 1 −→ Ω 2 avec φ(z 1 ) = z 2 et φ ′ (z 1 ) ∈ R + · e iθ (cf schéma 13)
Quelques exemples simples { :
H −→ U
– (cf schéma 14) ψ :
z ↦−→ z−i
z+i
– l’exponentielle : (cf schéma 15)
– les puissances : (cf schéma 16)
– les transformations bizarres : (cf schéma 17)
4.3 Automorphismes conformes d’un domaine Ω
Pour Ω simplement connexe (Ω ≠ ∅, Ω ≠ C) on introduit :
Remarque 4.3.1. Aut(Ω)est un groupe :
– φ ∈ Aut(Ω) =⇒ φ −1 ∈ Aut(Ω)
– φ 1 , φ 2 ∈ Aut(Ω) =⇒ φ 1 ◦ φ 2 ∈ Aut(Ω)
– Aut(Ω)est non commutatif.
Aut(Ω) = {φ : Ω −→ Ω | φ conforme}
Remarque 4.3.2. Si Ω 1 et Ω 2 sont deux ouverts simplement connexe, (avec Ω 1 ≠ C, Ω 2 ≠ C, Ω 1 ≠ ∅,
Ω 2 ≠ ∅), alors ∃ une bijection qui préserve la structure de groupe de Aut(Ω 1 ) dans Aut(Ω 2 ). On se donne ψ
une transformation conforme de Ω 1 −→ Ω 2 . Alors ∀φ automorphisme de Ω 1 , on définit T φ ∈ Aut(Ω 2 ) par
T φ = ψ ◦ φ ◦ ψ −1 de réciproque T −1 φ = ψ −1 ◦ φ ◦ ψ.
Remarque 4.3.3. Automorphismes conformes simples :
– Dans H :
– z ↦−→ z + a, a ∈ R
– z ↦−→ λz, λ ∈ R +
– z ↦−→ −1
z
22

−→ les composées de ces applications conformes sont aussi dans Aut(H). Les composées de telles
applications sont toujours de type
z ↦−→ az + b
cz + d
pour a, b, c, d réels bien choisis.
– Dans la bande de largeur π centrée en 0 (cf schéma 18) : z ↦−→ z + a, a ∈ R (qui correspondent à
z ↦→ λz dans H).
– Dans U :
– z ↦−→ e iθ z
– ψ α : z ↦−→ α−z
1−ᾱz
– et leurs composées
Proposition 4.1.
Aut(U) := { z ↦→ e iθ ψ α
∣ ∣ θ ∈ [0; 2π], α ∈ U
}
Preuve 4.7.
– Soit φ ∈ Aut(U). Alors ∃α ∈ U, φ(α) = 0 et ∃θ ∈ [0; 2π] avec φ ′ (α) ∈ −e iθ · R +
– Donc ce φ est l’unique (par le théorème de Riemann) application conforme U −→ U avec φ(α) = 0 et
φ ′ (α) ∈ −e iθ · R +
– Or ψ α (α) = 0 donc e iθ ψ α (α) = 0, ψ ′ α(α) ∈ R − donc e iθ ψ α (α) ∈ −e iθ · R + et z ↦−→ e iθ ψ α (z) ∈ Aut(U)
– Conclusion : ∀z, φ(z) = e iθ ψ α (z)
Remarque 4.3.4.
est une bijection de [0; 2π[×U −→ Aut(U)
(θ, α) ↦−→ e iθ ψ α (·)
Remarque 4.3.5. Si on compose deux applications du type z ↦→ az+b
cz+d et z ↦→ a′ z+b ′
c ′ z+d ′
a( a′ z+b ′ 1
c ′ z+d ′ 1 ) + b1
c( a′ z+b ′ 1
c ′ z+d ′ 1 ) + d1 = a(a′ z + b ′ 1) + b(c ′ z + d ′ 1)
c(a ′ z + b ′ 1) + d(c ′ z + d ′ 1)
( ) ( )
a b
a
Si on pose M = et M
c d
′ ′
b
=
′
c ′ d ′ L’application composée correpond alors à MM ′ . Conclusion :
On peut voir Aut(U) comme un groupe quotient d’un sous-groupe des matrices à coefficients dans C de
déterminant non nul (inversibles).
23

Conséquences pour Aut(H) :
Proposition 4.2. Tous les automorphismes de Hs’écrivent de la forme :
avec a, b, c, d réels et ad − bc = 1
Preuve 4.8. En exercice.
Remarque 4.3.6.
Alors PSL 2 (R) ∼ Aut(H)
z ↦−→ az + b
cz + d
SL 2 (R) = {M ∈ M 2 | detM = 1}
PSL 2 (R) = SL 2 (R)/{+Id, −Id}
Y a-t-il des sous-groupes discrets de PSL 2 (R) On choisit α 0 réel dans U. Puis en itérant A :
Pour α 0 bien choisi BA = ABA −1
A = ψ α0 (·) B = ψ iα0 (·)
4.4 Rappels sur les (homographies) transformations linéaires du plan
Considérons l’application ϕ : z ↦−→ az+b
cz+d
, a, b, c, d ∈ C
Question 1 : Quand est-ce que ϕ est non constante
ϕ est non constante ⇐⇒ ad − bc ≠ 0
Question 2 : Quel est l’ensemble de définition
Il peut y avoir un problème en z = − d c
si c ≠ 0. On le résout en posant Ĉ = C ∪ {∞} et on définit :
– Si c ≠ 0, ϕ( −d
−d
c
) = ∞ et ϕ(∞) =
c
– Si c = 0, ϕ(∞) = ∞
Alors ϕ est une bijection de Ĉ dans Ĉ.
( )
( )
a
′
b
Question 3 : Quelles sont les
′
a b
c ′ d ′ qui définissent la même fonction que
( )
( )
c d
a b
a b
Ce sont les multiples de . Il en existe deux tels que det = 1 d’où
c d
c d
{
z ↦→ az + b
cz + d avec ad − bc ≠ 0 }
=
{
M =
( ) ∣
a b ∣∣∣
detM = 1}
/{±Id}
c d
24

Remarque 4.4.1. Toute transformation z ↦−→ az+b
cz+d s’écrit comme composée d’applications du type ⎧
⎨
⎩
z ↦→ z + b
z ↦→ 1 z
z ↦→ az
az+b
Proposition 4.3. Si C est un cercle ou une droite dans Ĉ et ϕ : z ↦−→
cz+d
avec ad − bc ≠ 0 alors ϕ(C)
estun cercle ou une droite (avec la convention que ∞ est dans toutes les droites)
Preuve 4.9. Il suffit de le vérifier pour z ↦→ 1 z .
En fait, Aut(U) = transformation ϕ qui envoient ∂U sur lui même (et l’intérieur vers l’intérieur). De
même, Aut(H) = transformation ϕ qui envoient Rsur R(et “dessus sur dessus”). Notamment les angles droits
sont conservés (cf schéma 21)
4.5 Introduction à la métrique hyperbolique
Remarque 4.5.1.
– Si φ ∈ Aut(U) et φ(0) = α alors ∃θ : φ(z) = ψ α (e iθ z)
– Si φ ∈ Aut(U) et φ(α) = 0 alors ∃θ tel que φ(z) = e iθ ψ α (z)
Par ailleurs : |ψ ′ α(0)| = 1 − |α| 2
Donc ∀φ ∈ Aut(U), φ(0) = α, on a |φ ′ (0)| = 1 − |α| 2
Première approche :
Alors :
On définit ∀A ouvert ⊂ U, A(A) = “aire de A” = ∫∫ A
dxdy
(1−|z| 2 ) 2
(où z = x + iy).
Proposition 4.4. ∀ψ ∈ Aut(U), ∀A ouvert ⊂ U, A(ψ(A)) = A(A)
Preuve 4.10.
∫∫
A(ψ(A)) =
ψ(A)
dXdY
(1 − |z| 2 )
∫∫A
2 = |ψ ′ (z)| 2 dxdy
(1 − |ψ(z)| 2 ) 2
avec Z = X + iY = ψ(x + iy).
1
Or
1−|ψ(z)|
= | dérivée en Z = ψ(z) de l’application conforme qui envoie Z en 0| donc |ψ ′ 1
(z)|| 2 1−|ψ(z)|
| est 2
la dérivée en z d’une application conforme qui envoie z sur 0.
Deuxième approche : On va définir une distance dans U. Lorsque γ est une courbe C 1 de [0; T ] dans U,
on définit
∫ T
‖γ ′ ∫
′′
(s)‖ds
L(γ) =
1 − ‖γ(s)‖ 2 = “ |dγ|
1 − ‖γ(s)‖ 2
Proposition 4.5. ∀γ ∀φ ∈ Aut(U), L(φ(γ)) = L(γ)
Preuve 4.11. En exercice.
Définition 4.2. On pose
0
∀x, y ∈ U, d(x, y) := inf { L(γ) ∣ ∣ γ courbe C 1 reliant x à y dans U }
Remarque 4.5.2.
– d(x, y) > 0 si x ≠ y
– d(x, y) = d(y, x)
– d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)
– D’aprés la proposition précédente ∀φ ∈ Aut(U), d(x, y) = d(φ(x), φ(y))
– Du coup, d(x, y) = d(0, ψ x (y)) = d(0, |ψ x (y)|) = d(0, |x−y|
|1−xȳ| )
25

