Habilitation Ã diriger des recherches Alberto Bramati - Laboratoire ...

Laboratoire Kastler Brossel 

UMR CNRS 8552 

Université Pierre et Marie Curie 

Ecole normale supérieure 

Habilitation à diriger des recherches 

Spécialité : Physique Quantique 

présentée par : 

Alberto Bramati 

Soutenue le ... devant le jury composé de : 

Izo Abram 

Claude Delalande 

Luigi A. Lugiato 

... 

Rapporteur 

Rapporteur 

Rapporteur

Table des matières 

Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 

Partie i Curriculum vitae 1 

Partie ii Résumé des travaux 13 

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1. Réduction du bruit quantique dans les lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.2 Les diodes laser à ruban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.3 Les lasers semiconducteur à cavité verticale (VCSELs) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

1.4 Les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

1.5 Publications personnelles sur le sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

1.6 Publications jointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

2. Effets non linéaires et quantiques dans les microcavités semiconductrices . . . . . . . 49 

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2.2 Bistabilité à l’angle magique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

2.3 Émission corrélée de polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 



3. Atomes froids et fluctuations quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

3.2 Rotation auto-induite et origine physique de la réduction de bruit . . . . . . . . . . . . 66 

3.3 Réduction du bruit quantique de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

3.4 Génération d’états intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 



4. Génération et contrôle de solitons spatiaux en régime d’impulsions ultra-courtes dans des milieux χ (2) 95 

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

4.2 Effets de focalisation et défocalisation dans la conversion paramétrique de fréquence . 96 

4.3 Vortex optiques et formation contrôlée de pattern de solitons . . . . . . . . . . . . . . 99 

i

ii 

Table des matières 

4.4 Reconstruction d’images digitales par formation contrôlée de solitons spatiaux . . . . . 101 



Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Première partie 

Curriculum vitae

Alberto Bramati 

Maître de Conférences à l’Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 

Né le 14 mars 1967 

Marié, 2 enfants 

Italien 

Service national accompli 

Adresse professionelle : Laboratoire Kastler Brossel, tour 12 1 er étage, Université Pierre et Marie 

Curie, 75 252 Paris Cedex 05, Tél. : 01 44 27 43 93, fax : 01 44 27 38 45 

Adresse électronique : bramati@spectro.jussieu.fr 

Formation 

1995-98 Préparation du doctorat au Laboratoire Kastler Brossel (bourse de la Communauté Européenne 

dans le cadre du programme TMR) sous la direction d’Elisabeth Giacobino: 

Etude du bruit quantique dans les lasers à semiconducteur et à solide. Mention très 

honorable avec félicitations du Jury 

1994-95 Stage au Laboratoire Kastler Brossel : Production d’états comprimés du rayonnement 

par lasers à semi-conducteur. 

1994 Stage à l’Université de Milan : Réalisation d’un laser à CO2 pour l’étude de la dynamique 

des modes transverses d’ordre supérieur. 

1993 Diplômé de l’Université de Milan (Laurea in Fisica), Mention : 110/110 avec félicitations 

du Jury. Les options choisies dans mon cursus d’études m’ont permis d’obtenir l’équivalence 

au D.E.A de physique quantique. 

Thématiques scientifiques 

2001-04 Optique Quantique dans les semi-conducteurs et les gaz d’atomes froids au Laboratoire 

Kastler Brossel(Maître de Conférences à Paris VI) 

1999-01 Optique non linéaire et propagation de solitons au Département de Physique de l’Université 

de Côme, sous la direction de Paolo Di Trapani et Luigi Lugiato (Stage postdoctoral). 

1999 Spectroscopie atomique pompe sonde en cellule mince au Laboratoire des Physique 

des Lasers, Université Paris 13 (A.T.E.R.) 

Compétences linguistiques 

• Français : lu, écrit, parlé couramment 

• Anglais : lu, écrit, parlé couramment 

• Italien : langue maternelle

Expériences d’enseignement 

Maître de conférences à l’université P. et M.Curie - Paris VI 

2004-05 Travaux pratiques de Physique DEUG SCVT 

Travaux pratiques de Lasers 

DEA PEAM 


Maîtrise 

Travaux pratiques de Biophysique 

DEUG SCVT 


Licence 

Travaux dirigés de Biophysique 

DEUG SCVT 

2003-04 Travaux pratiques de Lasers DEA PEAM 


Maîtrise 


DEUG SCVT 


DEUG SCVT 

2002-03 Travaux pratiques de Lasers DEA PEAM 


Maîtrise 


DEUG SCVT 


DEUG SCVT 

2001-02 Travaux dirigés de Biophysique DEUG SCVT 


DEUG SCVT 

Travaux dirigés de Mécanique et Électrocinétique DEUG MIAS 

Travaux pratiques de Mécanique et Électrocinétique DEUG MIAS 

ATER à l’université Paris XIII 

1998-99 Travaux dirigés de Théorie des Signaux DEUG SM 

Travaux pratiques de Théorie des Signaux 

DEUG SM 

Cours d’Électronique 

DEUG MIAS 

Travaux dirigés d’Electronique 

DEUG MIAS 

Travaux pratiques d’Electronique 

DEUG MIAS 

Vacataire à l’Université d’Evry Val d’Essonne 

1997-98 Travaux dirigés de Mécanique DEUG SM 

Travaux Dirigés de Thermodynamique 

DEUG SM 

Travaux Dirigés de Optique Géométrique et Physique DEUG SM

Expériences d’encadrement 

Encadrement de thèses 

2004- Co-encadrement de la thèse de Charles Leyder (Effets nonlinéaires et quantiques dans 

les microcavités) 

Co-encadrement de la thèse de Fabrizio Villa (Réalisation d’une source de vide comprimé 

à 852nm) 

Co-encadrement de la thèse de Jean Cviklinski (Transfert de squeezing champatomes) 

2002- Co-encadrement de la thèse de Marco Romanelli (Effets non linéaires et quantiques 

dans les microcavités) 

Co-encadrement de la thèse de Aurélien Dantan (Transfert de squeezing champatomes) 

2001-03 Co-encadrement de la thèse de Vincent Josse (Squeezing de polarisation et génération 

de faisceaux intriqués dans les atomes froids) 

1999-01 Co-encadrement de la thèse de Stefano Minardi (Génération, caractérisation et 

contrôle de solitons spatiaux excités par impulsions ultra-courtes dans des matériaux 

à non linéarité quadratique) 

Encadrement de stages 

2004 Encadrement de Charles Leyder, stage de DEA, 3 mois 

Encadrement de Fabrizio Villa, stage pré-doctoral de 6 mois 

Encadrement de Thomas Golding, stage de licence, 2 semaines 

2003 Encadrement de Nathalie Capela, stage optionnel de licence, 2 semaines 

Encadrement de Diana Garcia-Lopez, stage optionnel de licence, 2 semaines 

2002 Encadrement de Marco Romanelli, stage-prédoctoral de 3 mois 

2001 Encadrement de Gianni Blasi, diplôme de laurea italien, 12 mois 

1998 Encadrement de Gregorio Herdoiza, stage de Magistère, 2 mois 

1997 Encadrement de Guillaume Le Gris, stage de Magistère, 2 mois 

1996 Participation à l’encadrement de Jean-Pierre Hermier, stage de DEA, 2 mois

Publications scientifiques 

Revues internationales à comité de lecture 

1. Dantan A., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., Title: Manipulation and storage of optical field 

and atomic ensemble quantum states, à paraître dans Laser Physics 

2. Baas A., Karr J.-Ph, Romanelli M., Bramati A., Giacobino E., Phys. Rev. B, 70, 161307(R) (2004) 

Title: Optical bistability in semiconductor microcavities in the nondegenerate parametric oscillation 

regime: analogy with the optical parametric oscillator 

3. Dantan A., Bramati A., Pinard M., Europhys. Lett., 67 (6), pp. 881-886 (2004), Title: Entanglement 

storage in atomic ensembles 

4. Romanelli M., Giacobino E., Bramati A, Opt. Lett., 29, 1629 (2004). Title: Optimal intensity noise 

reduction in Vcsels by Polarization-selective attenuation 

5. Josse V., Dantan A., Bramati A., Giacobino E., J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. , 6, S532, 

(2004) Title: Entanglement and Squeezing in a two mode system: theory and experiment 

6. Josse V., Dantan A., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., Phys. Rev. Lett., 92, 123601 (2004) 

Title: Continuos variable entanglement using cold atoms 

7. Josse V., Dantan A., Vernac L., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., Phys. Rev.Lett., 91, 103601/1, 

(2003) Title: Polarization squeezing with cold atoms 

8. Josse V., Dantan A., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 

5, S1, (2003) Title: Polarization Squeezing in a four-level system 

9. Bramati A., Hermier J.-P., Jost V., Giacobino, E., Eur. Phys. J. D, 19, 421, (2002) Title: Intensity 

noise of injected Nd:YVO4 microchip lasers 

10. Conti, C.; Trillo, S.; Di Trapani, P.; Kilius, J.; Bramati, A.; Minardi, S.; Chinaglia, W.; Valiulis, 

G., J. Opt. Soc. Am. B, 19,852, (2002) Title: Effective lensing effects in parametric frequency 

conversion 

11. Minardi, S.; Molina-Terriza, G.; Bramati, A.; Di Trapani, P.; Torner, L.; Torres, J.P.; Petrov, D.V.; 

Soto-Crespo, J.M., Opt.Photonics News, 12, 63, (2001) Title: Controllable patterns of parametric 

solitons 

12. Di Trapani, P.; Bramati, A.; Minardi, S.; Chinaglia, W.; Conti, C.; Trillo, S.; Kilius, J.; Valiulis, G., 

Phys. Rev. Lett., 87,183902/1, (2001) Title: Focusing versus defocusing nonlinearities due to 

parametric wave mixing 

13. Bramati, A.; Chinaglia, W.; Minardi, S.; Di Trapani, P., Opt. Lett.,26, 1409, (2001) Title: Reconstruction 

of blurred images by controlled formation of spatial solitons 

14. Molina-Terriza, G.; Minardi, S.; Bramati, A.; Di Trapani, P.; Torner, L., Opt. Express, 9, 110 (2001) 

Title: Demonstration of vortex-induced beam shaping in seeded second-harmonic generation 

15. Hermier, J.-P.; Bramati, A.; Khoury, A.Z.; Josse, V.; Giacobino, E.; Schnitzer, P.; Michalzik, R.; 

Ebeling, K.J., IEEE J. Quantum., 37, 87, (2001) Title: Noise characteristics of oxide-confined 

vertical-cavity surface-emitting lasers 

16. Hermier, J.-P.; Maurin, I.; Giacobino, E.; Schnitzer, P.; Michalzik, R.; Ebeling, K.J.; Bramati, A.; 

Khoury, A.Z., New J. Phys., 2, (2000) Title: Quantum noise in VCSELs 

17. Bramati, A.; Hermier, J.-P.; Jost, V.; Giacobino, E., Phys. Rev. A, 62, 043806/1, (2000) Title: 

Feedback control and nonlinear intensity noise of Nd:YVO4 microchip lasers

18. Briaudeau, S.; Saltiel, S.; Leite, J.R.R.; Oria, M.; Bramati, A.; Weis, A.; Bloch, D.; Ducloy, M., J. 

Phys. IV, 10, 145, (2000) Title: Recent developments in sub-Doppler spectroscopy in a thin cell 

19. Hermier, J.-P.; Bramati, A.; Khoury, A.Z.; Giacobino, E.; Poizat, J.-P.; Chang, T.J.; Grangier, Ph., 

J. Opt. Soc. Am. B, 16, 2140, (1999) Title: Spatial quantum noise of semiconductor lasers 

20. Bramati, A.; Hermier, J.P.; Jost, V.; Giacobino, E.; Fulbert, L.; Molva, E.; Aubert, J.J., Eur. Phys. 

J. D, 6, 513, (1999) Title: Effects of pump fluctuations on intensity noise of Nd:YVO4 microchip 

lasers 

21. Bramati, A.; Hermier, J.-P.; Khoury, A.Z.; Giacobino, E.; Schnitzer, P.; Michalzik, R.; Ebeling, K.J.; 

Poizat, J.-P.; Grangier, P., Opt. Lett., 24, 893, (1999) Title: Spatial distribution of the intensity noise 

of a vertical-cavity surface-emitting semiconductor laser 

22. Bramati, A.; Jost, V.; Marin, F.; Hermier, J.-P.; Giacobino, E., Laser Phys., 8, 703, (1998) Title: 

Quantum optics and sub-shot noise spectroscopy with squeezed semiconductor lasers 

23. Bramati, A.; Jost, V.; Marin, F.; Giacobino, E., J. Mod. Opt., 44, 1929, (1997) Title: Quantum 

noise models for semiconductor lasers: is there a missing noise source 

24. Marin, F.; Bramati, A.; Jost, V.; Giacobino, E., Opt. Commun., 140, 146, (1997) Title: Demonstration 

of high sensitivity spectroscopy with squeezed semiconductor lasers 

25. Boscolo, I.; Bramati, A.; Malvezzi, M.; Prati, F., Phys. Rev., 55, 738, (1997) Title: Three-mode 

rotating pattern in a CO2 laser with high cylindrical symmetry 

26. Giacobino, E.; Marin, F.; Bramati, A.; Jost, V., J. Nonlinear Opt. Phys. Mater., 5, 863, (1996) Title: 

Quantum noise reduction in lasers 

27. Marin, F.; Bramati, A.; Giacobino, E.; Zhang, T.-C.; Poizat, J.-Ph.; Roch, J.-F.; Grangier, P., Phys. 

Rev. Lett., 75, 4606, (1995) Title: Squeezing and intermode correlations in laser diodes 

28. Zhang, T.-C.; Poizat, J.P.; Grelu, P.; Roch, J.-F.; Grangier, P.; Marin, F.; Bramati, A.; Jost, V.; 

Levenson, M.D.; Giacobino, E., Quantum Semiclass. Opt., 7, 601, (1995) Title: Quantum noise 

of free-running and externally-stabilized laser diodes 

29. Boscolo, I.; Lugiato, L.A.; Prati, F.; Benzoni, T.; Bramati, A., Opt. Commun., 115, 379, (1995) 

Title: Low order mode interaction in CO2 lasers with different experimental configurations

Articles soumis et en préparation 

1. Dantan A., Bramati A., Pinard M., Title: Atomic quantum memory: cavity vs single pass schems, 

soumis à Phys. Rev. A 

2. Dantan A., Treps N., Bramati A., Pinard M., Title: Teleportation of an atomic ensemble quantum 

state, soumis à Phys. Rev. Lett. 

3. Giacobino E., Karr J.-Ph, Baas A, Messin G., Romanelli M., Bramati A., Title :Quantum coherent 

effects in cavity exciton polariton systems, soumis à Phys.Rev.B 

4. Faccio D, Di Trapani P., Bragheri F., Liberale C., Degiorgio V., Bramati A., Minardi S., Dubietis A., 

Matijosius A., Piskarkas R., Varanavicius A. Title: Far-field spectral characterization of conical 

emission and filamentation in Kerr media, soumis à JOSA B 

5. Maurin I., Romanelli M., Bramati A.; Hermier J. P., Khoury A. Z., Giacobino E. Title: Theoretical 

model for multimode Vcsels, en preparation (Phys. Rev. A) 

6. Maurin I., Hermier J. P., Bramati A., Giacobino E. Protsenko I., Grangier Ph. Title: Light-voltage 

correlations in semiconductor laser, en preparation (Phys. Rev. A) 

7. Romanelli M., Karr J.-Ph, Leyder C., Bramati A., Giacobino E. Title: Correlated polariton emission 

in semiconductor microcavities, en préparation (Phys. Rev. Lett.) 

8. Baas A., Romanelli M., Karr J.-Ph, Leyder C., Bramati A., Giacobino E. Title: Spatial coherence 

of polaritons in semiconductor microcavities en préparation (Phys. Rev. Lett.) 

9. Romanelli M., Hermier J.-P., Giacobino E., Bramati A., Title: Truly single mode operation in Vcsels 

by Polarization and frequency selective feedback, in preparation (JOSA B). 

Proceedings 

1. Zhang T.C., Poizat J.P., Grelu P., Roch J. F. Grangier P., Marin F, Bramati A., Jost V., Levenson 

M. D., Giacobino E., in "Fourth International Conference on Squeezed States and Uncertainty 

Relations", Eds. D. Han, Kuuchui Peng, Y.S. Kim, V.I. Man’ko, NASA Conference Publication, 

1996 p. 529 : "Phase noise Reduction of Laser Diodes" 

2. Giacobino E., Marin F., Bramati A., Jost V., Poizat J.P., Roch J. F., Grangier P., Zhang T.C., in 

"Fourth International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations", Eds. D. Han, 

Kuuchui Peng, Y.S. Kim, V.I. Man’ko, NASA Conference Publication, 1996 p. 593 : "Quantum 

noise in Laser Diodes" 

3. Grangier P., Poizat J.P., Zhang T.C., Marin F., Bramati A., Giacobino E., in "Microcavities and 

Photonic Bandgaps", Eds. J. Rarity and C. Weisbuch, 1996, p. 477-488 : "Quantum intensity 

noise of laser diodes" 

4. Giacobino E., Jost V., Bramati A. in "Fifth International Conference on Squeezed States and 

Uncertainty Relations" (1997) : "Generation of squeezed states with semiconductor lasers" (Balonfüred, 

Hongrie, 27-31 may). 

5. Briaudeau S., Saltiel S., Leite J.R.R., Oria M., Bramati A., Weis A., Bloch D., Ducloy M. in J. 

de Phys. IV, 10 (2000) proceedings of COLOQ 6 (september 1999, Bordeaux) "Recent developments 

in sub-doppler spectroscopy in a thin cell" 

6. Bramati A., Marin F., Hermier J.-P., Maurin I. Giacobino E., Travagnin M., Lugiato L.A., in "International 

Workshop on Optics and Spectroscopy" (Hanoï, 2000), World Scientific (2000): "Semiconductor 

lasers with reduced noise for high sensitivity spectroscopy" 

7. Hermier J.-P., Bramati A., Giacobino E., Schnitzer P., Ebeling K. J., 6th International Conference 

on Squeezed States and Uncertainty Relations (1999) (NASA/CP - 2000 - 209899, 56)

8. Maurin I., Hermier J.-P., Bramati A., Ducci S., Giacobino E., Kolobov M., Zelaquett Khoury A. , J. 

Phys. IV, 4 pr5-257 (2002) 

9. V. Josse, A. Dantan, L. Vernac, A. Bramati, M. Pinard, E. Giacobino, 8th International Conference 

on Squeezed States and Uncertainty Relations (2003) ( Rinton Press-2003-165) 

10. J.Ph. Karr, A. Baas, M. Romanelli, A. Bramati et E.Giacobino, "Parametric oscillation in semiconductor 

microcavities: nonlinear and quantum effects", à paraître dans Phys. Stat. Sol. C (2004). 

Conférences internationales 

1. Bramati A., Marin F., Jost V., Giacobino E., European Research Conference on Quantum Optics 

(1997): "Squeezing in semiconductor lasers and applications to sub-shot noise spectroscopy" 

(Poster, Castelvecchio Pascoli, 13-18 septembre). 

2. Bramati A., Jost V., Hermier J.-P., Khoury A. Z., Marin F., Giacobino E., European Quantum 

Electronics Conference (1998): "Stabilisation schemes and intensity noise of diode pumped solid 

state lasers. " (Communication Orale, Glasgow, 14-18 septembre) 

3. Bramati A., Khoury A. Z., Hermier J.-P., Giacobino E., European Quantum Electronics Conference 

(1998): "Transverse modes correlations and intensity noise in VCSELs." (Communication 

Orale, Glasgow, 14-18 septembre) 

4. Giacobino E., Fabre C., Courty J.-M., Bramati A., Jost V., Marin F., Messin G., Eleuch H., Bégon 

C., Seminar on Fundamental Optics IV (1997): "Quantum optics and cavity QED with semiconductors" 

(Kühtai, 12-17 janvier). 

5. Bramati A., Jost V., Hermier J.-P., Khoury A. Z., Marin F., Giacobino E., European Quantum 

Electronics Conference (1999): "Stabilisation schemes and intensity noise of diode pumped solid 

state lasers." (Poster, Palma di Majorca, 2-6 octobre). 

6. Hermier J.-P., Bramati A., Giacobino E., Schnitzer P., Ebeling K. J., 6th International Conference 

on Squeezed States and Uncertainty Relations (1999) : "Squeezed light generated by injection 

locked VCSELs" (Communication orale, Naples, 24-29 mai) 

7. Hermier J.-P., Maurin I, Bramati A., Giacobino E. International Quantum Electronics Conference 

(2000): "Intensity noise correlations in Vertical Cavity Surface-Emitting Lasers." (Communication 

orale, Nice, 10-15 septembre) 

8. Hermier J.-P., Maurin I, Bramati A., Khoury A.Z., Giacobino E. International Quantum Electronics 

Conference (2000): "Quantum Spin Flip model for Vertical Cavity Surface-Emitting Lasers." 

(Poster, Nice, 10-15 septembre) 

9. Maurin I, Hermier J.-P., Bramati A., Giacobino E. International Quantum Electronics Conference 

(2000): "Pump-Blocking and intensity noise in semiconductor lasers." (Communication orale, 

Nice, 10-15 septembre) 

10. Bramati A., Chinaglia W., Minardi S., Di Trapani P., CLEO Conference (2000): "Reconstruction 

of blurred images via controlled spatial-solitons formation" (Communication orale, Nice, 10-15 

septembre) 

11. Di Trapani P., Bramati A., Chinaglia W., Minardi S., Trillo S., Kilius J., Valiulis G., CLEO Conference 

(2000): "Threshold asymmetry for soliton formation in up and down conversion due to 

self-focusing and self-defocusing (2) interaction" (Post deadline, Nice, 10-15 septembre) 

12. Di Trapani P., Bramati A., Minardi S., Chinaglia W., Trillo S., Conti C., Kilius J., Valiulis G., OSA 

Nonlinear Guided Waves Conference (2001):“Asymmertical formation of parametric solitons” 

(Communication Orale, Clerawater, USA, 25-28 Mars 2001)

13. Valiulis G., Kilius J., Jedrkiewicz O., Bramati A., Minardi S., Conti C.,Trillo S., Piskarskas A., Di 

Trapani P., CLEO Conference (2001):“Space-time nonlinear compression and three-dimensional 

complex trapping in normal dispersion”, (Post deadline, Baltimore, USA, 6-11 Mai ) 

14. V. Josse, L. Vernac, M. Pinard, A. Bramati, E. Giacobino, IQEC Proceedings, Moscou 21-27 juin 

(2002) " Light interacting with atomic systems: polarization squeezing and EPR type correlations" 

15. V. Josse, A. Dantan, L. Vernac, A. Bramati, M. Pinard, E. Giacobino, EQEC Proceedings, Munich, 

juin (2003) "Polarisation squeezing and EPR correlations with cold atoms" 

16. M. Romanelli, I. Maurin, J.-P. Hermier, A. Bramati, E. Giacobino, A.Z. Khoury, EQEC Proceedings, 

Munich, juin (2003) "Spatial distribution of intensity noise in vertical cavity surface emitting 

lasers 

17. A. Bramati, V. Josse, A. Dantan, L. Vernac, M. Pinard, E. Giacobino, 8th International Conference 

on Squeezed States and Uncertainty Relations , Mexico, Juin (2003) Invited talk 

18. V. Josse, A. Dantan, A. Bramati, M. Pinard, E. Giacobino, IQEC Proceedings, San Francisco, 

mai (2003) 

19. A. Bramati, V. Josse, A. Dantan, L. Vernac, M. Pinard, E. Giacobino, International conference 

on modern problem of laser physiscs , Novosibirsk, août (2004) Invited talk 

20. J.Ph. Karr, A. Baas, M. Romanelli, A. Bramati et E.Giacobino, Congrès PLMCN4 (Saint-Petersbourg, 

29 juin - 3 juillet 2004), "Parametric oscillation in semiconductor microcavities: nonlinear and 

quantum effects" (communication orale).

Conférences nationales 

1. Bramati A., Marin F., Jost V., Giacobino E., Congrès de la Société Française de Physique (1997): 

"Spectroscopie par laser à semi-conducteur au-dessous du bruit quantique standard" (Poster, 

Paris, 7-10 juillet) 

2. Poizat J.P., Zhang T.C. Roch J. F., Grangier P., Marin F., Bramati A., Giacobino E., Quatrième 

Colloque sur les lasers et l’Optique Quantique (1995) : "Bruit quantique des diodes laser" (Poster, 

Palaiseau, 6-8 novembre) 

3. Bramati A., Chinaglia W., Minardi S., Di Trapani P., National Conference on Physics of Matter 

(2000): "Reconstruction of blurred images via controlled spatial-solitons formation", (Poster, 

Genova, 12-16 jiun) 

Responsabilités 

Responsabilités scientifiques 

• Referee pour l’American Physical Society, Optical Society of America et European Physical Journal 

D. 

• Co-ordinateur de l’ACI Nanosciences-Nanotechnologies "Mémoires Quantiques" 

• Responsable scientifique de facto pour le laboratoire Kastler Brossel du réseau européen VISTA 

(Vcsels for Information Society Technology Applications) 

Autres 

• Membre suppléant de la CSE section 30-Paris VI. 

• Responsable de l’installation d’un nouveau laboratoire d’optique non-linéaire à Côme

Deuxième partie 

Résumé des travaux

Introduction 

Ce mémoire d’habilitation retrace mon parcours de recherche, qui a commencé en 1992 avec la 

préparation de mon diplôme de "Laurea" à l’Université de Milan. Les domaines de recherche dans lesquels 

peuvent s’inscrire mes activités sont essentiellement la physique des lasers, l’optique quantique 

et l’optique non linéaire. Avant de détailler les principaux résultats de mes travaux ainsi que les projets 

que je poursuis actuellement, je donnerai dans cette section, en guise d’introduction, une description 

concise de l’ensemble des mes activités de recherche. 

Mon premier contact avec la recherche scientifique coïncide donc avec la préparation du diplôme 

de Laurea (1 an) sous la direction du Prof. Boscolo et du Prof. Lugiato, suivie d’un stage (8 mois) 

dans le même groupe: le sujet que j’ai traité était la conception et la réalisation d’un laser à CO 2 pour 

l’étude de l’interaction entre modes transverses d’ordre supérieur. L’analyse théorique, basée sur la 

résolution des équations de Maxwell-Bloch du laser, montre que les domaines de stabilité des solutions 

dépendent, entre autres, du nombre de Fresnel N de la cavité et de la séparation en fréquence 

entre les modes transverses. Dans une cavité laser standard, ces paramètres sont déterminés par la 

géométrie de la cavité (rayons de courbure des miroirs, longueur de cavité, dimensions transverses) 

et ils sont donc inaccessibles à l’expérimentateur. L’étude envisagée exigeait au contraire la possibilité 

de contrôler et de faire varier ces paramètres afin de vérifier les prévisions fournies par le modèle 

théorique. Nous avons donc réalisé un résonateur optique particulier avec deux lentilles à l’intérieur 

de la cavité. On peut montrer que, lorsqu’on change la distance entre les lentilles, un tel résonateur 

est équivalent à une cavité Fabry-Pérot avec un miroir à rayon de courbure variable. L’analyse de la 

cavité, effectuée à l’aide du formalisme de matrices ABCD, montre que faire varier la distance entre 

les lentilles équivaut à changer trois paramètres du laser : le désaccord entre le mode TEM 00 et le 

centre de la courbe de gain, la séparation en fréquence entre les modes transverses et le nombre de 

Fresnel de la cavité. Le résonateur optique ainsi réalisé a donc permis de vérifier expérimentalement 

la validité des prédictions théoriques. En particulier, nous avons analysé l’interaction entre les modes 

transverses appartenant aux deux premières familles (TEM 00 , TEM 10 , TEM 01 ) et montré un très bon 

accord quantitatif les diagrammes de stabilité de solutions et les résultats expérimentaux. Ensuite je 

me suis dédié à la réalisation d’un laser à CO 2 à haute symétrie cylindrique, en minimisant les sources 

d’astigmatisme dans la cavité laser. Dans un tel résonateur, les modes transverses d’une même famille 

sont effectivement dégénérés en fréquence. L’intérêt d’un tel système est qu’il permet de mettre 

en évidence la spécificité du comportement dynamique des lasers de classe B, comme le CO 2 , par 

rapport aux lasers de classe A (laser He-Ne par exemple). En particulier, nous avons montré que les 

trois modes de Gauss-Laguerre dégénérés de la famille q = 2, dans un laser CO 2 à haute symétrie 

cylindrique produisent un pattern tournant pour lequel la dégénérescence en fréquence est levée. La 

fréquence de rotation est déterminée par l’interaction non linéaire avec le milieu atomique. Ce comportement 

est une exemple du phénomène dit de antifrequency locking, typique des laser de classe 

B. Au contraire dans les lasers de classe A, une famille dégénérée des modes transverses forme des 

patterns réguliers stationnaires caractérisés par un certain nombre de singularités de phase. Je ne détaillerai 

pas dans le mémoire ces travaux sur l’étude de la dynamique des laser à CO 2 : une description 

15

16 Introduction 

complète se trouve dans les références [Boscolo 95, Boscolo 97]. 

Après cette activité éminemment classique, j’ai décidé de perfectionner mes connaissances dans 

le domaine de la physique quantique: pour cela j’ai d’abord effectué un stage, suivi ensuite par la 

préparation du doctorat, au laboratoire Kastler-Brossel, avec Elisabeth Giacobino, de 1995 à 1998. 

Mon stage pré-doctoral et ma thèse ont porté sur l’étude détaillée du bruit quantique dans les 

lasers et sur sa réduction afin d’obtenir des états comprimés du rayonnement. Le principe physique 

repose sur le lien étroit qui existe entre le bruit de pompe et la statistique de bruit du champ émis par 

un laser. Dans le cas des lasers pompés électriquement il correspond à l’idée intuitive que si chaque 

électron produit un photon, le bruit de photon reproduit électronique, c’est à dire le bruit du courant de 

pompe. L’utilisation d’une pompe à très faible bruit et une bonne efficacité de conversion de la puissance 

de pompe en puissance lumineuse permettent alors de transférer la statistique de la pompe à 

la statistique du flux de photons émis par le laser, aboutissant à une compression significative du bruit 

d’intensité. Les lasers à semi-conducteur se révèlent très adaptés à l’application directe de ce principe, 

d’une part grâce à la possibilité de disposer assez aisément de courants d’alimentation (pompe) 

à très faible bruit par rapport au bruit quantique standard et, d’autre part, grâce au rendement quantique 

très élevé (supérieur à 60%) qu’ils présentent. Cependant, pour obtenir des états comprimés à 

température ambiante, il s’avère nécessaire d’utiliser, en combinaison avec une pompe régulière, des 

techniques d’affinement spectral telles que l’injection optique et l’insertion du laser dans une cavité 

étendue, qui améliorent le fonctionnement monomode du laser. Nous avons ainsi obtenu une compression 

de bruit de l’ordre de 30% au-dessous du bruit quantique standard [Zhang 95, Bramati 97] 

ce qui constitue le meilleur résultat à température ambiante atteint à l’heure actuelle au niveau mondial. 

En outre, dans le but d’expliquer l’importance des techniques citées plus haut dans la production 

d’états comprimés, nous avons contribué d’une manière décisive à l’éclaircissement du rôle fondamental 

joué par les modes longitudinaux du laser, qui, en dépit de leur faible puissance, influencent 

fortement le bruit d’intensité total. Plus précisément nous avons montré que les états sub-poissoniens 

du rayonnement résultent des très fortes anticorrélations entre les fluctuations des modes longitudinaux 

et celles du mode principal [Marin 95]. Ce phénomène d’anticorrélation est l’analogue quantique 

de ce qu’est connu comme "anti-phase dynamics" dans le domaine de la théorie classique des lasers. 

Pour montrer l’intérêt de telles sources à bruit réduit, nous avons monté une expérience de spectroscopie 

visant à améliorer la sensibilité dans la détection de signaux de faible absorption. Il s’agit 

d’une expérience de spectroscopie modulée en fréquence de haute sensibilité sur le Césium à 852 

nm. La disponibilité de faisceaux laser avec un bruit d’intensité jusqu’à 1,2 dB (25%) en dessous du 

bruit quantique standard et l’utilisation d’un montage spécifique assurant une faible absorption effective 

dans le Césium ont permis d’atteindre la valeur de 3,9x10 −8 pour le signal détectable minimum, résultat 

qui démontre que les techniques les plus sophistiquées de haute sensibilité sont transposables aux 

diodes laser à bruit réduit et permettent d’améliorer encore les performances [Marin 97, Bramati 98]. 

Dans une autre expérience, nous avons étudié les effets du pompage régulier sur des lasers à 

solide, notamment sur des minicristaux de Nd:YVO 4 . Ces lasers répondent bien aux critères nécessaires 

à l’application du principe de la pompe régulière : seuil d’oscillation assez bas et efficacité de 

conversion de l’ordre de 30%. Les prévisions théoriques montrent que ces lasers sont susceptibles de 

produire des états comprimés en intensité dans des conditions accessibles à l’expérience. L’obstacle 

majeur qui s’oppose à leur réalisation pratique est constitué par le fort excès de bruit à haute fréquence 

(5-10 MHz) engendré par l’oscillation de relaxation [Bramati 99a]. On peut pallier cet inconvénient en 

utilisant une rétroaction électronique avec une réponse en fréquence bien adaptée, afin de réduire 

considérablement le pic de l’oscillation de relaxation, tout en préservant les effets non classiques dans 

la région basse fréquence du spectre de bruit. Avec cette technique nous avons obtenu une réduction

Introduction 17 

de bruit de 10 dB au niveau du pic de relaxation et nous avons mis en évidence l’existence d’effets non 

linéaires dans le spectre de bruit [Bramati 00]. La réduction de bruit à basse fréquence était d’environ 

5 dB. Même si le bruit reste encore supérieur au bruit quantique standard, les résultats sont en bon 

accord avec l’analyse théorique que nous avons effectuée et montrent que le principe de la pompe 

régulière peut être utilisé pour améliorer considérablement les performances de bruit des lasers à solide. 

La technique de l’injection optique a aussi été utilisée avec succès pour supprimer l’oscillation de 

relaxation [Bramati 02]. 

Enfin, nous avons étudié les caractéristiques de bruit d’un nouveau type de composants : les microlasers 

à cavité verticale (VCSELs). Nous avons obtenu une compression de bruit de 0,75 dB (15%) 

sous le bruit quantique standard [Hermier 01]. Notre analyse montre que la compression de bruit observée 

est due à des phénomènes d’anticorrélations entre modes transverses appartenant aux polarisations 

orthogonales. Une étude approfondie de ces anticorrélations a été effectuée analysant la 

distribution spatiale transverse du bruit d’intensité [Bramati 99b, Hermier 01]. 

Après ma thèse, j’ai effectué un séjour de 8 mois, comme attaché temporaire d’enseignement et 

recherche, au Laboratoire de Physique des Lasers (Paris 13), sous la direction de Martial Ducloy. 

L’activité de recherche de ce groupe porte principalement sur l’étude de l’interaction entre un système 

atomique confiné et un environnement diélectrique. Les trois principaux sujets de recherche sont 

l’interaction entre atome et surface diélectrique, la spectroscopie atomique en cellule mince de vapeur, 

la stabilisation en fréquence des diodes lasers. Le sujet sur lequel j’ai effectué mon activité de 

recherche concerne la spectroscopie sub-Doppler en cellule mince. Pour une vapeur diluée, la géométrie 

de la cellule peut influencer la forme de raies spectrales, notamment lorsque les effets transients, 

dépendant de la vitesse des atomes, deviennent importants. Le groupe du LPL avait déjà observé 

des signaux sub-Doppler dans la transmission, sous incidence normale, d’un faisceau résonnant à 

travers des cellules de Césium d’épaisseur variable entre 10 et 1000 µm. Dans ces expériences, effectuées 

sur la raie D 2 du Césium, l’absorption est réduite au centre de la raie grâce au pompage 

optique hyperfin qui est efficace seulement pour les rares atomes qui se déplacent parallèlement à la 

paroi et qui expérimentent un temps d’interaction long sans être sensibles à l’élargissement Doppler. 

L’expérience que j’ai montée au LPL est une expérience de spectroscopie d’absorption saturée avec 

pompe et sonde contre propageant et spatialement séparées. La séparation entre pompe et sonde 

sélectionne naturellement les atomes en incidence rasante par rapport à la paroi, qui seuls contribuent 

au signal. L’intérêt de cette configuration expérimentale est qu’elle permet d’accéder facilement aux 

atomes avec vitesses normales à la paroi arbitrairement petites et pourrait être utilisée pour des mesures 

de désorption. Dans une expérience préliminaire sur la raie D 2 du Césium, j’ai pu observer un 

signal d’absorption saturée dans une cellule de 20 µm d’épaisseur. Il s’agit de la réponse des atomes 

pompés par le faisceau central et sondés par le faisceau en anneau 4 mm plus loin. Cela correspond 

à une sélection de vitesses normales à la paroi de 2 m/s, valeur déjà meilleure que celle de 5 m/s 

normalement obtenue sur la raie D 2 . 

Ensuite, après le poste d’ATER, j’ai effectué un séjour post-doctoral de deux ans à l’Università degli 

Studi dell’Insubria de Côme dans le groupe du Prof. Di Trapani. 

L’activité de recherche de ce groupe concerne principalement l’étude expérimentale de phénomènes 

optiques à non-linéarité quadratique en régime d’impulsions ultra-courtes (picosecondes, femtosecondes) 

et haute puissance. Deux thèmes principaux font l’objet d’investigations approfondies: 

l’activité de développement de nouvelles sources de génération paramétrique d’une part; et, d’autre 

part l’étude des structures auto-organisées dans des matériaux non linéaires (solitons spatiaux et temporels, 

patterns) pour des applications dans le domaine du contrôle ultra-rapide et tout-optique de la 

lumière. Je me suis concentré plus particulièrement sur l’étude et la caractérisation des propriétés des

18 Introduction 

solitons spatiaux dans des cristaux χ (2) . Nous avons élucidé le rôle fondamental joué par le processus 

de "cascading" dans la formation et la stabilité des solitons spatiaux en régime de génération de seconde 

harmonique et d’amplification paramétrique: cette étude a permis de modéliser d’une façon plus 

appropriée les effets de auto-focalisation et auto-défocalisation expérimentés par l’onde fondamentale 

et par la seconde harmonique et d’expliquer l’asymétrie du seuil de formation des solitons en fonction 

du paramètre d’accord de phase (∆k) [Di Trapani 01, Conti 02]. 