Géodésique : plus court chemin entre deux points pour notre distance.
Si γ est un chemin C 1 de 0 à r ∈ [0; 1] dans U, γ(s) = (x(s), y(s))
L(γ) =
∫ T
= 1 2
( )
et on à l’égalité L(γ) = 1 2 ln 1+r
1−r
)
(
Conclusion : d(0, r) = 1 2 ln 1+r
1−r
appelle γ la géodésique entre 0 et r.
‖γ ′ ∫
(s)‖ds T
0 1 − ‖γ(s)‖ 2 ≥ 0
(
ln 1 + x(T )
1 + x(0)
− ln
1 − x(T )
1 − x(0)
|x ′ ∫
(s)|ds T
1 − |x(s)| 2 ≥
)
seulement lorsque “γ = [0; r]”.
0
= 1 2 ln ( 1 + r
1 − r
x ′ (s)ds
1 − x(s) 2
)
et le segment [0; r] est l’unique chemin de 0 à r tel que L(γ) = d(0, r). On
( )
Conclusion Bis : Si x, y ∈ U, d(x, y) = 1 2 ln |1−¯xy|+|x−y|
|1−¯xy|−|x−y|
et le seul chemin de x à y qui réalise cette
distance est l’arc de cercle entre x et y (qui passe par x et y) qui coupe (quand on le prolonge) ∂U de
manière orthogonale.
Remarque 4.5.3. Pour tout triangle tracé sur U, la somme des angles est inférieure (strictement) à π.
Remarque 4.5.4. Dans le demi-plan H, on obtient une distance invariante par les automorphismes de H en
prenant dxdy
y
dans l’intégrale.
5 Comportement au “bord” des transformations conformes
On se donne un ouvert simplement connexe borné non vide Ω. Soit alors F : U −→ Ω donné par le
théorème de Riemann.
Est-il possible (sous quelles conditions ) de prolonger F par continuité en une application de U dans Ω
Si le bord est une fonction continue alors la résponse est “oui”. On ne va pas le démontrer dans cette généralité
là.
Remarque 5.0.5.
∫∫
De même, si G : H −→ Ω est conforme :
∫∫
Aire(Ω) =
U
|F ′ (z)| 2 dxdy = Aire(Ω)
H
|G ′ (z)| 2 dxdy
Comme Ω est borné, il est d’aire finie. Alors, pour G, ∫ ɛ
0 r ∫ π
0 |G′ (re iθ )| 2 dθdr < ∞ et ∫ π
0 |G′ (re iθ )| 2 dθ ne
peut tendre vers +∞ trop vite.
Lemme 5.1. On se donne Ω simplement connexe et G : H −→ Ω une transformation conforme. On note
j→+∞
d(r) = diam(G(C r )) où C r = {z ∈ H | |z| = r}. Alors il existe r j −−−−→ 0 tel que d(r j ) −−−−→ j→+∞
0.
Preuve 5.1. Par l’absurde, supposons que :
∃ɛ > 0, ∃r 0 , Ar < r 0 , d(r) > ɛ
Ainsi, ɛ étant fixé, ∀r < r 0 , ∃z 1 (r), ∃z 2 (r) ∈ C r tel que |G(z 1 (r)) − G(z 2 (r))| > ɛ. Si z 1 (r) = re iθ1 et
z 2 (r) = re iθ2 , θ 1 < θ 2 ,
|G(z 1 (r)) − G(z 2 (r))| ≤
r
∫ θ2
θ
∫
1
π
0
|G ′ (re iθ )|rdθ
|G ′ (re iθ )|dθ
26

Ainsi :
Par Cauchy-Schwartz,
Donc :
d’où la contradiction
(∫ π
0
∃ɛ > 0, ∀r petit,
∫ π
) 1 √
r|G ′ (re iθ )| 2 2 r
dθ ≥
∞ >
∫ α ∫ π
0
0
0
|G ′ (re iθ )dθ > ɛ r
√ π
∫ π
r|G ′ (re iθ )| 2 dθdr ≥
0
|G ′ (re iθ )|dθ ≥ ɛ √ πr
∫ α
0
ɛ 2
r 2 dr = ∞
Corollaire 5.1. Si F : U −→ Ω est conforme avec Ω borné et simplement connexe et si on pose C r ′ =
j→+∞
{z ∈ U | |1 − z| = r}, alors il existe r j −−−−→ 0 tel que diam(F (C r ′ j
)) −−−−→ j→+∞
0.
Proposition 5.1. Si Ω est borné simplement connexe, si f : H −→ Ω est une transformation conforme et
si on a une condition supplémentaire, alors lorsque z → 0, f(z) admet une limite notée f(0) qui appartient
à ∂Ω.
Remarque 5.0.6.
– Ω est compact (Ω borné). Il suffit de montrer que si z n → 0 dnas Halors (f(z n )) n n’a qu’une seule
valeur d’adhérence.
– Si z n → 0 dans Het si (f(z n )) n converge dans Ω, alors la limite des (f(z n )) n est dans ∂Ω (sinon il y a
contradiction avec le caractère conforme de f).
Preuve 5.2. Supposons qu’il existe a ≠ b ∈ ∂Ω avec z n → 0 dans H et f(z n ) −→ a ; z ′ n −→ 0 dans Het
f(z ′ n) −→ b.
On construit alors un chemin continu γ : [0; 1] −→ Ω ∪ {a} avec γ([0; 1[) ⊂ Ω, γ(1) = a, γ(1 − 1 n ) = f(z n).
C’est là que l’on utilise la condition supplémentaire pour que ce soit possible : par exemple, il existe c > 0
tel que ∀z, z ′ ∈ Ω, ∃ un chemin γ 0 de z à z ′ continu dans Ω avec diam(α 0 ) ≤ C|z − z ′ |.
On regarde alors f −1 (γ 0 )
f −1 (γ) : [0; 1[−→ H continue tel que f −1 (γ)(1 − 1 n ) = z n. Par le lemme, on se donne une suite r j −→ 0 tel
que diam(f(C rj )) −→ 0. Il existe alors T j −→ 1 tel que ∀j grand, f −1 (γ)(T j ) ∈ C rj . On fait de même avec γ ′
qui interpole les f(z n) ′ et γ ′ (1) = b. Il existe T j ′ −→ 0 tel que, ∀j grand, f −1 (γ ′ )(T j ′) ∈ C r j
. On a γ(T j ) −→ a,
γ ′ (T j ′) −→ b et f −1 (γ)(T j ) ∈ C rj , f −1 (γ ′ )(T j ′) ∈ C r j
. Donc |γ(T j ) − γ(T j ′)| ≤ diam(f(C r j
)) −−−−→ j→+∞
0. Donc
a = b ce qui contredit notre hypothése. Ainsi f(z n ) −→ f(0) ∈ ∂Ω.
Exemple :
Si Ω est un polygone, Cca marche.
Corollaire 5.2. Si F : U −→ Ω, Ω borné simplement connexe, F conforme et les mêmes conditons que
précédemment, alors, ∀z 0 ∈ ∂U, F (z) −−−→
z→z0
α et on pose α = F (z 0).
z∈U
27

Preuve 5.3. On passe par H en envoyant 0 sur z 0 .
On définit ainsi F : U −→ Ω, holomorphe dans U, continue sur U.
(∀z 0 ∈ ∂U, ∃δ > 0, ∀z ∈ U, |z − z 0 | < δ =⇒ |F (z) − F (z 0 )| < ɛ alors ∀z 0 ∈ ∂U, ∃δ > 0, ∀z ∈ U,
|z − z 0 | < δ =⇒ |F (z) − F (z 0 )| < ɛ).
Remarque 5.0.7. Si f est une transformation conforme de Hdans Ω avec les mêmes conditions sur Ω, alors
on peut prolonger f en une fonction continue de H ∪ {∞} dans Ω.
5.1 Cas des polygones
On considère Ω un polygone dans C :
Que peut-on dire de f transformation conforme de H =⇒ Ω
Pour simplifier : β 1 = 1 − α 1 , β j = 1 − α j ∈] − 1; 1[ Alors ∑ N
j=1 β j = 2 (un tour)
Principe de réflexion & conséquence Si G + est une fonction holomorphe sur Ω + (cf schéma23) et si
G + se prolonge par continuité à Ω 0 et G + (Ω 0 ) ⊂ R alors si on pose
⎧
⎨ G + (z) z ∈ Ω +
G(z) = G + (z) z ∈ Ω 0
⎩
G + (z) z ∈ Ω −
G est alors holomorphe sur Ω = Ω + ∪ Ω 0 ∪ Ω −
Preuve 5.4. (cf schéma 24)
∮
T
∮
G(z)dz = lim
ɛ→0
T ɛ 1
G(z)dz
} {{ }
=0
∮
+
T ɛ 2
G(z)dz
} {{ }
=0
Si G est une transformation conforme de Ω + dans D + (cf schéma 25) avec G(Ω 0 ) ⊂ D 0 ⊂ R On définit
alors G aussi sur Ω − par G(z) = G(z).
F : transformation conforme H −→ Ω un polygone. ∀z 0 ∈ R, si F (z 0 ) n’est pas un coin, alors F se prolonge
de manière holomorphe au voisinage de z 0 et F ′ (z 0 ) ≠ 0 (cf schéma 26). Si z 0 ∈ R et F (z 0 ) = A 1 alors (avec
28