Parallèlement à cette thématique fondamentale, j’ai mené une activité de recherche plus appliquée, 

visant à exploiter les propriétés des solitons spatiaux paramétriques pour le traitement tout optique de 

l’information. Un schéma de calcul tout optique, basé sur la possibilité de contrôler la formation de 

patterns réguliers de solitons a été démontré expérimentalement [Molina-Terriza 01]. Enfin, l’excitation 

des solitons et leur propagation sans diffraction ont été appliquées pour la reconstruction d’images 

digitales brouillées par des effets de diffraction [Bramati 01]. Une description détaillée des ces travaux 

est donnée dans le chapitre 4 de ce mémoire. 

Depuis septembre 2001 je suis Maître de Conférences à l’Université Pierre et Marie Curie et j’effectue 

mon activité de recherche au sein du groupe d’optique quantique du Laboratoire Kastler Brossel. 

Le groupe se concentre sur l’étude et le contrôle des fluctuations de la lumière à l’aide des différents 

systèmes optiques. Mes principaux axes de recherche sont les suivants: 

Réduction du bruit quantique dans les lasers semi-conducteur: 

Les fluctuations d’intensité du faisceau émis par les lasers semi-conducteurs sont réduites par 

l’application du principe de la pompe régulière et des techniques d’affinement spectral qui induisent un 

fonctionnement monomode du laser. Nous avons observé une réduction du bruit d’intensité au dessous 

du bruit quantique standard dans les diodes laser à ruban et dans les laser semi-conducteurs 

à cavité verticale (VCSELs). Cependant le taux de réduction atteint est inférieur aux prévision théoriques 

des modèles simples considérant le laser comme monomode. Pour mieux comprendre l’origine 

de cet excès de bruit, nous comparons les résultats expérimentaux avec des modèles quantiques qui 

prennent en compte différentes sources des bruit (facteur de Petermann, blocage de Pauli, modes 

transverses). Notre équipe est engagée dans le réseau européen VISTA, qui vise à l’optimisation des 

caractéristiques de ce type de laser pour en améliorer les performances dans les applications industrielles 

(télécommunications, optoélectronique). 

Les résultats obtenus au laboratoire depuis ma thèse de doctorat sur cette thématique sont discutés 

dans le chapitre 1 de cette dissertation. 

Effets non linéaires et quantiques dans les microcavités semi-conductrices : 

Dans ces systèmes l’interaction entre la matière et le rayonnement présente des caractéristiques 

inhabituelles, donnant lieu au régime de couplage fort avec un champ incident. Par ailleurs, ces systèmes 

présentent de fortes non-linéarités, dues aux interactions entre excitons. Un modèle simple de 

non-linéarités excitoniques prévoit une réduction du bruit quantique dans la lumière réfléchie par la 

microcavité, à condition que l’excès de bruit dû à l’interaction avec les phonons soit assez faible, c’està-dire 

à basse température (4K). Une expérience a été mise en place pour étudier les fluctuations 

de la lumière réfléchie, émise ou transmise par une telle microcavité sous une excitation laser résonnante 

et non résonnante. En régime de forte excitation laser, grâce à notre méthode de détection, 

nous avons identifié des non-linéarités géantes de type paramétrique dans l’émission des microcavités. 

Par ailleurs, nous avons observé une réduction du bruit thermique, puis une réduction du bruit

Introduction 19 

quantique sur les polaritons de microcavité. Ces résultats ouvrent la voie à l’utilisation de microcavités 

semi-conductrices pour le traitement quantique de l’information. 

Les derniers développements et les projets concernant cette ligne de recherche font l’objet du chapitre 

2 du manuscript. 

Interaction de la lumière avec des atomes froids de césium en cavité optique : 

Dans la dernière décennie il a été montré au laboratoire que les non linéarités de type Kerr présentées 

par les atomes permettent de modifier les fluctuations quantiques de la lumière et de générer 

des états comprimés du champ électromagnétique. Récemment nous avons montré que ces systèmes 

possèdent des propriétés très prometteuses pour le domaine de l’information quantique : la possibilité 

de produire "squeezing" de polarisation, faisceaux intriqués et "squeezing" des variable atomiques. Le 

contrôle des fluctuations atomiques ouvre la voie à la réalisation d’une mémoire quantique atomique. 

Ces recherches sont menées grâce à des crédits récurrents et contractuels provenant du CNRS, du 

Ministère de la recherche, de la Communauté Européenne. Nous avons obtenu 30 keuros des crédits 

spécifiques du CNRS pour l’acquisition d’une source laser, 100 keuros dans le cadre de l’AC 

nanosciences-nanotechnologies (projet "Démonstration d’une mémoire quantique à atomes ou à solide 

" dont je suis co-ordinateur, en collaboration avec une équipe de l’Institut Fresnel de Marseille). 

Notre équipe est aussi engagée dans les contrat européen QUICOV et COVAQUIAL (200 keuros) qui 

visent à la réalisation d’états comprimés de spin atomique et desmémoires quantiques atomiques. 

La description détaillée de ce sujet de recherche, ainsi que de ses perspectives est présentée dans 

le chapitre 3 du manuscript.

1. Réduction du bruit quantique dans les lasers 

1.1 Introduction 

Dans la plupart des modèles théoriques décrivant le laser, la statistique du mécanisme de pompage 

dans le niveau excité de la transition laser est assumée implicitement ou explicitement poissonnienne, 

hypothèse tout à fait naturel compte tenu du caractère aléatoire de l’excitation soit-elle optique 

ou électrique. Cette hypothèse se traduit par le résultat bien connu que le champ électromagnétique 

émis par un laser (assez au dessus du seuil d’oscillation pour négliger le bruit lié à l’émission spontanée) 

est dans un état cohérent. 

Cependant les fluctuations d’intensité d’un faisceau laser peuvent être modifiés en agissant sur le 

processus de pompage. L’idée physique très simple est la suivante: supposons d’exciter avec un flux 

constant d’atomes le niveau excité du laser; si la conversion atomes excités-photons est très élevée 

(idéalement égale à 1) on s’attend à retrouver cette régularité dans les flux des photons émis par le 

laser. Pour que cette condition soit réalisée il faut que le taux de désexcitation par émission stimulée 

soit très grand devant ceux des pertes non radiatives et de l’émission spontanée. Cela garantit le 

transfert de la statistique de pompe aux photons intracavité. Si, de plus, le taux de décroissance de 

photons dû aux pertes internes à la cavité laser est négligeable par rapport à celui dû au couplage 

vers l’extérieur, le transfert sera assuré aussi au faisceau émis par le laser. Évidemmment, comme 

l’émission stimulée et le couplage à l’extérieur de la cavité sont des processus aléatoires, le retard entre 

la création d’un atome excité et l’émission d’un photon laser est variable. Pour retrouver la statistique 

régulière de la pompe, il faut donc mesurer la statistique des photons dans un intervalle de temps long 

devant les constantes de temps caractéristiques des ces processus. 

En synthèse, trois conditions doivent être satisfaites pour produire un état comprimé en intensité 

avec un laser: les fluctuations de la pompe doivent être réduites sous la limite quantique standard, 

l’efficacité quantique du laser doit être très élevée, le temps de mesure doit être grand devant les 

constantes de temps qui caractérisent le laser. 

Le concept de pompage régulier (flux constant d’atomes pompés dans le niveau excité) a été 

introduit pour la première fois par Golubev et Sokolov [Golubev 84] au début des années 1980. À la 

suite de ces travaux, il est apparu clairement que les lasers à semiconducteur étaient très adaptés pour 

la réalisation expérimentale du principe de la pompe régulière: dans ce type de laser le pompage est 

électrique et les fluctuations du courant de pompe peuvent être facilement comprimées sous le bruit 

de grenaille (shot noise). Dans le circuit d’alimentation de la diode laser les électrons sont dans un 

régime diffusif et, dans ce cas, le bruit associé au courant injecté dans la jonction laser est donné par 

le bruit thermique de la résistance de charge (connu en électronique comme bruit Johnson-Niquist), à 

condition qu’elle soit grande devant la résistance interne de la diode laser (typiquement de quelques 

ohms). Le bruit thermique est inversement proportionnel à la valeur R de la résistance tandis que le 

bruit de grenaille (lié au caractère corpuscolaire des électrons) est proportionnel au courant moyen 

dans le circuit. Il suffit donc d’augmenter la résistance pour atteindre une compression de bruit de la 

pompe importante. En pratique une résistance de 50-100 ohm en série avec la diode laser assure un 

pompage régulier. De plus les diodes laser présentent une efficacité quantique de conversion électron- 

21

22 1. Réduction du bruit quantique dans les lasers 

photon très élevée (supérieure à 60%) et possèdent un seuil d’oscillation très faible, ce qui permet de 

travailler très au dessus du seuil (jusqu’à 10 fois). 

La première observation expérimentale de la réduction du bruit d’intensité dans une diode laser 

pompée par un courant régulé a été réalisée par Yamamoto en 1986 [Yamamoto 86, Machida 86]. 

Toutefois, la simple application du pompage régulier n’est en générale pas suffisante pour générer des 

états non classiques du rayonnement: il est nécessaire de la combiner avec de techniques d’affinement 

spectral (injection optique, cavité étendue) qui améliorent le comportement monomode du laser et 

permettent de passer sous la limite quantique standard. 

J’ai commencé à travailler sur ce sujet en novembre 1994 lors de mon stage pré-doctoral au Laboratoire 

Kastler Brossel, suivi par ma thèse de doctorat (1995-98). À cette époque plusieurs groupes 

avaient réussi dans la production d’états comprimés en intensité grâce à la suppression du bruit 

de pompe et à l’utilisation de techniques précédemment évoquées [Richardson 91a, Freeman 93a, 

Freeman 93b, Wang 93, Freeman 95]. En dépit des résultats expérimentaux allant jusqu’à des compressions 

de bruit de 70% pour des diodes lasers refroidies à la température de l’hélium liquide, plusieurs 

points restaient à élucider avant de parvenir à une compréhension complète du phénomène. En 

particulier le rôle joué par les techniques d’affinement spectral n’était pas encore éclairci. La motivation 

principale de ma thèse était donc de mieux comprendre les processus physiques responsables de la 

compression de bruit pour en améliorer les performances. Il s’agissait d’un enjeu important compte 

tenu des perspectives d’applications promises à ce type de lasers de grande maniabilité et compacité, 

couvrant un large domaine spectral et produisant une lumière comprimée sur une large bande de 

fréquence. 

Dans la première partie de ce chapitre je décrirai les expériences réalisées avec les diodes laser 

à ruban dans trois différentes configurations expérimentales: diode laser libre, diode laser injecté et 

diode laser en cavité étendue. Les résultats marquant de cette étude, c’est à dire la mise en évidence 

de fortes anticorrélations au niveau quantique entre le mode principal et le modes latéraux et l’introduction 

du concept de "squeezing" monomode crucial pour les applications, seront discutés. Ensuite je 

montrerai comme la tentative d’interprétation des résultats expérimentaux dans le cadre des modèles 

théoriques des lasers communément utilisés se heurte à des difficultés qui suggèrent l’existence des 

sources de bruit supplémentaires. 

La deuxième partie du chapitre est consacrée à la présentation des résultats des expériences que 

j’ai menées sur un type différent de laser semiconducteur à émission de surface qui eut un développement 

important au cours de ma thèse. 

La dernière partie du chapitre traite des applications de la lumière comprimée produite à l’aide des 

diodes lasers: le pompage optique à faible bruit des micro-laser à solide et la spectroscopie de haute 

sensibilité. 

1.2 Les diodes laser à ruban 

Parmi les nombreux types de diodes lasers disponibles dans le commerce j’ai sélectionné celles qui 

possédaient les caractéristiques les plus adaptées pour la production d’états comprimés du champs 

électromagnétique. Il s’agit des lasers semiconducteur en GaAsAl à puits quantiques avec un guide 

d’onde obtenu par variation de l’indice de réfraction (constructeur Spectra Diode Laser). Ces lasers 

possèdent un seuil d’oscillations faible (de l’ordre de 20 mA), un courant maximal d’alimentation assez 

élevé (jusqu’à 180 mA) et une efficacité quantique différentielle très élevée (65-70%). La combinaison 

de ces caractéristiques permet d’atteindre des régimes de fonctionnement avec une efficacité quantique 

totale allant jusqu’à 50% et de satisfaire ainsi un des critères introduits plus haut, indispensable à

1.2 Les diodes laser à ruban 23 

l’observation d’une compression de bruit. Ces lasers ont un fonctionnement nominalement monomode 

longitudinal: les modes latéraux présentent une atténuation de −25 dB par rapport au mode principal. 

Ce taux de réjection, suffisant pour considérer le laser réellement monomode pour la plupart des application, 

se révèle insatisfaisant lorsqu’on s’intéresse au bruit quantique des ces lasers. L’application du 

principe de la pompe régulière est assurée par des alimentations stabilisées fabriquées au laboratoire, 

utilisant des composants à faible bruit et délivrant un courant dont le bruit est très inférieur au shot 

noise. Un soin particulier est aussi prêté à la stabilisation en température de ces lasers: le module PID 

et l’élément Peltier interne à la diode laser garantissent un asservissement au centième de degré. 

1.2.1 Configuration expérimentale et résultats 

Comme je l’ai rappelé plus haut, l’utilisation de techniques d’affinement spectral telles que l’insertion 

de la diode dans une cavité étendue et l’injection optique, en améliorant le comportement monomode 

du laser, permet de franchir la limite quantique standard et d’observer une réduction du bruit 

d’intensité (amplitude squeezing). Je présente ici les principales caractéristiques de ces techniques. 

1.2.1.1 La diode en cavité étendue 

Le montage d’une diode laser sur réseau fait partie des techniques classiques de réduction de 

largeur de raie par implantation du laser en cavité étendue [Labachelerie 92]. La diode et le réseau 

sont montés en configuration de Littrow : l’ordre 1 du réseau est renvoyé sur la diode (24% de la 

puissance incidente), et l’ordre 0 (60%) constitue le faisceau de sortie. La cavité est donc formée par la 

face arrière de la diode et par le réseau. Ce montage permet d’abaisser le seuil de la diode, de réduire 

considérablement la largeur de raie et de balayer la longueur d’onde de la diode. Typiquement le seuil 

de la diode sur réseau est de 13 − 15 mA alors que,dans les mêmes conditions de température, la 

diode libre présente un seuil de 18 − 20 mA. La largeur de raie (quelques MHz) peut se réduire encore 

avec une cavité plus longue [Harvey 91]. Ainsi, il est possible, au moyen d’une cavité de quelques 

dizaines des centimètres de réduire la largeur de raie d’une diode commerciale de 40 MHz à moins 

de 10 kHz . L’utilisation du réseau permet en outre de balayer un large domaine de longueurs d’onde 

avec des sauts d’un mode à l’autre, mais également de balayer continûment la fréquence de la diode 

sur plusieurs GHz (variation de la longueur de la cavité à l’aide de la cale piézo-électrique solidaire au 

réseau) [Maki 93]. La plage de balayage d’une diode sur réseau est de l’ordre de ± 10 nm autour de 

la longuer d’onde nominale de la diode libre (déterminée par la température de fonctionnement et le 

courant d’alimentation). 

1.2.1.2 L’injection optique 

Le montage d’un laser en injection répond à un schéma très simple mettant en jeu deux lasers. 

L’un, le laser esclave, est celui dans lequel est injecté le signal émis par l’autre, le laser maître. Plusieurs 

conditions expérimentales doivent être remplies pour réaliser l’injection. Les deux lasers doivent 

être susceptibles d’osciller exactement à la même fréquence, leur recouvrement spatial doit être correct 

et le laser maître ne doit pas être déstabilisé par le retour du signal qu’il envoie vers l’esclave, ce 

qui exige l’emploi d’isolateurs optiques. Lorsque l’injection fonctionne, la phase de l’esclave se bloque 

sur celle du maître. Le montage que nous avons utilisé est le suivant: le laser maître est constitué par 

une diode sur réseau, dont la longueur d’onde nominale est, à quelques nanomètres près, égale à 

celle de l’esclave. Le faisceau maître, après avoir traversé une lame demi-onde, une paire de prismes 

anamorphoseurs et un isolateur optique qui le protège du retour de lumière, est envoyé vers l’esclave 

à travers la fenêtre latérale d’un isolateur optique. Le faisceau de sortie du laser esclave traverse l’isolateur 

et est détecté. Une lame demi-onde, placée juste avant l’isolateur, permet d’ajuster la puissance 

injectée dans l’esclave. La puissance injectée dans l’esclave est assez faible, puisqu’elle ne représente


pas plus de 5 mW . L’avantage de ce type de montage consiste dans le fait que le couplage spatial et 

de polarisation entre laser maître et esclave se font automatiquement. L’injection exige également un 

bon accord en fréquence entre les deux lasers. Le laser esclave oscillera sur celui de ses modes longitudinaux 

le plus proche du mode du laser maître. Ce mode longitudinal n’est donc pas nécessairement 

le mode principal. Cependant, il ne doit pas se situer trop loin de celui-ci sur la courbe de gain de 

la diode. A température ambiante, il est possible d’asservir sur une plage de l’ordre de 1 nm de part 

et d’autre de la longueur d’onde du laser libre. De plus, il est possible de modifier légèrement la fréquence 

du laser maître d’un GHz environ, sans détruire l’asservissement, de sorte que le laser injecté 

possède une réelle capacité de balayage en fréquence, suffisante notamment pour couvrir des raies 

d’absorption atomiques. 

J’ai étudié le bruit d’intensité des plusieurs diodes lasers dans les deux configurations décrites précédemment. 

Le bruit quantique est mesuré grâce à une détection homodyne équilibrée et les spectres 

de bruit sont enregistrés sur un analyseur de spectre. J’ai observé une réduction de bruit d’intensité 

pour un courant d’alimentation supérieur à 50 mA (correspondant à 2.8 fois la valeur du seuil laser) 

pour la diode injectée et à 30 mA (2.4 fois le seuil) pour la diode sur réseau. Le squeezing optimal 

observé pour le laser injecté est de 1.4 dB à 130 mA (2.3 dB après correction des pertes de détection). 

Le meilleur résultat pour la diode sur réseau est de 1.2 dB (1.6 dB corrigés): cela est dû aux pertes 

importantes du réseau [Zhang 95]. 

Ces résultats restent les meilleurs au niveau mondial pour la réduction de bruit d’intensité observé 

à température ambiante à l’aide d’une diode laser. 

1.2.2 Le rôle des modes longitudinaux 

La réalisation d’états comprimés en intensité à l’aide de diodes laser apparaît donc étroitement 

liée au comportement modal du laser. À l’époque où j’effectuais ces expériences, les arguments proposés 

dans la littérature internationale [Freeman 93a, Wang 93] pour expliquer la raison pour laquelle 

la suppression des modes latéraux réduit le bruit d’intensité du laser sous le bruit quantique standard 

suggéraient que, ces modes étant très bruyants, plus faible est leur puissance, moins importante est 

leur contribution au bruit de l’intensité totale. Cependant une telle explication néglige complètement la 

possibilité de l’existence des corrélations entre modes, qui avaient été déjà observées dans des lasers 

multimodes (avec plusieurs modes au dessus du seuil) [Inoue 92,Agrawal 88,Elsässer 86,Kitching 95]. 

Pour mieux comprendre les mécanismes physiques à la base de la réduction de bruit dans ces 

lasers, j’ai effectué une analyse spectrale très détaillée de la radiation émise par une diode laser 

fonctionnant en trois configurations différentes: diode libre, diode injectée et diode sur réseau. En 

particulier, la puissance et le bruit associés à chaque mode longitudinal ont été étudiés. 

Afin d’étudier les modes longitudinaux de la diode, nous avons envoyé le faisceau dans un monochromateur 

de haute résolution (0,03 nm), capable d’isoler distinctement les modes de la diode, 

eux-mêmes séparés de 1,2 Å. A la sortie de cet instrument, nous avons pris des spectres montrant, 

sur plusieurs nanomètres, la répartition de la puissance entre les modes. 

En condition de fonctionnement normal, la diode libre présente le comportement modal suivant: 

la puissance des premiers modes longitudinaux est typiquement de −25 dB par rapport au mode 

principal et la puissance totale contenue dans l’ensemble des modes longitudinaux (plus de 150 modes 

sont détectables) correspond à environ −18 dB par rapport au mode principal. Dans la plupart des 

applications de telles performances autoriseraient à parler de diode monomode. En revanche, nous 

verrons que, pour la réduction de bruit, les effets des modes longitudinaux jouent encore un rôle très 

important à ces niveaux de puissance. 

Dans la diode injectée les modes longitudinaux sont beaucoup plus atténués que dans la diode

1.2 Les diodes laser à ruban 25 

libre. La résolution instrumentale du monochromateur ne nous permet de mesurer la puissance qu’à 

partir du cinquième mode longitudinal. Nous avons mesuré une puissance inférieure a −45 dB par 

rapport au mode principal avec une puissance totale dans les modes longitudinaux d’environ −30 dB. 

Dans la configuration sur réseau, la puissance des premiers modes détectables (autour du quinzième 

mode longitudinal) est de −55 dB par rapport au mode principal ; la puissance dans tous les 

modes longitudinaux descend à −35 dB. Monter la diode sur réseau se révèle la technique la plus 

efficace pour avoir un laser monomode. 

Les propriétés de bruit de chaque mode longitudinal ont été mesurées avec un montage analogue 

au précédent : le faisceau laser est envoyé dans le monochromateur et détecté après la fente de sortie 

grâce à une détection homodyne équilibrée. 

Le monochromateur introduit des pertes, de l’ordre de 70 à 85 % de la puissance lumineuse 

envoyée. Le signal transmis permet néanmoins d’évaluer (en appliquant la correction correspondante) 

le rapport du bruit d’intensité au bruit quantique standard, tant que ce rapport est supérieur à 5 − 10%. 

Considérons d’abord la diode libre : le bruit en intensité sur le faisceau total (mesuré avant le monochromateur) 

est généralement assez faible, de l’ordre de 2 à 4 dB au-dessus du bruit quantique 

standard. En revanche, le bruit du mode principal (mesuré à la sortie du monochromateur) présente 

un excès d’environ 40 dB au-dessus du bruit quantique standard. Le bruit d’intensité des modes longitudinaux 

doit donc être comparable à celui du mode principal, bien que leur puissance soit beaucoup 

plus faible, comme nous l’avons vu plus haut. Cela a été effectivement observé expérimentalement 

comme en témoigne la figure 1.2.2 qui montre le bruit du mode principal et des quatre premiers modes 

longitudinaux. 

Fig. 1.1 – Bruit d’intensité du mode principal et des premiers modes latéraux 

De plus, si l’on ouvre progressivement la fente de sortie du monochromateur, on constate que 

l’excès de bruit tombe à 32 dB, puis à 30 dB, montrant des échelons très nets pour des largeurs 

de la fente qui correspondent à la détection des modes longitudinaux adjacents au mode principal 

(modes ± 1, ± 2 et ainsi de suite). Ces observations démontrent clairement que le bruit d’intensité 

de la diode libre est la résultante de la forte anticorrélation entre les fluctuations du mode principal 

et celles des modes longitudinaux. Quand la fente est complètement ouverte, on peut estimer à une


quinzaine le nombre de modes parvenant à la détection. Pourtant, le bruit reste encore bien plus élevé 

qu’à l’entrée du monochromateur, ce qui montre que l’anticorrélation qui permet aux modes latéraux 

de compenser le bruit du mode principal met en jeu l’ensemble des 160 modes détectables par le 

monochromateur. La même procédure expérimentale a été appliquée à la diode injectée. Typiquement 

l’intensité totale de la diode injectée présente une réduction de bruit de −2.3 dB sous le bruit quantique 

standard. En revanche, comme pour la diode libre, le bruit du mode principal montre un excès de bruit 

qui peut varier de 1 à 10 dB au-dessus du bruit quantique standard selon les conditions d’alignement, 

la puissance injectée, la fréquence du maître, tandis que la réduction de bruit sur l’intensité totale 

reste la même. C’est donc l’anticorrélation du bruit des modes longitudinaux qui compense l’excès 

de bruit du mode principal et permet la génération d’états comprimés. La diode injectée constitue un 

cas remarquable de laser multimode comprimé sous le bruit quantique standard. L’analyse spectrale du 

faisceau émis par la diode sur réseau n’a révélé aucune différence entre le bruit de l’intensité totale et le 

bruit du mode principal : dans ce cas, les modes longitudinaux sont effectivement négligeables et nous 

pouvons parler d’état comprimé monomode (single-mode squeezing). Ce concept est de fondamentale 

importance pour les applications au pompage optique des laser à solide et à la spectroscopie de haute 

sensibilité. Les expérimentations que nous avons menées ont donc contribué à éclaircir de manière 

définitive le rôle des modes longitudinaux et des techniques d’affinement spectral pour la production 

d’états comprimés [Marin 95]. L’obligation d’utiliser de telles techniques pour obtenir une réduction 

de bruit sous le bruit quantique standard est liée au fait que les anticorrélations entre le bruit du 

mode principal et celui des nombreux modes longitudinaux, bien que très fortes, ne sont pas parfaites. 

Cela explique la dépendance du bruit de l’intensité totale par rapport au taux de réjection des modes 

longitudinaux. En effet, pour des anticorrélations parfaites, le bruit d’intensité est indépendent de la 

puissance de modes longitudinaux et est idéalement le même que pour un laser monomode. En réalité, 

à défaut d’une complète anticorrélation, les modes longitudinaux très bruyants sont responsables, dès 

que leur puissance devient non négligeable, de l’excès de bruit observé sur l’intensité totale, comme 

dans le cas de la diode libre. L’atténuation considérable des modes longitudinaux, réalisée grâce aux 

techniques précédemment décrites, permet de s’affranchir de leur effet néfaste, et d’atteindre des 

réductions de bruit selon les modalités que nous avons présentées. Les résultats obtenus ont été 

interprétés qualitativement à l’aide d’un modèle phénoménologique multimode basé sur les équations 

de Langevin. Pour rendre compte des observations (très fortes mais non parfaites anticorrélations 

entre modes) nous avons modifié un modèle pour un laser multimode avec élargissement homogène 

en ajoutant un terme de auto-saturation pour chaque mode dû à ses propres fluctuations. Dans ce cas 

les corrélations entre mode principal et modes latéraux se dégradent quand la puissance des modes 

augmente, engendrant une augmentation du bruit de l’intensité totale. 

1.2.3 Comparaison théorie-expérience 

Nous avons établi, dans la section précédente, que les techniques d’affinement spectral utilisées 

permettent de négliger l’effet des modes longitudinaux sur le bruit d’intensité du laser. Nous pouvons 

donc considérer le laser comme monomode. Dans ce cas, la réduction de bruit maximale attendue 

est égale à l’efficacité quantique du laser, si on suppose que l’on supprime complètement le bruit de 

pompe. En effet, très au-dessus du seuil, le bruit lié à l’émission spontanée devient négligeable et 

seuls les processus aléatoires dus à l’imparfaite conversion des électrons de pompe en photons lasant 

peuvent contribuer à ramener le bruit du faisceau émis vers le bruit quantique standard. Ce simple 

raisonnement est en bon accord avec les résultats expérimentaux obtenus pour des forts taux de pompage 

(environ 75 fois au-dessus du seuil) [Kilper 96b]. Pour des taux de pompage plus faibles, comme 

dans notre cas, d’autres sources de bruit sont à considérer : notamment le bruit lié à l’émission spon-

1.3 Les lasers semiconducteur à cavité verticale (VCSELs) 27 

tanée et stimulée. De plus, il est intéressant de tenir compte du bruit du mécanisme de pompe. Dans 

ces conditions, nous avons comparé les résultats expérimentaux avec les prévisions théoriques des 

différents modèles quantiques du laser (2 ou 3 niveaux) dans lesquels la statistique du bruit pompe est 

inclue. La comparaison entre théorie et expérience montre que un accord raisonnable peut être obtenu 

en ajoutant du bruit de pompe. Cependant cela est en contradiction avec le principe de la pompe 

régulière vérifié expérimentalement et met en évidence la nécessité de développer un modèle plus 

complet pour prédire correctement les propriétés du bruit quantique dans les lasers à semiconducteur. 

En particulier des sources des bruit supplémentaires doivent être prises en compte [Bramati 97]. Ces 

travaux ont suscité un grand intérêt autour des mécanismes responsables de la dégradation du squeezing 

dans les lasers semiconducteur et nombreux articles autant théoriques qu’expérimentales sont 

parus et continuent de paraître sur ce sujet. 

Dans la littérature internationale deux effets sont indiqués comme les principaux responsables de 

cet excès de bruit: le facteur de Petermann [Petermann 79, Cheng 96, Van der Lee 00] et le blocage 

de Pauli [Travagnin 00, Schuster 95]. Le premier dérive de la projection dans le mode lasant du bruit 

des modes transverses d’ordre supérieur sous le seuil d’oscillation et est dû à des modes propres non 

orthogonaux dans la cavité laser. Le deuxième est représenté par la diminution du taux de pompage 

à cause de la saturation de la transition lasante: si le nombre des porteurs augmente au dessus 

de sa valeur stationnaire, plus de porteurs injectés trouveront des états quantiques occupés et par 

conséquence un nombre inférieur parmi eux pourra atteindre la jonction laser. Cela conduit à une 

dégradation de la suppression du bruit de pompe. L’équivalent macroscopique du blocage de Pauli est 

le courant de fuite qui produit des fluctuations de tensions mesurables aux bornes de la jonction laser. 

Dans le prolongement de mon travail de thèse comme enseignant-chercheur à l’Université Pierre 

et Marie Curie, je me suis intéressé à ce problème en collaboration avec Philippe Grangier et Igor 

Protsenko, dans le cadre du réseau européen VISTA. Nous nous proposons de trouver une quantité 

mesurable qui permette d’identifier sans ambiguïté les contributions des différentes sources de bruit. 

Pour cela nous avons étudié expérimentalement et théoriquement le bruit d’intensité du faisceau émis 

par une diode laser sur réseau, le bruit de tension aux bornes de la diode laser dû au courant de 

fuite et les corrélations entre le bruit de tension et le bruit d’intensité de la lumière [Richardson 91b]. 

Les fluctuations de tension sont mesurées grâce à un circuit spécialement conçu et à un analyseur 

de spectre. Un correlateur fournit les corrélations entre bruit lumineux et bruit de tension. L’analyse 

théorique des caractéristiques du laser est effectuée grâce à un modèle basé sur l’approche de forces 

de Langevin quantiques et prends en compte le bruit dû au facteur de Petermann et aux fluctuations 

du courant de fuite comme sources de bruit supplémentaires. La comparaison détaillée des résultats 

expérimentaux avec les prévisions de ce modèle indique clairement que les excès de bruit provenant 

respectivement du facteur de Petermann et du courant de fuite contribuent d’une façon différente aux 

corrélations entre le bruit d’intensité du faisceau laser et les fluctuations de tension sur la jonction. 

Donc, la mesure de ces corrélations et l’ajustement des données expérimentales par le modèle théorique 

permet d’estimer les contributions des sources de bruit supplémentaires mentionnées ci-dessus 

avec une précision qu’on ne saurait atteindre par la simple mesure du bruit d’intensité [Maurin 04a]. 

1.3 Les lasers semiconducteur à cavité verticale (VCSELs) 

Au cours de ma thèse de doctorat un nouveau type de laser semiconducteur commençait à être de 

plus en plus utilisé dans les applications. Il s’agissait des lasers semiconducteur à microcavité. À cette 

époque, malgré le progrès enregistré dans le domaine des diodes conventionnelles, les performances 

fournies par les lasers semiconducteur à microcavité pompés par pompage électrique étaient bien


plus médiocres : le bruit d’intensité était typiquement un ordre de grandeur au-dessus du shot noise 

[Goobar 95]. Cela était d’autant plus surprenant que les lasers semiconducteur à microcavité avaient 

été considérés comme les sources idéales pour la productions d’états comprimés en intensité grâce 

aux nombreux et importants avantages par rapport aux diodes lasers conventionnelles. Dans les lasers 

à microcavité la longueur de la cavité est de l’ordre de la longueur d’onde de la lumière émise. Cette 

caractéristique implique que ces lasers fonctionnent dans un régime où des effets d’électrodynamique 

quantique deviennent non négligeables [Kleppner 81]. En particulier, l’extrême réduction du volume de 

la cavité modifie l’émission spontanée du milieu actif et augmente sensiblement la fraction canalisée 

dans le mode lasant. Cela se traduit par une sensible diminution du courant de seuil d’oscillation, qui 

peut être inférieur au milliampère pour les meilleurs dispositifs. Cette valeur très basse du seuil permet 

d’atteindre des régimes de forts taux de pompage, nécessaires à la réduction du bruit quantique. De 

plus, les lasers semiconducteur à microcavité présentent des miroirs avec des valeurs très élevées 

du coefficient de réflexion ( > 99%), nécessaires pour compenser le fait que le gain par passage est 

faible à cause des dimensions réduites de la cavité. Cela implique que la finesse de ces dispositifs est 

supérieure d’environ deux ordres de grandeur à celle de diodes laser traditionnelles. 

Parmi les lasers semiconducteur à microcavité, un type particulier de dispositif connaissait un développement 

important : les VCSELs, (vertical cavity surface emitting lasers). La géométrie spécifique 

à ces lasers miniaturisés (la lumière est émise orthogonalement à la couche semiconductrice et parallèlement 

au sens de propagation du courant d’alimentation) la possibilité de moduler très rapidement 

leur courant d’alimentation (grâce à la taille réduite) ainsi que leur symétrie cylindrique (facilité de couplage 

à une fibre optique) font de ces lasers les dispositifs idéaux pour des nombreuses applications 

dans le domaine optoélectronique. Il est clair que pour ces applications, en particulier pour la transmission 

des données en télécommunications, le bruit du laser est un facteur d’importance fondamentale 

susceptible de limiter les performances des systèmes. Il était donc très important d’effectuer une analyse 

approfondie des caractéristiques de bruit des ces lasers aussi bien pour les applications que du 

point de vue de la physique fondamentale. 

En effet les Vcsels présentent aussi des caractéristiques très intéressantes vis-à-vis du bruit quantique: 

efficacité quantique élevée, faible seuil d’oscillation, fonctionnement monomode longitudinal (imposé 

par la longueur de cavité) et donc élimination du bruit associé à la compétition entre modes, 

possibilité d’application directe du principe de la pompe régulière grâce au pompage électrique. Sur 

la base de l’expérience acquise sur les diodes laser, les vcsels apparaissaient comme des bons candidats 

pour produire des états comprimés. Cependant, certaines caractéristiques qui constituent des 

atouts pour les applications, sont responsables d’une dégradation des performances de bruit. 

En particulier, les propriétés de symétrie ont des conséquences sur les propriétés de polarisation 

de la lumière émise par les VCSELs : contrairement au cas des diodes lasers traditionnelles 

où la polarisation principale est fixée par la forte anisotropie de la jonction laser, dans les VCSELs, 

en principe, on n’a pas de contraintes sur la polarisation. L’état de polarisation du VCSEL est très 

sensible à des effets tels que des faibles anisotropies dans la structure cristalline ou dans les miroirs, 

et des phénomènes de competition et de bistabilité entre les différents modes de polarisation, 

observés dans ces lasers, ont fait l’objet de nombreuses études théoriques et expérimentales 

[Jewell 89, Chang 91, Kent 94, Travagnin 97, Regalado 97, Jansen 97, Hofmann 97]. De plus, le fonctionnement 

monomode transverse n’est en général pas atteint et on peut observer une émission avec 

plusieurs modes transverses d’ordre supérieur [Huffaker 94]. L’oscillation simultanée de deux modes 

de polarisation orthogonale observée dans ces lasers a confirmé l’existence de phénomènes d’anticorrélation. 

Bien que la première observation expérimentale de réduction de bruit d’intensité ait été 

effectuée avec un VCSEL multimode transverse en exploitant les corrélations [Kilper 97], ce type de


fonctionnement reste un facteur limitant pour les performances de ces lasers. Je détaillerai par la suite 

les expériences que j’ai menées sur plusieurs échantillons de VCSELs fabriqués à l’Université d’Ulm 

et que j’avais pré-sélectionnés (choisissant les mieux adaptés pour l’observation d’effets quantiques) 

lors d’un séjour d’une semaine dans le groupe du Prof. Ebeling. 

1.3.1 Réduction de bruit dans un lasers multimode 

Nous avons tout d’abord étudié les caractéristiques de bruit des vcsels en régime de fonctionnement 

libre, avec un pompage régulier. Un travail systématique a été effectué sur les quelques centaines 

des microlasers dont nous disposions. Il s’agit des vcsels dans lequel le confinement optique est assuré 

par oxydation sélective. Le diamètre de la région active varie entre 3 et 20 µm. De façon générale, 

sont les dispositifs avec un diamètre plus petit qui présentent les meilleurs caractéristiques vis-à vis 

du bruit quantique: faible seuil, haute efficacité quantique et comportement monomode. Cependant, 

nous n’avons pu observer d’états comprimés avec des vcsels monomode: cela est dû au fait que le 

comportement monomode est conservé seulement pour des courants d’alimentation assez faibles (inférieurs 

à 5 fois le seuil d’oscillation). Lorsque le courant est augmenté au dessus de cette valeurs 

les vcsels présentent toujours un comportement multimode transverse. Bien que ce régime soit en 

principe moins favorable à la production d’états comprimés, la présence de fortes corrélations entre 

modes peut en permettre l’observation. Le meilleur résultat obtenu a été une compression de bruit de 

0.75 dB pour un vcsel en régime multimode: 6 modes transverses distincts oscillent simultanément 

sur deux polarisations orthogonales [Hermier 01]. Lorsque le courant est ultérieurement augmenté les 

nombre des modes oscillant devient trop important et une dégradation des performances de bruit est 

observée, avec l’apparition d’excès de bruit. 