le schéma 27) (F (z) − F (z 0 )) 1 α se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de z 0 de dérivée ≠ 0 en
z 0 .
(F (z) − A 1 ) 1 α = (z − z0 )H(z)
fonction holomorphe au voisinage de z 0 avec H(z 0 ) ≠ 0
(F (z) − A 1 ) = (z − z 0 ) α ˜H(z)
fonction holomorphe au voisinage de z 0 avec ˜H(z 0 ) ≠ 0
F ′ (z) = α(z − z 0 ) α−1 ˜H(z) + (z − z0 ) α ˜H′ (z) = (z − z 0 ) α−1 Ĥ(z)
fonction holomorphe au voisinage de z 0 avec Ĥ(z 0) ≠ 0
Transformation de Schwarz-Christoffell
P polygone
Supposons que F est une transformation conforme de H −→
Théorème 5.1. Alors
Autrement dit
F ′ cste
(z) =
(z − a 1 ) β1 . . . (z − a n ) βn
F (z) =
∫ z
où par convention (z − a j ) βj laisse stable R.
0
cste
dw
(w − a 1 ) β1 βn
. . . (w − a n )
Preuve 5.5. On définit U(z) = F ′ (z)(z − a 1 ) β1 . . . (z − a n ) βn :
– holomorphe sur H
– ∀z 0 ∈ R
– si z 0 /∈ {a 1 , . . . , a n }, U(z) se prolonge de manière holomorphe au voisinage de z 0
– si z 0 = a j , F ′ (z)(z − z 0 ) βj se prolonge de maniére holomorphe et donc U aussi (U(z 0 ) ≠ 0).
– U au voisinage de 0 est réel.
– U est réel sur R.
– petit exercice : U est borné en +∞ (considérer ˜F (z) = F (− 1 z ).
Remarque 5.1.1. Dans le cas du rectangle, on se trouve dans la situation du schéma 29 :
Sur l’axe réel :
F (z) = cste
∫ z
0
F (x) =
dw
(w − 1) 1 2 (w + 1) 1 (w − k) 1 2 (w + k)1 2
2
∫ x
∫ 1
F (1) = K = cste
0
F (k) = K + i2K ′
0
dy
(1 − y 2 ) 1 2 (k 2 − y 2 ) 1 2
∫ k
K ′ = cste
1
dy
√
(1 − y 2 )(1 − ( y
k
) 2)
dy
√
(1 − y 2 )(1 − ( )
y 2)
k
Posons I = F −1 “fonction elliptique”, on peut alors la prolonger par le principe de réflexion, puis prolonger
par périodicité (cf schéma 30).
Théorème 5.2. Si F est injective sur U, F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n alors |a n | ≤ n.
29

5.2 Compléments (variés) sur les transformations conformes (& autres)
5.2.1 Sphère de Riemann
On considère la sphère S = { (x, y, z) ∈ R 3 ∣ ∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 } et le plan équatorial π = {z = 0}. A
chaque point M = (x, y, z) ∈ S on associe Z = (X, Y, 0) ∈ π en prenant l’intersection de π avec la droite
passant par M et par A = (0, 0, 1) (cf schéma 2-1) :
et par convention l’image de M = A est Z = ∞.
On pose Z = X + iY :
X =
x
1 − z
Y =
y
1 − z
X 2 + Y 2 = x2 + y 2
(1 − z) 2 = 1 − z2
(1 − z) 2 = 1 + z
1 − z
z = |Z|2 − 1
|Z 2 | + 1
x = X(1 − z) =
y =
2Y
1 + |Z| 2
2X
1 + |Z| 2
Un cercle C sur S s’écrit comme l’intersection de S avec un plan d’équation αx + βy + γz = δ. La
projection stéréographique de C a pour équation
γ |Z|2 − 1
|Z 2 | + 1 + α 2X
1 + |Z| 2 + β 2Y
1 + |Z| 2 = δ
(δ − γ)(X 2 + Y 2 ) − 2αX − 2βY + δ − γ = 0
ce qui correspond à l’équation d’un cercle si C ne passe pas par A et à l’équation d’une droite si C passe par
A. (cf http://www.youtube.com/watchv=6JgGKViQzbc).
5.2.2 Singularités
Supposons que F est holomorphe sur U \ {0} (cas où Ω est ouvert simplement connexe privé d’un point).
Les fonctions holomorphes sur un tel domaine sont :
– Les fonctions holomorphes sur U.
– Les fonctions de la forme 1
z k
pour k ∈ N
– z ↦→ e 1 z
– Les combinaisons linéaires de ces fonctions
Définition 5.1. On dit que
– 0 est une singularité éliminable de F si F se prolonge en une fonction holomorphe sur U.
– 0 est un pôle de F s’il existe n ∈ N ∗ et G holomorphe dans U avec G(0) ≠ 0 tel que ∀z ∈ U \ {0},
F (z) = z −n G(z) (=⇒ polynôme en 1 |z|→0
z
+ fonction holomorphe). Dans ce cas on a |F (z)| −−−→ +∞.
– Sinon on dit que 0 est une singularité essentielle pour F .
Proposition 5.2. 0 est une singularité éliminable ⇐⇒ F est bornée au voisinage de 0.
30

Preuve 5.6. (=⇒ évident)
⇐= Si F est bornée sur 3 4U \ {0} alors F est prolongeable en une fonction holomorphe. Idée : on note γ le
cercle orienté de rayon 3 4 autour de 0 et γ ɛ le cercle orienté de rayon ɛ autour de 0. Alors ∀ξ ∈ U 2 \ {0},
pour ɛ petit.
∫
2πiF (ξ) =
γ
∫
F (z)
z − ξ dz −
γ ɛ
F (ξ) = 1 ∫
F (z)
2iπ γ z − ξ dz
F (z)
z − ξ dz ɛ→0
−−→0
est bien une fonction holomorphe au voisinage de 0 en posant F (0) = 1
2iπ
∫
γ
F (z)
z
dz.
Proposition 5.3. Si 0 est une singularité essentielle alors ∀ɛ > 0, F (ɛU) est dense dans C.
Corollaire 5.3. Si F est holomorphe sur U \ {0} et si |F (z)| z→0
−−−→ ∞ alors 0 est un pôle pour F .
Preuve 5.7. Supposons que a /∈ F (ɛU), alors on pose ˜F (z) = F (z) − a. ˜F est holomorphe sur U \ {0}
et 0 /∈ ˜F (ɛU). Donc ∃ɛ 0 , ∃M, ∀z ∈ ɛ 0 U, | ˜F | > 1 1
M
. Si on pose G(z) = , G est bien holomorphe sur
˜F (z)
ɛ 0 U \ {0} et G est bornée au voisinage de 0 (par M). G est prolongeable en une fonction holomorphe non
nulle ∃n 0 , a n0 ≠ 0, G(z) = a n0 z n0 + z n0+1 h où h est une fonction holomorphe. 0 est un pôle pour F = 1 G et
|F (z)| |z|→0
−−−→ ∞ ou |F (z)| |z|→0
−−−→ 1
a n0
(si n 0 = 0) d’où la contradiction.
Remarque 5.2.1. z ↦→ e 1 z posséde une singularité essentielle en 0.
Définition 5.2. Si Ω est un ouvert de C simplement connexe, on dit que F est méromorphe sur Ω avec
pôles en (z 1 , z 2 , z 3 , . . .) si :
– F est holomorphe U \ ⋃ i {z i} −→ C
– Chaque z i est un pôle pour F (i.e. |F (z)| −−−→ z→zi
∞)
– (z i ) suite (finie ou) dénombrable de points de Ω qui n’a pas de point d’accumulation.
Remarque Soit Ω un ouvert simplement connexe “sympa” tel que F : Ω −→ U conforme se prolonge a ∂Ω
(cf schéma 2-2). On obtient alors Φ comme sur le schéma et on pose v = IΦ qui vérifie :
– v harmonique : ∆v = 0 dans Ω
– v → 0 quand z → ∂ 0
– v → 1 quand z → ∂ 1
v est alors l’unique fonction harmonique vérifiant les conditions précédentes. On définit alors u la fonction
harmonique conjuguée (définie à constante additive prés) et alors Φ = cste ∈ R + u + iv. u + iv est alors
l’unique fonction holomorphe de Ω dans le domaine “bande”.
5.2.3 Fonctions univalentes
On sait que si F (z) = a 1 z + ∑ n≥2 a nz n avec a 1 ≠ 0, alors ∃ɛ > 0 tel que F est conforme de ɛU −→ F (ɛU).
Question naturelle : Que peut-on dire si F est une transformation conforme définie de U −→ F (U),
que peut-on dire des coefficients a n
Remarque 5.2.2. Si F est univalente sur U (c’est à dire holomorphe et injective) alors ∀λ, λF aussi.
Il suffit donc de comprendre le cas où F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n .
z
Schéma 2-3, fonction de Koebe :
(1−z)
= ∑ 2 n≥1 nzn donc a n = n.
Conjecture Bieberbach de prouvée en 1986 par de Branges :
– Si F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n est univalente alors ∀n ≥ 2, |a n | ≤ n
– Si ∃n 0 tel que |a n | = n alors F est la fonction de Koebe (ou une conjuguée par rotation).
31