Pour essayer d’améliorer les caractéristiques de bruit des vcsels, et en s’appuyant sur l’expérience 

acquise avec les diodes lasers, nous avons décide d’injecter les vcsels. Le laser maître est une diode 

laser sur reseau dont la qualité optique du faisceau a été améliorée grâce à une fibre monomode. 

Nous avons observé l’effet de l’injection sur des microlasers qui présentent de l’excès de bruit en 

régime de fonctionnement libre: dans tous les cas examinés, l’injection améliore les performances du 

laser, diminuant son bruit. Lorsque le bruit du laser libre est élevé (de l’ordre de 10 dB d’excès de bruit), 

grâce à l’injection, on peut descendre au bruit quantique standard. Pour une situation au départ plus 

favorable (excès de bruit du laser libre limité à quelques décibels), l’injection permet de produire des 

états comprimés. L’analyse spectral du faisceau émis par le laser esclave révèle que l’injection, bien 

que favorisant l’oscillation sur le mode TEM 00 , ne permet pas d’atteindre un régime complètement 

monomode. En effet, les modes transverses d’ordre supérieur, à cause du couplage imparfait, sont 

seulement partialement affectés par l’injection d’un mode TEM 00 dans la cavité. 

1.3.2 Effets spatiaux sur le bruit d’intensité 

L’élargissement homogène de la courbe de gain dans les lasers semiconducteur induit des fortes 

anticorrélations entre modes qui rendent possible l’émission radiative dans différents modes sans que 

cela introduise du bruit sur l’intensité totale du faisceau émis par le laser. Néanmoins, comme nous 

l’avons mis en évidence pour les diodes laser à ruban, des faibles inhomogénéités peuvent dégrader 

les corrélations et augmenter le bruit total. Les anticorrélations jouent donc un rôle crucial dans la 

détermination des performances de bruit du laser. Dans la section précédente nous avons montré l’importance 

des anticorrélations entre différents modes pour la production d’états comprimés en intensité 

dans les vcsels. Ce phénomène, déjà observé pour les diodes laser à ruban, se révèle encore plus 

riche dans le cas des vcsels grâce au fait que les anticorrélations possèdent une structure spatiale 

dans le plan transverse induite par la présence de modes transverses différents. La compréhension de 

cette structure présente aussi un certain intérêt du point de vue pratique, notamment pour le couplage


avec une fibre: en effet le bruit dû aux modes transverses d’ordre supérieur peut s’interpréter comme 

une fluctuation de la position du faisceau dans le plan transverse [Fabre 95]. 

Dans le but de établir une analyse quantitative de ce phénomène, je me suis limité au cas simple 

d’un vcsel avec seulement deux modes transverses au-dessus du seuil: les modes TEM 00 et TEM 01 , 

polarisés orthogonalement. Les caractéristiques du bruit des ces deux modes ainsi que leur corrélation 

sont étudiées en mesurant la distribution spatiale du bruit d’intensité du faisceau laser dans le plan 

transverse [Bramati 99b, Hermier 99]. 

Dans le schéma expérimental le faisceau laser est coupé progressivement à l’aide d’une lame de 

rasoir mobile placée sur le trajet du faisceau et le bruit d’intensité est mesuré en fonction de la position 

de la lame. Comme la distribution d’intensité dans le plan transverse est différente pour les deux 

modes, la contribution de chaque mode au bruit total d’intensité dépend de la position de la lame par 

rapport au faisceau. Il en résulte de grandes variations du bruit d’intensité en fonction de la position de 

la lame. Le bruit quantique standard est calibré très soigneusement à l’aide d’une diode laser et d’une 

détection homodyne équilibrée. Dans cette situation simple avec seulement deux modes, nous avons 

développé un modèle phénoménologique qui prend en compte la structure transverse des modes et 

qui permet de prévoir les variations du bruit d’intensité avec la position de la lame. L’accord entre les 

résultats expérimentaux et les courbes théoriques est très satisfaisant. 

Un résultat intéressant fourni par ce modèle montre que, pour des anticorrélations quasi-parfaites 

et un rapport entre les puissances des modes adapté, la simple opération de couper un faisceau dont 

le bruit total est au-dessus du shot noise peut conduire à l’observation d’une réduction de bruit sur le 

faisceau coupé. Cet effet est lié à l’exploitation optimale des anticorrélations et sera détaille dans la 

section suivante. 

Actuellement, dans le cadre du réseau européen Vista et en collaboration avec A.Z. Khoury de 

l’Université de Niteroi au Brésil, je m’intéresse à nouveau au problème de la modélisation des effets 

spatiaux dans les vcsels. Nous avons développé un modèle quantique complet basé sur l’approche 

de Langevin quantique. Ce modèle inclut la structure transverse des modes qui oscillent ainsi que les 

corrélations spatiales créées par la compétition des différents modes. Le modèle prend en compte 

aussi la dépendance spatiale de la pompe et permet l’oscillation simultanée des deux modes transverses 

(TEM 00 et TEM 01 ). L’accord entre les prévisions de ce modèle et les résultats expérimentaux 

est satisfaisant et il est obtenu sans paramètres libre dans le modèle: tous les paramètres nécessaires 

aux simulations sont en effet mesurés ou déduits de la littérature [Maurin 04b]. 

1.3.3 Exploitation optimale des anticorrélations 

Comme nous l’avons vu dans les sections précédentes, les anticorrélations sont cruciales pour 

déterminer le bruit d’intensité dans un vcsel. La possibilité, évoquée plus haut, de réduire sous le bruit 

quantique standard le bruit d’un faisceau contenant deux modes transverses différents en le coupant à 

l’aide d’une lame en est une démonstration claire. Cette technique, qui est très bien adaptée à l’étude 

de la distribution spatial du bruit, présente par ailleurs, quelques limitations si l’on cherche à obtenir 

la meilleure réduction de bruit possible. En effet il est impossible d’agir indépendamment sur les deux 

modes et son efficacité est donc fixée par la structure transverse des modes et par leur corrélation. 

La réflexion, dans le cadre du réseau Vista, sur les moyens pour contrôler et exploiter les corrélations, 

nous a amené, pour s’affranchir de ces contraintes, à développer une nouvelle technique 

applicable au cas général d’un laser avec deux polarisations orthogonales oscillant simultanément 

(plusieurs modes transverses peuvent osciller dans chaque polarisation). L’idée est la suivante: les 

deux polarisations orthogonales sont séparées à l’aide d’un cube polariseur et celle qui présente le 

bruit le plus élevé subit une atténuation appropriée afin que son niveau de bruit s’équilibre avec celui


de l’autre polarisation. Ensuite les deux faisceaux sont recombinés pour donner un nouveau faisceau 

avec un bruit plus faible que le faisceau initial. L’opération d’équilibrage du bruit par une atténuation 

sélective en polarisation permet d’exploiter d’une façon optimale les fortes anticorrélations entre les 

polarisations qui caractérisent ces lasers. 

Ces résultats très intuitifs sont confirmés par une analyse théorique qui permet d’écrire le bruit 

d’intensité normalisé au bruit quantique standard pour le faisceau total après atténuation. Grâce à 

cette modélisation nous avons déduit la condition de réduction optimale de bruit: les excès de bruit des 

deux polarisations doivent être égaux. Cela correspond au fait qu’on ne peut agir que sur les parties 

classiques des fluctuations, le mieux qu’on peut faire étant de les équilibrer. Lorsque l’atténuation 

optimale est appliquée, le bruit d’intensité du vcsel est réduit à sa valeur minimale, qui est fixée par 

la valeur de la corrélations entre polarisations. De plus l’analyse théorique nous a permis de déduire 

un critère qui relie les bruits de chaque polarisation au degré minimum de corrélation nécessaire pour 

produire un état comprimé. Ce critère indique clairement le régime de fonctionnement propice à la 

production d’états comprimés en intensité grâce aux anticorrélations entre modes de polarisation: plus 

faible est l’excès de bruit d’un mode de polarisation, plus faible sera l’anticorrélation nécessaire; le 

cas limite étant représenté par un mode avec un bruit égal au bruit quantique standard pour lequel 

toute valeur de l’anticorrélation permettra de descendre au-dessous de la limite quantique standard. 

Inversement, lorsque les deux modes de polarisations ont de forts excès de bruit, situation qui se 

présente le plus souvent dans l’expérience, la corrélation requise pour avoir des effets quantiques est 

pratiquement égale à -1. Cela explique pourquoi, bien que les anticorrélations soient presque parfaites, 

il est néanmoins difficile d’obtenir des états comprimés. 

Pour montrer l’efficacité de la méthode d’atténuation sélective en polarisation nous avons effectué 

une expérience avec un laser qui présentait deux modes de polarisation avec des bruit légèrement 

différents. En appliquant la condition d’atténuation optimale, nous avons obtenu une réduction de bruit 

maximale d’environ 7 dB en excellent accord avec la prévision théorique. Le fait remarquable est 

que cette importante réduction du bruit est obtenue avec une atténuation sélective en polarisation qui 

correspond à seulement 4% de l’intensité totale; un simple filtrage (non sélectif en polarisation) de la 

même valeur sur le faisceau total aurait donné une réduction de bruit de 0.2 dB [Romanelli 04a]. 

1.3.4 Contrôle de l’émission par retour optique 

Nous avons vu que le faisceau émis par les vcsels est souvent composé des deux polarisations 

linéaires orthogonales et peut contenir des modes transverses d’ordre supérieur. Nous avons aussi 

montré que, grâce aux fortes anticorrélations entre polarisations le faisceau émis présente un bruit assez 

faible et parfois même une compression de bruit, en dépit du fort excès de bruit de chaque polarisation 

[Hermier 01]. D’autre part, si un élément polariseur est inséré sur le chemin optique du faisceau, 

on observe une grande augmentation du bruit. Il est clair que cela constitue une sévère limitation pour 

les applications. Donc, le contrôle des modes de polarisation dans les vcsels est d’importance capitale 

pour leur utilisation pratique. De même, le contrôle de la structure transverse de l’émission (TEM 00 ) est 

indispensable dans les applications. La situation est d’autant plus complexe que, même si l’émission 

moyenne du vcsel exhibe une polarisation linéaire bien définie et un seul mode transverse, le laser 

ne peut en général être considéré comme monomode, lorsqu’on s’intéresse à ses propriétés de bruit: 

les fluctuations du mode de la polarisation qui n’oscille pas contribuent au bruit total et le même effet 

d’augmentation de bruit à la traversée d’un polariseur est observé. De la même façon les modes transverses 

d’ordre supérieur sous le seuil contribuent au bruit total. D’après cette discussion, il apparaît 

clairement que, pour affirmer que le faisceau émis par un vcsel est monomode en polarisation, on ne 

peut se contenter d’étudier les caractéristique de l’émission moyenne (polarization, spectre optique),


mais une analyse approfondie du bruit est nécessaire. De même, pour tester les caractéristiques du 

faisceau dans le plan transverse, une analyse des propriétés spatiales du bruit est requise. 

Une technique simple, efficace et largement utilisée pour améliorer les performances des lasers 

est de les placer dans une cavité étendue. Nous avons étudié la possibilité d’obtenir un "vrai" fonctionnement 

monomode d’un vcsel multimode grâce au retour optique provenant de la cavité étendue. 

Deux configurations différentes ont été étudiées: le retour sélectif en polarisation et le retour 

sélectif en polarisation et fréquence. D’autres groupes ont déjà appliqué ces techniques au vcsels 

[Marino 03,Besnard 97] avec des résultats encourageants. Il faut souligner, d’autre part, qu’aucun des 

ces groupes n’a effectué des mesures de bruit. L’originalité de notre démarche consiste dans le fait 

que nous nous concentrons sur les propriétés de bruit de l’émission laser, que, seules, permettent de 

déterminer sans ambiguïté le caractère monomode ou multimode du faisceau laser. 

Avec le retour polarisé nous observons une complète suppression d’une polarisation: les effets 

indésirables décrits plus haut à la traversée d’un polariseur sont complètement éliminés. Le faisceau 

est monomode en polarisation. Cependant le retour polarisé ne permet pas de contrôler l’émission sur 

des modes transverses d’ordre supérieur. Pour parvenir à leur suppression il est nécessaire d’introduire 

dans la cavité externe un élément sélectif en fréquence, tel qu’un réseau de diffraction. Dans ce cas, 

la mesure du bruit de la polarisation et de la distribution spatiale du bruit montrent qu’un régime de 

fonctionnement monomode transverse et de polarisation est réalisé [Romanelli 04b]. 

1.4 Les applications 

Parallèlement à la production d’états comprimés à l’aide de diodes laser, au cours de ma thèse 

de doctorat je me suis aussi intéressé aux applications possibles de ces lasers aux caractéristiques 

de bruit si particulières. Très clairement deux domaines de recherche nous sont apparus comme les 

mieux adaptés pour exploiter le propriétés de faible bruit des faisceaux émis par les diodes lasers: le 

pompage optique de lasers à solide et la spectroscopie de haute sensibilité. 

1.4.1 Pompage optique des micro-lasers Nd:YVO 4 

Dans des nombreuses applications, telles que la détection des ondes gravitationnelles ou la spectroscopie 

de haute sensibilité, l’utilisation de lasers avec une très grande stabilité en fréquence et un 

faible bruit d’intensité est indispensable. Au milieu des années 1990 il était donc nécessaire d’effectuer 

une étude approfondie des caractéristiques de bruit de différents types de lasers. En particulier, les 

lasers à solide (Nd:YAG, Nd:YVO 4 ) pompés par diodes laser, qui avaient commencé à remplacer les 

laser à gaz dans les applications, se présentaient comme les candidats idéaux pour satisfaire ces exigences. 

Plusieurs groupes se sont donc attachés à l’étude des caractéristiques de bruit de ces lasers 

dans le but d’en améliorer les performances [Nilsson 89,Arie 92]. C’est dans ce cadre que s’inscrivent 

les expériences que j’ai menées sur les effets du bruit de pompe dans les laser à solide. 

L’idée maîtresse de ce travail était de transposer à ces lasers le principe de la pompe régulière 

utilisé pour les lasers à semiconducteur et de rechercher les conditions expérimentales dans lesquelles 

ces lasers seraient susceptibles d’émettre d’états comprimés du rayonnement. 

Dans un premier temps j’ai effectué une analyse théorique détaillée des caractéristiques du bruit 

d’intensité dans ces lasers et des effets du bruit de pompe sur le bruit d’intensité: le modèle théorique 

utilisé pour décrire la dynamique des lasers et leurs propriétés de bruit est basé sur l’approche de 

Langevin quantique et prend en compte le bruit de pompe [Kolobov 93]. Le spectre de bruit d’intensité 

de ces lasers est dominé, comme pour les lasers à semiconducteur, par l’oscillation de relaxation. 

À différence des lasers à semiconducteur, pour lesquels le pic de bruit se situe autour de quelques 

gigahertz, dans les lasers à solide il est dans une gamme des fréquences variable du kilohertz au

1.4 Les applications 33 

megahertz, selon les paramètres de la cavité. Pour des fréquences supérieures à la fréquence de 

l’oscillation de relaxation le bruit d’intensité du laser tend vers un état cohérent, pour des fréquences 

bien inférieures il dépend fortement du bruit du mécanisme de pompe. 

Il était donc impératif d’utiliser des lasers dont l’oscillation de relaxation est à la fréquence la plus 

haute possible pour que les effets de la suppression du bruit de pompe, obtenue par pompage optique 

à l’aide d’une diode laser à bruit comprimé, se situent dans une gamme de fréquence accessible à 

l’expérience. 

Nous avons donc sélectionné des microlasers constitués par des cristaux d’YVO 4 dopés au Néodyme, 

de 300 µm d’épaisseur. L’oscillation de relaxation est de l’ordre de quelques megahertz (entre 

5 et 10 MHz). Ces lasers émettent de la lumière laser infrarouge à 1064 nm, lorsqu’ils sont pompés 

par un rayonnement vers 810 nm. Grâce au coefficient d’absorption très élevé à la longueur 

d’onde de la pompe l’efficacité de conversion de la pompe (le rendement de conversion des photons 

de longueur d’onde 810 nm en photons de longueur d’onde 1064 nm) est très importante (jusqu’à 

40%) [Bernard 93,Kintz 90,Washio 76,Taira 91] et le seuil d’oscillation est par conséquence très faible 

(4-5 mW). Enfin, grâce à la cavité très courte et à une courbe de gain étroite ils sont monomode longitudinal 

et transverse (TEM 00 ), ce qui permet d’éviter la compétition entre modes oscillants qui serait 

néfaste pour le bruit. Les conditions nécessaire à l’observation d’une réduction de bruit d’intensité par 

suppression du bruit de pompe sont donc satisfaites. 

La réalisation expérimentale utilise comme source pour le pompage optique une diode laser SDL 

sur réseau ou injectée : le pompage optique peut être effectué dans des conditions de faible bruit. 

Nous avons comparé le bruit du laser YVO dans ces conditions au bruit observ é avec une pompe 

bruyante (obtenue en déréglant volontairement la diode). En cas de pompage à faible bruit, le niveau 

de bruit, dans la partie à basse fréquence du spectre, est considérablement plus faible (jusqu’à 30 dB 

de différence) qu’en cas de pompe bruyante. Cela montre bien les possibilités ouvertes à l’application 

du principe de la pompe régulière [Becher 98a, Becher 98b, Bramati 99a]. 

Les niveaux de bruit d’intensité des faisceaux émis par les microlasers sont en bon accord avec le 

prévision du modèle sauf à très basse fréquence (


pourquoi notre démarche se distingue des techniques de rétroaction classiques, puisque nous évitons 

précisément de rétroagir sur le domaine de fréquence où nous comptons observer les effets quantiques 

attendus du principe de la pompe régulière. Sans cette précaution, ces effets se trouveraient 

détruits par la rétroaction. Cette contrainte supplémentaire rend la mise au point de la rétroaction très 

délicate. Nous avons cependant réussi à faire décroître le maximum de l’oscillation de relaxation d’une 

dizaine de dB, tout en nous assurant que l’effet du circuit de rétroaction à basse fréquence était complètement 

négligeable. Comme conséquence de la diminution du pic de l’oscillation de relaxation nous 

avons observé une nette diminution du bruit à basse fréquence (de l’ordre de 5 à 7 dB). Dans ces 

conditions le bruit mesuré à basse fréquence est en accord avec les prévisions du modèle linéarisé. 

Ces résultats mettent clairement en évidence l’existence d’effets non linéaires dus à l’oscillation de 

relaxation responsables de l’excès de bruit constaté dans la partie à basse fréquence du spectre, par 

rapport aux prévisions théoriques. Cependant le bruit reste supérieure au bruit quantique standard. 

Parallèlement à la mise en oeuvre expérimentale de la boucle de rétroaction, nous avons développé 

un traitement semi-classique de la rétroaction électro-optique [Mertz 93, Mertz 91]. Son intégration 

au modèle pour le laser libre permet d’obtenir un modèle quantique décrivant les propriétés de 

bruit du laser en présence de la rétroaction. 

Le traitement théorique des effets non linéaires est très complexe. En général il requiert la prise en 

compte de termes d’ordre supérieur dans l’équation de Fokker-Planck et dans ce cas les équations de 

Langevin ne sont plus valables. Dans notre cas, les non-linearités proviennent de la présence de forts 

excès de bruit à certaines fréquences. Dans la mesure où ces fluctuations restent négligeables devant 

les valeurs moyennes, on peut proposer une méthode consistant à rajouter de termes correctifs aux 

équations de Langevin. Cette approche nous a permis d’estimer les effets non linéaires à basses fréquences 

dus au pic de l’oscillation de relaxation: la valeur calculée (12 fois la limite quantique standard 

à 30 kHz) est en très bon accord avec l’expérience [Bramati 00]. 

Une autre méthode très utilisée pour éliminer le pic de l’oscillation de relaxation recourt à l’injection 

optique. Les analyses théoriques montrent en effet que, pour le laser injecté, l’amortissement 

de l’oscillation de relaxation est généralement beaucoup plus grand (deux ordres de grandeur dans 

notre cas) que pour le laser libre. L’injection, non seulement ”écrase” l’oscillation de relaxation, mais, 

de plus, elle n’affecte pas le bruit à basse fréquence, qui reste étroitement lié aux fluctuations de la 

pompe [Harb 96, Ralph 96, Fontenelle 95]. Cette technique est donc bien adaptée à nos objectifs : elle 

pourrait nous permettre de profiter de la réduction du bruit par élimination de l’oscillation de relaxation, 

tout en gardant les effets bénéfiques provenant du pompage à faible bruit. Nous avons donc décidé de 

réaliser expérimentalement l’injection optique du microlaser. Pour l’interprétation théorique des résultats, 

nous avons utilisé un modèle quantique basé sur l’approche de Langevin [Fontenelle 95] décrivant 

le laser injecté. 

De plus la mise en oeuvre expérimentale de cette technique est en principe beaucoup plus simple 

du point du vue technique par rapport à la réalisation de la boucle de rétroaction non standard précédemment 

décrite. Malheureusement nous nous sommes heurtés à des difficultés pratiques : nous 

ne disposions que d’un laser à YAG Lightwave pour injecter le microlaser Nd:YVO 4 . Or, l’écart en 

fréquence entre les deux lasers est de 120 GHz, c’est à dire beaucoup plus grand que la bande 

d’injection. Il a donc fallu stabiliser le cristal d’YVO 4 à une température d’environ 100 ◦ C pour rendre 

possible l’injection. Le chauffage du cristal s’accompagne d’une nette dégradation des performances 

du microlaser, notamment en ce qui concerne le seuil d’oscillation et l’efficacité quantique. Cela constitue 

un obstacle majeur à l’observation d’une quelconque amélioration des performances du microlaser 

à basse fréquence par rapport à celles obtenus à température ambiante. Nous nous sommes donc 

contentés de vérifier que l’oscillation de relaxation est effectivement écrasée en régime d’injection et

1.4 Les applications 35 

que les prévisions théoriques sont en bon accord avec l’expérience [Bramati 02]. 

Dressons un bilan des résultats: le meilleur résultat a été obtenu dans le cas du microlaser avec rétroaction 

électronique : le bruit d’intensité est de 7 dB au-dessus du bruit quantique standard à 40 kHz. 

Nous sommes encore loin de la génération d’états comprimés : les deux obstacles principaux sont 

représentés par l’oscillation de relaxation et par le bruit de pompe. Le premier peut être surmonté à 

l’aide des techniques que nous venons de décrire (rétroaction ou injection). Quant au deuxième, il est 

vrai que nous disposons des diodes laser à bruit d’intensité comprimé, mais la compression est de 

l’ordre de 40% et, compte tenu des pertes optiques inévitables et de l’absorption imparfaite du cristal, 

la compression effective vue par le microlaser est considérablement plus faible (autour de 15%). Les 

puissances délivrées par les diodes lasers sont, elles aussi, insuffisantes : typiquement nous disposions 

au maximum de 70 mW correspondant à un fonctionnement du microlaser 10 fois au-dessus 

du seuil (les effets non classiques sont observables pour de taux de pompage plus élevés, supérieurs 

a 20). Une autre difficulté vient du fait que le spectre de bruit des diodes lasers n’est pas plat mais 

présente un léger excès de bruit (∼ 3 dB), notamment à basses fréquences (≤ 300 kHz), où les effets 

non classiques dus à la réduction du bruit de pompe sont susceptibles d’être observés. L’amélioration 

des performances des diodes laser constitue donc un préalable à l’observation d’états comprimés du 

rayonnement dans les microlasers Nd:YVO 4. Notons cependant que le résultat obtenu, 7 dB seulement 

d’excès de bruit au-dessus du bruit quantique standard, reste une des meilleures performances 

publiées à ce jour dans la littérature pour ce type de laser. 

1.4.2 Spectroscopie de haute sensibilité 

Une autre application directe des faisceaux à bruit d’intensité comprimé est la spectroscopie 

de haute sensibilité. En effet la sensibilité atteinte dans des mesures de spectroscopie laser traditionnelle 

est limitée par le bruit de photons des faisceaux lumineux qui sont utilisés dans l’expérience 

[Gertz 85, Wong 85, Janik 86, Carlisle 89]. À cette époque les progrès réalisés dans la production 

d’états non classiques du rayonnement avaient ouvert des possibilités nouvelles pour améliorer 

la sensibilité dans diverses expériences d’optique : interférometrie, communications optiques et spectroscopie 

[Yurke 87]. En particulier, en spectroscopie, des expériences utilisant de montages capables 

de réduire les fluctuations quantiques sous la limite quantique et donc d’accroître la sensibilité ultime 

de la mesure avaient déjà été réalisées. Nous pouvons rappeler ici l’expérience de Kimble [Polzik 92a] 

et celle conduite au laboratoire par l’équipe de Claude Fabre [Souto 97], utilisant des OPO, et les expériences 

de Steel [Kilper 96a] et de Yamamoto [Kasapi 97] qui utilisent de diodes lasers sous le bruit 

quantique standard. 

Nous avons réalisé une expérience de spectroscopie FM de haute sensibilité [Bjorklund 80] pour la détection 

des signaux d’absorption avec élargissement Doppler et sous-Doppler produits par la transition 

D 2 du 133 Cs à 852 nm, utilisant de diodes laser avec un bruit d’intensité d’environ 1 dB sous le shot 

noise. Cette propriété des sources laser permet en principe de mettre en évidence des signaux sous le 

bruit quantique standard qui ne seraient pas dé tectables en utilisant un laser avec un bruit d’intensité 

limité au bruit quantique standard. Nous avons essayé différentes configurations expérimentales pour 

les sources lasers et différentes techniques de modulation afin d’améliorer le rapport signal à bruit et 

tester la sensibilité ultime associée à cette technique: 

1) Configuration en cavité étendue : la source est une diode laser sur réseau ; la modulation de 

fréquence est produite par un modulateur électro-optique. 

2) Injection par une diode sur réseau : la source est une diode laser injectée ; le laser maître est 

modulé en phase par un modulateur électro-optique. 

3) Injection par une diode laser DBR : la source est une diode laser injectée ; le laser maître est


directement modulé en courant. 

Le meilleur résultat, obtenu avec la troisième configuration, conduit à une sensibilité (pour un rapport 

signal à bruit égal à 1) de 3.9 x 10 −8 avec une bande de détection de 10 Hz et un indice de 

modulation β = 0,25. 

L’originalité de notre expérience par rapport aux expériences citées précédemment est que nous 

nous sommes placés dans les conditions exactes d’une expérience de spectroscopie de haute sensibilité, 

en évitant soigneusement toute saturation du signal par la sonde laser et que nous avons évalué 

en détail la sensibilité maximale accessible pour la comparer aux performances obtenues avec des 

lasers non comprimés. 

Nous avons ainsi montré que les méthodes classiques de spectroscopie de haute sensibilité se 

transfèrent bien aux lasers à bruit comprimé. La sensibilité ultime que nous avons obtenu est supérieure 

aux valeurs publiées dans la littérature [Carlisle 89] et pourrait être encore améliorée avec des 

lasers plus comprimés [Marin 97]. 

1.5 Publications personnelles sur le sujet 

1. Maurin I., Romanelli M., Bramati A.; Hermier J. P., Khoury A. Z., Giacobino E. Title: Theoretical 

model for multimode Vcsels, en preparation (Phys. Rev. A) 

2. Maurin I., Hermier J. P., Bramati A., Giacobino E. Protsenko I., Grangier Ph. Title: Light-voltage 

correlations in semiconductor laser, en preparation (Phys. Rev. A) 

3. Romanelli M., Hermier J.-P., Giacobino E., Bramati A., Title: Truly single mode operation in Vcsels 

by Polarization and frequency selective feedback, in preparation (JOSA B). 

4. Romanelli M., Giacobino E., Bramati A, Opt. Lett., 29, 1629 (2004). Title: Optimal intensity noise 

reduction in Vcsels by Polarization-selective attenuation 

5. Bramati A., Hermier J.-P., Jost V., Giacobino, E., Eur. Phys. J. D, 19, 421, (2002) Title: Intensity 

noise of injected Nd:YVO4 microchip lasers 

6. Hermier, J.-P.; Maurin, I.; Giacobino, E.; Schnitzer, P.; Michalzik, R.; Ebeling, K.J.; Bramati, A.; 

Khoury, A.Z., New J. Phys., 2, (2000) Title: Quantum noise in VCSELs 

7. Hermier, J.-P.; Bramati, A.; Khoury, A.Z.; Josse, V.; Giacobino, E.; Schnitzer, P.; Michalzik, R.; 

Ebeling, K.J., IEEE J. Quantum., 37, 87, (2001) Title: Noise characteristics of oxide-confined 

vertical-cavity surface-emitting lasers 

8. Bramati, A.; Hermier, J.-P.; Jost, V.; Giacobino, E., Phys. Rev. A, 62, 043806/1, (2000) Title: 

Feedback control and nonlinear intensity noise of Nd:YVO4 microchip lasers 

9. Hermier, J.-P.; Bramati, A.; Khoury, A.Z.; Giacobino, E.; Poizat, J.-P.; Chang, T.J.; Grangier, Ph., 

J. Opt. Soc. Am. B, 16, 2140, (1999) Title: Spatial quantum noise of semiconductor lasers 

10. Bramati, A.; Hermier, J.P.; Jost, V.; Giacobino, E.; Fulbert, L.; Molva, E.; Aubert, J.J., Eur. Phys. 

J. D, 6, 513, (1999) Title: Effects of pump fluctuations on intensity noise of Nd:YVO4 microchip 

lasers 

11. Bramati, A.; Hermier, J.-P.; Khoury, A.Z.; Giacobino, E.; Schnitzer, P.; Michalzik, R.; Ebeling, K.J.; 

Poizat, J.-P.; Grangier, P., Opt. Lett., 24, 893, (1999) Title: Spatial distribution of the intensity noise 

of a vertical-cavity surface-emitting semiconductor laser 

12. Bramati, A.; Jost, V.; Marin, F.; Hermier, J.-P.; Giacobino, E., Laser Phys., 8, 703, (1998) Title: 

Quantum optics and sub-shot noise spectroscopy with squeezed semiconductor lasers 

13. Bramati, A.; Jost, V.; Marin, F.; Giacobino, E., J. Mod. Opt., 44, 1929, (1997) Title: Quantum 

noise models for semiconductor lasers: is there a missing noise source

1.6 Publications jointes 37 

14. Marin, F.; Bramati, A.; Jost, V.; Giacobino, E., Opt. Commun., 140, 146, (1997) Title: Demonstration 

of high sensitivity spectroscopy with squeezed semiconductor lasers 

15. Giacobino, E.; Marin, F.; Bramati, A.; Jost, V., J. Nonlinear Opt. Phys. Mater., 5, 863, (1996) Title: 

Quantum noise reduction in lasers 

16. Marin, F.; Bramati, A.; Giacobino, E.; Zhang, T.-C.; Poizat, J.-Ph.; Roch, J.-F.; Grangier, P., Phys. 

Rev. Lett., 75, 4606, (1995) Title: Squeezing and intermode correlations in laser diodes 

17. Zhang, T.-C.; Poizat, J.P.; Grelu, P.; Roch, J.-F.; Grangier, P.; Marin, F.; Bramati, A.; Jost, V.; 

Levenson, M.D.; Giacobino, E., Quantum Semiclass. Opt., 7, 601, (1995) Title: Quantum noise 

of free-running and externally-stabilized laser diodes 

1.6 Publications jointes

38 1. Réduction du bruit quantique dans les lasers

1.6 Publications jointes 39

40 1. Réduction du bruit quantique dans les lasers

1.6 Publications jointes 41


July 1, 1999 / Vol. 24, No. 13 / OPTICS LETTERS 893 

Spatial distribution of the intensity noise of a vertical-cavity 

surface-emitting semiconductor laser 

A. Bramati, J.-P. Hermier, A. Z. Khoury, and E. Giacobino 

Laboratoire Kastler Brossel, Université Pierre et Marie Curie, Ecole Normale Supérieure, Centre National de la Recherche Scientifique, 

4 place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France 

P. Schnitzer, R. Michalzik, and K. J. Ebeling 

Department of Optoelectronics, University of Ulm, Albert-Einstein-Allee 45, D-89069 Ulm, Germany 

J.-Ph. Poizat and Ph. Grangier 

Laboratoire Charles Fabry de l’Institut d’Optique, B.P. 147, F91403 Orsay Cedex, France 

Received April 5, 1999 

We studied anticorrelated quantum f luctuations between the TEM 00 and the TEM 01 transverse modes of a 

vertical-cavity surface-emitting semiconductor laser by measuring the transverse spatial distribution of the 

laser beam intensity noise. Our experimental results are found to be in good agreement with the predictions 

of a phenomenological model that accounts for quantum correlations between transverse modes in a light 

beam. © 1999 Optical Society of America 

OCIS codes: 250.7260, 140.5960, 270.6570, 230.5440. 

During the past few years a major effort has been 

put into the development of vertical-cavity surfaceemitting 

semiconductor lasers (VCSEL’s). This new 

type of semiconductor laser has some distinct advantages 

compared with conventional edge-emitting semiconductor 

lasers. VCSEL’s have a lower threshold, 

a high quantum efficiency, and a single longitudinal 

mode. Single-transverse-mode operation reasonably 

high above threshold has also been observed. 1 

These features make VCSEL’s good candidates for 

use in the generation of amplitude-squeezed light. 2,3 

In general, single-mode operation is more desirable. 

However, as the driving current is increased, highorder 

transverse modes may appear. 4,5 Even in this 

case, strong anticorrelations between the transverse 

modes have permitted the realization of amplitudesqueezed 

light. 6 Multimode squeezed light has also 

been observed with longitudinal modes 7,8 and with polarization 

modes 9 in edge-emitting lasers. In semiconductor 

lasers the homogeneously broadened gain 

profile permits strong anticorrelations between modes 

and makes possible radiative emission into different 

modes without introducing noise into the total laser 

output photon stream. It must be mentioned, however, 

that in some cases small inhomogeneities can 

degrade the anticorrelations and increase the total 

intensity noise. 8 Anticorrelations thus play a crucial 

role in the overall quantum noise of the output 

laser beam. 

We have measured the anticorrelations between 

transverse modes in a VCSEL by investigating its 

spatial intensity noise profile. We compared our 

experimental results with the predictions of a 

phenomenological quantum model. Only a few measurements 

of the spatial structure of the intensity noise 

10 – 14 

were already performed, and our investigations 

enabled us to know the details of this structure with 

reference to the shot-noise level. We show here that a 

decrease of noise, and even squeezing, can be obtained 

when the beam is partially screened. 

In our setup the laser beam is screened by a movable 

razor blade, and the intensity noise is measured as a 

function of the position y of the blade 11 (see Fig. 1). 

In our situation the only two relevant modes are 

the orthogonally linearly polarized TEM 00 and TEM 01 

modes. As they exhibit different transverse intensity 

distributions, their respective contributions to the total 

intensity noise depend on the position of the blade. 

To model the processes involved in our experiment 

we consider a beam composed of two transverse modes, 

TEM 00 and TEM 01 , with different frequencies and 

orthogonal linear polarizations. We therefore consider 

these two modes to be incoherent. To calculate the 

intensity noise of the detected part of the beam we 

can model the razor blade as a beam splitter with 

position-dependent transmissivity t and ref lectivity 

r. Because the transverse intensity distribution is 

Fig. 1. Experimental setup. The razor blade is mounted 

upon a motorized translation stage. 

0146-9592/99/130893-03$15.00/0 © 1999 Optical Society of America


894 OPTICS LETTERS / Vol. 24, No. 13 / July 1, 1999 

different for the two modes, we must consider different 

transmissivities and ref lectivities for each mode. We 

denote the photon number operators that correspond 

to the overall beam and to the TEM 00 and TEM 01 

modes n, n 00 , and n 01 , respectively. The intensity 

transmissivities for mode i at a given position y of the 

blade are given by 

T 00 y p 2 w p p 

T 01 y 4 p 2 w 3p p 

Z 1` 

y 

Z 1` 

y 

exp22u 2 w 2 du , (1) 

u 2 exp22u 2 w 2 du , (2) 

where w is the size of the beam. The degree of 

correlation C between the two modes is defined as 

C dn2 2 dn 00 2 1 dn 01 2 

2dn 002 dn 012 1/2 , (3) 

where dn are the variances of the corresponding 

quantities. In the case of perfect correlations, C 

1; in the case of perfect anticorrelations, C 21. 

We define the normalized variance v 0i :dn i2 :n i , 

where : : means that normal ordering is used. The 

value of v 0i represents excess noise if it is positive 

and squeezing if it is negative. The ratio between 

the intensities of the two modes q is defined as q 

n 00 n 01 . All the parameters used in this model 

have a physical significance and can be measured 

independently. 

The total intensity noise S y (normalized to the 

shot noise) when the razor blade is at position y can 

be calculated by standard methods used for beam 

splitters 15 : 

S y 

T 00 yq 

T 00 yq 1 T 01 y 1 1 T 00 yv 00 

1 

T 01 y 

T 00 yq 1 T 01 y 1 1 T 01 yv 01 

Let us now consider the case of perfect anticorrelations, 

for which C 21. In Fig. 2 we have plotted the 

shot-noise level and the normalized intensity noise versus 

the position of the blade for the parameters given 

in the figure. The normalization of the intensity noise 

is made with the shot noise corresponding to the intensity 

of the beam, which is a function of the position of 

the blade. The most interesting feature is that amplitude 

noise squeezing is possible for some positions of 

the blade. One can therefore obtain amplitude squeezing 

from a beam that has an intensity noise above 

the shot noise by partially screening the beam, even 

if the intensity noise of each transverse mode is above 

the shot-noise level. 

The laser used in the experiment is a high-quantumefficiency 

oxide confined GaAsAlGaAs VCSEL (made 

at the Department of Optoelectronics of the University 

of Ulm 1 ) of 7-mm diameter. The top (bottom) 

mirror has a ref lectivity of 99.8% (99%). The device 

has an emission wavelength of 840 nm. It 

is driven by a low-noise current source and thermally 

stabilized with active temperature stabilization 

(drift as small as 0.01 ± Ch). The light beam is collimated 

by an antiref lection-coated microscope objective 

with a large numerical aperture (N.A., 0.6) to 

avoid optical losses. The thresholds of the various 

transverse modes are the following: I th0 1.2 mA 

for mode TEM 00 , I th1 2.4 mA for mode TEM 01 , and 

I th2 2.8 mA for the next transverse mode. To measure 

the intensity noise we use only one photodiode 

(FND100; bandwidth, 10 kHz–30 MHz; quantum efficiency, 

90%). The shot-noise reference is obtained 

by balanced detection of a diode laser beam that has 

a value of intensity noise close to that of the shot 

noise. The shot noise obtained with this method was 

in agreement within 0.1 dB with the noise obtained by 

thermal light generating the same dc current on the 

photodiode. The photodiode is connected via an amplifier 

to a spectrum analyzer. In our experiment we 

could also perform a spectral analysis of the laser 

beam with a high-resolution monochromator (0.03 nm 

at 840 nm). At the output of the monochromator, a 

Glan polarizer (extinction ratio, 10 24 ) allows us to measure 

the polarization of the modes. 

The experimental procedure consists first of the independent 

measurement of each parameter of Eq. (4). 

The intensity noise and the intensity of the beam are 

then recorded versus the position of the blade and compared 

with the prediction of Eq. (4) with no adjustable 

parameters. 

The electrical driving current is adjusted such 

that the VCSEL operates with only two transverse 

modes, i.e., I th1 , I op 2.52 mA , I th2 . Using a 

monochromator and a polarizer, we can verify that the 

TEM 00 and the TEM 01 modes have linear and mutually 

T 00 yT 01 y 

1 2 

T 00 yq 1 T 01 y Cq1 1 v 00 1 1 v 01 1/2 . 

(4) 

Fig. 2. Normalized intensity noise spectrum versus the 

position of the razor blade normalized to the size of the 

beam. v 00 480.6, v 01 28.22, C 21, q 0.11.



actual intensity of the cut beam [curve (c) of Fig. 3]. 

This shows that spatial control may be of great importance 

when it is related to the intensity noise 

of a VCSEL. 

This research was supported by the European 

Strategic Program for R&D in Information Technology 

(ACQUIRE 20029) and the European Community 

Training and Mobility of Researchers (TMR) ‘‘Microlasers 

and Cavity QED’’ programs (contract ERBFM- 

RXCT 96-00066). A. Bramati had the support of TMR 

fellowship ERBFMBI CT950204. J.-P. Hermier’s 

e-mail address is hermier@spectro.jussieu.fr. 

Fig. 3. Normalized intensity noise versus the position 

of the razor blade normalized to the size of the beam. 

(a) Theoretical prediction, (b) experimental results. The 

parameters are C 20.98, v 00 80.2, v 01 3648, and 

q 34.8. (c) Normalized intensity noise that would be 

obtained by attenuation of the full beam to the intensity 

of the cut beam when the blade is at position y. 

orthogonal polarizations. We measure the intensity 

of each mode (separating the modes with a Glan 

polarizer), which gives the values of the quantities 

n 00 , n 01 , and q. From the measured intensity noise 

of each mode we determine the values v 00 and v 01 of the 

excess noise. The measured total intensity noise gives 

the value of dn 2 . We then calculate the correlation 

C, using Eq. (3). The size w of the beam is measured 

when the laser is single mode, i.e., for a driving current 

I such that I th0 , I , I th1 . 

In Fig. 3 are plotted the experimental results and 

predictions of our model at an analysis frequency of 

15 MHz. The agreement between theory and experiment 

is very good, even though there is a significant 

uncertainty for the experimental points at the right in 

Fig. 3. This uncertainty is due to the fact that these 

points correspond to very low intensities. As expected, 

because v 00 and v 01 are large, strong variations in the 

intensity noise are observed as the position of the blade 

is varied. Owing to the correlations between these two 

modes, it can be seen that the noise is decreased below 

the normalized noise of the full beam attenuated to the 

References 

1. D. Wiedenmann, P. Schnitzer, C. Jung, M. Grabherr, 

R. Jager, R. Michalzik, and K. J. Ebeling, Appl. Phys. 

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11. J.-Ph. Poizat, T. Chang, O. Ripoll, and Ph. Grangier, 

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12. G. Giacomelli, F. Marin, M. Gabrysch, K. H. Gulden, 

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13. G. Giacomelli and F. Marin, Quantum Semiclassic. Opt. 

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15. M. O. Scully and M. S. Zubairy, Quantum Optics 

(Cambridge U. Press, Cambridge, 1997), p. 125.



Optimal intensity noise reduction in multimode vertical-cavity 

surface-emitting lasers by polarization-selective attenuation 

Marco Romanelli, Elisabeth Giacobino, and Alberto Bramati 

Laboratoire Kastler Brossel, Université Pierre et Marie Curie, Case 74, 4 Place Jussieu, F75252 Paris, France 

Received December 1, 2003 

We study in detail the effect of the anticorrelation of the polarization modes on the total intensity noise of a 

vertical-cavity surface-emitting laser. We show that small polarization-dependent losses can greatly improve 

the total intensity noise, and we determine and experimentally demonstrate the conditions necessary for 

optimal intensity noise reduction. © 2004 Optical Society of America 

OCIS codes: 270.2500, 140.5960. 

In the past few years it has been shown that polarization 

effects are crucial in determining the noise 

properties of vertical-cavity surface-emitting lasers 1 – 7 

(VCSELs). Often two orthogonal linear polarizations 

are active, and both exhibit a large excess of intensity 

noise; however, the intensity noise of the total beam is 

much lower since the polarizations are strongly anticorrelated. 

Because of the coexistence of different transverse 

modes, spatial effects can also be present, both on 

the average emission 8,9 and on the spatial distribution 

of noise. 10,11 In Refs. 10 and 11 it was shown that, by 

partially screening with a movable razor blade a beam 

containing a TEM 00 and a TEM 01 mode, one could obtain 

a reduction of the total intensity noise by more 

than a simple attenuation effect for certain favorable 

positions of the razor blade. This technique, which is 

well adapted for studying the spatial distribution of the 

intensity noise, presents some limitations if one is interested 

in the best noise reduction: It does not allow 

one to act independently on each of the modes, and its 

efficiency actually depends on the transverse spatial 

distribution of the lasing modes and on the correlation. 

In this Letter we implement a novel technique for the 

general case of a VCSEL simultaneously lasing on two 

orthogonal polarizations. We show experimentally 

that by introducing appropriate attenuation on one 

polarization we can fully exploit the anticorrelations 

between the two polarizations and reduce the total 

intensity noise to a minimal value, which depends on 

the characteristics of the laser. We also develop a 

simple analysis that allows us to calculate the optimal 

attenuation and to establish a quantum correlation 

criterion that links the intensity noise of each polarization 

to the minimum degree of correlation needed 

for squeezing. 

A schematic of our technique is shown in Fig. 1: 

The two linear polarizations are separated with a 

polarizing beam splitter, then the one with the larger 

amount of noise, indicated as polarization 2 in Fig. 1, 

is attenuated with a variable attenuator. The two 

beams are then again superimposed to reconstruct 

a single, improved beam. Normalized intensity 

noise ST of the beam, after passing through the 

polarization-selective attenuation scheme, can be 

derived with standard techniques of quantum optics, 

as discussed in Ref. 11, to which we refer the reader 

for further details: 

ST 1 1 qv 1 1 T 2 v 2 2TCq1 1 v 1 1 1 v 2 12 

q 1 T 

1 1 ET , (1) 

where q n 1 n 2 is the ratio of the optical power 

of one polarization to the other (n i is the average 

number of photons in polarization i 1, 2); v i 

dni 2 n i 2 1 is the excess noise of polarization 

i 1, 2 normalized to the shot-noise level; C 

dn 1 dn 2 dn1 2 dn2 2 12 is the correlation of the two 

polarizations; and T is the intensity transmission 

coefficient of the variable attenuator. Equation (1) 

is normalized to the shot-noise level corresponding to 

the total transmitted intensity. We point out that 

our scheme is of general applicability, since it is not 

inf luenced by the spatial distribution of the optical 

power in the two polarizations nor by the number of 

modes that eventually contribute to the emission. 

From Eq. (1) it is clear that, to have intensity squeezing, 

the following condition must be satisfied: 

ET , 0 , (2) 

Fig. 1. Experimental setup for polarization-selective attenuation: 

The two orthogonal linear polarizations are 

separated with a polarizing beam splitter (PBS) and then 

superimposed again after suitable attenuation of the polarization 

exhibiting the higher noise. 



1630 OPTICS LETTERS / Vol. 29, No. 14 / July 15, 2004 

which is equivalent to the following condition for correlation 

C: 

qv 1 1 T 2 v 2 

C , 2 

2Tq1 1 v 1 1 1 v 2 . (3) 

12 

We can easily see from expression (3) that we must 

have C , 0; that is, the two polarizations must be 

anticorrelated. We can rewrite expression (3) in the 

following form: 

C 2 . 

qv 1 2 T 2 v 2 2 

4T 2 q1 1 v 1 1 1 v 2 1 v 1 v 2 

1 1 v 1 1 1 v 2 . (4) 

The second term of expression (4) depends on the laser 

characteristics, whereas the first one can be modified, 

since it contains transmission T. Thus with our 

polarization-selective attenuation scheme we can minimize 

the value of C needed for entering the quantum 

regime by setting 

qv 1 T 2 optv 2 . (5) 

Equation (5) means that T opt is the value for which 

the excess noises (the classical noises) coming from the 

two polarizations gives equal absolute contributions to 

the noise of the improved beam. This corresponds to 

the fact that this method allows us to act on only the 

classical part of the f luctuations: The best that one 

can do is to make them equal in the two polarizations. 

However, this fully classical technique does not prevent 

one from obtaining a squeezed beam if correlations are 

sufficient. Substituting Eq. (5) into expression (4), we 

find the following quantum correlation criterion (see 

also Ref. 12): 

current I th is 4.3 mA, and the emission wavelength is 

830 nm. Both polarizations are active at threshold, 

and they always coexist at higher pump values. 

Parameter q n 1 n 2 is bounded between 1.13 and 

1.35 when pump current I is increased from I th to 3I th . 

Experimental results correspond to I 2.23I th . The 

device is driven by an ultralow-noise current source 

and thermally stabilized to within 1 mK. The beam 

is detected with a photodiode FND-100 (bandwidth of 

10 kHz to 30 MHz, detection efficiency of 90%), and 

the intensity noise, after a suitable low-noise amplifier, 

is recorded on a spectrum analyzer. The shot-noise 

calibration is done with a halogen lamp for various 

incident optical powers. We carefully checked the 

linear dependence of the calibrated shot-noise signal 

with the optical power incident on the photodiode. We 

measured the optical power of both polarizations, and 

their intensity noise, as well as the intensity noise of 

the total beam, to determine quantities q, v 1 , v 2 , C in 

Eq. (1). 

To illustrate the potential of our method, we chose 

a laser that exhibits different intensity noise on the 

two polarizations (Fig. 2): This allows us to apply 

polarization-selective attenuation. Inserting the measured 

values (see caption of Fig. 3) into Eq. (1), we find 

the curve plotted in Fig. 3. We report normalized 

intensity noise ST of the total beam as a function of 

transmission T of polarization 2. When T 0, only 

C 2 . 

v 1 v 2 

1 1 v 1 1 1 v 2 . (6) 

Expression (6) fixes the minimal value needed for 

the correlation to have squeezing. This value depends 

on the noise of the two polarizations: In particular, 

if one polarization is at the shot noise (for example, 

v 1 0), any anticorrelation different from zero is sufficient 

for the total beam to be squeezed; in the opposite 

case, when excess noise is strong, v i 1 1 v i , practically 

perfect anticorrelation is required to enter the 

quantum regime. These two regimes (quasi-singlemode 

and ideal two-mode case) were identif ied as good 

candidates for squeezing in Ref. 5, in which the role of 

anticorrelations in two-mode VCSELs was investigated 

with a semiclassical laser model. It is worth noting 

that T opt and the value of T for which the noise is 

minimal are in general different; however, they are 

coincident in the classical limit v 1 , v 2 .. 1, C 21, 

which corresponds to our experimental situation. 

In the following we show an experimental application 

of the polarization-selective attenuation 

principle discussed above. We used an oxide-confined 

GaAsAlGaAs VCSEL provided by the Department of 

Optoelectronics of the University of Ulm. 13 The active 

medium contains three 8-nm-thick GaAs quantum 

wells, and it has a diameter of 24 mm. Threshold 

Fig. 2. Absolute intensity noise of polarization 1 (lower 

trace) and polarization 2 (upper trace). The traces are 

recorded at a noise frequency of 6 MHz. 

Fig. 3. Solid curve, normalized intensity noise ST as a 

function of intensity transmission T, as calculated from 

Eq. (1). The measured parameters are q 1.162, v 1 

21, 519, v 2 30, 512, and C 20.999. Dots, experimental 

data. The noise of the unfiltered beam is 21.2 dB. 

Optimal noise reduction leads to a 14.4-dB noise level for 

T opt 0.908.



Fig. 4. Normalized intensity noise of the total beam 

(upper trace) and of the beam after optimal polarizationselective 

attenuation (lower trace) for T T opt 0.908. 

polarization 1 is detected, and the intensity noise is 

more than 40 dB above the shot noise. When T 1, 

the whole beam is detected, and the intensity noise is 

2 orders of magnitude lower thanks to the anticorrelations 

of the two polarizations. The best condition is 

reached for T opt 0.908: In this situation the anticorrelations 

are fully exploited, balancing the noise 

contributions of the two polarizations. This results 

in a strong noise reduction of 7.8 dB with respect to 

the noise level of the unfiltered beam. Experimental 

data, also reported in Fig. 3, show good agreement 

with the predicted values. Figure 4 shows the best 

noise reduction, achieved for optimal polarizationselective 

attenuation: We obtained a maximal noise 

reduction of 6.8 dB with only 4% attenuation of the 

total intensity, which corresponds to 9% attenuation 

of polarization 2, which is in excellent agreement with 

the predicted values of Fig. 3. 

To have an idea of the efficiency of polarizationselective 

attenuation, we can compare the obtained 

noise reduction with the one that could be obtained by 

simply removing 4% of power from the beam: This 

would be only 0.2 dB. Moreover, the optimized beam 

has almost the same power as the original beam, since 

96% of the total intensity is retained. The minimal 

intensity noise measured after polarization-selective 

attenuation remains well above the shot-noise level 

(14 dB). The physical reason for that is clear from 

expression (6): In fact, both polarizations display 

huge excess noise (40 dB), and then, to fulfill expression 

(6), C 2 should be different from 1 and not more 

than 10 24 , an order of magnitude smaller than our 

measured value (C 20.999). 

From expression (6) it is evident that the best case 

for squeezing is when one polarization has low excess 

noise. In this case the value needed for C is also low. 

Such a situation was investigated by Kaiser et al., 6 

who reported the case of a VCSEL with strong suppression 

of secondary polarization, in which the main 

polarization displayed only 2 dB of excess noise (the excess 

noise of the secondary polarization was 20 dB). 

From expression (6) we deduce that in this case C 

20.6 is a sufficient value for squeezing: Actually, this 

corresponds to the value reported by Kaiser et al., 6 who 

observed squeezing on the total intensity. 

In conclusion, we have proposed a simple technique 

that permits one to fully exploit the anticorrelations 

and reduce the intensity noise to an optimal value 

in VCSELs. We have experimentally demonstrated 

6.8 dB of noise reduction while maintaining 96% of 

the original beam power. The proposed scheme is 

extremely general since it does not depend on the 

number of lasing modes in each polarization, nor is 

it inf luenced by the spatial intensity distribution of 

the modes. We have also given, by simple theoretical 

derivations, some insight into the proposed method: 

In particular, we have shown the meaning of optimal 

transmission T opt , and we have derived a quantum 

correlation criterion that links the minimum level 

of correlations needed for squeezing to the intensity 

noise of each polarization. With respect to this, 

we have pointed out that the large excess noise in 

each polarization makes it diff icult to approach the 

quantum regime. 

We thank A. Z. Khoury for useful discussions. 

M. Romanelli acknowledges the European network 

VCSELs for Information Society Technology Applications 

(http://www.physics.ucc.ie/vista2). A. Bramati’s 

e-mail address is bramati@spectro.jussieu.fr. 

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13. D. Wiedenmann, P. Schnitzer, C. Jung, M. Grabherr, 

R. Jager, R. Michalzik, and K. J. Ebeling, Appl. Phys. 

Lett. 73, 717 (1998).

2. Effets non linéaires et quantiques dans les microcavités 

semiconductrices 


Les matériaux semi-conducteurs jouent un rôle de premier plan dans le domaine de l’opto-électronique 

en particulier pour la possibilité qu’ils offrent de réaliser de dispositifs miniaturisés aux excellentes 

performances. Les lasers semi-conducteurs étudiés au chapitre 1 en sont un excellent exemple: ce 

type de lasers est actuellement le plus répandu et il a remplacé les lasers traditionnels dans nombreuses 

applications tant industrielles que scientifiques. Il est donc naturel que l’étude des propriétés 

des matériaux semi-conducteurs constitue un enjeu important. D’ailleurs, l’intérêt porté aux semiconducteurs 

n’est pas limité aux domaine des applications: comme nous l’avons vu dans le chapitre 

précédent, des effets quantiques remarquables ont déjà été observés par exemple dans les lasers 

semi-conducteurs. Plus récemment, le domaine émergent de l’information quantique, dans lequel les 

structures semi-conductrices de basse dimensionnalité pourraient jouer un rôle crucial, a permis de 

créer une importante connexion entre les aspects appliqués et fondamentaux de la physique de semiconducteurs. 

Actuellement les propriétés non linéaires et quantiques d’une vaste gamme de dispositifs 

semi-conducteurs (boîtes et fils quantiques, microcavités semi-conductrices) font l’objet d’études 

approfondies d’une part pour mieux comprendre ces structures du point de vue de la physique fondamentale 

et d’autre part en vue des applications possibles dans l’information quantique (sources de 

photons uniques, portes logiques). 

Parmi les dispositifs cités ci-dessus, les microcavités semi-conductrices passives possèdent des 

propriétés optiques non linéaires très intéressantes et sont des bons candidats pour l’observation 

d’importants effets quantiques. Ces systèmes sont constitués d’un ou plusieurs puits quantiques placés 

dans une cavité optique de haute finesse, réalisée avec des miroirs de Bragg et dont la longueur est 

de l’ordre de la longueur d’onde. 

La caractéristique fondamentale de ces systèmes est que, lorsque ils sont excités optiquement 

par un faisceau laser résonnant avec l’énergie de l’exciton dans le puits, le régime de couplage fort 

entre excitons et photons [Weisbuch 92] est atteint. Les modes propres de ce système couplé, appelés 

polaritons de cavité, sont des modes mixtes exciton-photon à deux dimensions. Les polaritons 

existent aussi dans les semi-conducteurs massifs [Hopfield 58, Pekar 60], mais dans ces systèmes 

leur couplage au champ électromagnétique ne peut se faire directement. Au contraire, la spécificité 

des polaritons de microcavités est représentée par la possibilité de les exciter directement par un 

champ optique et de les observer aisément en détectant leur composante photonique. 

La nature composite des polaritons, mi-lumière, mi-matière, leur confère des propriétés particulières. 

Grâce à leur composante photonique, ils présentent une courbe de dispersion aux variations 

très prononcées, et, par ailleurs, ces systèmes manifestent de fortes non-linéarités, dues aux interactions 

entre excitons. En régime d’excitation faible, lorsque la densité de polaritons reste modérée, les 

polaritons peuvent être considérés comme des bosons en interaction. C’est précisément dans cette 

situation que des phénomènes intéressants tels que la diffusion paramétrique stimulée de polaritons 

49

50 2. Effets non linéaires et quantiques dans les microcavités semiconductrices 

ou la condensation de Bose de polaritons sont prévus théoriquement et ont récemment commencé à 

être étudiés expérimentalement. 

La configuration expérimentale qui s’est révélée la plus adaptée pour analyser soigneusement la 

dynamique de polaritons est basée sur l’excitation résonnante résolue en angle. En effet cette technique, 

grâce à la conservation de l’impulsion, qui couple de façon univoque un polariton de vecteur 

d’onde k dans le plan de couches au photon de même vecteur d’onde dans le plan transverse, permet 

d’exciter sélectivement les polaritons avec un vecteur d’onde donné; et cela simplement en changeant 

l’angle d’incidence du faisceau excitateur sur la microcavité. La détection, résolue en angle, de l’émission 

non linéaire de la microcavité permet d’obtenir des informations sur les processus de relaxation 

de polaritons. De plus, l’utilisation d’un faisceau sonde permet de stimuler la diffusion vers un vecteur 

d’onde choisi par l’expérimentateur. 

Les premières observations expérimentales d’un processus d’amplification paramétrique de polaritons 

ont été effectuées récemment [Savvidis 00, Baumberg 00, Stevenson 00]: un faisceau pompe, 

incident avec un certain angle sur la microcavité, crée des polaritons de vecteur d’onde k p ; lorsque 

l’angle du faisceau pompe coïncide avec un angle particulier dit angle magique, on observe une émission 

non linéaire de la microcavité sur deux modes des vecteur d’onde 0 et 2k p . La condition d’angle 

magique correspond à la conservation à la fois de l’énergie et de l’impulsions dans le plan des couches 

pour ce processus. Il s’agit donc d’un mélange paramétrique à quatre ondes de polaritons dans lequel 

deux polaritons de pompe sont convertis en un polariton à k = 0 et en un autre à 2k p . Par analogie 

avec le processus de conversion paramétrique optique dans les oscillateurs paramétriques optiques 

(O.P.O.) les deux faisceaux émis par la microcavité sont appelés "signal" et "complémentaire". Ces résultats 

ont ouvert la voie à de nombreuses études sur l’amplification paramétrique de polaritons parmi 

lesquelles on peut rappeler la référence [Saba 01], où les observations sont effectuées à 220K, et la 

référence [Senellart 00], où une nouvelle configuration basée sur une excitation non résonnante et une 

sonde résonnante est employée. 

Dans ce cadre s’inscrit l’activité menée au laboratoire Kastler Brossel, où les effets non linéaire 

et quantiques dans les microcavités semi-conductrices sont étudiées depuis 1996, tant sur le plan 

théorique qu’expérimental. 

Du point de vue théorique, à partir d’un modèle simple de non-linéarités excitoniques il à été montré 

que, dans une configuration de mélange à quatre ondes dégénéré, le comportement du système 

présente de fortes analogies avec un milieu Kerr (non linéarité χ (3) )et que l’on peut prévoir une réduction 

du bruit quantique de la lumière réfléchie par la microcavité [Karr 04a, Baas 04a], à condition que 

l’excès de bruit dû à l’interaction avec les phonons soit assez faible, c’est-à-dire à basse température 

(4K). 

L’étude de la configuration non dégénérée du mélange à quatre ondes a permis de prévoir pour les 

microcavités l’observation d’autres effets quantiques bien connus dans les O.P.O, comme la génération 

de polaritons "jumeaux" ou intriqués quantiquement [Karr 04b]. 

Du point de vue expérimental de nombreux et importants résultats ont été obtenus au laboratoire: 

en régime de forte excitation laser, des non-linéarités géantes de type paramétrique dans l’émission 

des microcavités ont été identifiées [Messin 01]. Ces non-linéarités géantes, observées par d’autres 

auteurs, avaient suscité une controverse importante quant à leur origine physique. L’expérience réalisée 

au laboratoire a démontré la nature cohérente de l’amplification. 

Des phénomènes de bistabilité dus aux non-linéarités de type Kerr et la réduction du bruit quantique 

de la lumière émise par la microcavité ont été démontrés expérimentalement [Karr 04a,Baas 04a]. 

L’intérêt de ces mesures en régime de couplage fort entre le champ lumineux et les excitons du puits 

quantique est que la réduction des fluctuations quantiques apparaît sur le polariton, champ de nature

2.2 Bistabilité à l’angle magique 51 

mixte mi-lumière mi-matière. 

Un point important à souligner concerne la spécificité des investigations conduites au laboratoire: 

en effet l’étude des propriétés de microcavités est effectuée en employant des outils tant théoriques 

qu’expérimentaux typiques de l’optique quantique et qui pourraient se révéler complémentaires aux 

techniques traditionnelles utilisées en physique de la matière condensée. L’exemple de la détection 

homodyne qui permet d’étudier les propriétés non classiques du champ émis par les microcavités est 

symptomatique de cette tendance. 

Il y a un an, j’ai commencé à travailler sur ce sujet dans le cadre de la thèse de doctorat de Marco 

Romanelli, que je co-dirige. Mon activité s’est concentrée en particulier sur deux aspects: d’une part 

la mise en évidence d’un phénomène de bistabilité optique dans un régime d’oscillation paramétrique 

non dégénérée et son interprétation sur la base de l’analogie avec un O.P.O. [Baas 04b]; d’autre part 

l’observation expérimentale des fortes corrélations dans l’émission non linéaire dues à un processus 

paramétrique de mélange à quatre ondes dans une configuration différente de celle à l’angle magique, 

faisant appel à deux faisceaux pompes symétriques. Les résultats que nous avons obtenus laissent 

présager la possibilité d’observer de polaritons jumeaux et renforcent les perspectives d’utilisation 

de microcavités semi-conductrices pour le traitement quantique de l’information. Dans la suite de ce 

chapitre, je décrirai ces résultats. 

2.2 Bistabilité à l’angle magique 

Comme je l’ai évoqué dans l’introduction, des fortes analogies existent entre les microcavités semiconductrices 

et les oscillateurs paramétriques optiques. Cela est vrai en particulier lorsque la microcavité 

est pompée à résonance à l’angle magique: deux polaritons dans le mode de pompe, de vecteur 

d’onde k p , sont diffusés d’une façon cohérente dans un couple des polaritons des modes signal et 

complémentaire, de vecteurs d’onde 0 et 2k p respectivement. En nous appuyant sur l’analogie entre 

ce processus et celui de la conversion paramétrique de fréquence dans un O.P.O., nous avons démontré 

expérimentalement un régime de bistabilité dans les microcavités qui est tout à fait analogue à celui 

observé dans un O.P.O triplement résonnant fonctionnant à désaccord non nul [Lugiato 88, Richy 95]. 

Les résultats expérimentaux que nous avons obtenus sont compris et reproduits qualitativement à 

l’aide du modèle originellement dérivé dans le cadre de la théorie des O.P.O et que nous avons adapté 

au cas des microcavités semi-conductrices. 

2.2.1 Configuration expérimental et résultats 

Le schéma expérimental est représenté dans la figure 2.1. La microcavité, en GaAs/AlAs, avec trois 

puits quantiques à bas contenu d’indium, est excitée par un laser Titane:Saphir continu, monomode. 

Le spot d’excitation est de 30 µm et forme un angle d’incidence d’environ 12 ◦ , correspondant à la 

condition d’angle magique pour notre échantillon. 

La procédure expérimentale suivie pour observer la phénomène de bistabilité est la suivante: la 

pompe à l’angle magique est résonnante avec les polaritons de la branche basse; on part d’un désaccord 

exciton-cavité fixé et on optimise l’émission non-linéaire à l’angle nul (k = 0) de manière à avoir 

le seuil le plus bas possible. Ensuite, sans changer l’angle d’excitation, on décale la pompe en énergie: 

cela a comme résultat de faire disparaître l’oscillation paramétrique. Pour retrouver l’émission non 

linéaire on déplace le spot d’excitation sur l’échantillon pour compenser le désaccord de la pompe. En 

effet, grâce au petit angle entre les miroirs de Bragg de la microcavité, changer le point d’excitation est 

équivalent à faire varier la longueur de la cavité et donc les fréquences des trois modes de polaritons 

considérés (pompe, signal, complémentaire). Si le désaccord initial de la pompe est suffisant, on observe 

un comportement bistable de l’émission non linéaire. La bistabilité se manifeste par l’apparition


Fig. 2.1 – Schéma expérimental. Le miroir avant la lentille de focalisation est monté sur translation pour permettre 

de varier l’angle d’incidence sans changer la position du spot d’excitation 

du cycle d’hystéresis classique lorsque on détecte l’intensité du mode signal en fonction de la position 

du spot d’excitation sur l’échantillon. Une courbe typique est montré en figure 2.2. 

Fig. 2.2 – Intensité de l’émission dans le mode signal en fonction de la position du spot d’excitation sur l’échantillon 

dans la région de bistabilité. Les images en champ lointain au points tournants de la courbe de 

bistabilité sont montrées: la tache brillante de la pompe transmise ainsi que celle de l’émission non 

linéaire (à 6 ◦ ) et les anneaux de diffusion Rayleigh correspondants sont clairement visibles 

Le fait que le mode signal soit émis à un angle de 6 ◦ (voir la figure 2.2) pourrait sembler en contradiction 

avec l’excitation à l’angle magique, pour laquelle on s’attend un signal à k = 0. En effet cela est 

strictement vérifié si l’excitation se fait exactement à résonance; lorsque le système est désaccordé la 

situation peut être différente: parmi les couples k,2k p − k qui sont solution des équations de conservation 

de l’énergie et de l’impulsion dans le plan de couches, les modes effectivement oscillant seront 

ceux qui présentent le seuil le plus faible. 

Il est intéressant de remarquer que le concept d’angle magique est assez controversé et rejeté 

par certains auteurs. Une publication récente [Butté 03], dans laquelle l’émission non-linéaire du mode 

signal est détectée toujours à k = 0 indépendamment de l’angle d’excitation, conclut sur l’inexistence 

de l’angle magique. L’évidence expérimentale claire de l’émission du mode signal à un angle non nul 

dans nos mesures (voir insert de gauche de la figure 2.2) nous amène à la conclusion opposée. 

Le comportement bistable que nous avons observé dans les microcavités en régime de couplage 

fort peut être expliqué dans le cadre d’un modèle simple, adapté à partir des précédentes descriptions 

théoriques du régime bistable dans les O.P.O. triplement résonnants [Lugiato 88,Richy 95]. Le modèle,

2.3 Émission corrélée de polaritons 53 

détaillé dans la référence [Baas 04b], permet de déduire la condition de bistabilité, l’intervalle des 

paramètres sur lesquels ce régime est observable ainsi que les vecteurs d’onde des modes signal et 

complémentaire en régime bistable. Un bon accord est constaté entre les prévisions du modèle et les 

résultats expérimentaux. 

L’observation du phénomène de bistabilité à l’angle magique renforce l’analogie des microcavités 

avec les oscillateurs paramétriques optiques sur laquelle se basent les prédictions d’effets quantiques 

dans ces systèmes semi-conducteurs. 

2.3 Émission corrélée de polaritons 

Comme je l’ai expliqué dans l’introduction, après l’observation dans les microcavités de plusieurs 

processus non linéaires dans lesquels l’interaction entre polaritons joue un rôle essentiel (amplification 

et oscillation paramétriques, bistabilité optique), actuellement un enjeu important est de mettre 

en évidence des effets quantiques dans ces structures. Une première observation d’un effet non classique, 

comme mentionné plus haut, a été effectué récemment dans notre groupe [Karr 04a]: dans 

une configuration correspondante à une amplification paramétrique dégénérée, une réduction sous le 

bruit quantique standard des fluctuations d’une quadrature du champ électromagnétique émis par la 

microcavité a été mesurée. 

Ce résultat encourageant, nous a incité à considérer la configuration non dégénérée qui se présente 

aussi très prometteuse pour l’observations d’effets quantiques. En effet, dans ce cas on s’attend 

à que le processus paramétrique produise des polaritons "signal" et "complémentaire" corrélés au niveau 

quantique et qui, à leur tour, émettent des photons fortement corrélés. Ce phénomène devrait 

avoir lieu aussi bien au dessus du seuil d’oscillation paramétrique qu’en dessous. Dans les premier 

cas les corrélations non classiques seraient portées par les fluctuations des quadratures des faisceaux 

brillants émis et seraient détectables en régime de variables continues à l’aide d’une détection 

homodyne avec oscillateur local. Dans le deuxième cas les corrélations entre paires de polaritons 

se manifesteraient également sur les paires de photons correspondantes et seraient détectables en 

régime de comptage de photons. 

Les corrélations au dessus du seuil d’oscillation paramétrique ont été étudiées théoriquement dans 

notre groupe [Karr 04b] dans une configuration typiquement utilisée dans les expériences, dans laquelle 

les polaritons sont créés par un faisceau laser résonnant dont l’angle d’incidence est fixé de 

façon à obtenir un vecteur d’onde dans le plan des couches donné par k p . Cet angle est choisi pour 

assurer la conservation de l’énergie et de l’impulsion dans le plan des couches pour le processus 

{k p ,k p } → {0,2k p } [Savvidis 00]. 

L’analyse théorique a montré que les corrélations entre signal et complémentaire sont plus fortes 

si les deux modes ont la même largeur de raie, ce qui est peu réaliste dans cette géométrie d’excitation 

à cause du fait que le complémentaire est fortement couplé à des modes excitoniques de grand 

vecteur d’onde et est donc très élargi. De plus les corrélations qui existent entre modes de polaritons à 

l’intérieur de la cavité sont fortement réduites dans les faisceaux émis à cause de la grande différence 

entre la fraction photonique du signal (≃ 0.5) et du complémentaire (≃ 0.05). Enfin, les intensités du 

signal et du complémentaire sont en général très déséquilibrées (le rapport des intensités peut varier 

entre 10 et 10 4 suivant les caractéristiques de l’échantillon. Ce déséquilibre est souvent imputé au 

couplage assez efficace du mode complémentaire avec les modes de fuite de la cavité. Les raisons 

que nous avons exposée ci-dessus rendent très difficile l’observation de corrélations quantiques dans 

cette configuration. 

Une solution alternative consiste à utiliser deux faisceaux pompe avec des vecteurs d’onde op-


posés {k p ,−k p }. Dans ce cas tous les processus de diffusion paramétrique suivants {k p ,−k p } → 

{k,−k}, avec la condition |k| = |k p |, conservent à la fois énergie et impulsion et sont donc résonnants. 

Le signal et le complémentaire ont des vecteurs d’onde opposés et ils ont donc la même fraction photonique 

et la même largeur de raie; ce qui assure les corrélations maximales entre les faisceaux signal et 

complémentaire. D’ailleurs, dans cette configuration, le processus paramétrique de mélange à quatre 

ondes de polaritons est en compétition avec la diffusion élastique de Rayleigh qui est aussi située 

sur le cone |k| = |k p |. Je présenterai dans la suite de cette section l’observation expérimentale de ce 

processus paramétrique: nous avons mesuré une corrélation de 0.6 entre faisceaux émis avec des 

vecteurs d’onde opposés dans le plan des couches. Ces résultats sont très prometteurs en vue de la 

génération de modes de polaritons corrélés au niveau quantique. 

2.3.1 Configuration expérimentale 

La microcavité utilisée est en GaAs/AlAs, avec trois puits quantiques à bas contenu d’indium 

(In 0.04 Ga 0.96 As) placés chacun à un maximum du mode du champ dans la cavité. Elle présente un 

facteur de qualité élevé et une épaisseur de l’ordre de la longueur d’onde (∼ 1µm). Le "Rabi splitting" 

est de 5.6 meV. Le dispositif de l’expérience est montré sur la figure 2.3a. 

kp 

-kp 

Ti:sa 

laser 

FFP1 

PBS 

M 

f 

kp 

-kp 

MC 

FFP2 

f 

FFP 

S1 

M 

S2 

PD1 

+/- 

PD2 

Spectrum 

analyser 

Fig. 2.3 – Schéma expérimental. Deux faisceaux pompe avec vecteurs d’onde opposés dans le plan de couches 

k p et −k p sont focalisés sur la microcavité. L’émission en transmission est collimatée avec une lentille 

de focale 50 mm. En champ lointain l’émission a la forme d’un anneau (FFP1). Deux fentes amovibles 

S1 et S2 sont utilisés pour masquer les deux pompes et sélectionner l’émission située aux extrémités 

du diamètre vertical de l’anneau (FFP2). Les deux portions de l’anneau sont détectées par deux photodiodes: 

la somme et la différence des photocourants sont ensuite envoyés à l’analyseur de spectre. 

La microcavité est refroidie à 4K dans un cryostat à circulation d’hélium. Le laser de pompe est 

un laser Titane:Saphir monomode. Deux faisceaux pompe résonnants avec la branche basse des

2.3 Émission corrélée de polaritons 55 

polaritons sont focalisés sur l’échantillon avec un diamètre d’environ 40 µm et ils forment un angle 

de 6 ◦ avec la normale à l’échantillon. Cet angle est choisi pour s’affranchir de la compétition avec 

le canal de diffusion paramétrique {k p ,k p } → {0,2k p } qui est très efficace à l’angle magique (12 ◦ 

pour notre échantillon). L’image en champ lointain de l’émission de la microcavité est obtenue en 

transmission avec une lentille de 50 mm et détectée par une caméra CCD (voir Fig.2.3b). Deux fentes 

indépendantes permettent de sélectionner une portion de l’image en champ lointain (voir Fig.2.3c). Les 

faisceaux ainsi sélectionnés sont détectés par deux photodiodes identiques; les deux photocourants 

sont ensuite amplifiés et leur somme ou différence envoyée à l’analyseur de spectre. 

L’image en champ lointain montre un anneau qui correspond à la condition |k| = |k p |. Comme 

nous l’avons déjà remarqué, les contributions provenant de la diffusion de Rayleigh ainsi que de la 

diffusion paramétrique de polaritons sont présentes dans cet anneau. Les émissions à k et −k sont 

incorrélées dans le premier cas et fortement corrélées dans le deuxième. Donc le degré de corrélations 

va dépendre de la contribution relative de ces deux mécanismes. On peut en donner une estimation 

en supposant les différents processus indépendants (la diffusion paramétrique et les diffusions Rayleigh 

associées à chaque pompe). La contribution de la diffusion paramétrique est alors donnée par 

I ps = I 2pumps − I kp − I −kp , où I 2pumps (respectivement I kp , I −kp ) est l’intensité de l’anneau avec les deux 

pompes (respectivement avec une seule pompe). De cette manière on peut estimer la contribution 

relative de la diffusion paramétrique I ps /I 2pumps typiquement de l’ordre de 20 % de l’intensité totale. 