5.2.4 Longueur extrémale et invariance conforme
Motivation : Existe-t-il une quantité dans un ouvert invariante par transformation conforme
Exemple : Soit Ω un ouvert simplemement connexe tel qu’il existe F conforme qui se prolonge en une
bijection de Ω −→ U. On se donne quatre points A, B, C, D sur ∂Ω, a = F (A), b = F (B), c = F (C),
d = F (D). (cf schéma 2-4) ∀ρ ∈ C ∞ , ρ > 0 dans Ω. On définit A ρ (Ω) = “aire de ρ” = ∫∫ Ω ρ(x, y)2 dxdy. ∀γ
chemin dans Ω, γ : [0, 1] −→ Ω C 1 , on définit L ρ (γ) = “longueur pour ρ de γ” = ∫ T
0 |γ′ (s)|ρ(γ(s))ds. Γ =
ensemble des chemins joignant (DA) ⊂ ∂Ω à (BC) ⊂ ∂Ω dans Ω (cf schéma 2-5) c’est à dire γ(0) ∈ (DA),
γ(1) ∈ (BC), γ(]0; T [) ⊂ Ω. ∀ρ, inf γ∈Γ L ρ (γ) = “distance pour ρ entre (DA) et (CB)”.
Question : Y-a-t il une fonction ρ qui rend cette distance aussi grande que possible
inf
On pose d((DC), (AB), Ω) = sup
γ∈Γ L ρ(γ) 2
ρ A ρ(Ω)
. On appelle cette quantité la longeur extrémale de l’ensemble
des chemins Γ.
Remarque 5.2.3. Cette quantité est invariante par tranformation conformes : Si Φ : Ω −→ ˜Ω se prolonge en
une bijection de Ω −→ ˜Ω alors
d((DC), (AB), Ω) = d(Φ((DC)), Φ((AB)), ˜Ω)
D’où
˜ρ(Φ(z)) =
ρ(z)
|Φ ′ (z)|
A˜ρ = A ρ (Ω)
L˜ρ (Φ(γ)) = L ρ (γ)
inf γ∈Γ L ρ (γ) 2 inf γ∈Γ L˜ρ (γ) 2
sup
= sup
ρ>0 A ρ (Ω)
˜ρ A˜ρ (˜Ω)
Cas particulier : On prend pour Ω un rectangle de largeur 1 et de longueur l, avec A, B, C, D les
sommets du rectangle (cf schéma 2-6) :
Remarque 5.2.4.
d’où
∀ρ A ρ (Ω) =
∫ 1 ∫ l
0
0
ρ(x, y) 2 dxdy ≥
∫ 1
0
(
1
l
∫ l
0
ρ(x, y) 2 dx
d((AD), (CB), Ω) ≤ l
Remarque 5.2.5. Si ρ = 1, inf γ∈Γ L ρ (γ) = l, A ρ (Ω) = l :
donc d((AD), (CB), Ω) = l
inf γ∈Γ L ρ (γ) 2
= l
A ρ (Ω)
) 2
dy ≥ 1 l
∫ 1
0
inf L ρ(γ) 2 dy
γ∈Γ
inf
Exemple 2 : (cf schéma 2-7) : Γ : ensemble des chemins joignant ∂ int à ∂ ext dans Ω sup
γ∈Γ L ρ(γ) 2
ρ A ρ(Ω)
est invariant par tranformations conformes. Si on considére un anneau formé de deux cercles concentriques,
l’un de rayon 1, l’autre de rayon R, la même méthode que dans l’exemple précédent montre que la distance
extrémale est ≥ log R
1
2π
et cette valeur est atteinte pour ρ(z) =
|z| .
Remarque 5.2.6. Culturelle Sous certaine conditions on peut trouver des transformations conformes envoyant
“naturellement” un ouvert à un trou dans un anneau (cf schéma 2-9) et un ouvert à n trous dans un truc
ichelou (cf schéma 2-10).
32

6 Fonctions holomorphes et méromorphes sur C
6.1 Rappels et définitions
Définition 6.1. Une fonction F : C −→ C est dite “entière” si c’est une fonction holomorphe sur C.
Remarque 6.1.1. Il y en a beaucoup, il suffit de considérer F (z) = ∑ n≥0 a nz n de rayon de convergence infini.
Remarque 6.1.2. Si F est entière et bornée alors F est constante. On a même mieux : si ∃n 0 , ∃C, ∀z,
|F (z)| ≤ C(|z| n0 + 1) et F entière alors F est un polynôme.
Remarque 6.1.3. On connaît des fonctions entières non-constantes telles que ∀z ∈ C, F (z) ≠ 0. Il suffit de
prendre F (z) = e G(z) pour G(z) entière.
Définition 6.2. On dit que F est méromorphe sur C s’il existe une suite (z ν ) ν>0 ∈ C avec |z ν | → ∞ telle
que : F est définie sur C \ {z ν , ν ≥ 0}, holomorphe sur cet ensemble et z ν est un pôle pour F . Autrement
dit ∃P ν polynôme de degrés n ν tel que z ↦→ F (z) − P ν (
1
z−z ν
) est holomorphe au voisinage de z ν .
6.2 “Resommation”
Si F est méromorphe avec une infinité de pôles, on aimerait dire que F (z) − ∑ ν P 1
ν(
z−z ν
) est entière.
Problème : La sommation sur ν ne converge pas forcément.
−→ idée : c’est pas grave. On va trouver des polynômes p ν de sorte que
F (z) − ∑ (
)
1
P ν ( ) − p ν (z)
z − z
ν
ν
soit entière.
Exemple simple où ce n’est pas la peine :
F (z) =
π 2
(sin(πz)) 2
din(πz) = eiπz − e −iπz
2i
s’annule lorsque e 2iπz = 1 c’est à dire lorsque z ∈ Z. L’ensemble des pôles de F : Z. Tous les polynômes :
P ν (z) = z 2 Question : la somme ∑ ( 2
1
n∈Z z−n)
converge-t-elle Réponse : Oui, sans problème, la fonction
G(z) := ∑ ( ) 2
1
n∈Z z−n est holomorphe sur C\Ϝ. Si on pose E(z) =
π 2
(sin(πz))
− ∑ ( 2,
1
2 n∈Z z−n)
E se prolonge
en une fonction entière. En fait :
– ∀z ∈ C, E(z + 1) = E(z)
– Si on regarde E sur la bande verticale de partie réelle [0; 1], on observe que E −−−−−−−→ I(z)→±∞
0 (cf schéma
2-11)
– E entière bornée =⇒ E constante qui doit être forcément nulle car de limite nulle en ±i∞
Théorème 6.1. Soit f une fonction méromorphe sur C, avec une infinité de pôles (z ν ) ν∈N (|z ν | → +∞).
1
Soient (P ν ) ν des polynômes tels que ∀ν, au voisnage de z ν , z ↦→ f(z) − P ν (
z−z ν
) se prolonge en une fonction
holomorphe.
Alors il existe des polynômes (p ν ) ν de telle sorte que z ↦→ ∑ (
)
1
ν
P ν (
z−z ν
) − p ν (z) converge uniformément
sur tout compact inclus dans C \ ⋃ n {z ν} et alors z ↦→ f(z) − ∑ (
)
1
ν
P ν (
z−z ν
) − p ν (z) se prolonge en une
fonction entière.
Remarque 6.2.1. Si ˜P est un polynôme alors on peut voir ˜P ( 1
1−y ) = ∑ N
k=0 a k( 1
1−y )k comme une série entière
en y de rayon de convergence 1.
33