2.3.2 Résultats 

Pour mettre en évidence la présence des corrélations, nous avons sélectionné et mesuré la radiation 

provenant des régions diamétralement opposées de l’anneau d’émission, à l’aide de fentes 

amovibles. Un résultat typique de cette opération, obtenu pour un désaccord exciton-cavité δ =-0.45 

meV et une puissance incidente de 24 mW sur chaque faisceau pompe, est montré sur la figure 2.4. 

8 

Amplitude de bruit (u.a.) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 2 4 6 8 10 

Temps (sec.) 

Amplitude de bruit (u.a.) 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 2 4 6 8 10 

Temps (sec.) 

Fig. 2.4 – Bruit de la somme et différence des photocourants (trace a et b respectivement) pour deux positions 

différentes des fentes en champ lointain. Dans la figure du haut les fentes sélectionnent deux régions 

diamétralement opposées sur l’anneau de diffusion; dans la figure du bas les deux régions ne sont 

pas symétriques. Fréquence d’analyse de 4MHz 

Le bruit de la différence des photocourants (trace a) est nettement plus faible que le bruit de


la somme (trace b): cela est une signature claire de fortes corrélations d’intensité. Dans toutes les 

mesures présentées ici, la fréquence d’analyse est fixée à 4 MHz. D’ailleurs, aucune dépendance en 

fréquence des corrélations n’a été observée dans l’intervalle spectral accessible à la détection (2-30 

MHz). Ce comportement n’est pas surprenant; en effet la largeur du spectre des corrélations est du 

même ordre que la largeur de la résonance des polaritons, c’est à dire quelques dizaines de gigahertz. 

Pour prouver que les corrélations mesurées proviennent sans ambiguïté du processus de mélange 

à quatre ondes des polaritons excité par les deux pompes, nous avons réalisé une série d’expériences 

de test. 

300 

Bruit normalisé 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

0 5 10 15 20 25 

0,8 

0,7 

Corrélation 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 5 10 15 20 25 

Nonlinéarité 

0,25 

0,2 

0,15 

0,1 

0,05 

0 

0 5 10 15 20 25 

Puissance de pompe 

Fig. 2.5 – a) bruit de la somme et différence des photocourants en fonction de la puissance de pompe. Les 

courbes sont normalisées au bruit quantique standard (trait pointillé); b) coefficient de corrélation de 

deux photocourants; c) contribution relative du processus non linéaire à l’intensité totale 

Dans un premier type d’expériences, nous avons sélectionné des régions de l’émission qui ne sont 

pas symétriques par rapport au centre de l’anneau (voir la figure 2.4b). Les bruits des photocourants 

somme et différence sont égaux, ce qui démontre qu’ils sont totalement incorrélés. Plus précisément, 

nous avons mesuré des corrélations d’intensité non nulles seulement quand les régions sélectionnes 

sur l’anneau appartiennent à un même diamètre, c’est à dire quand les polaritons responsables de 

l’émission ont des vecteurs d’onde opposés. 

Dans un deuxième type d’expériences, à partir d’une situation dans laquelle de fortes corrélations 

sont présentes, nous avons bloqué un de deux faisceaux pompe. À nouveau la somme et la différence 

des photocourants sont égales: les deux portions de l’anneau qui étaient corrélées en présence 

de deux pompes, deviennent complètement indépendantes lorsque une pompe est bloquée. Pour résumer, 

nous avons mesuré des corrélations d’intensité non nulles seulement en présence des deux

2.4 Perspectives 57 

pompes. Ces résultats sont une indication claire que l’origine des corrélations observées est effectivement 

dans le processus non linéaire {k p ,−k p } → {k,−k}. 

La figure 2.5 montre l’évolution de la somme et différence des photocourant en fonction de la puissance 

de pompe. Il est important de souligner qu’aucun autre paramètre n’est changé; en particulier la 

longueur d’onde de pompe n’est pas ajustée pour compenser le décalage vers le bleu (blue shift) de la 

résonance du polariton, qui dépend de l’intensité. Cela explique pourquoi la contribution relative de la 

diffusion paramétrique diminue à haute intensité. Le bruit de la somme des photocourants augmente 

considérablement avec la puissance de pompe tandis que le bruit de la différence reste assez faible. 

Pour effectuer une analyse quantitative des correlations, on définit les corrélations d’intensité normalisées 

entre les faisceaux {k,−k} comme 

C k,−k (Ω) = 

S k,−k (Ω) 

√ 

Sk (Ω)S −k (Ω) 

(2-1) 

où S k,−k est le spectre des corrélations d’intensité (défini comme la transformée de Fourier de la fonction 

de corrélation C k,−k (τ) = 〈δI k (t)δI −k (t + τ)〉) et S k ,S −k sont les spectres de bruit d’intensité 

des deux faisceaux (définis comme la transformée de Fourier de la fonction d’auto corrélation d’intensité 

C I (τ) = 〈δI(t)δI(t + τ)〉). Cette quantité vérifie |C k,−k (Ω)| ≤ 1; elle est égale à 1 pour corrélations 

parfaites et à −1 pour des anticorrélations parfaites. Le spectre des corrélations S k,−k peut 

se déduire facilement des spectres de bruit de la somme et différence des intensités (S + ) et (S − ): 

S k,−k = (S + − S − )/4, et le spectre de bruit de chaque faisceau peut être mesuré directement en bloquant 

l’autre. 

La correlation normalisée est tracée sur la figure 2.5c en fonction de la puissance de pompe. 

Les corrélations entre les deux portions symétriques de l’anneau augmentent avec la puissance de 

pompe jusqu’à une valeur maximale de 0.6, bien que la contribution relative du processus de diffusion 

paramétrique, en terme d’intensité émise, diminue. 

2.4 Perspectives 

Les investigations que nous allons effectuer à court terme seront consacrées à l’observations 

d’effets quantiques dans les microcavités. En effet, les fortes corrélations entre polaritons que nous 

avons mis en évidence dans le processus de mélange paramétrique à quatre ondes non dégénéré 

sont très encourageants et laissent présager la possibilité d’observer expérimentalement l’intrication 

entre modes de polaritons qui a été prévue théoriquement [Karr 04b]. 

Dans l’expérience précédemment décrite avec deux pompes, bien que les corrélations mesurées 

soient élevées, le bruit de la différence des photocourants reste au dessus du bruit quantique standard. 

Cet excès de bruit provient de deux anneaux de diffusion Rayleigh, dont les fluctuations sont 

complètement incorrélées. Lorsque les vecteurs d’ondes des deux pompes sont dans un plan horizontal 

(k y = 0) et leur composante dans le plan de couches est opposée (k x ,−k x ), les anneaux de diffusion 

Rayleigh sont toujours coïncidents avec l’anneau de diffusion paramétrique. Dans cette configuration 

expérimentale il est donc impossible de séparer les contributions des deux processus. Néanmoins, on 

peut trouver d’autres configurations qui permettent de s’affranchir de l’effet indésirable de la diffusion 

élastique. Il suffit pour cela de modifier l’angle d’incidence des deux pompes, en conférant à leurs 

vecteurs d’onde la même composante k y ≠ 0, tout en gardant inaltérées et égales les composantes 

selon l’axe x. En imposant la conservation de l’énergie et de l’impulsion dans le plan des couches, 

on peut montrer que, dans cette nouvelle configuration, l’emission non linéaire due au processus de 

mélange à quatre ondes n’est pas superposée (en champ lointain) aux anneaux Rayleigh. La mise en


place de cette expérience nous permettra donc d’analyser le processus purement paramétrique sans 

contaminations provenant des phénomènes parasites. 

L’autre aspect de cette expérience qui mérite une étude plus approfondie concerne le régime de 

diffusion paramétrique que l’on peut atteindre: l’émission non linéaire due au mélange à quatre ondes 

se situe, dans l’espace de k, sur un cercle et des corrélations sont observées pour n’importe quel 

couple des faisceaux diamétralement opposés choisis sur ce cercle; tous les couples possibles contribuent 

donc à l’émission. Ce comportement est une forte indication que le processus paramétrique 

observé reste sous le seuil d’oscillation: en effet au dessus de ce seuil on s’attend à avoir un seul 

couple qui oscille (celui pour lequel le seuil est plus faible). Une possibilité pour favoriser le passage au 

régime d’oscillation au dessus du seuil serait de stimuler le processus avec un faible faisceau sonde 

de vecteur d’onde donné et de privilégier ainsi l’oscillation d’un couple particulier de modes de polaritons. 

De plus, la configuration pompe-sonde nous permettrait de vérifier les propriétés de cohérence 

du processus paramétrique. 

La cohérence du champs de polaritons est en effet un autre sujet de recherche important que 

nous comptons aborder. La caractérisation des propriétés de cohérence est fondamentale pour comprendre 

et interpréter les résultats expérimentaux concernant la diffusion stimulée de polaritons ou la 

condensation de polaritons. La connaissance de propriétés de cohérence, temporelle et spatiale, des 

polaritons est aussi indispensable en vue des applications en régime de contrôle cohérent envisagées 

dans le domaine de l’information quantique [Kunderman 03]. 

Grâce à la nature composite des polaritons, mi-lumière, mi-matière, leur cohérence est transférée 

au champ émis et peut être étudiée avec les techniques spécifiques de l’optique quantique. Jusqu’à 

présent seulement la cohérence temporelle du premier ordre a été étudiée: l’augmentation du temps 

de cohérence de l’émission non linéaire à l’angle nul dans les processus de diffusion paramétrique 

est démontrée par le rétrécissement spectral au dessus du seuil d’oscillation. La cohérence temporelle 

au second ordre a été aussi étudiée en mesurant la fonction d’autocorrelation de l’intensité 

g (2) (τ) de l’émission non linéaire [Tassone 00]. En revanche la cohérence spatiale des polaritons a 

été jusqu’à présent très peu analysée, à l’exception de la référence [Tartakovskii 00] où une étude 

détaillée de la cohérence spatiale des polaritons en régime d’excitation non résonnante est présentée. 

Sous excitation résonnante à l’angle magique et au dessus du seuil d’oscillation paramétrique, 

comme nous l’avons déjà expliqué, il se produit un transfer cohérent de population du mode de pompe 

aux modes signal et complémentaire avec l’apparition d’une forte émission non linéaire à l’angle nul. 

La cohérence temporelle de ce processus a été étudiée dans [Kunderman 03], mais il n’existe pas à 

notre connaissance dan la littérature d’études expérimentales sur la cohérence spatiale. Il ne s’agit 

pas d’un point d’importance mineure: en effet le modèle généralement utilisé pour décrire l’interaction 

paramétrique entre polaritons [Ciuti 00, Ciuti 03] ne prend pas en compte la taille spatiale finie 

des modes de polaritons et les suppose cohérents spatialement sur toute la région active de l’échantillon, 

ainsi que monomode transverse. Ces hypothèses demandent à être vérifiées expérimentalement, 

d’autant plus que des structures transverses complexes ont été observées dans l’émission non 

linéaire [Houdré 00, Baas 04a, Karr 04a], en suggérant la présence des plusieurs modes transverses. 

Nous avons déjà effectué des mesures préliminaires sur la cohérence spatiale des polaritons 

[Baas 03] et comptons continuer cette étude d’une façon systématique en utilisant les techniques spécifiques 

de l’optique quantique, en particulier pour élucider la question du caractère monomode ou 

multimode de l’émission non linéaire. Pour cela il est nécessaire de mesurer les corrélations d’intensité 

dans le plan transverse. Deux techniques expérimentales seront utilisées: une détection équilibrée 

qui permet de comparer la somme et la différence de bruit de deux portions du faisceau à tester; la mesure 

du bruit du faisceau en fonction de la position d’une lame de rasoir qui le masque progressivement

2.5 Publications personnelles sur le sujet 59 

(voir chapitre 1). 

À plus long terme, une fois observés et caractérisés les effets quantiques, l’étape suivante sera de 

transposer aux microcavités semi-conductrices les processus réalisables dans les cavités à atomes, 

de manière à utiliser le spin des porteurs pour stocker ou traiter l’information quantique. 


1. Baas A., Karr J.-Ph, Romanelli M., Bramati A., Giacobino E., Phys. Rev. B, 70, 161307(R) (2004) 

Title: Optical bistability in semiconductor microcavities in the nondegenerate parametric oscillation 

regime: analogy with the optical parametric oscillator 

2. Giacobino E., Karr J.-Ph, Baas A, Messin G., Romanelli M., Bramati A., Title: Quantum coherent 

effects in cavity exciton polariton systems, soumis à Phys.Rev.B 

3. Romanelli M., Karr J.-Ph, Leyder C., Bramati A., Giacobino E. Title: Correlated polariton emission 

in semiconductor microcavities, en préparation 

4. Baas A., Romanelli M., Karr J.-Ph, Leyder C., Bramati A., Giacobino E. Title: Spatial coherence 

of polaritons in semiconductor microcavities en préparation 



PHYSICAL REVIEW B 70, 161307(R) (2004) 

Optical bistability in semiconductor microcavities in the nondegenerate parametric oscillation 

regime: Analogy with the optical parametric oscillator 

A. Baas, J.-Ph. Karr, M. Romanelli, A. Bramati, and E. Giacobino 

Laboratoire Kastler Brossel, Université Paris 6, Ecole Normale Supérieure et CNRS, UPMC Case 74, 4 Place Jussieu, 

75252 Paris Cedex 05, France 

(Received 21 June 2004; published 22 October 2004) 

RAPID COMMUNICATIONS 

We report the observation of optical bistability in a microcavity pumped resonantly close to the inflection 

point of the lower polariton dispersion. Experimental evidence is given in the form of a hysteresis cycle of the 

nonlinear emission as a function of the pump intensity or the position of the excitation spot. The results can be 

well understood with simple theoretical considerations that underline the fundamental analogy between our 

system and an optical parametric oscillator. 

DOI: 10.1103/PhysRevB.70.161307 

PACS number(s): 71.35.Gg, 71.36.c, 42.70.Nq, 42.50.p 

In semiconductor microcavities in the strong-coupling regime, 

the eigenmodes of the system are mixed light-matter 

fields, the polaritons. This allows to achieve cavity QED effects 

involving a light-matter field. Exciting experiments, 

such as coherent control 1 or squeezing, 2 have been performed 

using four-wave parametric scattering of 

polaritons. 3,4 Again, due to the composite nature of the polaritons 

of the system, microcavities can be compared either 

with Bose–Einstein condensates (BECs), where pure matter 

waves are involved, or with optical parametric oscillators 

(OPOs), where the nonlinear medium is excited in the transparency 

region. 5 The analogy with atomic BECs is most useful 

in the context of nonresonant pumping experiments, 

which are motivated by the realization of a “polariton 

laser.” 6–8 The analogy with OPOs applies to the case of resonant 

pumping where two pump polaritons are converted into 

a pair of “signal” and “idler” polaritons. 9 The physics of 

OPOs may be used as a guide for the research of new effects 

in microcavities, such as the production of nonclassical states 

of light. 10 In this paper, we report the observation of polaritonic 

bistability, which is analogous to the optical bistability 

observed in a detuned triply resonant OPO. 

Optical bistability has been predicted 11 and observed 12 in 

a triply resonant OPO (i.e., the cavity is simultaneously resonant 

for the pump, signal, and idler modes). If the three 

modes are detuned with respect to the exact cavity resonance, 

the condition of oscillation imposes that the detunings 

of the signal and idler modes normalized to their half width 

at half maximum (HWHM) ( s and i , respectively), be 

equal: s = i =. Then, the following condition is required 

for the existence of bistability: 

p 1, 

where p is the detuning of the pump mode normalized to its 

HWHM. 13 Bistability can be evidenced by observing a hysteresis 

loop in the variations of the signal intensity versus the 

pump intensity, or versus the cavity length for a pump intensity 

above threshold. Very good agreement has been obtained 

between experiment and theory. 12 

In semiconductor microcavities pumped resonantly, two 

polaritons of the pumped mode of wave vector k p in the 

1 

plane of the layers can scatter coherently to a pair of signal 

and idler modes of wave vector 0 and 2k p , respectively; 

optimal efficiency is achieved if the angle of excitation is 

chosen so that the pump, signal, and idler are resonant with 

the lower polariton branch, which has given rise to the term 

of “magic angle.” 14 The analogy with OPOs suggests that 

bistability should also appear under certain conditions when 

the three modes are detuned with respect to the exact resonance 

condition. While in OPOs the detunings can be controlled 

by scanning the cavity length, in microcavities it can 

be done by moving the excitation spot over the sample surface, 

which results in the same thing due to the slight angle 

between the cavity mirrors. 15 We did observe bistability, by 

scanning either the pump intensity or the position of the 

excitation spot. The results are found to be in good agreement 

with a model similar to those developed for OPOs. This 

is a completely new type of bistability in semiconductor microcavities, 

achieved in the strong-coupling regime; it differs 

from the one obtained by excitation of the microcavity at 

normal incidence (also in the strong-coupling regime), which 

is due to the polaritonic Kerr effect. 2,15,16 

The experiments are carried out on a 3/2 microcavity, 

described in detail in Ref. 17. The Rabi splitting is 5.6 meV 

and the lower polariton linewidth is of the order of 100 µeV. 

The light source is a single mode, tunable, intensity stabilized 

Ti:sapphire laser. Spatial filtering by a fiber provides a 

well-defined transverse distribution of intensity, described by 

a Gaussian curve with a waist of 30±2 m. The nonlinear 

emission is detected by a photodiode in transmission or reflection. 

CCD cameras allow to observe the far field (image 

in k-space) in transmission or in reflection. 

The sample is excited at a cavity-exciton detuning 

(without any probe beam) close to the inflection point of the 

lower polariton dispersion at around 12°, above the parametric 

threshold, which is of the order of 500 W/cm −2 . The 

intensity of the signal beam emitted around k=0 is optimized, 

so that the -OPO 5 can be considered as perfectly 

tuned. Then, we slightly detune the pump laser by a quantity 

E, typically of the order of a few hundreds of µeV, which 

results in the disappearance of the parametric oscillation. In 

order to obtain it again we have to partially compensate for 

the pump detuning by moving the excitation spot on the 

1098-0121/2004/70(16)/161307(4)/$22.50 70 161307-1 

©2004 The American Physical Society



BAAS et al. PHYSICAL REVIEW B 70, 161307(R) (2004) 

FIG. 1. Variations of the signal output power (in transmission) 

as a function of the spot position in the region of bistability. The 

pump power is 1150 W/cm 2 , the pump detuning is E 

=−0.35 meV. The insets are far-field images taken at the lower and 

upper point of bistability. The transmitted pump (at 12°) appears as 

a bright spot on the right-hand side of the image, in a ring corresponding 

to Rayleigh scattering, where speckle patterns are visible. 

The nonlinear emission appears at an angle of about +6° above 

threshold (on the same side as the transmitted pump) together with 

a second Rayleigh scattering ring. 

sample. This results in changing the cavity length, thus 

changing simultaneously the frequencies of the three polariton 

modes involved; the direction of the motion must be 

chosen so as to bring the polariton frequency back towards 

the laser frequency. 

For an initial cavity-exciton detuning =0 and a range of 

laser detunings E in the window −0.14,−0.42 meV, we 

observed a hysteresis loop in the variations of the signal 

intensity versus the position of the excitation spot (for large 

enough pump intensities). An example is shown in Fig. 1. 

Then, by choosing a position within the bistable region (corresponding 

to a new cavity-exciton detuning ) one can 

observe a hysteresis loop in the variations of the signal intensity 

versus the pump intensity. An example is shown in 

Fig. 2. We now show that this bistability regime can be well 

understood by a simple model of the parametric process in 

the microcavity. 

The microcavity under resonant excitation can be described 

as a system of three interacting polariton modes, 4 

provided it is not too far above the parametric threshold, 

when multiple scatterings can occur and more modes have to 

be taken into account. 18 We use a classical model 9 which is 

sufficient to describe the main features of the bistability regime. 

If the system is perfectly tuned, the signal and idler modes 

are k=0 and k=2k p , respectively. But if the system is detuned, 

the signal and idler wave vectors are not necessarily 

0,2k p ; the pair of oscillating modes k,2k p −k is the one 

with the lowest threshold. This is in sharp contrast with the 

case of triply resonant OPOs, where the signal and idler 

wave vectors are fixed by the cavity. On the contrary, microcavities 

have a large angular acceptance and do not impose 

the signal and idler wave vectors. This effect is illustrated in 

the far-field images of the nonlinear emission (in transmission) 

shown in the insets of Fig. 1. Both images show the 

transmitted pump and the Rayleigh scattering ring, where 

FIG. 2. Variations of the signal output power (in transmission) 

as a function of the pump power for a pump detuning E 

=−0.42 meV. The gray curve is the result of a fit using Eq. (12). 

The inset shows more clearly the unstable branch and the series of 

intermediate states that are obtained when varying the input intensity 

in both directions. The used parameters are p =2.05 and 

=1.175. 

speckles are well resolved. 19 When crossing one of the bistability 

turning points, the nonlinear emission suddenly appears 

(or disappears) around 6°, well away from the k=0 

direction, together with a ring corresponding to the Rayleigh 

scattering as for the pump mode. 

In the following, we simply denote the signal and idler 

modes by the indices i,s; their wave vectors k,2k p −k will 

be determined later on. The evolution equations for the three 

polariton modes are 

dp s 

= − s + iẼ LP k s p s + E int p * 

dt 

i p 2 p , 2 

dp p 

= − p + iẼ LP k p p p − 2E int p * 

dt 

p p s p i − C p 

2a A in p , 

dp i 

dt = − i + iẼ LP k i p i + E int p s * p p 2 , 

where E int is the nonlinear coupling constant between 

polaritons 4 and Ẽ LP k j the lower polariton energy at the 

wave vector of the mode j, taking the renormalization by the 

pump mode into account. It is related to the bare polariton 

energy E LP k j by Ẽ LP k j =E LP k j +2 j p p 2 , where j is the 

nonlinear coupling constant between the mode j and the 

pump mode. j and a are the linewidths of the mode j and 

of the coupling mirror. A in p is the incoming laser field resonant 

with the pump mode. We choose the origin of phases so 

that A in p be real. C p is the Hopfield coefficient representing 

the photon fraction of the polariton in the pump mode. 20 

In experiments, the system is first set at resonance for a 

given cavity-exciton detuning , and then detuned by changing 

the pump energy (by E) and the cavity-exciton detuning 

(to a new value ). In order to introduce the corresponding 

detunings for the three modes, the equation for each mode j 

is rewritten in the rotating frame 

3 

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OPTICAL BISTABILITY IN SEMICONDUCTOR… PHYSICAL REVIEW B 70, 161307(R) (2004) 

p˜ jt = p j te iE j t/ , 

where E j is the energy of the mode j for the detuning . 

We also introduce the normalized quantities 

P s = 2E int 

p 

1/2 

s 

i p˜s, P i = 2E int 

p 

1/2 

i 

s p˜i, 

P p = 

E int 

1/2 

s i 

p˜ p, 

4 

P in p = − E int 

s i 

1/2 C p 

in 2a A p 

. 5 

p 

The stationary regime is given by the following equations: 

0 = − 1 + i s P s + P p 2 P i * , 6 

0 = − 1 + i p P p − P s P i P p * + P p in , 7 

0 = − 1 + i i P i + P p 2 P s * , 8 

where j is the detuning of the mode j with respect to the 

polariton branch normalized to the relaxation rate: j 

=Ẽ LP k j ,−E j / j . These equations are similar to 

those used in the description of a triply resonant OPO. One 

difference is that two pump photons (instead of one) are 

needed for the parametric process, but this does not significantly 

alter the dynamics of the system. More importantly, 

there are additional Kerr-like terms due to renormalization 

by the pump mode. By combining Eq. (6) with the conjugate 

of Eq. (8), one obtains 

P s P p 4 − „1 + s i + i s − i … = 0, 

from which we deduce the oscillation condition s = i , and 

the pump mode intensity P p 2 = 1+ 2 , with = s = i . 

Then Eqs. (6) and (8) give P s 2 =P i 2 . From Eq. (7) we 

know that the sum of the phases of the two final modes is 

fixed: s + i =0, where P s =P s e i s and P i =P i e i i. On the 

contrary, the phase difference can take any value. Making the 

choice of phase s − i =0, one gets P s = P i and the system 

(6)–(8) reduces to the two following equations: 

9 

0 = P p in − 1 + i p P p − P s 2 P p * , 10 

0 = − 1 + iP s + P p 2 P s * . 11 

The equations for the stationary state of the four-wave 

mixing are found to be formally the same as in the case of 

frequency degenerate four-wave mixing P s = P i . The solutions 

are given by 

P¯ in 

p 2 = 1 + 2 P¯ s 4 + 21 − p P¯ s 2 2 

+ 1 + p 

12 

with P¯ in p = P in p 1+ 2 −1/4 and P¯ s= P s 1+ 2 −1/4 . This equation 

is similar to the equation giving the stationary solutions in a 

triply resonant OPO. 11 In our case however, the detunings 

and p depend on the polariton population in the pump mode 

due to renormalization effects. Since the pump mode population 

is clamped at a fixed value above the parametric 

threshold, this only results in a constant shift of and p , 

with respect to the equations of the OPO. 

As a consequence, we obtain the same conditions for the 

existence of a bistability regime. If p 1, there is at most 

one stable stationary state for each value of the input intensity. 

For p 1, bistability appears in the interval 

p + 2 

1 + 2 P¯ in p 2 1 + 2 p . 

13 

Figure 2 shows a fit of the experimental curve with the 

theoretical curve given by Eq. (12). Very good agreement is 

obtained. The theoretical curve shows an additional negativeslope 

branch in the bistability region, which can be proved to 

be unstable. Thus the signal turns on and off at the two 

turning points, as schematized in the inset of Fig. 2. 

The model also allows to calculate the wave vectors of the 

signal and idler modes k,2k p −k. To do this, we minimize 

the oscillation threshold P p in 2 = 1+ 2 1+ p 2 as a function 

of k. One finds out that when the system is detuned, the 

signal-idler pair having the lowest threshold is no longer 

0,2k p . For the parameters of Fig. 1, the angle of propagation 

of the signal beam is found to shift by about +4°. This is 

in good qualitative agreement with the images in Fig. 1, 

where the angle of emission of the signal beam is about +6°. 

This behavior differs from the one observed in Refs. 14 and 

21, where the signal occurs at k=0 whatever the excitation 

conditions. 

Finally, let us comment on the parameters of observation 

of bistability. We did not observe bistability for a laser detuning 

−0.14E0 meV. This can be explained with the 

bistability condition p 1: the pump has to be sufficiently 

detuned. We did not observe bistability for large detunings 

such as E−0.42 meV, which is probably due to the fact 

that the bistability threshold actually increases more with E 

than predicted by the model. In order to get a better agreement 

with experiments, the model has to be refined by including 

the precise dependence of the polariton linewidths as 

a function of the cavity-exciton detuning and the wave 

vector. 

Thus the main features of this bistability regime are reproduced 

by a model adapted from the theory of bistability 

in OPOs, that also allows to understand previous experimental 

results obtained by Houdré et al. on the same sample. 19 

They observed a very steep thresholdlike behavior of the 

emission intensity around k=0 versus the pump intensity, 

strongly deviating from the standard shape of the parametric 

oscillation threshold curves. By taking the parameters in 

which this curve was obtained, we have checked that the 

system does present bistability because it is detuned with 

respect to the optimal conditions of parametric oscillation. 

A further point requiring investigation is the transverse 

shape of the nonlinear emission. While the images in the 

inset of Fig. 1 are well understood in the frame of our model, 

by varying the experimental conditions one observes complex 

patterns changing with the cavity-exciton detuning and 

the excitation intensity. Very similar results were obtained in 

Refs. 19 and 22. In Ref. 15 we have developed a simple 

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BAAS et al. PHYSICAL REVIEW B 70, 161307(R) (2004) 

model of transverse effects which gives satisfactory results in 

the degenerate configuration of the parametric process, 

showing that the transverse patterns can be attributed to a 

modification of the shape of the active region, due to the 

combined effect of exciton renormalization, the angle between 

the cavity mirrors, and the Gaussian distribution of the 

excitation spot. A similar study in the nondegenerate geometry 

would be an important step forward, since transverse 

effects should certainly be taken into account in the evaluation 

of the polariton density and the polariton occupation 

number. 

In a conclusion, we have reported the observation of bistability, 

which is a unique feature of the nonlinear dynamics 

of polaritons in the parametric oscillation regime. Experimental 

results are in good qualitative agreement with a 

model adapted from the theory of bistability in OPOs. Further 

studies should be devoted to transverse aspects. Experiments 

under pulsed excitation would also provide interesting 

information on the dynamics of polariton bistability, which 

should be very different from the dynamics of OPOs, because 

real (and not virtual) material excitations are involved 

in the parametric process. 23 Finally, this work confirms the 

robustness of the analogy between microcavities and OPOs, 

at the base of the prediction of quantum correlated lightmatter 

waves. 10,24 

We would like to acknowledge fruitful discussions with 

C. Fabre, L. Longchambon, S. Kundermann, and N. Treps. 

We thank R. Houdré for providing us with the microcavity 

sample. 

1 S. Kundermann, M. Saba, C. Ciuti, T. Guillet, U. Oesterle, J. L. 

Staehli, and B. Deveaud, Phys. Rev. Lett. 91, 107402 (2003). 

2 J. Ph. Karr, A. Baas, R. Houdré, and E. Giacobino, Phys. Rev. A 

69, 031802 (2004). 

3 P. G. Savvidis, J. J. Baumberg, R. M. Stevenson, M. S. Skolnick, 

D. M. Whittaker, and J. S. Roberts, Phys. Rev. Lett. 84, 1547 

(2000). 

4 C. Ciuti, P. Schwendimann, B. Deveaud, and A. Quattropani, 

Phys. Rev. B 62, R4825 (2000). 

5 J. J. Baumberg, P. G. Savvidis, R. M. Stevenson, A. I. Tartakovskii, 

M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, and J. S. Roberts, Phys. 

Rev. B 62, R16 247 (2000). 

6 Y. G. Rubo, F. P. Laussy, G. Malpuech, A. Kavokin, and P. Bigenwald, 

Phys. Rev. Lett. 91, 156403 (2003). 

7 H. Deng, G. Weihs, D. Snoke, J. Bloch, and Y. Yamamoto, Proc. 

Natl. Acad. Sci. U.S.A. 100, 15318 (2003). 

8 M. Richard, J. Kasprzak, R. André, R. Romestain, and Le Si 

Dang (to be published 2004). 

9 D. M. Whittaker, Phys. Rev. B 63, 193305 (2001). 

10 J. Ph. Karr, A. Baas, and E. Giacobino, Phys. Rev. A 69, 063807 

(2004). 

11 L. A. Lugiato, C. Oldano, C. Fabre, E. Giacobino, and R. J. 

Horowicz, Il Nuovo Cimento 10, 959 (1988). 

12 C. Richy, K. I. Petsas, E. Giacobino, C. Fabre, and L. Lugiato, J. 

Opt. Soc. Am. B 12, 456 (1995). 

13 C. Fabre, E. Giacobino, A. Heidmann, L. Lugiato, S. Reynaud, 

M. Vadacchino, and W. Kaige, Quantum Opt. 2, 159 (1990). 

14 R. Butté, M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, D. Bajoni, and J. S. 

Roberts, Phys. Rev. B 68, 115325 (2003). 

15 A. Baas, J. Ph. Karr, H. Eleuch, and E. Giacobino, Phys. Rev. A 

69, 023809 (2004). 

16 G. Messin, J. Ph. Karr, A. Baas, G. Khitrova, R. Houdré, R. P. 

Stanley, U. Oesterle, and E. Giacobino, Phys. Rev. Lett. 87, 

127403 (2001). 

17 R. P. Stanley, R. Houdré, U. Oesterle, and M. Ilegems, Solid State 

Commun. 106, 485 (1998). 

18 P. G. Savvidis, C. Ciuti, J. J. Baumberg, D. M. Whittaker, M. S. 

Skolnick, and J. S. Roberts, Phys. Rev. B 64, 075311 (2001). 

19 R. Houdré, C. Weisbuch, R. P. Stanley, U. Oesterle, and M. Ilegems, 

Phys. Rev. Lett. 85, 2793 (2000). 

20 All the parameters—polariton energies and linewidths, interaction 

constant, and Hopfield coefficient—depend on the cavityexciton 

detuning, but this dependence is not noted for the sake 

of clarity. 

21 N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev, V. D. Kulakovskii, D. N. Krizhanovskii, 

and A. I. Tartakovskii (unpublished). 

22 R. Houdré, C. Weisbuch, R. P. Stanley, U. Oesterle, and M. Ilegems, 

Phys. Rev. B 61, R13 333 (2000). 

23 S. Kundermann, M. Saba, C. Ciuti, T. Guillet, J. L. Staehli, and B. 

Deveaud, cond-mat/0312205 (2003). 

24 P. Schwendimann, C. Ciuti, and A. Quattropani, Phys. Rev. B 68, 

165324 (2003). 

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3. Atomes froids et fluctuations quantiques 


Il est bien connu qu’un milieu Kerr idéal placé dans une cavité optique peut modifier les fluctuations 

de la lumière qui le traverse et produire des états comprimés du rayonnement [Gibbs 76, Lugiato 82]. 

Un tel milieu est purement dispersif, son interaction non linéaire avec la lumière est complètement 

décrite par un coefficient χ (3) et se traduit par un indice de réfraction du milieu qui dépend de l’intensité 

incidente. Son effet sur la lumière est donc un déphasage non linéaire. Si cet indice non linéaire 

se traduit simplement par un déphasage proportionnel à l’intensité sur la valeur moyenne du champ 

lumineux, son effet sur les fluctuations est plus complexe. En effet les fluctuations correspondant à 

des champs plus faibles que la valeur moyenne sont déphasées différemment des fluctuations correspondant 

à des champs plus élevés. Il en résulte une modification de la distribution des fluctuations du 

champ, avec, pour certaines composantes des fluctuations réduites. 

La présence d’une cavité optique exalte d’une part la non-linéarité et d’autre part, dans certaines 

conditions, induit le phénomène de bistabilité optique. Aux points tournants de la courbe de bistablité 

les fluctuations de la lumière subissent des modifications importantes et la génération d’états non 

classiques du champs devient particulièrement efficace. 

Depuis le début des années 1990, avec le développement des techniques de refroidissement des 

atomes par laser, il est apparu clairement qu’un nuage d’atomes froids pouvait constituer une bonne 

approximation d’un milieu Kerr. En effet, la saturation de la transition optique d’un atome à deux niveaux 

fournit un indice de réfraction dépendant de l’intensité. Bien que parler d’un atome à deux niveaux 

puisse paraître comme une idéalisation, néanmoins, grâce au pompage optique et si l’interaction se 

fait sur une transition fermée, il est possible de trouver des atomes réels dont le comportement est bien 

décrit par celui d’un système à deux niveaux. De plus, en s’affranchissant de l’effet Doppler, négligeable 

dans les atomes froids, car il est inférieur à la largeur naturelle, il est possible de s’approcher de 

résonance pour augmenter la non-linéarité, tout en gardant une absorption faible pour préserver les 

effets non classiques. 

Cette idée a été mise en oeuvre expérimentalement au laboratoire en utilisant un nuage d’atomes 

de césium refroidis par laser dans un piège magnéto-optique et placé dans une cavité optique. Les 

atomes interagissent avec un faisceau laser polarisé circulairement sur la transition hyperfine 6S 1/2 ,F = 

4 → 6P 3/2 ,F = 5 et décalé de résonance d’environ 50 MHz. Avec ce système une réduction de bruit 

de 40% sous le bruit quantique standard sur une quadrature du champ électromagnétique a été observé 

[Lambrecht 96]. 

Les arguments qui avaient motivé initialement l’étude des états comprimés portaient sur la possibilité 

d’améliorer la sensibilité des expériences en contournant les limites quantiques standard. Dans 

les dernières années, l’intérêt s’est plutôt concentré sur les applications que ces états pourraient 

avoir dans le domaine de l’information quantique en variables continues. En effet il est possible, à 

partir d’états comprimés, de créer des états intriqués, c’est à dire des états qui exhibent des corrélations 

de type Einstein-Podolski-Rosen (EPR) [Einstein 35]. Lorsque deux systèmes sont dans de 

tels états intriqués, la connaissance d’une variable d’un système implique la connaissance (à la li- 

65

66 3. Atomes froids et fluctuations quantiques 

mite idéale sans incertitude quantique) de la variable associée de l’autre système, même située à 

grande distance. Ces états constituent l’ingrédient fondamental des principaux protocoles de communication 

quantique, notamment pour la téléportation quantique, le codage dense, la cryptographie 

quantique [Bennet 93, Braunstein 98, DiVincenzo 95, Julsgaard 01]. En particulier la nature quantique 

de l’état de polarisation du champ électromagnétique a suscité un grand intérêt, grâce à la possibilité, 

récemment démontrée expérimentalement [Hald 99], de transférer les fluctuations non classiques de la 

polarisation aux fluctuations des variables atomiques. Cela ouvre la voie à la réalisation d’une mémoire 

quantique atomique, composante indispensable dans un futur réseau d’information quantique. 

Plusieurs méthodes permettent de réaliser expérimentalement une réduction de bruit de polarisation: 

effet Kerr dans les fibres optiques [Heersink 03], mélange sur un cube polariseur d’un état vide 

comprimé avec un champ cohérent intense [Grangier 87,Hald 99] ou de deux faisceaux indépendants 

comprimés en quadrature [Bowen 02a]. Plus récemment des propositions théoriques [Josse 03a] ont 

suggéré de faire propager un champ de polarisation linéaire dans un milieu atomique. 