Preuve 6.1. Avec la remarque précédente, pour tout ɛ > 0, il existe un polynôme ˜p(y) tel que ∀|y| < 1 2 ,
| ˜P ( 1
1−y ) − ˜p(y)| < ɛ
– Si z ν0 = 0 est un pôle, alors on prend p ν0 (z) = 0
1
– Si z ν est pôle non nul, P ν (
z−z ν
) = ˜P 1 ν (
1−
) On choisit alors ˜p z
ν de sorte que, ∀|y| < 1 2 , | ˜P ν ( 1
1−y ) −
zν
˜p(y)| ≤ 1
2
Ainsi, ∀ν avec z ν ν ≠ 0, ∀z avec |z| < |zν|
2
, on a :
1
|P ν ( ) − ˜p( z )| ≤ 1 z − z ν z ν 2 ν
Donc pour tout R donné, il existe ν 1 tel que, ∀ν ≥ ν 1 , |z ν | > 2R et ainsi ∑ 1
ν≥ν 1
|P ν (
z−z ν
) − ˜p( z
z ν
)| est une
série absolument et uniformément convergente de fonctions holomorphes sur B(0, R). Cette série est donc
aussi holomorphe sur B(0, R). De là, ∑ ν≥1 P 1
ν(
z−z ν
) − p(z) est une fonction méromorphe sur B(0, R)
}{{}
=˜p( z
zν )
dont les pôles dans cette boule sont ceux de f.
Si on note G cette fonction, G a les mêmes pôles que f et G − f est définie sur C \ ⋃ ν {z ν}, reste bornée au
voisinage de chaque pôle et se prolonge donc en une fonction entière.
Remarque 6.2.2. On a vu que :
= ∑ n∈Z
–
π 2
(sin πz) 2
1
(z−n) 2
– En intégrant, πcotan(πz) = ∑ n∈Z 1
z−n
: ne converge pas donc ne marche pas. . .
Mais a-t-on πcotan(πz) = 1 z + ∑ 2z
n≥1 z 2 −n
oui !
2
6.3 Factorisation de fonctions entières
On s’intéresse maintenant à des fonctions entières (F : C → C holomorphe) et à leurs zéros.
Remarque 6.3.1. Si F est une fonction entière sans zéros alors il existe f entière telle que F (z) = e f(z) .
Preuve 6.2. On remarque que F ′
F est une fonction entière et on note ˜f une primitive de F ′
F
. Alors, si on
pose H(z) = F (z)e − ˜f(z) , on a :
H ′ (z) = F ′ (z)e − ˜f(z) − F (z) ˜f ′ (z) e − ˜f(z) = 0
} {{ }
F ′
F
Donc H est constante et F (z) = Ke ˜f(z) . Comme la constante K est non nulle, K = e α , α ∈ C. Donc
F (z) = e (α+ ˜f(z)) .
Remarque 6.3.2. Si F est une fonction entière avec un nombre fini de zéros, F (z 1 ) = F (z 2 ) = . . . = F (z N ) = 0
et ∀z /∈ {z 1 , . . . , z n }, F (z) ≠ 0, alors si n 1 , . . . , n N sont les multiplicités de z 1 , . . . , z N alors la fonction
G(z) =
est entière et ne s’annule pas. Donc il existe une fonction entière f telle que F (z) =
F (z)
(z−z 1) n 1 ...(z−z N ) n N
(z − z 1 ) n1 . . . (z − z N ) n N
e f(z) . Si tous les z i sont non nuls, on peut aussi écrire F (z) = ∏ N
i=1 (1 − z z i
) ni e ˜f(z) .
Remarque 6.3.3. Si F est une fonction entière non constante qui a une infinité de zéros (z i ) i∈N alors
{z i | i ∈ N} n’a pas de point d’accumulation dans C, et quitte à réordonner, |z j | −−−−→ j→+∞
+∞.
Peut-on alors l’écrire F (z) = z α ∏ i≥1 (1 − z z i
) ni e ˜f(z)
Pas toujours : il faut que le produit soit bien défini.
rappel ∀|y| < 1 2 , on peut définir log(1 + y) la détermination continue du logarithme sur D(0, 1 2
) qui vaut
0 en y = 0, de sorte que exp(log(1 + y)) = 1 + y (et on a | log(1 + y)| ≤ 2|y|). Ainsi, si (a n ) n≥1 est une suite
de nombres complexes ≠ −1 avec ∑ n≥1 |a n| < ∞, alors le produit ∏ n≥1 (1 + a n) est bien défini et non nul.
34

Exemple : Posons G(z) = z ∏ z2
n≥1
(1 −
n
) puis on note que z ↦→ sin(πz)
2 πG(z)
se prolonge en une fonction entière
sans zéro. Ainsi sin(πz)
π
= G(z)e f(z) , avec f entière. On peut facilement se rendre compte que f = 0
(par exemple en regardant la dérivée logarithmique et en utilisant le fait que πcotan(πz) = 1 z +∑ 2z
n≥1 z 2 −n
). 2
Proposition 6.1. Si ∑ ( ∏N
|a n | converge et, ∀n ∈ N, a n ≠ −1, alors
k=1 k))
(1 + a converge vers un
N
complexe non nul noté ∏ ∞
k=1 (1 + a k).
Preuve 6.3. a n → 0 donc à partir d’un certain rang, |a n | < 1 2 . On peut alors définir log(1 + y) sur 1 2 U tel
que exp(log(1 + y)) = 1 + y.
N∑
S N = log(1 + a n ) −−−−−→ converge
S ∞
n=n 0+1
De là, ∏ N
n=1 (1 + a n) = ∏ n 0
n=1 (1 + a n)e S N
→ ∏ n 0
n=1 (1 + a n)e S∞ ∈ C ∗
Proposition 6.2. Soit Ω ⊂ C ouvert, (F n ) n une suite de fonctions holomorphes sur Ω et une suite a n > 0
tel que :
– ∀n, ∀z ∈ Ω, |F n (z) − 1| ≤ a n
– ∑ a n < ∞
Alors pour tout z ∈ Ω, ∏ N
n=1 F n(z) → G(z) ∈ C.
Si ∀n, F n (z) ≠ 0, alors G(z) ≠ 0, G est holomorphe sur Ω et ∑ N
n=1
F ′ n (z)
F n(z) → G′ (z)
G(z) .
Preuve 6.4. La convergence découle de la proposition précédente, tout comme la non nullité de G. G est
holomorphe comme limite uniforme de fonction holomorphes
|G(z) −
N∏
| ≤
n≥1(1 ∏ + a n )|1 −
n=1
∞∏
(1 + a n ) |
N+1
} {{ }
N→+∞
−−−−−→1
Si G N (z) = ∏ N
n=1 F n(z) et si G(z 0 ) ≠ 0, alors il existe K, voisinage compact de z 0 , sur lequel G(z) ≠ 0. De
CVU
plus, G N −−−→ G sur K et G ′ CVU
N −−−→ G ′ sur K. Donc G′ CVU
N
−−−→ G′
G
sur K. Or G′ N
G N
= ∑ F ′ N
N
.
Cas particulier : On se donne (z n ) n ∈ C ∗ tel que ∑ n≥0 |z < ∞. On peut alors définir G(z) = ∏ n| n≥0 (1−
z
z n
). C’est une fonction holomorphe : si R > 0 et Ω = B(0, R), on peut appliquer le résultat précédent avec
a n =
R
|z et F n| n(z) = 1 − z
z n
.
G est entière, s’annule en chaque z n . Elle ne s’annule pas ailleurs et ∀z /∈ {z k | k ∈ N},
G ′ (z)
G(z) = ∑ n≥0
−
1
z n
G N
1 − z
z n
1
1
= ∑ z − z n
n≥0
Exemple : F n (z) = 1 − z2
n
, F 2 0 (z) = z
En faisant la même chose, on dispose de G(z) = z ∏ z2
n≥1
(1 −
n
). ∀z /∈ Z,
2
G ′ (z)
G(z) = 1 z + ∑ 2z
z 2 − n 2
n≥1
= πcotan(πy)
= F ′ (z)
F (z)
si F (z) = sin(πz)
π
35

F
G
est alors une fonction holomorphe sur C \ Z qui se prolonge en une fonction entière qui ne s’annule pas :
il existe f entière tel que F = Ge f . De plus, F ′
F = G′
G
+ f ′ donc f ′ = 0 et f = cste. Or F (z) z→0
z
−−−→ 1 et
G(z) z→0
z
−−−→ 1 : f = 0. On a donc : sin(πz)
z
= z ∏ z2
n≥1
(1 −
n
). 2
Plus généralement, si on se donne une suite (z n ) n≥1 dans C \ {0} avec |z n | −→ ∞, on voudrait construire
une
∑
fonction entière qui s’annule en chaque z n et nulle part ailleurs. On vient de voir que c’est le cas si
1
n≥1 |z < ∞ (on prend juste ∏ n| n≥1 (1 − z
z n
)) mais la recette ne marche pas si ∑ 1
n≥1
(
|z = ∞.
n|
(1 − z
Idée : Prendre F (z) = “ ∏ n≥1
z n
)e fn(z) )” où les f n sont choisis de sorte que le produit converge.
Une faCcon de procéder est de noter que : ∀|y| < 1 2
y2
∣log(1 − y) + y +
2 . . . + yk
k ∣ < C|y|k+1
où C est une constante indépendante de k et de |y| < 1 2 . ( car ∣ ∣∣ ∑ ∞
j=k+1
y j
j
∣ ≤ |y| k+1
∣ log(1 − z ) + ( z ) + 1 z n z n 2 ( z ) 2 . . . + 1 z n k ( z ∣ ∣∣∣
) k < C|y| k+1
z n
dés que |z| ≤ |zn|
2
On peut ainsi choisir k = k(n) de sorte que ∀z avec |z| ≤ |zn|
2
(
∣ exp log(1 − z ) + ( z ) + 1 z n z n 2 ( z ) 2 . . . + 1 z n k ( z )
) k
z n
Alors on pose f n (z) =
z
z n
+ 1 2
(
) 2
z
z n
+ . . . +
1
k(n)
(
− 1
∣ < 2−n
∞ ∑
|y| j
et donc
j + 1
j=0
} {{ }
(j+1) =C
≤ ∑ ∞
j=0 2−j
) k(n)
z
z n
et Fn (z) = (1 − z
z n
)e fn(z) . Alors ∀z tel que
|z| ≤ |zn|
2 , on a |F n(z) − 1| ≤ 2 −n . ∀R > 0, on considère Ω = B(0, R), on veut montrer que ∏ n≥1 F n(z) est
bien défini dans B(0, R). Mais ∃n 0 , ∀n ≥ n 0 |z n | ≥ 2R et on peut donc appliquer le résultat précédent : pour
∏ N
n=n 0
F n (z) −−−−→ N→∞
fonction holomorphe G(z) non nulle sur Ω (en prenant a n = 2 −n ) et donc ∏ ∞
n=1 F n(z) −→
∏ n0−1
n=1 (z − z n) × G(z).
Résumé :
des zéros.
On a donc une procédure qui permet de définir une fonction entière dont on a prescrit l’ensemble
Remarque 6.3.4. Si on applique cette procédure pour fabriquer une fonction entière ayant une racine simple
en chaque entier et nulle part ailleurs
∏
z (1 − z n )efn(z)
n∈Z\{0}
Or |ln(1 − y) + y| < C|y| 2 lorsque |y| < 1 2 . On prend simplement f n(z) = z n Tentative :
∏
z (1 − z n )e z n
n∈Z\{0}
En fait, alors ∀z fixé, pour |n| grand : |(1 − z n )e z n − 1| ≤ C ∣ z ∣ 2 et donc cette procédure fonctionne. C’est
presque la même que z ∏ z2
n≥1
(1 −
n
) car e z 2 n e − z n = 1.
Remarque 6.3.5. Si on utilise la même idée pour fabriquer une fonction
∏
entière dont les racines sont exactement
les entiers strictement positifs. On obtient : U(z) = lim N→∞ n=1 (1 − z n )e z n . Alors zU(z)U(−z) =
N
sin(πz)
π
, ∀z ∈ C.
n
36