Il y a trois ans, après mon recrutement à l’université Pierre et Marie Curie, j’ai commencé à travailler 

sur ce sujet et nous avons décidé d’étudier l’interaction entre un faisceau polarisé linéairement et un 

nuage d’atomes froids de césium. Ce changement, en apparence mineur, par rapport à la configuration 

habituelle qui prévoit une polarisation circulaire, modifie complètement la physique de l’interaction et 

donne lieu à des phénomènes très riches aussi bien sur le champ moyen que sur les fluctuations. La 

suite de ce chapitre est consacrée à leur description. 

3.2 Rotation auto-induite et origine physique de la réduction de bruit 

La configuration expérimentale adoptée est illustrée sur la figure 3.1. Les atomes de césium, piégés 

et refroidis dans un piège magnéto-optique, sont placés dans une cavité optique de haute finesse 

(environ 60) pour augmenter l’interaction. Ils interagissent sur la transition 6S 1/2 ,F = 4 → 6P 3/2 ,F = 5 

avec un faisceau laser polarisé linéairement (selon l’axe x) fourni par un laser Titane:Saphir stabilisé 

en fréquence et décalé de 50 MHz dans le rouge de la transition. La puissance du faisceau d’interaction 

varie entre 5 et 15 µW. Une faible partie de ce faisceau est transmise par la cavité et permet 

d’en asservir la longueur et d’effectuer une analyse de l’état de polarisation du champ. Le faisceau 

réfléchi est mélangé avec un oscillateur local, issu du même laser Titane:Saphir, et ses fluctuations 

quantiques ainsi que celles du mode vide de polarisation orthogonal sont mesurées à l’aide d’une 

détection homodyne (voir figure 3.1). 

Lorsque le faisceau qui interagit avec le nuage d’atomes a une polarisation linéaire, les processus 

de pompage optique sont plus complexes et dans ces conditions des instabilités de polarisation 

peuvent apparaître [Cecchi 82, Giacobino 85]. En effet tous les sous-niveaux Zeeman de la transition 

hyperfine considérée participent, à priori, au processus (la transition que nous utilisons compte 20 

sous-niveaux) et l’instabilité de la polarisation a son origine dans la compétition entre le pompage 

optique des composantes σ ± circulairement polarisées dans lesquelles on peut décomposer la polarisation 

linéaire incidente. 

Dans notre expérience, l’analyse de la polarisation du faisceau transmis par la cavité a montré clairement 

qu’il existe un seuil d’intensité intra-cavité au dessus duquel la polarisation, initialement linéaire, 

devient circulaire. Avant cette bascule, la polarisation reste linéaire à l’intérieur de la cavité et des effets 

très remarquables se produisent sur les fluctuations quantiques du faisceau réfléchi par la cavité: nous 

avons observé une réduction de bruit sous la limite quantique standard simultanément sur le mode 

de champ moyen et sur le mode vide de polarisation orthogonale. Nous verrons par la suite que le 

fait que deux modes du champ soient nécessaires pour décrire l’interaction atomes-rayonnement dans 

ce cas (contrairement à la situation avec polarisation incidente circulaire) constitue la grande richesse

3.2 Rotation auto-induite et origine physique de la réduction de bruit 67 

Laser Ti:Sa 

AOM's 

Faisceaux pièges 

Repompeur 

/2 

PBS1 

Faisceau 

pompe 

(R s=0,9) 

(R p=0,7) 

in T 

1=0.1 

T 

2=610 

A x 

A y 

in 

Atomes froids 

de césium 

-4 

Etude des 

résonances 

A x 

out 

A y 

out 

PZT 

Oscillateur 

local 

PBS2 

Mesure des fluctuations 

Fig. 3.1 – Configuration expérimentale adoptée 

de ce système. En effet, d’une part la réduction de bruit sur le mode vide peut s’interpréter en terme 

de réduction de bruit de polarisation (Polarization Squeezing) du faisceau réfléchi et, d’autre part, la 

réduction simultanée de bruit pour deux modes de polarisation indépendantes permet la production de 

faisceaux intriqués en quadrature et en polarisation (Quadrature and Polarization Entanglement). 

Pour avoir une compréhension claire de ces effets et en particulier de l’effet physique à l’origine 

de la réduction de bruit nous avons décrit ce système complexe par un modèle quantique basé sur 

l’approche de Heisenberg-Langevin qui considère des atomes à quatre niveaux en X interagissant 

avec le faisceau sonde linéairement polarisé (voir figure 3.2). 

 

3 

4 

 

 

 

1 2 

 

A + 

A - 

Fig. 3.2 – Transition atomique à quatre niveaux en X 

L’approximation effectuée est sans doute drastique, compte tenu de tous les effets réels qui sont 

négligés (faisceaux pièges, repompeur, profile transverse du faisceau sonde), néanmoins ce modèle


s’est révélé un outil approprié pour interpreter et prévoir les résultats expérimentaux. 

Je ne décrirai pas ici les détails du modèle qui se trouvent dans la référence [Josse 03a]. En 

revanche je présenterai qualitativement l’interpretation, issue du modèle, de la bascule de polarisation 

en terme de seuil d’oscillation laser pour le mode vide de polarisation orthogonale au champ moyen. 

D’une façon générale, à cause des phénomènes de pompage optique qui modifient la répartition 

des populations atomiques dans les sous-niveaux Zeeman du fondamental, un milieu atomique en X 

éclairé par un faisceau de polarisation elliptique peut présenter une biréfringence circulaire non-linéaire 

qui, à son tour, est responsable de la rotation de la direction de la polarisation du faisceau traversant le 

milieu. Cet effet est communément appelé "rotation auto-induite" (Self Rotation) [Rochester 01]. Supposons 

maintenant que la polarisation incidente sur le milieu atomique (schématisé par un système à 

quatre niveau en X ) est linéaire, comme dans notre cas (horizontale suivant l’axe x). Les deux composantes 

circulaires σ ± dans lesquelles elle se décompose, ayant la même intensité, ne perturbent 

en principe pas la distribution des populations sur les deux sous-niveaux du fondamental (voir la figure 

3.2). La biréfringence non linéaire reste donc nulle et les deux modes de polarisation circulaire 

subissent le même déphasage non linéaire. La polarisation reste linéaire et ne subit aucune rotation 

pendant la traversée du milieu atomique. Cette analyse néglige complètement les fluctuations de la 

polarisation ainsi que celles des populations atomiques: dans le milieu atomique réel la biréfringence 

non linéaire est plutôt un terme fluctuant avec valeur moyenne nulle et cela entraîne des fluctuations 

de la direction de la polarisation. La rotation de la polarisation du mode du champ moyen A x projette 

une partie de ce mode sur le mode vide orthogonal A y , ce qui crée un terme de gain pour ce 

mode [Boivin 96] (voir figure 3.3). 

y 

dA y SR 

SR 

 

x 

Fig. 3.3 – Interprétation des fluctuations de la polarisation en terme de gain pour le mode vide 

Dans notre configuration, grâce à la présence de la cavité, si ce gain est supérieur aux pertes, le 

mode vide A y peut osciller entraînant la bascule de la polarisation. 

Plus précisément, dans le cadre du modèle théorique que nous avons développé, l’équation d’evolution 

en cavité pour le champ vide A y peut s’écrire de cette façon: 

1 d 

κ dt δA 〈A x 〉 2 

y = −(1 + iδ cav )δA y + iδ 0 

|〈A x 〉| 2 δA∗ y (3-1) 

ou δ cav est le déphasage de la cavité et δ 0 correspond au déphasage atomique pour un système 

symétrique (polarisation linéaire et populations équiréparties); les deux quantités sont normalisées à 

la demi-largeur de la cavité. 

Cette équation a été obtenue dans l’approximation dite de pompage optique valable pour des 

grands désaccords (on élimine adiabatiquement les dipoles optiques et on néglige les populations des

3.2 Rotation auto-induite et origine physique de la réduction de bruit 69 

niveaux excités) et en négligeant les forces de Langevin (les détails concernant sa dérivation sont 

contenus dans la référence [Josse 03a]). 

Cette équation est analogue à celle d’un oscillateur paramétrique optique dégénéré (O.P.O.) sous 

le seuil d’oscillation [Milburn 81, Collet 84, Collet 85]: le mode vide orthogonal voit un gain non-linéaire 

qui dépend de la phase; le terme de gain, comme expliqué plus haut, provient de la rotation autoinduite. 

Dans la théorie des O.P.O. un terme formellement identique (le rôle du mode A x est joué par la 

pompe) permet de prévoir d’importantes réductions de bruit qui ont effectivement été observées dans 

les expériences. Sur la base de cette analogie formelle le phénomène de rotation auto-induite pourrait 

donc paraître comme très propice à la production d’états de vide comprimé grâce à la propagation 

d’un faisceau linéairement polarisé dans un milieu avec biréfringence non-linéaire, comme proposé 

dans [Matsko 02]. 

Cependant, l’analyse que nous avons présentée ici ne tient pas compte du bruit atomique. Or en 

régime de pompage optique, la rotation auto-induite est proportionnelle à l’orientation du fondamental 

(c’est à dire à la différence des populations des sous-niveaux du fondamental); elle est donc étroitement 

liée aux fluctuations de l’orientation qui affectent ainsi les fluctuations du mode vide du champ 

par l’intermédiaire du terme de couplage non linéaire. 

Le traitement rigoureux du bruit d’origine atomique montre clairement que l’excès de bruit associé 

aux processus de pompage optique est très important et masque complètement la réduction de bruit 

à laquelle on pourrait s’attendre en suivant l’analogie mentionnée précédemment. 

Pour expliquer théoriquement la réduction de bruit observé sur le mode vide nous devons donc 

faire appel à un autre effet physique. De fait, la saturation de chacune de deux transitions atomiques 

de la figure 3.2 conduit à une réduction de bruit par effet Kerr sur les deux composantes circulaires σ ± . 

Les relations de passage entre la base de polarisation circulaire et linéaire permettent de conclure que 

le mode du champ moyen A x et le mode vide A y sont aussi comprimés. L’analyse théorique montre 

aussi que, les deux transitions indépendantes étant symétriques, le spectre de bruit de composantes 

circulaires est identique. Cela implique que le modes A x et A y sont comprimés pour des quadratures 

orthogonales, comme confirmé dans l’expérience. La compression de bruit prévue par ce modèle se 

produit à des fréquences d’analyse assez grandes (de l’ordre du MHz), en accord avec l’expérience. 

Plus précisément si l’on considère des fréquences d’analyse des fluctuations grandes devant le taux 

de relaxation des dipoles optiques et le taux d’émission spontanée (limite dite de haute fréquence), les 

deux transitions de la figure 3.2, couplées par émission spontanée, deviennent équivalentes à deux 

transitions indépendantes à deux niveaux. 

Enfin il faut pouvoir négliger l’excès de bruit dû au pompage optique. Les temps caractéristiques de 

ce processus sont assez longs (de l’ordre de la dizaine de microsecondes) pour que ses effets soient 

négligeables il suffit donc de s’intéresser aux fluctuations quantiques du champ dans un domaine de 

fréquences grandes devant le taux de pompage optique (en pratique quelques MHz). 

En conclusion, le modèle théorique que nous avons développé rend compte des observations 

expérimentales de façon très satisfaisante, hors mis un excès de bruit qui affecte le spectre de bruit 

du champ moyen à très basse fréquence et qui est dû d’une part aux faisceaux pièges [Khoury 98] 

(la réduction de bruit sur la champ moyen est nettement améliorée lorsque la mesure est effectuée en 

coupant les faisceaux pièges) et d’autre part au champ magnétique parasite du piège magnéto-optique 

qui constitue une source de relaxation supplémentaire pour le système. Ces deux effets ne sont pas 

inclus dans le modèle. 

Surtout ce modèle nous a permis de comprendre l’origine physique de la réduction de bruit sur 

deux modes du champ et d’éclaircir le rôle joué par le phénomène de rotation auto-induite. Contrairement 

à ce qui avait été avancé par d’autres auteurs, celui-ci n’est pas à l’origine de la réduction de


bruit sur le mode vide orthogonal. C’est encore l’effet Kerr (effet Kerr pour le champ moyen et effet Kerr 

croisé pour le mode vide) qui est responsable des effets non classiques que nous observons dans les 

atomes. 

3.3 Réduction du bruit quantique de polarisation 

Comme nous l’avons vu au paragraphe précédent, l’interaction non-linéaire entre atomes et lumière 

dans notre système produit une réduction de bruit simultanée sur deux modes du champ électromagnétique. 

Nous nous concentrerons dans cette section sur la réduction de bruit du mode vide 

orthogonalement polarisé au champ moyen. Le meilleur résultat à été obtenu lorsque la polarisation 

reste linéaire à l’intérieur de la cavité et plus précisément lorsqu’on se place juste avant le seuil de 

bascule de la polarisation: la reduction de bruit mesurée sur une quadrature du mode vide est de 13% 

(18% corrigé des pertes). 

Le bruit de ce mode est communément appelé Bruit de Polarisation, en effet d’une façon intuitive il 

est possible de se convaincre que les fluctuations de ce mode affectent l’état de polarisation du champ. 

La mise en évidence de l’équivalence entre la compression des fluctuations d’une quadrature du mode 

vide orthogonal et la reduction du bruit de polarisation (Polarization Squeezing) requiert tout d’abord 

la définition rigoureuse de l’état quantique de polarisation du champ électromagnétique. 

3.3.1 Opérateurs de Stokes et définition d’état comprimé en polarisation 

En physique classique l’état de polarisation d’un champ est caractérisé à l’aide des paramètres 

de Stokes et est représenté par un vecteur dans la sphère de Poincaré. Par analogie, en physique 

quantique, l’état de polarisation d’un champ quantique est caractérisé grâce aux opérateurs de Stokes 

quantiques, définis à partir de leur homologues classiques [Chirkin 93, Korolkova 02]: 

Ŝ 0 = Â † xÂx + Â † yÂy (3-2) 

Ŝ 1 = Â † xÂx − Â † yÂy (3-3) 

Ŝ 2 = Â † xÂy + Â † yÂx (3-4) 

Ŝ 3 = i(Â † yÂx − Â † xÂy) (3-5) 

Â † x et Â x (respectivement Â † y et Â y ) représentent les opérateurs de création et d’annihilation d’un photon 

dans le mode du champ polarisé selon l’axe x (respectivement selon l’axe y). 

Les opérateurs de Stokes obéissent à des relations de commutations analogues à celles d’un moment 

angulaire: [Ŝ 0 ,Ŝ i ] = 0 et [Ŝ i ,Ŝ j ] = ε i jk 2iŜ k (i = 1,2,3). Du fait que ces opérateurs ne commutent 

pas, leur variances satisfont les inégalités de Heisenberg suivantes: ∆ 2 Ŝ i ∆ 2 Ŝ j ≥ |ε i jk 〈Ŝ k 〉| 2 . 

L’état de polarisation d’un champ quantique peut encore être représenté par un vecteur de composantes 

S 1 , S 2 , S 3 sur la sphère de Poincaré, mais à différence du champ classique, il sera caractérisé 

par un volume d’incertitude. 

Pour définir un état comprimé en polarisation il est de toute évidence nécessaire de disposer d’un 

état de référence. Cet état constituerait en effet l’analogue de l’état cohérent qui est utilisé comme 

référence lorsqu’on s’intéresse à la réduction de bruit des quadratures du champ. 

L’idée la plus directe consiste à utiliser comme référence l’état cohérent en polarisation, définis 

comme l’état pour lequel les deux modes A x et A y sont dans un état cohérent. On peut montrer 

[Korolkova 02] que pour un tel état les variances des opérateurs de Stokes sont toutes identiques 

et égales au bruit quantique standard du faisceau total. Un état est alors dit comprimé en polarisation 

si au moins une des variances de ses opérateurs de Stokes descend sous cette valeur de référence.

3.3 Réduction du bruit quantique de polarisation 71 

Cette définition a effectivement été adoptée dans plusieurs travaux [Korolkova 02, Bowen 02a] 

avant que l’on s’aperçoive qu’elle contient des incohérences. Le problème vient du fait que l’état cohérent 

en polarisation n’est pas un état minimal vis-à-vis des inégalités de Heisenberg introduites plus 

haut. Il peut donc se produire de situations paradoxales dans lesquelles un état serait comprimé en 

polarisation sans violer aucune des inégalités de Heisenberg. 

Un exemple, qui correspond d’ailleurs à la situation de notre expérience, servira à illustrer ce 

concept. Considérons un champ polarisé selon l’axe x; le vecteur de Stokes moyen est orienté suivant 

Ŝ 1 et on a 〈Ŝ 0 〉 = 〈Ŝ 1 〉 = αx 2 et 〈Ŝ 2 〉 = 〈Ŝ 3 〉 = 0, avec 〈Â x 〉 = α x réel. 

Dans ce cas la seule inégalité de Heisenberg non triviale est ∆ 2 Ŝ 2 ∆ 2 Ŝ 3 ≥ αx 4 . En revanche, aucune 

limitation n’est imposée par la mécanique quantique aux fluctuations de Ŝ 1 : les problèmes avec la 

définition précédente surgissent précisément à ce stade. En fait, si ∆ 2 Ŝ 1 est inférieur à αx 2 , sur la base 

de cette définition, on serait amené à conclure que le faisceau étudié présente une réduction du bruit 

de polarisation. En réalité, pour un faisceau polarisé suivant l’axe x, les fluctuations de l’opérateur 

de Stokes Ŝ 1 sont proportionnelles aux fluctuations d’amplitude du mode A x (voir définition de Ŝ 1 ): il 

s’agit donc simplement d’une réduction du bruit d’intensité qui n’affecte en rien l’état de polarisation du 

champ. Plus correctement, dans cette situation, on parlera de réduction du bruit de polarisation sous 

la limite quantique standard si ∆ 2 Ŝ 2 ou ∆ 2 Ŝ 3 sont inférieurs à la valeur de référence de l’état cohérent 

αx 2 . La discussion ci-dessus montre que, dans le cas particulier examiné, les inégalités de Heisenberg 

pertinentes concernent exclusivement les opérateurs de Stokes qui sont dans un plan orthogonal au 

vecteur de Stokes moyen. Ce résultat peut être généralisé au cas d’une polarisation moyenne quelconque 

et nous permet de poser la définition, communément acceptée, d’état comprimé en polarisation: 

il s’agit d’un état dont les fluctuations d’un opérateur de Stokes, orthogonal au vecteur de Stokes 

moyen, sont inférieures à celles de l’état cohérent avec la même intensité totale [Heersink 03]. 

3.3.2 Fluctuations du mode vide et réduction du bruit de polarisation 

Nous avons observé une réduction de bruit sous le bruit quantique standard de 18% pour une 

quadrature du mode vide orthogonal au champ moyen. Grâce au formalisme introduit dans le paragraphe 

précédent, nous montrerons que cela signifie que le faisceau considéré, après interaction avec 

le milieu atomique, présente une réduction du bruit de polarisation. 

Considérons de nouveau le cas de l’expérience. Le faisceau incident sur le nuage atomique est 

polarisé suivant l’axe x: en utilisant les définitions des opérateurs de Stokes les fluctuations de Ŝ 2 et Ŝ 3 

s’écrivent de cette manière: 

δŜ 2 = α x (δÂ † y + δÂ y ) (3-6) 

δŜ 3 = iα x (δÂ † y − δÂ y ) (3-7) 

où, par simplicité, on a pris réelle la valeur moyenne du champ moyen A x . Les fluctuations de ces 

opérateurs de Stokes sont donc proportionnelles aux fluctuations d’amplitude et de phase du mode 

vide orthogonal A y : cela démontre formellement l’équivalence entre "squeezing" de polarisation et 

"squeezing" en quadrature du mode vide orthogonal. Rappelons ici que, comme le vide n’a pas de 

phase privilégiée, parler de quadrature d’amplitude et de phase du mode vide est en toute rigueur un 

abus de language: dans ce contexte il faut les entendre par rapport à la phase du champ moyen qui 

en constitue la référence. 

Les expressions de δŜ 2 et δŜ 3 suggèrent une interprétation physique des fluctuations de ces 

opérateurs de Stokes, valable bien sûr seulement pour le cas spécifique considéré: δŜ 2 , proportionnel 

aux fluctuations d’amplitude du mode vide, est lié aux fluctuations de la direction de la polarisation;


δŜ 3 , proportionnel aux fluctuations de phase du mode vide, est lié aux fluctuations de l’ellipticité de la 

polarisation. 

3.3.3 Détection des opérateurs de Stokes 

Généralement les fluctuations quantiques des opérateurs des Stokes sont détectées directement, 

à l’aide des deux photodiodes équilibrées, un cube polariseur et des combinaisons adéquates de 

lames demi-onde et quart d’onde, sans utiliser d’oscillateur local [Korolkova 02]. Cela constitue une 

simplification certaine du schéma expérimental; cependant pour qu’une telle méthode de détection 

puisse fonctionner, il est indispensable de disposer d’un faisceau dont l’intensité totale ne soit pas trop 

faible. En pratique une détection directe est envisageable avec un faisceau d’au moins une centaine 

de microwatts. 

Lorsqu’on s’interesse aux atomes, les puissances en jeu sont souvent plus faibles. Dans notre 

expérience le faisceau qui interagit avec le nuage d’atomes froids a une puissance typique de 10µW . 

Dans ces conditions l’utilisation de la méthode directe devient impossible et nous avons donc été 

amenés à mettre au point une technique originale, faisant appel à un oscillateur local pour détecter les 

fluctuations des opérateurs de Stokes. 

En effet, comme nous l’avons vu plus haut, les fluctuations de δŜ 2 et δŜ 3 sont proportionnelles 

aux fluctuations des quadratures du mode vide A y que nous pouvons mesurer à l’aide d’une détection 

homodyne (voir le schéma expérimentale de la figure 3.1). Un calcul direct montre que, quand le 

mode vide est envoyé à la détection homodyne et ses quadratures mesurées, on peut exprimer le 

photocourant sortant de la façon suivante: 

δi hd ∝ cosθ hd δŜ 2 + sinθ hd δŜ 3 ≡ δŜ θhd (3-8) 

Ici θ hd représente la phase relative entre l’oscillateur local et le champ moyen A x . En faisant varier 

la phase de l’oscillateur local, nous avons donc accès aux fluctuations des différentes combinaisons 

linéaires des opérateurs Ŝ 2 et Ŝ 3 , c’est à dire aux fluctuations des opérateurs Ŝ θhd qui sont dans un 

plan orthogonal au vecteur de Stokes moyen (orienté suivant Ŝ 1 dans notre cas). 

Pour connaître exactement quel opérateur de Stokes présente des fluctuations comprimées audessous 

du bruit quantique standard, une information complémentaire est nécessaire: la phase relative 

θ hd entre oscillateur local et champ moyen doit être mesurée en même temps que les quadratures du 

mode vide. 

Le schéma expérimental de cette mesure est représenté sur la figure 3.4: on mélange sur le cube 

polariseur de la détection homodyne une portion de l’oscillateur local avec le champ moyen A x ; le 

signal d’interference, proportionnel à cosθ hd , est détecté par une photodiode et envoyé avec le signal 

issu de la détection homodyne à un oscilloscope en mode XY . 

Fig. 3.4 – Principe de la détection des fluctuations des paramètres de Stokes

3.3 Réduction du bruit quantique de polarisation 73 

On obtient des courbes de Lissajous caractéristiques qui nous permettent de determiner l’opérateur 

de Stokes comprimé (trois exemples sont reportés sur la figure 3.5). 

S 3 

(a) 

S 2 

S 2 

cos sq 

S 3 

(b) 

S 2 

S 2 

cos sq 

(c) 

S 2 

S 2 

S 3 

0 

 

cos ( dh ) 

 

 

 

Phase hd 

Fig. 3.5 – Bruit de polarisation mesuré pour différentes valeurs de la puissance du faisceau incident 

Lorsque θ hd vaut π (respectivement π/2 ) les fluctuations de Ŝ 2 (respectivement Ŝ 3 ) sont mesurés. 

Les valeurs intermédiaires fournissent les fluctuations de Ŝ θhd . Dans la courbe (c) le paramètre Ŝ 3 présente 

des fluctuations comprimées sous le bruit quantique standard (environ 15%) : comme expliqué 

précédemment, à cause du fait que le faisceau incident sur le nuage d’atomes est polarisé suivant 

l’axe x, les fluctuations de Ŝ 3 correspondent aux fluctuations de l’ellipticité de la polarisation du faisceau. 

Cela signifie que, dans les conditions de la courbe (c), l’ellipticité de la polarisation du faisceau 

après avoir interagi avec les atomes est mieux définie que celle d’un état cohérent. 

En conclusion, nous avons montré que, grâce à l’interaction non linéaire entre un faisceau polarisé 

linéairement et un nuage d’atomes froids, on peut produire deux modes comprimés du champ électromagnétique: 

le champ moyen et le mode vide orthogonal. Nous avons montré l’équivalence entre


réduction du bruit de polarisation et compression du bruit de quadrature (Quadrature Squeezing) du 

mode vide et nous avons développé une méthode originale pour la détection des opérateurs de Stokes 

associés à des faisceaux de faible puissance, en utilisant un oscillateur local [Josse 03b]. 

3.4 Génération d’états intriqués 

Les états intriqués sont définis comme des états quantiques décrivant un système composé des 

deux parties séparables dont la fonction d’onde |ψ〉 ne peut s’écrire comme le produit tensoriel des 

états quantiques |ψ 1 〉 et |ψ 2 〉 de chaque sous-système. 

Ces états revêtent une importance fondamentale en mécanique quantique. Depuis la naissance 

de cette théorie, l’intrication a été considérée comme une de plus spectaculaires manifestation du caractère 

définitivement non classique de la mécanique quantique. En effet le concept d’intrication est 

intimement lié à celui de non-localité. Cela fut mis en evidence pour la première fois par Eistein, Podolski 

et Rosen, avec la formulation du fameux paradoxe EPR [Einstein 35], qui se base sur l’hypotèse 

de réalisme local et qui, refusant l’existence d’actions à distance, suggère le caractère incomplet de la 

description que la mécanique quantique donne du monde physique. 

Le débat autour de cette question fondamentale est resté limité au domaine des spéculations 

philosophiques jusqu’à l’apparition des travaux de Bell et à la formulation des ses célèbres inégalités 

[Bell 64]. Tout système physique se conformant à l’hypothèse de réalisme local doit les vérifier. 

L’expérience d’Aspect [Aspect 82] montra que les corrélations entre les photons émis par cascade 

radiative dans le calcium violent ces inégalités, démontrant donc le caractère intrinsèquement nonlocal 

de la mécanique quantique. 

Dans le domaine de l’optique quantique en variables continues, suivant la proposition théorique de 

Reid [Reid 89], la première démonstration expérimentale des faisceaux présentant des corrélations de 

type EPR fut réalisée à l’aide des faisceaux signal et complémentaire issus d’un oscillateur paramétrique 

optique [Ou 92]. 

Actuellement, le grand intérêt autour des systèmes capables de produire de tels faisceaux est 

motivé par leur utilisation dans les protocoles d’information quantique (téléportation, cryptographie 

quantique). 

Plusieurs critères ont été développés pour déterminer le caractère quantique des corrélations observés 

expérimentalement. Pour quantifier les corrélations quantiques produites par notre système et 

démontrer la génération des faisceaux intriqués, nous utiliserons dans les paragraphes suivants le 

critère de non-séparabilité récemment dérivée par Duan [Duan 00a]. 

3.4.1 Intrication et réduction de bruit dans un système à deux modes 

Notre système produit deux modes de polarisation orthogonale comprimés sous le bruit quantique 

standard. Cela suggère la possibilité de trouver deux autres modes orthogonalement polarisés, 

combinaison linéaire adéquate des deux premiers modes, qui présentent des corrélations au niveau 

quantique. 

Pour formaliser cette idée, nous avons développé une méthode générale qui permet de trouver 

l’intrication maximale dans un système à deux modes [Josse 04a]. Ici nous ne sommes pas intéressés 

à décrire l’interaction produisant un faisceau lumineux aux propriétés quantiques particulières mais 

notre but est plutôt de caractériser ces propriétés et de comprendre la relation entre intrication et 

réduction de bruit dans un système à deux modes. 

Considérons deux modes A a et A b , polarisés orthogonalement; à partir des opérateurs de quadra-

3.4 Génération d’états intriqués 75 

ture (tournés d’un angle θ dans le repère de Fresnel) de ces modes 

X α (θ) = A α e −iθ + A † α eiθ , Y α (θ) = X α (θ + π/2) (α = a,b) (3-9) 

il est possible de définir des opérateurs de type EPR [Einstein 35], qui s’écrivent sous la forme: 

[X a + X b ], [Y a −Y b ]. Pour caractériser l’intrication entre deux modes nous utilisons le critère dérivé 

récemment par Duan [Duan 00a] et Simon [Simon 00] qui, pour des états gaussiens, fournit une condition 

suffisante. Ce critère établit que deux modes sont non-séparables si la somme des variances des 

opérateurs EPR précédemment définis est inférieur à une valeur de référence qui correspond au cas 

où les deux modes sont dans un état cohérent. Son expression est la suivante: 

I a,b (θ) = 1 2 

[ 

δ(Xa + X b ) 2 (θ) + δ(Y a −Y b ) 2 (θ) ] < 2 (3-10) 

Pour trouver l’intrication maximale il faut donc minimiser la quantité I a ,b(θ) par rapport à θ,a et b. 

Réécrivant (3-10) en fonction des opérateurs de quadratures (3.4.1) on obtient: 

I a,b (θ) = 〈δA † aδA a + δA a δA † a + δA† b δA b + δA b δA † b 〉 + 4|〈δA aδA b 〉|cos[2(θ − θ a,b )] (3-11) 

où θ a,b est la phase of 〈δA a δA b 〉. Le minimum est donné par θ = θ a,b ± π/2 et vaut: 

I a,b = min 

θ I a,b(θ) = 〈δA † aδA a + δA a δA † a + δA † b δA b + δA b δA † b 〉 − 4|〈δA aδA b 〉| (3-12) 

Lorsqu’on cherche à quantifier l’intrication entre deux modes il est souhaitable d’utiliser une quantité 

qui soit indépendante des transformations locales unitaires qu’on pourrait effectuer sur les deux 

modes séparément (essentiellement des déphasages relatifs). Cette propriété est vérifiée par I a,b 

(voir 3-12); de plus il a été récemment démontré [Giedke 03] que cette quantité, pour des états gaussiens 

symétriques (c’est à dire avec les mêmes propriétés de bruit), est directement reliée à l’intrication 

de formation et constitue donc une mesure de l’intrication des deux modes. 

Il reste maintenant à trouver la base de polarisation pour laquelle la quantité I a,b est minimale. 

Les modes correspondants, qu’on indiquera a ∗ et b ∗ seront alors les plus intriqués du système. Le 

premier terme de (3-12) représente la trace de la matrice de corrélation des modes a et b et il est 

donc invariant par changement de base de polarisation. Les propriétés d’intrication des ces modes 

sont donc complètement déterminées par le terme de corrélation |〈δA a δA b 〉| qu’il faut maximiser. 

Cette operation est notablement simplifiée si l’on passe dans une base de polarisation particulière. 

Cette base se compose de deux modes orthogonalement polarisés A u et A v pour lesquels la relation 

〈δA u δA v 〉 = 0 est vérifiée. Ces deux modes ne sont pas strictement décorrélés, cependant vis-à-vis 

du critère de non-séparabilité ils peuvent être considérés comme tels. On peut démontrer qu’il existe 

toujours une telle base. De plus on peut lever toute ambiguïté sur son choix imposant que les modes 

A u et A v aient leur bruit minimal sur la même quadrature Y . Comme nous sommes intéressés ici 

seulement aux correlations entre les ellipses de bruit de deux modes, indépendamment du champ 

moyen, cette situation peut toujours être réalisée grâce à des déphasages relatifs adéquats entre les 

deux modes: cela revient à faire tourner une ellipse par rapport à l’autre pour les orienter de la même 

façon (voir figure 3.6). 

On peut aussi montrer que les modes A u et A v ne sont jamais intriqués et sont les moins corrélés 

du système. 

En appliquant la relation de changement de base de polarisation, 

A a = βA u − αe iφ A v (3-13) 

A b = αA u + βe iφ A v (3-14)


Y 

Y v 

X v 

Y u 

A v 

A u 

X u 

X 

Fig. 3.6 – Représentation des ellipses de bruit de deux modes dans le diagramme de Fresnel: les bruits minimaux 

correspondent à la même quadrature Y 

le terme de corrélation dans (3-12) devient: 

|〈δA a δA b 〉| 2 = α 2 β 2 [ 〈δA 2 u 〉2 + 〈δA 2 v 〉2 − 2〈δA 2 u 〉〈δA2 v 〉cos 2φ ] (3-15) 

Il est maximal pour φ = π/2 [π] et α = β = 1/ √ 2. Ce qui donne pour les modes les plus intriqués la 

relation suivante: 

A a ∗ = 1 √ 

2 

( A u − iA v ) (3-16) 

A b ∗ = 1 √ 

2 

( A u + iA v ) (3-17) 

Par analogie avec la relation de passage entre modes polarisés linéairement et modes polarisés circulairement, 

on peut résumer ce résultat en disant que les modes les plus intriqué du système, a ∗ et 

b ∗ sont les modes polarisés "circulairement" par rapport aux modes u et v. 

Le terme de corrélation pour le modes les plus intriqués s’écrit en fonction de modes u et v comme: 

|〈δA a ∗δA b ∗〉| = max 

a,b |〈δA aδA b 〉| = 1 2 [ 〈δA2 u〉 + 〈δA 2 v〉 ] 

Grâce à ce résultat nous pouvons enfin écrire l’intrication maximale du système comme la somme des 

bruits minimaux des modes u et v: 

I a ∗ ,b ∗ 

≡ min 

a,b I a,b = 〈δX 2 u 〉 min + 〈δX 2 v 〉 min (3-18) 

Le résultat remarquable que nous avons obtenu peut être résume de la manière suivante: les modes 

polarisés circulairement par rapport aux modes u et v exhibent l’intrication maximale du système et 

la valeur de cette intrication est égale à la somme des bruits minimaux des modes u et v. Ce résultat 

formalise donc le lien entre la réduction de bruit et l’intrication dans un système à deux modes. 

Il est intéressant d’interpréter les résultats formels qu’on vient de présenter en s’inspirant de la 

procédure la plus utilisée expérimentalement pour produire des états intriqués. Il est en effet possible 

d’exploiter la réduction de bruit sur deux modes indépendants du champ et de la transformer en intrication. 

Pour ce faire, on mélange sur une lame séparatrice 50/50, en introduisant au préalable un 

déphasage relatif de π/2, deux modes comprimés sur la même quadrature. Cette opération mélange 

les quadratures comprimée et bruyante de deux modes: les modes sortants présentent un excès de 

bruit fortement corrélé et ils sont donc intriqués (voir figure 3.7(c)). 

Or, la relation de passage entre différentes bases de polarisation et celle correspondant à la traversée 

d’une lame partiellement réfléchissante sont équivalentes, comme représentée sur la figure 3.7(a).


La transformation (3-16, 3-17) qui donne l’expression des modes de polarisation les plus intriqués en 

fonction des modes u et v fait précisément l’opération qu’on vient de décrire: elle mélange les deux 

modes de polarisation comprimés sur la même quadrature avec un déphasage de π/2 entre les deux 

(en pratique cela est effectué à l’aide d’une lame quart d’onde). Les deux modes u et v jouent donc le 

rôle des modes indépendants. 

La figure 3.7(b) illustre la situation où les deux modes comprimés sont mélangés sans déphasage 

relatif: la réduction de bruit est conservée. 

Avant de passer à la description de l’expérience, il est importante de souligner que l’analyse que 

nous avons développée fournit une méthode générale pour la détermination des corrélations maximales 

produites par un système à deux modes qui exhibe des propriétés quantiques. Cette méthode 

se révèle très utile pour l’étude d’une classe de systèmes pour lesquels les corrélations ne proviennent 

pas du mélange de modes indépendants mais sont produites par le système lui-même, considéré 

comme une boîte noire. Expérimentalement, il suffit en effet de trouver les modes u et v, caractérisés 

par le fait que la valeur de I u,v ne depend pas de θ, pour retrouver les modes les plus intriqués du 

système. L’oscillateur paramétrique optique est un de ces systèmes et au laboratoire cette méthode a 

été effectivement utilisé dans l’équipe de Claude Fabre [Longchambon 03]. 

3.4.2 Intrication en quadrature 

Cette section est consacrée à la description de l’expérience qui nous a permis de générer des 

états intriqués en quadrature. Je ne rentrerai pas dans les détails qui se trouvent dans les références 

[Josse 04a, Josse 04b]. Je m’efforcerai plutôt d’illustrer le principe de la mesure et son originalité. 

L’objectif qu’on se propose est de mesurer le critère de non séparabilité de Duan et de déterminer 

les modes les plus intriqués produits par l’interaction non linéaire dans notre système. À cet effet on 

peut remarquer qu’il est possible de ré-formuler le critère de Duan pour deux modes orthogonaux a 

et b et l’écrire comme la somme de variances des quadratures de deux modes 1 et 2 (a et b sont les 

modes polarisés "circulairement" par rapport aux modes 1 et 2). On a donc: 

I a,b (θ) = 1 2 

[ 

δ(Xa + X b ) 2 (θ) + δ(Y a −Y b ) 2 (θ) ] = 〈δX 2 1 (θ)〉 + 〈δX 2 2 (θ)〉 (3-19) 

avec A 1 = 1 √ 

2 

(A a + A b ) (3-20) 

A 2 = i √ 

2 

(A a − A b ) (3-21) 

Cette nouvelle formulation du critère de Duan est particulièrement intéressante parce qu’elle nous 

suggère la technique pour mesurer directement la valeur de I a,b (θ): il faut mesurer simultanément la 

même quadrature des deux modes A 1 et A 2 . Cela peut se faire aisément: les modes A 1 et A 2 , étant 

polarisés orthogonalement, peuvent être séparés à l’aide d’une combinaison adéquate de lames à 

retard de phase et cube polariseur; sur le même cube, chaque mode est mélangé avec un oscillateur 

local et envoyé dans une détection homodyne; les deux détections homodynes sont réglées de façon 

à mesurer le bruit de la même quadrature pour les deux modes. Enfin, la somme des deux spectres 

de bruit donne directement la valeur de I a,b (θ). 

Il est important de souligner ici que la méthode généralement utilisée pour determiner les correlations 

de type EPR [Reid 89, Ou 92, Bowen 02b], basé sur la séparation des modes a et b, nécessite 

deux mesures successives (une pour chaque quadrature); l’originalité de notre méthode consiste précisément 

dans le fait qu’elle se base sur une seule mesure simultanée. La différence entre les deux 

méthodes est illustrée sur la figure 3.8.


A u A v 

A a 

A u 

/2 

/4 

A b 

A a 

A v 

 

2 / 

2 

A a 

PBS 

A b 

A b 

(c) 

Fig. 3.7 – Interprétation des corrélations. (a) Equivalence entre les transformations correspondantes à la traversée 

d’une lame partiellement réfléchissante et à la rotation de la base de polarisation. (b) Conservation 

de la réduction de bruit pour les modes mélangés sans déphasage. (c) Génération de modes intriqués 

par interference des modes comprimés sur des quadratures orthogonales.


Faisceau 

à 

mesurer 

Oscillateur 

local 

b 

(a) 

A b 

A a 

A b 

OL 

Oscillateur 

local 

a 

A a 

OL 

A a 

A b 

Détection 

homodyne 

b 

X ( ) 

b 

Détection 

homodyne 

a 

X ( ) 

a 

AS 

2 

X ( ) X ( )) > 

a 

a 

Faisceau 

à 

mesurer 

(b) 

A b 

A a 

/2 à 22,5° 

/4 à 0° 

Oscillateur 

local 

A x 

OL 

A y 

OL 

A 2 A 1 

A y 

OL 

A x 

OL 

A 1 

A 2 

Détection 

homodyne 

2 

AS 2 

2 

X ( )> 

2 

Détection 

homodyne 

1 

AS 1 

2 

X ( )> 

1 

I a,b 

( ) 

Fig. 3.8 – Méthodes de mesure des corrélations de type EPR. (a) Méthode basée sur la séparation spatiale 

des modes a et b. Deux mesures successives sont nécessaires. (b) Méthode directe avec une seule 

mesure.


Nous avons vu dans les sections précédentes que notre système produit deux modes comprimés 

sous le bruit quantique standard: le mode champ moyen A x et le mode vide orthogonal A y . Nous avons 

constaté expérimentalement que ces modes sont comprimés pour des quadratures orthogonales et 

que la valeur de leur intrication I x,y (θ) ne depend pas de θ. Ces propriétés sont prédites par le 

modèle théorique qui décrit notre système et proviennent du fait que, dans la limite de haute fréquence, 

ce système est symétrique par rapport aux modes polarisés circulairement A + et A − . 

Si l’on déphase le mode A y de π/2, les modes ainsi obtenus, A x et iA y constituent une base 

de polarisation de type (u,v). L’application du formalisme précédemment développé nous permet de 

conclure immédiatement que les mode A +45 et A −45 , polarisés à ±45 degrés par rapport à la base 

(x,y) sont les modes les plus intriqués produits par notre système. La mesure de leur intrication a fourni 

I +45,−45 (θ) = 1.9, qui correspond bien à la réduction de bruit mesurée pour les deux modes A x et 

A y (environ 5% chacun). Cette mesure confirme la production de modes de polarisation orthogonal 

non-séparables dans notre système. 

3.4.3 Intrication en polarisation 

Dans cette section je montrerai que l’intrication de quadrature produite par le système peut être 

utilisée pour générer deux faisceaux intriqués en polarisation. 

Le concept d’intrication de polarisation s’applique à deux modes de polarisation α et β séparés 

spatialement. À chaque faisceau est associé un ensemble des paramètres de Stokes. Lorsque ces 

faisceaux sont parfaitement polarisés, il est possible de généraliser le critère d’inséparabilité à une 

paire de ces opérateurs [Korolkova 02,Bowen 02b,Josse 04b]. On a donc intrication en polarisation si: 

Iα,β S = 1 2 [〈δ(Sα 2 + Sβ 2 )2 〉 + 〈δ(S3 α + Sβ 3 )2 〉] < |〈[S2 α ,Sα 3 ]〉| + |〈[Sβ 2 ,Sβ 3 

]〉| (3-22) 

Ce critère est plus complexe que le précédent: en particulier, à cause des relations de commutation 

cycliques auxquelles obéissent les opérateurs de Stokes, le critère dépend de l’état de polarisation 

des faisceaux α et β . 

Avant de formaliser la procédure pour la génération d’intrication en polarisation, on peut essayer de 

s’en former une représentation physique. Nous disposons des faisceaux intriqués en quadrature, c’est 

à dire des faisceaux qui présentent de fortes corrélations au niveau quantique entre certaines quadratures; 

par ailleurs nous avons vu dans la section consacrée à la réduction du bruit de polarisation 

que l’état de polarisation d’un faisceau et en particulier ses propriétés quantiques sont complètement 

déterminé par les caractéristiques de bruit du mode vide orthogonal au champ moyen. On sait aussi 

qu’on peut modifier le bruit de polarisation d’un faisceau cohérent parfaitement polarisé en remplaçant 

les fluctuations du mode vide orthogonal cohérent par celles d’un mode vide comprimé: il suffit pour 

cela de les mélanger sur un cube polariseur (il s’agit d’une des méthodes pour produire des états 

comprimés en polarisation). De la même manière, on peut transposer cette méthode pour la production 

non plus de squeezing de polarisation mais d’intrication: on mélange deux faisceaux cohérents 

intenses de polarisations orthogonales avec deux faisceaux de faible intensité intriqués en quadrature, 

avec les polarisations appropriées. Cette opération modifie l’état de polarisation de chacun des deux 

faisceau intenses, en lui transférant les fortes corrélations portées par les faisceaux intriqués en quadrature. 

L’état de polarisation d’un champ étant caractérisé par ses paramètres de Stokes, on prévoit 

d’observer des fortes corrélations entre les paramètres de Stokes des deux faisceaux. 

Dans notre expérience nous mélangeons sur un cube polariseur deux modes de polarisation orthogonale 

intriqués en quadrature A a et A b (les modes à ±45 degrés de la section précédente) avec 

un faisceau cohérent intense B (voir figure 3.9).


Modes intriqués 

en quadrature 

A b 

A a 

B x 

B x 

Faisceau 

intense 

B y 

A b 

Faisceau 

Intrication 

en 

polarisation 

B y 

A a 

Faisceau 

Fig. 3.9 – Principe de production d’états intriqués en polarisation. 

Après le cube on a deux faisceaux, α et β , composés des modes A a et B y sur une sortie, A b et B x 

sur l’autre sortie. Les paramètres de Stokes pour ces deux faisceaux sont: 

S α 1 = A † aA a − B † yB y S β 1 = B† xB x − A † b A b 

S α 2 = A a B † y + A † aB y S β 2 = A† b B x + A b B † x 

S α 3 = i(A a B † y − A † aB y ) S β 3 = i(A† b B x − A b B † x) 

On indique avec α B , α a , α b les amplitudes des champs B, a et b respectivement. θ B désigne la phase 

du champ B. Grâce au fait que le champ B est beaucoup plus intense que les champs A a et A b (α B ≫ 

α a ,α b ), les deux faisceaux sortant du cube polariseur sont polarisés orthogonalement (α suivant l’axe 

x et β suivant l’axe y), on a donc: 〈S1 α〉 = −〈Sβ 1 〉 = −α B 2 . Dans ces conditions le critère d’intrication en 

polarisation (3-22) s’écrit: 

Iα,β S < 2α2 B (3-23) 

Toujours en exploitant le fait que le champ B est très intense on peut montrer que les fluctuations des 

paramètres de Stokes des faisceaux α et β sont proportionnelles aux quadratures des modes A a et 

A b . 

δS α 2 = α B δX a (θ B ), δS β 2 = α BδX b (θ B ) 

δS α 3 = −α B δY a (θ B ), δS β 3 = α BδY b (θ B ) 

Le critère d’inséparabilité en polarisation est alors directement proportionnel à l’intrication en quadrature 

des modes A a et A b : 

I S α,β = α2 B I a,b (θ B ) (3-24) 

Si on fixe la phase θ B du faisceau B par rapport aux modes A a et A b afin d’obtenir I a,b (θ B ) < 2 les 

faisceaux α et β sont alors intriqués en polarisation. 

Nous avons mesuré successivement les fluctuations des paramètres de Stokes S 2 et S 3 des faisceaux 

α et β en utilisant la combinaison adéquate de lames à retard de phase. Les résultats obtenus 

sont consistants avec l’intrication en quadrature mesurée précédemment et confirment la génération 

des faisceaux intriqués en polarisation.


3.5 Perspectives 

Dans ce chapitre j’ai présenté l’étude approfondie que nous avons effectuée de l’interaction entre 

un faisceau laser linéairement polarisé et un nuage d’atomes froids en cavité. Dans cette étude nous 

nous sommes concentrés sur les propriétés quantiques acquises par le champ électromagnétique 

grâce à l’interaction non linéaire avec les atomes. Les résultats obtenus (réduction du bruit de polarisation, 

intrication quantique) ainsi que la description théorique du système développée constituent 

des étapes importantes dans la compréhension générale des interaction atomes-rayonnement. Dans 

ce contexte le point de vue complémentaire assume une extrême importance: étudier comment l’interaction 

avec la lumière modifie les fluctuations des grandeurs atomiques. 

Actuellement, un enjeu majeur dans le domaine de l’information quantique est la réalisation d’une 

mémoire pour l’état quantique d’un faisceaux lumineux. En effet, si les photons constituent les moyens 

de transport idéaux pour l’information quantique, néanmoins il reste difficile de stocker leur état. 

Dans un futur réseau de communications quantiques il apparaît clairement qu’une mémoire quantique 

est indispensable: les mémoires joueraient un rôle central, permettant le stockage et puis la relecture 

de l’information véhiculée par des faisceaux lumineux. En particulier, pour les communications à 

longues distance elles permettraient la mise en place de répéteurs quantiques. 

L’utilisation d’ensembles atomiques pour la réalisation d’une mémoire quantique pour l’état du 

champ est très prometteuse et nombreuses études ont été effectuée sur ce sujet [Duan 00b,Lukin 03]. 

En particulier le spin collectif associé aux sous-niveaux du fondamental d’un ensemble d’atomes à trois 

niveaux en Λ, grâce à sa longue durée de vie, apparaît comme un bon candidat pour la manipulation 

et le stockage de l’information quantique. Différentes configurations ont déjà été étudiées. Nous en 

citons trois, mais aucune d’entre elles n’a donné lieu à des réalisations expérimentales décisives. 

D’une part les expériences récentes de lumière ralentie et de lumière arrêtée [Lukin 00, Liu C. 01] 

ont montré qu’il est possible de stocker une impulsion lumineuse dans une vapeur atomique et puis 

de la régénérer. Ce type de stockage est fondé sur la transparence induite électromagnétiquement 

(E.I.T.) dans des atomes à trois niveaux en Λ. Ces systèmes se comportent donc comme de véritables 

registres mémoires pour l’impulsion optique. Cependant, le stockage et la régénération ont été 

démontrés seulement pour les grandeurs classiques de l’impulsion et aucun test n’a été fait pour les 

grandeurs quantiques. 

D’autre part, le transfert d’un état quantique du champ (vide comprimé) dans le spin collectif d’un 

ensemble atomique ainsi que l’intrication de deux ensembles atomiques ont été démontrés expérimentalement 

dans une configuration Raman hors resonance [Julsgaard 01, Schori 02, Julsgaard 04]. 

Cependant l’efficacité du transfert reste très faible (de l’ordre du pour cent). 

Enfin, la possibilité de transférer l’état quantique d’un champ et, en particulier d’un champ à bruit 

comprimé, aux grandeurs atomiques et de réduire ainsi les fluctuations d’une composante du spin 

collectif d’un ensemble atomiques (SpinSqueezing) rend ces systèmes très intéressants pour les 

applications dans le domaine de la métrologie, essentiellement dans la perspective d’améliorer la 

précision des horloges atomiques. Bien que de nombreuses études aient été effectuées sur ce sujet 

[Wineland 94, Kuzmich 00], aucune application n’a encore été réalisée. 

Dans ce context, depuis quelques années, dans le groupe d’optique quantique du laboratoire, on 

étudie du point de vue théorique les effets de l’interaction atome-champ sur les grandeur atomiques. 

Dans un premier temps, différentes méthodes pour produire une réduction de bruit sur les variables 

atomiques, grâce à l’interaction entre un faisceau laser et un ensemble d’atomes placé dans une cavité 

optique ont été explorées théoriquement [Vernac 00]. 

Ensuite, en relation avec les expériences de lumière ralentie un ensemble d’atomes à trois niveaux 

en Λ interagissant avec deux champs en cavité a été étudié. Nous avons d’abord étudié la possibi-

3.5 Perspectives 83 

lité de comprimer les fluctuations atomiques avec des champs cohérents. Dans ce premier schéma, 

les atomes interagissent avec un champ quantique (sonde) en cavité et un champ classique intense 

(pompe) en simple passage. Pour de grands désaccords (configuration Raman), le système à trois niveaux 

équivaut à un système à deux niveaux effectifs dans lequel le spin associé aux sous-niveaux |1〉 

et |2〉 du fondamental peut présenter des fluctuations comprimées d’environ 30% lorsque l’interaction 

non-linéaire avec les champs est suffisante [Dantan 03]. Par rapport à des atomes à deux niveaux, la 

configuration en Λ permet d’obtenir plus aisément une forte interaction non-linéaire et présente l’avantage 

de comprimer un spin atomique associé aux sous-niveaux fondamentaux, donc de longue durée 

de vie. Toutefois, cette compression reste limitée même lorsqu’on augmente arbitrairement l’interaction 

non-linéaire ("coopérativité"). 

Nous avons alors étudié une situation un peu plus complexe en considérant un schéma en double 

Λ dans lequel les atomes interagissent également avec un troisième champ résonnant avec les transitions 

à un et deux photons (E.I.T.). Ce champ permet de pomper de manière non dissipative les 

atomes dans l’état noir (|1〉 + |2〉)/ √ 2. Ce pompage augmente la valeur moyenne du spin atomique, 

alors que la cavité permet de comprimer les fluctuations du champ intracavité, réduisant ainsi fortement 

les fluctuations relatives du spin atomique. La compression de bruit n’est alors plus limitée quand 

la coopérativité augmente, et des réductions de bruit de l’ordre de 90% peuvent être atteintes pour des 

paramètres expérimentaux raisonnables. 

Plus récemment, dans le cadre d’une ACI que je co-ordonne, nous avons mis au point un schéma 

potentiel de mémoire quantique atomique, dans lequel un ensemble d’atomes à trois niveaux en Λ 

interagit dans une cavité optique avec un champ pompe dans un état cohérent et un champ sonde 

dans un état "vide comprimé". L’interaction avec les champs permet de transférer de manière quasiparfaite 

l’état du champ sonde au spin équivalent constitué par les deux sous-niveaux fondamentaux. 

Après coupure des champs, les atomes sont dans un état comprimé de longue durée de vie, ce qui 

constitue une mémoire quantique. L’état atomique comprimé peut alors être "lu", c’est-à-dire, transféré 

au champ sonde sortant de la cavité, en rallumant le champ pompe. De plus, nos calculs montrent que 

les deux configurations étudiées actuellement, "E.I.T. " ou "Raman", sont équivalentes au niveau de la 

conservation des grandeurs quantiques [Dantan 04a]. 

Nous avons aussi montré que, grâce à ce transfert très efficace, il est possible d’intriquer deux 

ensembles atomiques à l’aide de deux faisceaux EPR et, enfin, qu’un protocole de téléportation de 

l’état quantique d’un ensemble atomique peut être réalisé [Dantan 04b, Dantan 04c]. 

La démonstration expérimentale d’un transfert quantique entre atomes et champ, dans le schéma 

que nous proposons, qui constituerait un premier pas vers l’implémentation d’une mémoire atomique, 

n’a pas encore été réalisée. Nous nous proposons de réaliser cette expérience dans le nuage d’atomes 

froids de césium dont nous disposons. Toutefois, cela demande au préalable des modifications importantes 

de notre schéma expérimental. 

Tout d’abord il faut isoler dans le césium une transition en Λ: les transition du césium qu’on envisage 

d’utiliser sont des transitions entre sous-niveaux Zeeman du fondamental 6S,F = 3 et de l’état 

excité 6P,F = 2. Les champ pompe et le champ sonde seront polarisés respectivement σ + et σ − . 

Compte tenu du pompage optique, l’ensemble doit se comporter comme un système à trois niveaux 

interagissant avec deux champs. Pour nous affranchir du bruit parasite dû aux faisceaux pièges, nous 

allons réaliser un piège magnéto-optique fonctionnant selon la technique du "dark spot" dans lequel les 

atomes piégés n’interagissent plus avec les faisceaux pièges. Dans la configuration finale de l’expérience 

les faisceaux pièges seront produits par des diodes lasers stabilisées et asservies en fréquence. 

Le champ pompe est un champ cohérent émis par un laser Titane:Saphir. Le champ pompe, 

comme indiqué par l’analyse théorique, doit être dans un état vide comprimé. Nous avons donc dé-


marré la réalisation d’une source de vide comprimé à 852 nm: il s’agit d’un oscillateur paramétrique 

optique fonctionnant sous le seuil et à dégénérescence. La radiation bleue à 426 nm nécessaire à 

pomper un tel dispositif sera obtenue par doublage de fréquence du laser Titane:Saphir. Bien que les 

principes de base pour la réalisation du doublage et de la conversion paramétrique soient bien connus, 

la réalisation de ces deux sources est loin d’être un objectif de routine à cause de la longueur d’onde 

de fonctionnement inhabituelle; en effet la plus part des O.P.O. est réalisée à 1064 nm et seulement 

deux groupes dans le monde sont dotés des sources de ce type à 852 nm [Polzik 92b, Hald 99]. De 

plus, ces sources utilisent des cristaux non linéaires de KNbO 3 (niobate de potassium) dont la température 

d’accord de phase à 852 nm est de 5 C ◦ , ce qui comporte des difficultés techniques non 

négligeables (cristal en atmosphere contrôlée ou sous vide). Pour éviter ces inconvénients nous avons 

décidé d’utiliser pour la cavité de doublage et pour l’O.P.O. de type I un cristal de PPKTP (periodically 

poled KTP): l’accord de phase non critique est alors obtenu à température ambiante. Un tel O.P.O. 

constituerait donc une première mondiale. Les simulations effectuées montrent qu’on devrait obtenir 

une efficacité de doublage d’au moins 50%. Concernant l’O.P.O., si les pertes pour signal et complémentaire 

sont faibles, ce qui est optimal pour la réduction du bruit, quelques difficultés pourraient 

venir de l’absorption de la pompe à 426 nm et des instabilités thermiques qui pourraient en découler. 

De solutions alternatives avec d’autres cristaux (tantalate de potassium) sont à l’étude. L’O.P.O de 

type I produit un faisceau comprimé en quadrature et il sera donc utilisé pour tester les prévisions 

théoriques concernant le transfert de "squeezing" champ-atomes. L’étape successive comportera la 

réalisation d’un O.P.O. de type II dégénéré sous le seuil pour produire deux faisceaux intriqués qui seraient 

utilisés ensuite pour réaliser expérimentalement les protocoles d’intrication des deux ensembles 

atomiques et de téléportation d’un état atomique, étudiés théoriquement. 

Parallèlement aux expériences avec des atomes en cavité, nous envisageons de réaliser aussi des 

expériences en simple passage (sans cavité, le faisceau traverse simplement l’ensemble d’atomes). 

Les premières analyses montrent que les résultats obtenus en cavité peuvent se transposer au cas en 

simple passage, au prix d’une perte d’efficacité dans le processus de transfer atome-champ [Dantan 04d]. 

La réduction d’efficacité peut être limitée choisissant judicieusement les paramètres de l’expérience et, 

du point de vue expérimental la configuration en simple passage aurait l’avantage de simplifier considérablement 

la manipulation et le stockage des états quantiques dans un réseau d’information quantique. 

La dernière thématique de recherche que nous avons commencée, très récemment, à développer, 

dans le cadre de l’ACI et en collaboration avec l’Institut Fresnel de Marseille, concerne la réalisation 

d’une mémoire quantique dans les solides. En effet, une expérience de ralentissement et de stockage 

de la lumière par E.I.T. a été récemment réalisée dans un cristal de Y 2 SiO 5 dopé avec des ions de 

terres rares praséodyme [Turukhin 02], montrant que cette ligne de recherche pourrait se révéler très 

prometteuse. Ces ions présentent en effet une configuration à trois niveaux et une force d’oscillateur 

suffisante pour réaliser l’expérience. Pour aller plus loin vers des systèmes plus maniables, notre idée 

est d’utiliser des composants d’optique intégrée qui seront réalisés à l’Institut Fresnel. Nous proposons 

de réaliser des guides planaires en SiO 2 et en Ta 2 O 5 dopés avec des ions erbium ou praséodyme. 

Dans une telle configuration guidée, le champ pompe est localisé dans une couche diélectrique de 

quelques centaines de nm d’épaisseur favorisant ainsi le couplage onde/ions. Ces ions sont incorporés 

dans le guide planaire monomode par la technique de l’implantation ionique. En jouant sur la dose 

d’implantation, il est possible de réaliser une densité volumique suffisante qui doit être capable d’absorber 

la totalité de l’impulsion lumineuse pompe après une propagation de l’ordre du cm, condition 

nécessaire pour réaliser l’EIT ensuite. Pour les expérience sur les guides dopés à l’erbium on utilisera 

un laser titane-saphir ou des diodes lasers. Pour les guides dopés praséodyme une source laser à 606 

nm est en cours de réalisation. En refroidissant à la température de l’azote liquide une diode laser à

3.6 Publications personnelles sur le sujet 85 

632nm nous avons obtenu un faisceau laser multimode centré autour de 610nm. En plaçant la diode 

laser refroidie dans une cavité externe avec un réseau de diffraction on devrait à la fois atteindre la 

longueur d’onde de 606nm et un fonctionnement monomode. 


1. Dantan A., Bramati A., Pinard M., Title: Atomic quantum memory: cavity vs single pass schems, 

soumis à Phys. Rev. A 

2. Dantan A., Treps N., Bramati A., Pinard M., Title: Teleportation of an atomic ensemble quantum 

state, soumis à Phys. Rev. Lett. 

3. Dantan A., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., Title: Manipulation and storage of optical field 

and atomic ensemble quantum states, à paraître dans Laser Physics 

4. Dantan A.,Bramati A., Pinard M., Europhys. Lett., 67 (6), pp. 881-886 (2004), Title: Entanglement 

storage in atomic ensembles 

5. Josse V., Dantan A., Bramati A., Giacobino E., J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. , 6, S532, 

(2004) Title: Entanglement and Squeezing in a two mode system: theory and experiment 

6. Josse V., Dantan A., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., Phys. Rev. Lett., 92, 123601 (2004) 

Title: Continuos variable entanglement using cold atoms 

7. Josse V., Dantan A., Vernac L., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., Phys. Rev.Lett., 91, 103601/1, 

(2003) Title: Polarization squeezing with cold atoms 

8. Josse V., Dantan A., Bramati A., Pinard M., Giacobino E., J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 

5, S1, (2003) Title: Polarization Squeezing in a four-level system 



VOLUME 91, NUMBER 10 

P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S week ending 

5 SEPTEMBER 2003 

Polarization Squeezing with Cold Atoms 

V. Josse, A. Dantan, L. Vernac, A. Bramati, M. Pinard, and E. Giacobino 

Laboratoire Kastler Brossel, Université Pierre et Marie Curie, Ecole Normale Supérieure et CNRS, Case 74, 

4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France 

(Received 12 May 2003; published 2 September 2003) 

We study the interaction of a nearly resonant linearly polarized laser beam with a cloud of cold 

cesium atoms in a high finesse optical cavity. We show theoretically and experimentally that the cross- 

Kerr effect due to the saturation of the optical transition produces quadrature squeezing on both the 

mean field and the orthogonally polarized vacuum mode. An interpretation of this vacuum squeezing as 

polarization squeezing is given and a method for measuring quantum Stokes parameters for weak 

beams via a local oscillator is developed. 

DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.103601 

PACS numbers: 42.50.Dv, 03.67.Hk, 42.50.Lc 

In connection with quantum information technology, a 

growing interest has been given to quantum networks 

constituted by atomic ensembles and intense light fields 

[1]. In particular, the mapping of a quantum polarization 

state of light onto an atomic ensemble [2] has motivated 

extensive studies of the quantum features of the polarization 

of light. Several theoretical schemes to produce 

polarization squeezing using Kerr-like media have been 

proposed [3] and realized using optical fibers [4]. Other 

experimental realizations achieve polarization squeezing 

by mixing squeezed vacuum (generated by an optical 

parametric oscillator) with a strong coherent beam on a 

polarizing beam splitter [2,5] or mixing two independent 

quadrature squeezed beams (generated by an optical parametric 

amplifier) on a polarizing beam splitter [6]. Very 

recently, it has been proposed to propagate a linearly 

polarized light beam through an atomic medium exhibiting 

self-rotation to generate squeezed vacuum in the 

orthogonal polarization [7], which is equivalent to 

achieving polarization squeezing. 

In previous works [8] the interaction between a cloud of 

cold cesium atoms placed in a high finesse optical cavity 

and a circularly polarized laser beam nearly resonant 

with an atomic transition has been studied. Because of 

optical pumping, the atomic medium is conveniently 

modeled by an ensemble of two-level atoms. The saturation 

of the optical transition gives rise to an intensitydependent 

refraction index. It is well known that the 

interaction of the light with a Kerr-like medium produces 

bistable behavior of the light transmitted by the cavity 

and that, at the turning point of the bistability curve, the 

quantum fluctuations of the light can be strongly modified 

and generate quadrature squeezing [9]. A noise reduction 

of 40% has thus been observed in our group [8]. 

In this Letter, we focus on the theoretical and experimental 

investigation of polarization squeezing via the 

interaction of a linearly polarized laser beam with cold 

cesium atoms. In this configuration, the two-level atom 

model is no longer applicable and the situation much more 

complicated. We describe the interaction between light 

and the atomic medium by means of an X-like four-level 

quantum model based on the linear input-output method. 

Our theoretical analysis shows clearly that competitive 

optical pumping may result in polarization switching, 

and polarization squeezing is predicted by the model 

[10]. In agreement with the model we observe quadrature 

squeezing in the probe laser mode and in the orthogonal 

vacuum mode. Experimentally, we obtain a polarization 

squeezing of 13% and we show for the first time that the 

quantum Stokes parameters for very weak beams can be 

measured together with their phases using a local oscillator 

(LO). In our case squeezing is due to cross- 

Kerr effect induced by the mean field rather than to the 

polarization self-rotation responsible for polarization 

switching. 

The configuration used in the experiment is described 

in detail in [8]. In Fig. 1 we present the main features of 

the setup. The cesium atoms are cooled in a standard 

magneto-optical trap which operates with three orthogonal 

circularly polarized trapping beam generated by a 

Ti:sapphire laser and an inhomogeneous magnetic field. 

FIG. 1. Experimental setup: PBS: polarizing beam splitter; 

BS: 10=90 beam splitter; =2: half-wave plate; PZT: piezoelectric 

ceramic. 

103601-1 0031-9007=03=91(10)=103601(4)$20.00 © 2003 The American Physical Society 103601-1





The trapping Ti:sapphire laser is detuned by 3 times the 

linewidth of the upper state on the low frequency side 

of the 6S 1=2 , F 4 to 6P 3=2 , F 5 transition. To prevent 

atoms from being optically pumped to the 6S 1=2 , F 3 

state, we superimpose a diode laser tuned to the 6S 1=2 , 

F 3 to 6P 3=2 , F 4 transition to the trapping beams. 

We use a 25 cm long linear cavity built around the cell. 

The cavity is close to the hemifocal configuration with a 

waist of 260 m. The coupling mirror has a transmission 

coefficient T of 10%; the rear mirror is highly reflecting. 

Hence, the cavity is close to the bad cavity limit for which 

the cavity linewidth ( 5 MHz) is larger than the 

atomic linewidth ( 2:6 MHz). We probe the atoms 

with a linearly polarized laser beam detuned by about 

50 MHz in the red of the 6S 1=2 , F 4 to 6P 3=2 , F 5 

transition. The optical power of the probe beam ranges 

from 5 to 15 W. Under these conditions, the number of 

atoms interacting with the light beam is about 10 6 –10 7 . 

The polarization of the light transmitted by the cavity is 

analyzed with a quarter-wave plate and a polarizing 

beamsplitter (PBS1), so that the signals Vs1 and Vs2 

detected by the photodiodes at the output of the cavity 

(see Fig. 1) give the amount of, respectively, left-handed 

(I ) and right-handed (I ) circular light. 

A typical recording of the transmitted intensities I as 

a function of the cavity length is shown in Fig. 2: starting 

from the left up to point A, the polarization remains 

linear (nearly equal amount of circular polarized light 

on both photodiodes), then it becomes circular. This 

polarization switching was known to occur in Fabry- 

Perot cavities containing atomic vapors with degenerate 

sublevels in the ground state [11,12]. In the experiment 

the probe beam is nearly resonant with the 6S 1=2 , F 4 to 

6P 3=2 , F 5 transition: in principle, all of the 20 Zeeman 

sublevels are involved in the interaction. In order to get a 

qualitative physical insight into this problem, avoiding 

too heavy calculations, we model the atomic medium as 

an X-like four-level system [see Fig. 3]. 

The competitive optical pumping between the circular 

component of light makes the linear polarization 

unstable inside the cavity above some intensity threshold. 

The optical pumping is responsible for polarization 

switching and the general shape of the cavity resonance 

curve [see Fig. 2] is well understood within this theoretical 

frame [10–12]. Alternatively, the polarization switching 

threshold may be interpreted as a laser oscillation 

threshold for the mode orthogonal to the main polarization 

mode [10]. Here we are interested in the quantum 

fluctuations of the light, which can be strongly modified 

via the interaction with the atoms. When the polarization 

of the light is circular, the situation is analogous to the 

previous experimental scheme when the incoming field 

was circularly polarized [8]. We therefore focus in the 

following on the case for which the polarization remains 

linear along the x axis. The saturation of the components 

of light causes the medium to behave as a Kerr-like 

medium for the mean field Â x . In addition, the vacuum 

orthogonal Â y mode experiences a nonlinear dephasing 

via cross-Kerr effect [4,10]. This system is then expected 

to generate quadrature squeezing for both modes; in the 

large detuning limit [ ], the equation for the vacuum 

mode fluctuations reads [10] 

d Â y 

dt 

i c 0 Â y 

s 

i x 

0 

2 Â 

2 y h Â x i 2 

jh Â x ij Â y 2 y p 

2 

T 

Â in 

y ; (1) 

with c the cavity detuning, 0 2Ng 2 =T the linear 

dephasing (N is the number of atoms and g the coupling 

constant), s x 2g 2 jh Â x ij 2 = 2 the saturation parameter, 

and Â in 

y the incident field fluctuations. The cross-Kerr 

induced term has two contributions: a dephasing ( / 

jh Â x i 2 Â y ) and the term in h Â x i 2 Â y y , responsible for 

the squeezing of this mode. A similar equation can be 

Transmission (a.u.) 

Vs1 

Vs2 

I + 

I - 

A 

Cavity detuning (a.u.) 

FIG. 2. Analysis of the circular polarization content of the 

light transmitted by the cavity and detected by the photodiodes 

shown in Fig. 1. Polarization switching occurs at point A. The 

power of the incident light is 7 W. 

FIG. 3. Schematic energy level diagram for the X-like fourlevel 

system: k is the optical dipole decay rate; is 

the (large) detuning from resonance. 

103601-2 103601-2





derived for the mean field Â x , for which the squeezing is 

then generated via the usual Kerr term ( / h Â x i 2 Â y x ). 

These equations are valid when the large excess noise 

due to optical pumping can be neglected, that is, for times 

smaller than the optical pumping time, in contrast with 

Ref. [7]. Squeezing is then predicted for noise frequencies 

higher than the inverse optical pumping time. 

Using the experimental setup described in Fig. 1, we 

have measured the quadrature noise of both modes. The 

signal recorded at the output of the cavity (see Fig. 2) is 

used to lock the cavity length on the regime where the 

polarization remains linear. After interacting with the 

atoms, both fields are mainly reflected by the beam 

splitter (BS) and then mixed on PBS2 with a 10 mW 

LO beam. Using the half-wave plate =2a, we are able to 

send either the mean field mode or the orthogonal vacuum 

mode to PBS3 and perform the usual homodyne detection. 

By varying the relative phase of the LO with respect 

to the probe beam, we can detect the noise features of all 

the quadratures of the field. In agreement with the 

theoretical predictions, we observe quadrature squeezing 

on both the main mode and the orthogonal mode. 

The results are 5% (7% after correction for optical 

losses, mainly due to BS) of noise reduction for the 

main polarization mode at 6 MHz and 13% (18% after 

correction) for the squeezed vacuum state at 3 MHz, as 

shown in Fig. 4. This system is then able to produce 

simultaneously two squeezed modes, for which the relatives 

phases are intrinsically fixed. Let us note that these 

Normalized mean field noise Normalized vacuum noise 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

1.4 

1.3 

1.2 

1.1 

1 

0.9 

(a) 

(b) 

Time (s) 

FIG. 4. Normalized quadrature noise (a) for the vacuum field 

mode at 3 MHz and (b) for the mean field mode at 6 MHz. The 

best squeezing is 13% for the vacuum mode and 5% for the 

mean field mode. 

two squeezed modes can be used to generate a pair of 

entangled beams, which will be presented in a forthcoming 

publication [13]. 

In the following, we focus on the study of the noise of 

the mode with orthogonal polarization with respect to the 

main mode, commonly referred to as polarization noise. 

The characterization of the quantum features of the 

polarization state relies on the measurement of the quantum 

Stokes parameters [14]. They are defined from their 

classical counterparts 

^S 0 Â y x Â x Â y y Â y ; ^S 1 Â y x Â x Â y y Â y ; 

^S 2 Â y x Â y Â y y Â x ; ^S 3 i Â y y Â x Â y x Â y : 

These operators obey the commutation relations 

^S 0 ; ^S i 0 and ^S i ; ^S j ijk 2i ^S k (i 1; 2; 3). Their 

spectral noise densities satisfy uncertainty relations 

V ^S i 

!V ^S j 

! j ijk h ^S k ij 2 . In our case the light is linearly 

polarized along the x axis, then h ^S 0 i h ^S 1 i 2 x 

and h ^S 2 i h ^S 3 i 0, where h Â x i x is chosen real. 

Then the only nontrivial Heisenberg inequality is 

V ^S 2 

!V ^S 3 

! 4 x. Polarization squeezing is then 

achieved if V ^S 2 

or V ^S 3 

is below the coherent state value 

2 x. The fluctuations of ^S 2 and ^S 3 are related to the 

fluctuations of the quadratures of the vacuum orthogonal 

mode 

^S 2 x Â y y Â y ; ^S 3 i x Â y y Â y : 

The physical meaning of the Stokes parameter fluctuations 

is the following: the ^S 2 fluctuations lead to a 

geometric jitter of the polarization axis, whereas the 

^S 3 fluctuations are linked to ellipticity fluctuations. It 

can be seen from Eq. (2) that these fluctuations are related 

to the amplitude and phase fluctuations of Â y . Therefore, 

polarization squeezing is equivalent to vacuum squeezing 

on the orthogonal mode. 

The measurement of the Stokes parameters can be 

carried out directly by means of two balanced photodiodes 

and suitable combinations of half-wave and quarter-wave 

plates [14]. In our setup, however, the power of 

the probe beam interacting with the atoms ( 10 W) is 

not sufficient, so that we need a LO for the detection. The 

fluctuations of the vacuum mode Â y are measured using 

the homodyne detection described above. Following 

Eq. (2) the photocurrent can be expressed in terms of 

the fluctuations of ^S 2 and ^S 3 : 

(2) 

i hd / cos hd ^S 2 sin hd ^S 3 ^S hd 

; (3) 

where hd is the relative phase between the LO and 

the mean field. As hd is varied in time, we correspondingly 

detect the fluctuations of the Stokes parameter 

^S hd 

. For instance, hd 0 (respectively, =2) corresponds 

to the detection of the fluctuations of ^S 2 (respectively, 

of ^S 3 ). Hence, in the experiment we can get the 

103601-3 103601-3



Normalized vacuum noise 

2 

1,8 

1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

(a) 

S 2 

S 2 

S 3 



S sq 

S 2 

To conclude, we have demonstrated that the nearly 

resonant interaction of a linearly polarized laser beam 

with a cloud of cold atoms in an optical cavity can 

produce quadrature squeezing on the mean field mode 

and on the orthogonally polarized vacuum mode. We 

have shown that these results can be interpreted as polarization 

squeezing and developed a method to measure the 

quantum Stokes parameters for weak beams, using a 

local oscillator and a standard homodyne detection. 

This work was supported by the QIPC European 

Project No. IST-1999-13071 (QUICOV). 

Normalized vacuum noise 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

S 2 

(b) S sq = S 3 

-1 0 1 

Normalized interferences: cos ( ) θ hd 

FIG. 5. Normalized quadrature noise at 3 MHz for the vacuum 

mode Â y vs the normalized interference signal: cos hd . 

The general case is shown in curve (a): polarization squeezing 

is achieved when hd sq 30 : a linear combination of 

^S 2 and ^S 3 is squeezed. In curve (b), ^S 3 is squeezed ( sq 

=2). 

Stokes parameters simply by simultaneously measuring 

the relative phase hd and the quadrature noise of the 

vacuum mode. This measurement is readily performed 

by setting the half-wave plate before PBS2 in such a way 

that the Â y mode is sent to the homodyne detection; the 

mean field Â x goes through the other port of the beam 

splitter and is detected together with a portion of the LO 

by a photodiode (see Fig. 1). The phase is determined via 

the interference signal between LO and Â x (i / cos hd . 

The two signals i and i hd are sent to the XY channel of 

the oscilloscope, giving the characteristic curves reported 

below. 