Rappel : On a vu que :
– Si on se donne une suite z n ∈ C avec |z n | → +∞ et si P n est une suite de polynômes alors on sait
construire une fonction méromorphe F dont les pôles sont exactement (z n ) et tel que ∀n, au voisinage
1
de z n , F (z) − P (
z−z n
) reste bornée (idée : ∑ ( 1
P n (
z−z n
) − p n (z) )
– Si on se donne une suite (z n ) dans C avec |z n | → +∞ alors on sait construire une fonction entière F
dont les z n sont (exactement et en comptant les multiplicités) les zéros
Idée : Si tous les z n ≠ 0 : ∏ n≥1
( ) (
par 1 − z
z n
exp
z
z n
)
( )
1 − z
z n
pour assurer la convergence on remplace le terme principal
+ 1 2 ( z
z n
) 2 + . . . + 1
m(n) ( z
z n
) m )
– Conséquence : Si ˜F est holomorphe et si (zn ) sont ses zéros, si on regarde ˜F
F
est une fonction entière
sans zéros = e G(z) du coup :
˜F (z) := e G(z) z ∏ m (1 − z )e z
z n
n≥1
zn + 1 2 ( z
zn )2 +...+ 1
m(n) ( z
zn )m
– Si F est une fonction méromorphe alors il existe deux fonctions entières F 1 et F 2 telles que ∀z ∈ Pôles
de F , F (z) = F1(z)
F 2(z)
idée : On définit F 2 (z) de sorte que ∀z n pôle d’ordre k pour F , z n sont un zéro de multiplicité k pour
F 2 et on vérifie que F 2 (z)F (z) se prolonge en une fonction entière F 1 .
6.4 Lien entre croissance d’une fonction entière et nombre de zéros
6.4.1 Rappels & intro
Remarques :
– Un polynôme de C[X] est essentiellement déterminé par ses zéros (avec multiplicité).
– Si on se donne une fonction entière F telle que ∃K > 0, ∃C > 0, ∀|z| > 1, |F (z)| ≤ C|z| K alors F est
un polynôme.
– En choisissant le comportement d’une fonction en ∞ on caractérise partiellement la fonction : si elle est
holomrphe sur C ∪ ∞ alors elle est constante ; si elle a un pôle en ∞ (et holomorphe ailleurs) alors c’est
un polynôme. Les fonctions “intéressantes” et holomorphes posséde donc une singularité essentielle en
∞.
Questions :
– Peut-on lier le nombre (“la densité”) de zéros de F au type de croissance de F au voisinage de l’infini
– Dans quelle mesure une fonction entière est-elle déterminée par l’ensemble de ses zéros
Définition 6.3. Pour quantifier le “nombre de zéros” d’une fonction entière
– n(R) est le nombre de zéros (avec multiplicités) de F dans D(0, R). On peut regarder alors le comportement
de n(R) lorsque R → ∞.
– On peut aussi regarder pour quelles valeurs de s > 0, la somme ∑ 1
|z s n | converge.
Définition 6.4. Pour majorer |F| au voisinage de ∞ On note C ρ l’ensemble des fonctions entières F telles
qu’il existe A, B ∈ R + de sorte que
∀z ∈ C, |F (z)| ≤ Ae B|z|ρ
On définit l’ordre de F comme l’infinimum de l’ensemble {ρ | F ∈ C ρ } (avec la convention inf ∅ = ∞)
6.4.2 Résultats simple entre n(R) et C ρ
Questions : Y-a-t il un lien entre le comportement de n(R) et l’ordre d’une fonction entière
Théorème 6.2. Si F ∈ C ρ (pour ρ > 0) alors :
– ∃C < ∞ telle que ∀R ≥ 1, n(R) ≤ CR ρ 37

– ∀s > ρ alors ∑ 1
|z n| s < ∞ où les (z n ) sont la suite des zéros non nuls de F avec multiplicité.
Remarque 6.4.1. Moralement : beaucoup de zéros =⇒ croissance rapide
On va utiliser le résultat suivant :
Théorème 6.3. de Jensen Si f est une fonction holomorphe sur un voisinage de D(0, R) avec f(0) ≠ 0 et
f ≠ 0 sur le cercle C(0, R) et si z 1 , . . . , z N sont ses zéros dans D(0, R) (avec multiplicité) alors
log |f(0)| =
N∑
n=1
log |z n|
R + 1
2π
∫ 2π
0
log |f(Re iθ )|dθ
Preuve 6.5. On note que si la formule est vraie pour la fonction f 1 et la fonction f 2 alors elle l’est aussi
pour f 1 × f 2 . En [ effet, “formule pour f 1 ” + “formule pour f 2 ” = “formule pour f 1 + f 2 ”. Or f quelconque
∏N
s’écrit f(z) =
n=1 n)]
(z − z g(z) où g est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas sur un voisinage
de D(0, R). Il suffit donc de vérifier la formule pour g et les fonction (z − z n ).
∫
– Pour g : On veut montrer que log |g(0)| = 1 2π
2π
log |g(Re iθ )|dθ avec g ≠ 0 sur D(0, R), on peut donc
0
définir G holomorphe telle que g = e G sur un voisinage de D(0, R) et alors log |g(z)| − Re(G(z)) =
fonction harmonique dont la valeur au centre est égale à la moyenne sur C(0, R).
– Pour z ↦→ z − z n avec z n ∈ D(0, R). On veut montrer que
log |z n | = log |z n | − log R + 1
2π
∫ 2π
∫
On veut donc montrer que 1 2π
2π
log |e iθ − zn 0 R |dθ = 0
Ce qui donne en posant a = zn R et en remplaCcant θ par −θ : 1
0
log |Re iθ − z n |dθ
∫ 2π
2π
log |1 − ae iθ |dθ = 0
0
La fonction z ↦→ 1 − az est non nulle et holomorphe sur un voisinage du disque unité et comme dans
le cas précédent on a :
1
2π
∫ 2π
0
log |1 − ae iθ |dθ = log |1| = 0
Remarque 6.4.2. Si f est une fonction entière avec f(0) ≠ 0 alors
n(r) = ∑ n≥1
frm[o]−− |zn|≤r
∫ R
0
n(r) dr
r = ∑ n≥1
= ∑ n≥1
(formule de Jensen)
=
∫ R
1
2π
|z n|
∫ 2π
∫ R
0
dr
r =
Outil de base pour démontrer le théorème immédiatement.
0
dr
frm[o]−− |zn|≤r
r
∑
n/|z n|≤R
R
|z n |
log |f(Re iθ )|dθ − log |f(0)|
Preuve 6.6. En effet, si f ∈ C ρ alors ∃A, B avec ∀z ∈ C, |f(z)| ≤ Ae B|z|ρ . Donc ∃C tel que ∀z avec |z| > 1
log |f(z)| ≤ C|z| ρ
et alors ∀R > 1 :
∫ R
0
n(R) dr
r ≤ CRρ + cste ≤ C ′ R ρ
38

Comme r ↦→ n(r) est croissante :
log 2n(R) ≤
On obtient bien n(R) ≤ ( C′ 2 ρ
log 2 )Rρ
∫ 2R
R
n(R) dr ∫ 2R
r ≤ n(r) dr ∫ 2R
r ≤
Chaque z n (avec |z n | > 1) appartient à un intervalle ]2 j , 2 j+1 ] (j > 0).
⎛
∑
n≥1
1
|z n | s = ∑
|z n|≤1
R
0
n(R) dr
r ≤ C′ (2R) ρ
⎞
1
|z n | s + ∑ ∑ 1
⎜
|z
j≥0 ⎝
n | s
⎟
|z n|∈]2 j ,2 j+1 ] ⎠
} {{ }
⋆
Conclusion : si s > ρ alors ∑ 1
|zn| s
6.4.3 Théorème d’Hadamard
< ∞
⋆ ≤ 1
2 js · n(2j+1 )
≤ cste × 2 −js × 2 jρ
≤ cste2 −ɛj
ɛ = s − ρ
Théorème 6.4. d’Hadamard Soit F une fonction entière d’ordre p. Si (z n ) n∈N ∗ désigne la suite des zéros
non nuls (avec multiplicité), et si k + 1 > p, k ∈ N, alors on peut écrire
F (z) = exp(P (z))z ∏ [
m (1 − z ) exp(( z ) + 1 z n z n 2 ( z ) 2 + . . . + 1 z n k ( z ]
) k )
z n
n≥1
où m est la multiplicité du zéro 0 de F et P est un polynôme de degré ≤ k.
Remarque 6.4.3. Lorsque p < 1, on prend k = 0. Dans ce cas là, l’énoncé devient : F (z) = αz m ∏ n≥1 (1− z
z n
).
Pour démontrer ce cas :
– p < 1 =⇒ ∑ 1
n≥1 |z < ∞ =⇒ ∏ n| n≥1 (1 − z
z n
) converge pour tout z.
– z ↦→ ∏ n≥1 (1 − z
z n
) est entière : ˜F (z) = z
m ∏ n≥1 (1 − z
z n
) est donc entière.
– F˜F se prolonge en une fonction entière qui n’a pas de zéro. Il existe g entière telle que F˜F = exp ◦g. Il
faut alors essayer de majorer 1˜F au voisinage de +∞. On aura alors une majoration de | exp ◦g| c’est à
dire de R(g), pour déduire que g = cste.
Preuve 6.7. On va poser E k (u) = (1 − u) exp(u + u2
2 + . . . + uk
k ). Ainsi, quand |u| < 1 2 ,
Pour finir la preuve du théorème d’Hadamard, il nous reste à montrer que :
Lemme 6.1. Si g est une fonction entière telle que ∃C, s > 0, avec k + 1 ≥ s > k tel que ∀z avec |z| ≥ 1,
R(g(z)) ≤ C|z| s alors g est un polynôme de degré ≤ k.
Preuve 6.8. On a g(z) = ∑ n≥0 a nz n série entière qui converge sur C et on note que :
1
2π
∫ 2π
0
g(Re iθ )e −inθ dθ =
39
[
am R m si m ≥ 0
0 si m < 0

car
1
2π
∫
∫
−m dz
g(z)z
C R
z = dz
a m
C R
z
∫
1 2π
[
g(Re iθ )e −inθ a0 si m = 0
dθ =
2π 0
0 si m > 0
[ 1
R(g(Re iθ ))e −inθ dθ = 2 a mR m si m > 0
R(a 0 ) si m = 0
∫ 2π
0
On veut montrer que si R(g(z)) ≤ C|z| s , ∀|z| > 1 alors ∀m ≥ k + 1, a m = 0. Soit m ≥ k + 1 > s.
∣ 1 ∣∣∣
∣2 a mR m ≤ 1
2π
Conclusion : a m = 0
∫ 2π
0
− 1 2 a mR m = 1
2π
∫ 2π
7 Fonctions Γ, ζ et applications
7.1 Fonction Γ
7.1.1 Approche #1
Rappel : sin(πz)
π
0
(CR s − R(g(Re iθ ))e −inθ ) e −inθ dθ
} {{ }
réel >0 si R≥1
(CR s − R(g(Re iθ ))e −inθ )dθ = CR s − R(a 0 ) =⇒ |a m | ≤ 2CR s−m − R(a 0)
R m
est “la” fonction entière la plus simple dont les zéros sont Z (et les zéros sont simples).
sin(πz)
π
= z ∏ n≠0(1 − z n )e z n
Si on cherche “la fonction G” entière la plus simple dont les zéros (simples) sont exactement les entiers
négatifs ou nuls G(z) = z ∏ n≠0 (1 − z n )e z n .
Remarque 7.1.1. z ↦→ G(1 − z) entière, les zéros sont les entiers > 0, du coup G(z)G(1 − z) est une fonction
entière, d’ordre 1 dont l’ensemble des zéros est Z. Conclusion : ∃a, b∞C, G(z)G(1 − z) = e az+b sin(πz)
π
Remarque 7.1.2. z ↦→ G(z + 1) fonction entière dont les zéros simples sont exactement les entiers < 0. Avec
le même argument que précédemment, on obtient : zG(z + 1) = e a′ z+b ′ G(z).
7.1.2 Approche #2
On pose : ∀z avec R(z) > 0, Γ(z) = ∫ ∞
0
e −t t z dt = ∫ ∞
0
e −t t R(z)−1 e i(log t)I(z) dt
Remarque 7.1.3. Pas de problème de convergence dans cette intégrale pour R(z) > 0.
Remarque 7.1.4. Dans H + = {z | R(z) > 0}, la fonction z ↦→ Γ(z) est holomorphe.
∫ 1
ɛ
En effet, on peut voir Γ(z) = lim ɛ→0 ɛ
e−t t z−1 dt et ∫ 1 ɛ
ɛ
e−t t z−1 dt comme limite d’une somme de Riemann.
En utilisant le fait que la limite d’une suite bornée de fonctions holomorphes sur un ouvert est holomorphe,
on en déduit que Γ est holomorphe sur toute boule ouverte à distance > 0 de l’axe imaginaire.
Lemme 7.1. ∀z ∈ H + , zΓ(z) = Γ(z + 1)
Preuve 7.1. Pour montrer l’égalité entre ces deux fonctions analytiques sur H + , il suffit de la vérifier
∀z ∈ R ∗ +. Pour s ∈ R ∗ + :
sΓ(s) =
∫ ∞
0
st s−1 e −t dt = lim ɛ→0
∫ 1
ɛ
ɛ
st s−1 e −t dt (IPP)
=
∫ ∞
0
t s e −t dt = Γ(s + 1)
40

Posons ∀z ∈ {R(z) > −1} \ {0}, ˜Γ(z) = Γ(z)
z
alors :
– ∀z ∈ H + , ˜Γ(z) = Γ(z).
– ˜Γ est méromorphe sur {R(z) > −1} et a un pôle simple en 0 avec ˜Γ(z) ∼ 1 z (z C −→ 0).
Remarque 7.1.5. ˜Γ est le seul prolongement méromorphe possible de Γ à {z | R(z) > −1}.
De même, ∀n > 0, si on pose ∀z ∈ {R(z) > −n} \ {0, −1, . . . , −n + 1}
Γ˜
Γ(z + n)
n (z) =
z(z + 1) . . . (z + n − 1)
et alors ∀z avec R(z) > 0, Γn ˜ (z) = Γ(z) et Γ ˜ n est l’unique prolongement méromorphe de Γ à {R(z) > −n}.
Conclusion : Cela permet de définir un prolongement méromorphe de Γ à C \ Z − .
Définition 7.1. On appelle Γ ce prolongement :
∀n∀z avec R(z) > −n, Γ(z) =
1
z(z + 1) . . . (z + n − 1)
∀z avec R(z) > 0, Γ(z) =
∫ ∞
0
t z+n−1 e −t dt
∫ ∞
0
t z−1 e −t dt
Γ est donc une fonction méromorphe dont les pôles sont exactement Z − , ce sont des pôles simples et ∀n ≥ 0,
Si n est un entier strictement positif,
1
Γ(−n + h) ∼
h→0 −n(−n + 1) . . . − 1 × 1 h
∼
h→0
(−1) n
× 1 n! h
Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = . . . = (n − 1)(n − 2) . . . 1 Γ(1) = (n1)!
}{{}
=1
Remarque 7.1.6. Si on savait montrer que Γ ne s’annule pas sur C \ Z − , on avait alors “ 1 Γ
entière avec ensemble de zéros simples = Z − ”.
est une fonction
Proposition 7.1. ∀z ∈ C \ Z, Γ(z)Γ(1 − z) =
π
sin(πz)
On va prouver cette relation “directement”.
Preuve 7.2. Il suffit (gràce au prolongement analytique) de prouver cette relation pour z ∈]0; 1[.
Lemme 7.2. ∀s ∈]0; 1[, ∫ ∞ e sx
−∞ 1+e
dx = π
x sin(πs) .
Preuve 7.3. Exo d’application sur les intégrales de contour. On prend pour γ R le rectangle passant par
R, −R et 2iπ. z ↦→ esx
1+e
est alors méromorphe sur γ x R et l’intérieur du rectangle privé du point iπ et au
voisinage de iπ : e(iπ+h)s h→0
∼
−eiπs
1+e iπ+h h . e
=⇒
∮γ sz
dz = −2iπeiπs
R
1 + ez lim
R→∞
∫ ∞
−∞
( ∫ R
−R
)
e sx
1 + e x dx (1 − e 2iπs ) = −2iπe iπs
e sx
1 + e x dx = π 2i
e iπs − e −iπs =
π
sin(πs)
41

Preuve 7.4. Pour s ∈]0; 1[ :
Conséquence : ∀z ∈ C \ Z
Γ(s)Γ(1 − s) =
∫ ∞
0
∫ ∞
u=vt
=
0
∫ ∞ ∫ ∞
=
=
0
∫ ∞
e −t t s−1 [∫ ∞
0
]
e −u u −s du dt
[∫ ∞
]
e −t t s−1 e −vt (vt) −s tdv dt
0
v −s
0
∫ ∞
v=e
=
x
−∞
1 + v dv
π
sin(π(1 − s))
π
sin(πs)
0
e −t(v+1) v −s dtdv
e −(1−s)x
1 + e x dx
1
Γ(z) = sin(πz) Γ(1 − z)
π
∀n ∈ N ∗ , z ↦→ sin(πz)Γ(1 − z) reste bornée au voisinage de n (car sin(πz) a un zéro simple en n et Γ(1 − z)
a un pôle simple en n). et donc 1 Γ
se prolonge en une fonction entière. =⇒ ∀z ∈ C \ Z, Γ(z) ≠ 0.
Conclusion provisoire : Si on arrive à montrer que l’ordre de 1 Γ = 1, alors 1 Γ
est une fonction entière
1
dont les zéros (tous simples) sont les entiers < 0. Par le théorème d’Hadamard : ∃a, b, c ∈ C,
Γ(z)
=
e az+b z ∏ n>0 (1 + z n )e− z n .
Théorème 7.1. – 1 Γ
est d’ordre 1.
1
– ∀z ∈ C\Z,
Γ(z) = eγz z ∏ n>0 (1+ z ∑
n )e− z n
n où γ est la constante d’Euler-Macheroni (γ = lim n→+∞ k=1 1 k −
ln(n)).
Preuve 7.5.
1
Remarque 7.1.7. z ↦→ est une fonction entière d’ordre 1, de zéros 1 Γ(z)Γ(z+ 1 2 ) 2 Z− . Mais z ↦→ 1
Γ(2z)
D’aprés le théorème d’Hadamard, il existe a, b, tels que :
On regarde l’identité pour z = 1 2 et z = 1 :
1
Γ(z)Γ(z + 1 2 ) = 1
eaz+b
Γ(2z)
e a 2 +b =
e a+b =
Γ(1)
Γ(1)Γ( 1 2 ) = √ 1
π
Γ(2)
Γ(1)Γ( 3 2 ) = 2 √ π
De là, e a 2 = 2 et e b = 1
2 √ π : Γ(2z) = 4z
2 √ π Γ(z)Γ(z + 1 2 )
(Formule de duplication de Legendre).
aussi.
42

7.2 Fonction ζ
Définition 7.2. On définit ∀s tel que R(s) > 1, ζ(s) = ∑ n≥1
1 n
. Cette fonction est holomorphe sur son
s
ensemble de définition.
ζ(s) = ∏ k≥1 ( 1
1−p −s
k
) où p k est la suite des nombres premiers. (=⇒ ∀s, R(s) > 1, ζ(s) ≠ 0)
∫ ∞
u s−1
Γ(s)ζ(z) =
0 e u − 1 du
} {{ }
On définit sur C \ R + (et z /∈ 2iπZ) la fonction F (z) = (−z)s−1
e z −1
. Avec zα = r α e iαθ pour z = re iθ donc
(−z) s−1 n’est pas définit sur R + . La fonction est parfaitement définit par rapport à s. Pour tout r < 1 2 ,
ɛ < 1 2 , ɛ > r on définit un contour C r,ɛ constitué de l’union d’un disque de rayon ɛ centré en 0 et d’une
bande de largeur r autour de R + . Si on pose γr,ɛ M l’intersection du contour précédent avec le demi-plan des
complexes de partie réelle ≤ M, on a :
∫
γ M r,ɛ
car |F (z)| < e −√ R(z) , ∀z avec R(z) sufisament grand.
(def)
= I
∫
F (z)dz −−−−−→
M→+∞
F (z)dz
C r,ɛ
Remarque 7.2.1. Si on note C, l’union des contours γr,ɛ M et γr M ′ ,ɛ′ reliés selon la droite R(z) = M alors
∫
C F (z)dz = 0. En particulier si M → +∞, alors ∫ C r,ɛ
F (z)dz = ∫ C F (z)dz. Donc l’intégrale ∫ r ′ ,ɛ ′ C r,ɛ
F (z)dz =
∫C r,ɛ
(−z) s−1
e z −1
dz ne dépend ni de ɛ ni de r. On note J(s) cette fonction et on remarque (théorèmes habituels
de limites bornées de fonctions holomorphes) que J est une fonction entière.
On fixe s avec R(s) > 1, et on regarde ∫ C ɛ,r
F (z)dz lorsque r → 0, ɛ → 0, avec C ɛ,r orienté dans le sens
direct : La branche infinie de partie imaginaire négative donne alors
∫ ∞
0
u s−1 e iπ(s−1) du
e u − 1
La branche infinie de partie imaginaire positive donne
∫ ∞
u s−1 e −iπ(s−1) du
−
0 e u − 1
z→0
Et sur le cercle autour de zro, on a |z||F (z)| −−−→ 0 car s > 1 donc ∫ C ɛ,r
F (z)dz −−−−−−→ ɛ→0,r→0
0. Conclusion :
∫
∫ ∞
u s−1 du
lim F (z)dz =
ɛ,r→0
C ɛ,r 0 e u (2i sin(π(z − 1)))
− 1
} {{ } } {{ }
J(s)
I(s)
Conclusion bis : ∀s > 1, ζ(s)Γ(s)(−2i sin(πz)) = J(s) =⇒ ζ(z) = −1 J(s)Γ(1 − s) car Γ(s)Γ(1 − s) =
π
sin(πs)
. Formule valable ∀s ∈]1; 2[, or ζ est une fonction holomorphe sur cet ensemble, J est entière, Γ(1 − s)
est méromorphe avec pôles en N ∗ . Par unicité du prolongement analytique, la formule est valable ∀s tel que
R(s) > 1 et s /∈ N. On définit ∀s ≠ 1, 2, . . .,
˜ζ(s) = −1 J(s)Γ(1 − s)
2iπ
Comme on sait que ζ = ˜ζ sur ]1; 2[ et que ζ est définie et holomorphe sur R(s) > 1, on en déduit que ˜ζ se
prolonge en une fonction holomorphe sur cet ensemble avec ˜ζ = ζ. Conslusion : on a prolongé ζ sur C \ {1}
en une fonction méromorphe avec un seul pôle simple en s = 1.
2iπ
43

Remarque 7.2.2.
et donc ζ(s) ∼
s→1
−Γ(1 − s) ∼
s→1
1
s−1
∫
lim
ɛ,r→0
C ɛ,r
7.2.1 Equation fonctionelle de la fonction ζ
dz
e z − 1 = 2πi
et donc (s − 1)ζ(s) est une fonction entière.
On utilise un nouveau contour, ˜Cɛ,r,m est le cercle de rayon m, centré en 0, auquel on a enlevé un bout
autour de m et rajouté γɛ,r m à la place.
∫
[ m
]
∑
F (z)dz = 2iπ (2iπn) s−1 + (−2iπn) s−1
˜C ɛ,r,m
car F à un pôle en chaque 2iπk pour k ∈ Z.
m∑
= −2iπ(2π) s−1 ( n s−1 (e iπ 2 (s−1) + e − iπ 2 (s−1) )
n=1
n=1
n=1
m∑
= −2i(2π) s 1
(
n 1−s ) cos(π (1 − s))
2
m∑
= −2i(2π) s 1
(
n 1−s ) sin(π 2 s)
Que se passe-t-il lorsque m → ∞
On suppose que s < 0, le terme de droite converge vers : −2i(2π) s ζ(1 − s) sin( π 2 s).
Le terle de gauche La partie ∫ γ 2π(m+ 2 1 → J(s).
)
ɛ,r
Sur le grand cercle : |F (z)| ≤ 4 |z|s−1 (car |e z − 1| > 1 4
). Comme s < 0, ce terme converge vers 0.
Conclusion : Pour s < 0,
J(s) = −2i(2π) s ζ(1 − s) sin( πs (−2iπ)
) = J(s)
2 Γ(1 − s)
Théorème 7.2. ∀s ≠ 1,
ζ(s) = 2 s π s−1 Γ(1 − s) sin( πs
2 )
Preuve 7.6. Ok pour s < 0 réel + prolongement analytique.
Remarque 7.2.3. Il y a une reformulation simple sous la forme suivante :
Définition 7.3. On pose
ξ(s) = 1 2 s(1 − s)π− s s
2 Γ(
2 )ζ(s)
Alors ξ est une fonction (entière) qui vérifie ∀z ∈ C,
n=1
ξ(s) = ξ(1 − s)
Preuve 7.7. (exercice) utiliser le théorème précédent et la formule de duplication de Legendre.
Une autre conséquence du théorème : On sait que ζ ≠ 0 sur {s | R(s) > 1}. Du coup pour R(s) < 0,
ζ(s) = (terme non-nul)Γ(1 − s) sin( πs
2 )
avec Γ(1 − s) non nul et bien défini et sin( πs
2
) posséde des zéros en −2, −4, . . .
Conclusion : Les seuls zéros de J dans {s | R(s) < 0} sont −2N ∗ .
On s’attend à une infinité de zéros de ζ dans {s | R(s) ∈ [0; 1]}.
Conjecture de Riemann : Tous les zéros de ζ (sauf −2, −4, −6, . . .) se trouvent sur la droite R(s) = 1 2 .
44

Remarque 7.2.4. On peut montrer que ζ est d’ordre 1. Si a n est la suite des zéros de ζ on a :
(1 − s)ζ(s) = e ∏ as+b (1 − s )e s
a n
n≥1
an
45