In Fig. 5 the normalized quadrature noise of Â y , obtained 

at a noise frequency of 3 MHz, is plotted as a 

function of the relative phase between the mean field and 

the LO. In agreement with Eq. (3), it can be seen that the 

noise of ^S 2 is given by the extreme points hd 0; on 

the diagram and that of ^S 3 by the center point hd 

=2. In general, for an arbitrary squeezed quadrature, a 

linear combination of ^S 2 and ^S 3 is squeezed [Fig. 5(a)].We 

find that the polarization squeezing strongly depends on 

the operating point and on the noise frequency. For instance, 

in Fig. 5(b), we see that ^S 3 is squeezed. 

S 2 

[1] A. Furosawa, J. Sørensen, S. Braunstein, C. Fuchs, 

H. Kimble, and E. S. Polzik, Science 282, 706 (1998); 

B. Julsgaard, A. Koshekin, and E. S. Polzik, Nature 

(London) 413, 400 (2001). 

[2] J. Hald, J. L. Sørensen, C. Schori, and E. S. Polzik, Phys. 

Rev. Lett. 83, 1319 (1999); J. Hald and E. S. Polzik, J. 

Opt. B Quantum Semiclassical Opt. 3, 83 (2001). 

[3] A. S. Chirkin, A. A. Orlov, and D.Yu. Paraschuk, 

Quantum Electron. 23, 870 (1993); A. P. Alodjants, 

A. M. Arakelian, and A. S. Chirkin, J. Eng. Phys. 

Thermophys. 108, 63 (1995); N.V. Korolkova and A. S. 

Chirkin, J. Mod. Opt. 43, 869 (1996). 

[4] L. Boivin and H. A. Haus, Opt. Lett. 21, 146 (1996); 

J. Heersink, T. Gaber, S. Lorenz, O. Glöckl, 

N. Korolkova, and G. Leuchs, quant-ph/0302100. 

[5] P. Grangier, R. E. Slusher, B. Yurke, and A. LaPorta, 

Phys. Rev. Lett. 59, 2153 (1987). 

[6] W. P. Bowen, R. Schnabel, H. A. Bachor, and P. K. Lam, 

Phys. Rev. Lett. 88, 093601 (2002). 

[7] A. B. Matsko, I. Novikova, G. R. Welch, D. Budker, D. F. 

Kimball, and S. M. Rochester, Phys. Rev. A 66, 043815 

(2002); I. Novikova, A. B. Matsko, and G. R. Welch 

(private communication). 

[8] A. Lambrecht, E. Giacobino, and J. M. Courty, Opt. 

Commun. 115, 199 (1995); A. Lambrecht, T. Coudreau, 

A. M. Steimberg, and E. Giacobino, Europhys. Lett. 36, 

93 (1996); A. Z. Khoury, T. Coudreau, C. Fabre, and 

E. Giacobino, Phys. Rev. A 57, 4770 (1998). 

[9] L. Hilico, C. Fabre, S. Reynaud, and E. Giacobino, Phys. 

Rev. A 46, 4397 (1992). 

[10] V. Josse, A. Dantan, A. Bramati, M. Pinard, and 

E. Giacobino, J. Opt. B Quantum Semiclassical Opt. 5, 

S1 (2003). 

[11] E. Giacobino, Opt. Commun. 56, 249 (1985). 

[12] S. Cecchi, G. Giusfredi, E. Petriella, and P. Salieri, Phys. 

Rev. Lett. 49, 1928 (1982); M.W. Hamilton, W. J. Sandle, 

J. T. Chilwell, J. S. Satchell, and D. M. Warrington, Opt. 

Commun. 48, 190 (1983). 

[13] V. Josse, A. Dantan, A. Bramati, M. Pinard, and 

E. Giacobino, quant-ph/0306152. 

[14] N. Korolkova, G. Leuchs, R. Loudon, T. C. Ralph, and 

C. Silberhorn, Phys. Rev. A 65, 052306 (2002); 

N. Korolkova, Ch. Silberhorn, O. Glöckl, S. Lorenz, 

Ch. Marquardt, and G. Leuchs, Eur. Phys. J. D 18, 229 

(2002). 

103601-4 103601-4




26 MARCH 2004 

ContinuousVariable Entanglement using Cold Atoms 

V. Josse, A. Dantan, A. Bramati, M. Pinard, and E. Giacobino 

Laboratoire Kastler Brossel, Université Pierre et Marie Curie, Case 74, 4 place Jussieu, 75252 Paris CEDEX 05, France 

(Received 10 September 2003; published 22 March 2004) 

We present an experimental demonstration of both quadrature and polarization entanglement 

generated via the interaction between a coherent linearly polarized field and cold atoms in a high 

finesse optical cavity. The nonlinear atom-field interaction produces two squeezed modes with 

orthogonal polarizations which are used to generate a pair of nonseparable beams, the entanglement 

of which is demonstrated by checking the inseparability criterion for continuous variables recently 

derived by Duan et al. [Phys. Rev. Lett. 84, 2722 (2000)] and calculating the entanglement of formation 

[Giedke et al., Phys. Rev. Lett. 91, 107901 (2003)]. 


PACS numbers: 42.50.Dv, 03.67.Mn, 42.50.Ct 

Entanglement in the continuous variable regime has 

attracted a lot of attention in the quantum optics and 

quantum information fields in connection with quantum 

teleportation, cryptography, quantum computing, and 

dense coding [1]. Since the first realization of quadrature 

entangled beams by Ou et al. [2], various methods, such 

as the 2 process in optical parametric amplifier (OPA) 

[3] or the Kerr effect in optical fibers [4], have been used 

to generate nonseparable beams. Recently, the concept of 

polarization entanglement, i.e., entanglement of Stokes 

operators between two beams, has been investigated by 

Korolkova et al. [5], and first demonstrated experimentally 

by Bowen et al. [6] by mixing two squeezed beams 

issued from independent OPAs. The Kerr nonlinearity of 

fibers was also exploited by Glöckl et al. to generate a 

pulsed source of polarization entanglement [7]. 

In this Letter, we show evidence for continuous variable 

entanglement generated using the interaction between 

a linearly polarized coherent field and a cloud of 

cold cesium atoms placed in a high finesse optical cavity. 

We demonstrate the entanglement using the inseparability 

criterion proposed by Duan et al. and Simon [8]. We 

generate two kinds of entanglement with the same system, 

quadrature entanglement and polarization entanglement. 

For this, we use the recently reported generation of 

polarization squeezing [9] in the field that has interacted 

with cold atoms; both the mean field mode and the vacuum 

mode with orthogonal polarization exiting the 

cavity can be squeezed. First, we show how a direct 

measurement of the quadrature entanglement of the 

beam exiting the cavity can be achieved using two balanced 

homodyne detections. We then give the form of the 

covariance matrix and the associated entanglement of 

formation (EOF), which, for Gaussian symmetric states, 

is directly related to the inseparability criterion value 

[10]. Last, we produce two nonseparable beams by mixing 

two parts of the previous outgoing beam with a strong 

field and achieve polarization entanglement by locking 

the relative phases between the strong field and the weak 

field exiting the cavity. 

First, let us consider two orthogonally polarized 

modes A a and A b of the electromagnetic field satisfying 

the usual bosonic commutation rules A ; A y . If 

X A y e i A e i and Y X =2 are 

the usual quadrature operators (rotated in the Fresnel 

diagram by angle ), X a X b and Y a Y b are the continuous 

variable analogous of the EPR-type operators first 

introduced by Einstein, Podolsky, and Rosen [11]. The 

criterion of [8] sets a limit for inseparability on the sum 

of the operator variances 

I a;b 1 2 2 X a X b 2 Y a Y b < 2: (1) 

For states with Gaussian statistics, I a;b < 2 is a sufficient 

condition for entanglement and has already been used in 

several experiments to demonstrate continuous variable 

entanglement [5–7]. Moreover, Giedke et al. recently 

calculated the EOF of Gaussian symmetric states [10] 

and showed it to be directly related to the amount of 

EPR-type correlations given by (1). 

In our system, an x-polarized beam interacts with a 

cloud of cold cesium atoms in an optical cavity. The 

experimental setup [9] is shown in Fig. 1. We probe the 

atoms with a linearly polarized laser beam detuned by 

about 50 MHz in the red of the 6S 1=2 , F 4 to 6P 3=2 , F 

5 transition. The optical power of the probe beam ranges 

from 5 to 15 W. After exiting the cavity, both the mean 

field mode A x and the orthogonally polarized vacuum 

mode A y are squeezed for frequencies ranging between 

3 and 12 MHz. An interpretation of these results can be 

provided by modeling the complicated 6S 1=2 , F 4 to 

6P 3=2 , F 5 transition by an X-like four-level atomic 

structure [12]. When the optical transitions are saturated, 

the atoms behave as a Kerr-like medium for the mean 

field mode A x , which can be squeezed. Furthermore, the 

orthogonally polarized vacuum mode A y is also squeezed 

on account of cross-Kerr effect, but for an orthogonal 

quadrature [9,12]. 

Our goal is to retrieve the two modes with orthogonal 

polarizations which exhibit maximal EPR-type correlations 

according to the inseparability criterion (1). We 

123601-1 0031-9007=04=92(12)=123601(4)$22.50 © 2004 The American Physical Society 123601-1




26 MARCH 2004 

FIG. 1. Experimental setup: PBS, polarizing beam splitter; 

=2, half-wave plate; PZT, piezoelectric ceramic; SA, spectrum 

analyzer. T 0:1 is the transmission of the cavity coupling 

mirror. 

therefore minimize the quantity I a;b with respect to 

a; b and . Expanding (1) yields 

I a;b hA y aA a A a A y a A b A y b Ay b A bi 

2e 2i hA a A b i e 2i hA y aA y bi: (2) 

The right-hand side of the first line in (2) is independent 

of the polarization basis, while the second line can be 

written as 4 cos2 2jhA a A b ij, where 2 is the 

phase angle of hA a A b i. Minimizing I a;b corresponds 

to maximizing jhA a A b ij with respect to a; b. 

In order to find the optimal field components a; b, we 

introduce another polarization basis u; v, such that 

hA u A v i 0. It can be shown that there always exists 

such a polarization basis and that the u and v mode 

quadrature variances are minimal for the same value of 

[13]. The optimal correlations produced in the system 

are directly related to the quantum noise properties of 

these modes u; v. Indeed, the maximally correlated 

modes a ; b are 

p 

A a A u iA v = 

2 ; 

p 

Ab A u iA v = 2 

 

; (3) 

and the minimum value of I a;b is then given by the sum of 

the u; v mode minimal noises 

I a ;b min 

a;b; I a;b min 

 

2 X u 2 X v : (4) 

Consequently, if one or two of the u; v modes are 

squeezed, the value I a ;b corresponding to maximal 

correlations is equal to the sum of their squeezing. 

Experimentally, one has to look for the u- and v-type 

modes, a signature of which being that I u;v does not 

depend on [see (2)], and measure their squeezing (if 

any). The maximally correlated modes are then given by 

(3) and the amount of their EPR-type correlations by (4). 

Let us note that modes u; v are not stricto sensu uncorrelated, 

since hA u A y vi can be nonzero. However, one 

can think of the correlation properties of modes a ; b as 

being created by the mixing of the u and v modes, as it is 

usually produced by mixing two independent squeezed 

beams [2,4,6]. Let us stress that this analysis provides a 

general framework for finding out the maximal correlations 

produced in a two-mode system exhibiting quantum 

properties. This method is of interest for a class of systems 

such as the optical parametric oscillator in which 

the correlations are not produced by mixing independent 

beams [14]. 

Coming back to our system, which is symmetrical with 

respect to the circularly polarized modes A , it is easy to 

see that hA x A y i 0 because A x and A y are combinations 

with equal weights of A . Since they are squeezed 

for orthogonal quadratures, one can set A u A x and 

A v iA y , which are now squeezed for the same quadrature. 

Then, using (3), the maximally entangled modes 

are the 45 modes to the x; y basis. This gives us the 

relevant quantity, I 45;45 p , which is to be measured. 

Using A 45 A x A y = 

2 , the inseparability criterion 

for the 45 modes can be expressed directly in terms of 

the x; y mode variances with X u X x and X v 

Y y : 

I 45;45 2 X x 2 Y y < 2: (5) 

When corresponds to the angle sq of the squeezed 

quadrature of A x , both variances are below unity, and 

I 45;45 sq < 2. 

In order to experimentally check the inseparability 

criterion (5), we need to simultaneously measure the 

fluctuations of A x and iA y . After the output of the cavity, 

we insert a quarter-wave plate that rotates the noise 

ellipsoid of vacuum mode A y by =2, the beam is mixed 

on a beam splitter with a local oscillator (LO), and the 

two resulting beams are sent into two balanced homodyne 

detections [Fig. 1]. Thus, we simultaneously measure the 

quadrature noise of each beam for the same quadrature. 

The sum of these two signals directly gives the sought 

quantity I 45;45 . In Fig. 2(b), we plot a typical measurement 

of I 45;45 as a function of , for an analysis 

frequency of 5 MHz. Its minimal value is about 1.9 [1.86 

corrected from losses] and corresponds to a case for 

which A x and iA y are both squeezed by about 5% 

[Fig. 2(a)]. Quadrature entanglement is thus achieved in 

a frequency range given by the cavity bandwidth (3 to 

12 MHz). 

Consistently with the general method described above, 

we also checked that modes A x and iA y correspond indeed 

to u; v-type modes. We therefore measured the quantity 

I x;y in a similar manner as I 45;45 , and verified that it is 

independent of [Fig. 2(c)], thus proving that modes 

A 45 and A 45 exhibit maximal EPR-type correlations. 

Moreover, we note that our measurement not only 

demonstrates entanglement, but also quantifies it via the 

123601-2 123601-2




26 MARCH 2004 

entanglement of formation. Following Giedke et al. [10], 

we introduce the covariance matrix (CM) for the 45 

polarized modes: 

with n 2 X 45 2 Y 45 and k hX 45 Y 45 i 

hX 45 Y 45 i [15]. As calculated by Giedke et al., the 

EOF E, representing the amount of pure state entanglement 

needed to prepare our entangled state [16], is then 

i;j hR i R j R i R j i=2; 

directly related to the inseparability criterion value by 

[10] 

E fn k fI 45;45 sq =2; (7) 

with fx c xlog 2 c x c xlog 2 c x and 

c x x 1=2 x 1=2 2 =4. For I 45;45 1:86 0:02, 

the EOF is E 0:014 0:003. 

Last, we show that this quadrature entangled beam 

allows to generate polarization entanglement. Polarization 

entanglement for two beams and [5] is 

B 0 n 0 k 

C 

0 

1 

n 0 k 0 

@ k 0 n 0 A ; (6) achieved when 

I S ; 

0 k 0 n 

1 2 2 S 2 S 2 2 S 3 S 3 < jhS 1 ij jhS 1 ij; 

where the S ; 

i are the standard quantum Stokes operators. 

For this, we produce new modes by mixing the A 45 

modes studied previously with additional strong fields. 

The A 45 modes are obtained from the x; y modes by 

passing the beam through a half-wave plate with axes at 

22:5 . The fields along the x and y directions are now the 

A 45 and A 45 fields, which we will denote by A 0 x and A 0 y 

[see Fig. 3]. The A 0 x and A 0 y are then spatially separated 

with a polarizing beam splitter. In the other input of the 

beam splitter, we send a strong field B with a polarization 

at 45 from the beam splitter axes, yielding the output 

fields B y and B x . The strong field B is similar to the local 

oscillator in the previous experiment, except that its phase 

B is locked to that of one of the A fields by a servo loop, 

as shown in Fig. 3. At the two outputs of the beam splitter, 

we have two beams ; which are the superposition of, 

where fR i ; i 1; . . . ; 4g fX 45 ; Y 45 ; X 45 ; Y 45 g. Using 

the fact that A x and iA y are uncorrelated and symmetrical 

[see Figs. 2(b) and 2(c)], it is straightforward to show that 

the 45 modes have isotropic fluctuations. Choosing 

sq , the covariance matrix can be expressed in the 

standard form given in Ref. [10]: 

respectively, A 0 x and B y , and A 0 y and B x . The Stokes 

operators S i for one of the outputs are then 

FIG. 2 (color online). (a) Quadrature noise spectra of A x and 

iA y , at a frequency of 5 MHz, when the relative phase 

between the LO and the mean field mode is varied in time. 

(b) Direct measurement of I 45;45 . (c) Corresponding 

measurement of I x;y . 

FIG. 3. Setup for nonseparable beam generation. Inserting the 

quarter-wave plates (or not) allows for measuring the fluctuations 

of S 3 S 3 

(or S 2 S 2 

). The servo loop is used to lock 

the B field phase to the squeezed quadrature angle. 

123601-3 123601-3



S 0 A0y x A 0 x B y y B y ; 


26 MARCH 2004 

S 1 A0y x A 0 x B y y B y ; 

S 2 A0y x B y B y y A 0 x; 

S 3 iBy y 0A0 x A 0y x B y : 

The Stokes operators S i for the other output are obtained 

by exchanging A 0 and B in the previous expression. Since 

the B field is much stronger than the A field, one has 

j B j j A 0j, with B the amplitude of B x and B y and A 0 

the amplitude of A 0 x and A 0 y. Then hS 1 i hS 1 i ’ 

j B j 2 and the inseparability condition reads 

I S ; < 2j Bj 2 : (8) 

In this case, the Stokes parameter fluctuations are related 

to those of the initial 45 modes (now denoted A 0 x; A 0 y) 

S 2 BX 0 x B ; S 2 BX 0 y B ; (9) 

S 3 BY 0 x B ; S 3 BY 0 y B ; (10) 

which straightforwardly lead to 

I S ; j Bj 2 I A 0 x ;A 0 y B j B j 2 I 45;45 B : 

The polarization entanglement condition (8) is thus 

equivalent to the inseparability criterion (5) for the 

45 modes when B sq . Therefore, quadrature entanglement 

can be mapped into a polarization basis and 

lead to polarization entanglement [6]. Experimentally, we 

use the setup shown in Fig. 3 and lock the phase of the B 

field with the squeezed quadrature angle. We then successively 

measure the S 2 and S 3 Stokes operator noises using 

the appropriate combination [5] of plates and polarizing 

beam splitter (PBS). In Fig. 4, we present the normalized 

quadrature noises of S 2 S 2 and S 3 S 3 

for an analysis 

frequency of 5 MHz. This entanglement between the 

beams corresponds to a reduction by approximately 5% 

in the noise of each variable: I S ; =j Bj 2 1:9, consistently 

with the quadrature entanglement measurement. 

From (9) and (10), it is also clear that the CM has the 

same form as (6). 

In conclusion, we have reported the generation of continuous 

variable entanglement via the interaction with 

cold atoms in cavity. First, we have developed a method 

to directly measure the inseparability criterion [8] and 

demonstrated quadrature entanglement between two orthogonally 

polarized modes. The entanglement was 

quantified using the entanglement of formation calculated 

in Ref. [10]. Second, we achieve polarization entanglement 

after mapping the quadrature entanglement onto 

two spatially separated beams. 

This work was supported by the QIPC European 

Project No. IST-1999-13071 (QUICOV). 

FIG. 4 (color online). Normalized noises at 5 MHz of S 2 

S 2 (a) and S 3 S 3 (b), the phase B being locked with the 

value of the squeezed quadrature angle sq . 

[1] C. H. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993); S. L. 

Braunstein and H. J. Kimble, Phys. Rev. A 61, 042302 

(2000); D. P. DiVincenzo, Science 270, 255 (1995); 

B. Julsgaard et al., Nature (London) 413, 400 (2001). 

[2] Z.Y. Ou et al., Phys. Rev. Lett. 68, 3663 (1992). 

[3] Y. Zhang et al., Phys. Rev. A 62, 023813 (2000). 

[4] C. Silberhorn et al., Phys. Rev. Lett. 86, 4267 (2001). 

[5] N. Korolkova et al., Phys. Rev. A, 65, 052306 (2002); 

N. Korolkova et al., Eur. Phys. J. D 18, 229 (2002). 

[6] W. P. Bowen et al., Phys. Rev. Lett. 89, 253601 (2002); 

W. P. Bowen et al., Phys. Rev. Lett. 90, 043601 (2003). 

[7] O. Glöckl et al., J. Opt. B 5, S492 (2003); O. Glöckl et al., 

Phys. Rev. A 68, 012319 (2003). 

[8] L. M. Duan et al., Phys. Rev. Lett. 84, 2722 (2000); 

R. Simon, Phys. Rev. Lett. 84, 2726 (2000). 

[9] V. Josse et al., Phys. Rev. Lett. 91, 103601 (2003). 

[10] G. Giedke et al., Phys. Rev. Lett. 91, 107901 (2003). 

[11] A. Einstein et al., Phys. Rev. 47, 777 (1935). 

[12] V. Josse et al., J. Opt. B 5, S513 (2003). 

[13] V. Josse et al. (to be published). 

[14] L. Longchambon et al., quant-ph/0311123; H. Adamyan 

and G. Kryuchkyan, quant-ph/0309203; S. Feng and 

O. Pfister, quant-ph/0310002. 

[15] The factor 1=2 in our definition for the CM comes from 

our definition of the quadrature operators. 

[16] C. H. Bennett et al., Phys. Rev. A 54, 3824 (1996). 

123601-4 123601-4

4. Génération et contrôle de solitons spatiaux en régime 

d’impulsions ultra-courtes dans des milieux χ (2) 


La diffraction et la dispersion sont des phénomènes universels qui caractérisent la propagation 

d’un paquet d’onde dans l’espace libre où dans un milieu dispersif. Il est bien connu qu’un faisceau 

gaussien émis par un laser voit sa taille transverse augmenter avec la propagation dans l’espace; d’une 

façon analogue, une impulsion lumineuse ou acoustique qui se propage dans un milieu dispersif, voit 

sa durée s’étaler. Mais, si la propagation se fait dans un milieu non linéaire, sous certaines conditions, 

il est possible de compenser diffraction et/ou dispersion grâce à l’interaction non linéaire. Dans ce cas 

on obtient un paquet d’onde qui, en fonction de l’effet qu’on arrive à compenser, conserve inchangées 

certaines de ses caractéristiques pendant la propagation: on parle alors de solitons. 

Les solitons sont connus et étudiés dans plusieurs domaines de la physique qui vont de la physique 

des plasmas [Bulanov 95] à l’optique non-linéaire [Stegeman 99] et atomique [Burger 99, Rolston 02, 

Strecker 02]. 

Parmi ces domaines, l’optique est sans doute celui qui a connu le plus grand nombre d’études 

approfondies autour des solitons. Cela est lié au développement, à partir des années 1960, de la technologie 

des lasers qui a rendu disponibles des faisceaux assez intenses pour observer la réponse 

non-linéaire des matériaux diélectriques. En effet la premiere observation du phénomène d’autofocalisation 

de la lumière date de 1964 [Chiao 64] et en 1973 les premiers solitons optiques furent 

produits dans des fibres optiques [Hasegawa 73]. 

Dans la dernière décennie, grâce au développement de lasers puissants délivrant des impulsions 

ultra-courtes et de nouveaux matériaux avec des très fortes non-linéarités, l’étude des solitons 

optiques a connu une véritable explosion. Des solitons produits grâce à des non-linéarités quadratiques 

[Toruellas 95] et de type Kerr saturable [Schwartzlander 92] sont actuellement à l’étude. 

La multiplication des recherches expérimentales et des analyses théoriques a contribué à augmenter 

remarquablement les différents types de solitons observables, qui sont désormais recensés suivant 

une classification communément acceptée. Je me limiterai ici à en donner une description succincte; 

une revue exhaustive concernant l’état de l’art dans le domaine des solitons se trouve dans 

[Buryak 02, Boardman 01, Trillo 01]. 

On parlera de solitons spatiaux si la diffraction est inhibée et la taille transverse du paquet d’onde 

reste constante; de même, un soliton temporel est obtenu par compensation de la dispersion et donc la 

durée de l’impulsion ne varie pas. Dans le premier cas on peut encore distinguer entre solitons spatiaux 

à une ou deux dimensions, selon que la diffraction est compensée sur une seule coordonnée spatiale 

transverse ou sur les deux. Les solitons spatiaux à une dimension sont typiquement obtenus dans les 

guides d’ondes et ceux à deux dimensions dans les cristaux. Récemment, le concept de soliton spatiotemporel 

a aussi été introduit, à la suite d’observations d’impulsions qui ne diffractent et ne dispersent 

pas [Eisenberg 01, Liu X. 99]: ces solitons sont communément appelés "ligth bullets" [Silberberg 00]. 

Chaque type de soliton que nous avons mentionné se divise en deux classes distinctes: les solitons 

95

96 4. Génération et contrôle de solitons spatiaux en régime d’impulsions ultra-courtes dans des milieux χ (2) 

brillants (brigth solitons) et les solitons sombres (dark solitons) selon que l’élément qui conserve inchangées 

ses caractéristiques pendant la propagation est un pic ou un creux d’intensité. Enfin, les solitons 

sont classés sur la base du processus non-linéaire responsable de leur génération: non-linéarité 

quadratique (solitons paramétriques), de type Kerr ou encore une combinaison de différents effets 

non-linéaires (deuxième et troisième ordre, troisième et cinquième ordre). 

J’ai effectué un séjour post-doctoral de deux ans dans le groupe d’optique non-linéaire du Prof. 

Di Trapani à l’université de Côme. Les thématiques principales de recherche de cette équipe sont le 

développement de nouvelles sources paramétriques et l’étude de la formation de solitons et patterns 

dans des milieux χ (2) . 

Je me suis occupé en particulier d’étudier et caractériser les propriétés des solitons spatiaux dans 

des cristaux à non-linéarité quadratique. L’analyse approfondie que nous avons menée sur l’effet du 

paramètre d’accord de phase (∆k) dans la formation et la stabilité des solitons en régime de génération 

de seconde harmonique et d’amplification paramétrique a permis d’éclaircir le rôle du processus de 

"cascading" pour l’onde fondamentale et pour la seconde harmonique et de proposer une description 

améliorée de ce processus en termes d’effet Kerr et effet Kerr croisé. De cette nouvelle description est 

issue, pour la première fois, une interprétation claire pour l’asymétrie du seuil de formation des solitons 

dans les régimes paramétrique et de seconde harmonique [Di Trapani 01, Conti 02]. 

Ensuite, dans une perspective plus appliquée, j’ai étudié la possibilité d’utiliser les propriétés des 

solitons spatiaux paramétriques pour des applications originales dans le domaine du traitement tout optique 

de l’information. Un schéma de calcul tout optique, basé sur la possibilité de contrôler la formation 

de patterns réguliers de solitons a été démontré expérimentalement [Molina-Terriza 01, Minardi 01]. 

Enfin, l’excitation des solitons et leur propagation ont été exploitées pour la reconstruction d’images 

digitales brouillées par des effets de diffraction [Bramati 01]. 

Dans la suite de ce chapitre je présenterai brièvement les résultats mentionnés ci-dessus. 

4.2 Effets de focalisation et défocalisation dans la conversion 

paramétrique de fréquence 

L’interaction non linéaire du second ordre produit le processus paramétrique de mélange à trois 

ondes, responsable de phénomènes tels que la génération de seconde harmonique ou l’amplification 

paramétrique optique. Un paramètre très important qui caractérise ce type d’interaction est l’accord de 

phase, défini comme ∆k = k 1 + k 2 − k 3 ou k 1 ,k 2 ,k 3 sont les vecteurs d’onde des trois champs considérés. 

Ce paramètre détermine, en particulier, le déphasage non-linéaire que les trois ondes expérimentent 

au cours de la propagation, ainsi que leur couplage effectif. Si ∆k ≠ 0 les trois ondes passent 

par des cycles successifs de conversion et reconversion. Le déphasage non-linéaire, analogue à celui 

qui se produit dans un milieu Kerr, est dû précisement à ces échanges périodiques d’énergie qui se 

produisent parmi les trois ondes et est proportionnel à leurs intensités relatives (on désigne généralement 

cet effet par le mot anglais cascading). Comme dans les milieux Kerr, cet effet donne origine 

à des phénomènes d’auto-focalisation ou auto-défocalisation pour des faisceaux dont la distribution 

transverse d’intensité est inhomogène. 

Dans la génération de seconde harmonique, le signe du déphasage non linéaire pour le champ 

pompe dépend du signe du désaccord de phase: un effet d’auto-focalisation (défocalisation) est observée 

pour désaccords positifs (négatifs) [De Salvo 92]. Le cascading a donc été invoqué pour expliquer 

la formation de solitons spatiaux en conditions de génération de seconde harmonique à grand désaccord 

positif, ainsi que pour rendre compte de l’asymétrie observée dans l’intensité de seuil de formation 

des solitons en fonction du paramètre d’accord de phase [Stegeman 96, Toruellas 95]. En effet, expé-

4.2 Effets de focalisation et défocalisation dans la conversion paramétrique de fréquence 97 

rimentalement, le seuil de formation des solitons est plus élevé pour désaccords de phase négatifs. 

Cela a été imputé au phénomène d’auto-défocalisation subi par le champ pompe et qui s’oppose au 

processus de rétrécissement de la taille du faisceau dû au cycles successifs d’échange d’énergie. 

Par ailleurs, le problème des possibles effets déstabilisants du cascading sur les solitons formés à 

désaccord négatif n’a pas été abordé. 

L’étude que nous avons effectuée sur le cascading a démontré que l’effet de ce processus est 

à l’origine non seulement d’une auto-modulation de phase de type Kerr pour le champ pompe, mais 

aussi de modulations de phase par effet Kerr croisé sur le champ pompe et sur la seconde harmonique, 

qu’on doit prendre en compte pour une compréhension complète du phénomène. Le modèle 

développé présente un très bon accord avec l’expérience et permet d’expliquer la stabilité des solitons 

pour désaccords négatifs. 

4.2.1 L’asymétrie du seuil de formation des solitons 

Les études qui avaient été menées sur la génération des solitons dans des milieux χ (2) supposaient 

toutes qu’un grand désaccord positif induit une auto-focalisation de la lumière produite dans 

l’interaction paramétrique, indépendamment du processus considéré: génération de seconde harmonique 

ou amplification paramétrique [Canva 97]. 

Pour vérifier cette hypothèse, nous avons étudié expérimentalement la formation de solitons dans 

ces deux configurations. Dans le premier cas, seul un faisceau pompe fondamental est envoyé dans 

le cristal; dans le deuxième cas un faisceau intense à la fréquence de la seconde harmonique et un 

faible faisceau à la fréquence du fondamental (seed) incident simultanément sur le cristal. 

Fig. 4.1 – Énergie de seuil pour la formation des solitons en fonction du désaccord de phase en régime de 

génération de seconde harmonique (a) et d’amplification paramétrique (b). Les cercles correspondent 

aux données expérimentales, les étoiles aux prévisions théoriques 

Les résultats expérimentaux sont présentés sur la figure 4.1. Le seuil mesuré pour la génération 

de seconde harmonique (4.1a) diminue soudainement lorsque lorsqu’on passe de la region de autodéfocalisation 

(∆k < 0) à celle de auto-focalisation (∆k > 0). Pour les solitons en configuration d’amplification 

paramétrique, les mesures sont effectuées sur un intervalle du désaccord de phase plus petit 

à cause de la compétition des processus d’amplification paramétrique spontanée du bruit quantique à 

longueurs d’onde différentes (voir figure 4.1b). Néanmoins la comparaison des résultats dans les deux 

configurations montre sans ambiguïté que l’amplification paramétrique présente un comportement opposé. 

Le seuil plus élevé mesuré en amplification paramétrique pour des désaccords positifs suggère 

que la non-linéarité effective est de type auto-défocalisant contrairement au cas de la seconde harmonique. 

Ces résultats mettent en évidence que la description couramment acceptée pour le phénomène


du cascading présente des imperfections. 

Pour avoir une meilleure compréhension du phénomène du cascading nous avons effectué une 

autre expérience qui montre le rôle opposé qui joue le cascading pour les champs fondamental et de 

seconde harmonique. 

250 

200 

SH 

FH 

d [µm] 

150 

100 

50 

Linear regime 

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 

∆k [cm -1 ] 

Fig. 4.2 – Diamètre des faisceaux fondamental et seconde harmonique mesurés sur la face de sortie du cristal 

non linéaire en fonction du paramètre d’accord de phase ∆k dans une expérience de génération de 

seconde harmonique. L’énergie du faisceau fondamental et son diamètre à l’entrée du cristal sont 

fixés. La ligne en pointillé représente la limite de diffraction en régime linéaire. 

Il s’agit d’une expérience de génération de seconde harmonique dans laquelle une impulsion 

pompe à 1055 nm de durée 1.5 ps est focalisée sur la face d’entrée d’un cristal de LBO de 30 mm 

de longueur. Le diamètre à l’entrée du cristal est de 44 µm à mi-hauteur. L’énergie de l’impulsion, fixée 

à 1.5 µJ, correspond à l’énergie nécessaire à la formation de solitons spatiaux près de la condition 

d’accord de phase (∆k = 0). Le paramètre d’accord de phase est changé variant la température du 

cristal entre 110 et 200 C o . 

Les résultats expérimentaux sont illustrés sur la figure 4.2. Le comportement opposé de l’effet 

de lentille effective pour le champ pompe et pour la seconde harmonique est très évident dans la 

région dans laquelle le régime solitonique n’est pas obtenu (∆k < −2cm −1 et ∆k > 10cm −1 ). Pour 

des désaccords négatifs, le diamètre du faisceau fondamental à la sortie du cristal est plus grand 

qu’en régime de propagation linéaire, en accord avec une non-linéarité effective induisant une autodéfocalisation. 

Au contraire, dans la région des désaccords positifs, le diamètre du faisceau pompe est 

toujours inférieur à la valeur observée en régime linéaire. La seconde harmonique présente aussi des 

effets de auto-focalisation et défocalisation, mais pour des signes opposés du désaccord de phase. 

Ces résultats mettent en évidence la subtilité du processus de cascading, qui présente des effets 

opposés pour les deux champs (fondamental et seconde harmonique). De plus, si les résultats illustrés 

sur la figure 4.2 permettent d’expliquer qualitativement les variations du seuil de formation des 

solitons en fonction du désaccord pour le cas de génération de seconde harmonique, ils sont inconciliables 

avec les mesures concernant le seuil du régime solitonique en configuration d’amplification 

paramétrique.

4.3 Vortex optiques et formation contrôlée de pattern de solitons 99 

4.2.2 Le modèle 

Une compréhension complète des effets de lentille effective dans le cascading peut s’obtenir à 

partir des équations couplées qui décrivent l’interaction paramétrique de deux ondes [Di Trapani 01, 

Conti 02], en effectuant une analyse perturbative dans laquelle les champs sont développés en série 

de puissances de 1/∆k (voir [Conti 02] pour les détails de la dérivation). Ce modèle a été développé 

en collaboration avec le groupe du Prof. Trillo de l’université de Ferrara. On obtient un système de deux 

équations réduites pour les champs fondamental et seconde harmonique a et b de cette forme: 

i ∂a 

∂z + σ 1 

2 ∇2 ⊥ a + 1 

2∆k |a|2 a − 1 ∆k |b|2 a = 0 (4-1) 

i ∂b 

∂z + σ 2 

2 ∇2 ⊥ b − 1 ∆k |a|2 b = 0 (4-2) 

où les coefficients σ 1 et σ 2 dépendent des composantes du tenseur χ (2) . Ces équations constituent 

une généralisation de l’equation de Schrödinger non linéaire, normalement utilisée pour la description 

du phénomène du cascading. Elles contiennent des termes croisés de modulation de phase qui permettent 

d’expliquer le comportement montré sur la figure 4.2. Dans le cas de génération de seconde 

harmonique le champ fondamental est très grand devant la seconde harmonique (|a| ≫ |b|) donc les 

deux champs expérimentent une effet de lentille effective opposée pour le même désaccord de phase. 

Dans l’amplification paramétrique (|a| ≪ |b|) le termes croisés sont dominants dans les deux équations 

et les deux champs expérimentent le même effet de lentille effective pour un même désaccord. 

Ce modèle explique aussi l’existence de solitons pour des désaccords de phase négatifs. En effet, 

il a été prévu théoriquement et observé expérimentalement que la composition des solitons spatiaux 

dans des milieux à non linéarité quadratique dépend du ∆k. Pour les désaccords positifs, le contenu 

énergétique des solitons est plus important pour le champ fondamental que pour la seconde harmonique. 

La situation opposée est vérifiée pour les désaccords négatifs. À désaccord nul, l’énergie est 

partagée entre les deux champs. En comparant les signes des termes croisés dans les équations précédentes, 

il est clair que, dans la région à désaccords négatifs, le champ le plus intense pour le soliton 

expérimente toujours un effet d’auto-focalisation. 

4.3 Vortex optiques et formation contrôlée de pattern de solitons 

Les vortex optiques dans les faisceaux lumineux sont des points où l’intensité du champ électromagnétique 

est nulle. En ces points la phase du champ n’est pas définie et un vortex optique correspond 

donc à une singularité de phase du champ électromagnétique. Le front de phase est hélicoïdal autour 

de cette singularité. La phase du champ change de 2πm lorsque on parcourt un chemin fermé autour 

d’une singularité; m est un nombre entier appelé charge topologique du vortex. Les faisceaux avec 

des vortex, grâce au front de phase en hélice, sont très intéressants pour certaines applications (par 

exemple les pinces optiques). L’utilisation des ces faisceaux dans des systèmes qui supportent la propagation 

de solitons ouvre la voie à la réalisation de dispositifs optiques pour le traitement tout optique 

de l’information. 

Lorsque nous avons commencé à nous intéresser à ce sujet, il avait déjà été montré que, dans le 

processus de génération de seconde harmonique, un faisceau pompe intense présentant des vortex se 

sépare dans un ensembles de solitons spatiaux. La question naturelle est de se demander si le nombre 

de solitons formés est contrôlé par la valeur de la charge topologique de l’onde fondamentale (m ω ) 

et de la seconde harmonique (m 2ω ). Deux configurations expérimentales permettent la génération 

de la seconde harmonique: soit seulement la pompe à la fréquence fondamentale est envoyée sur


le cristal, soit la pompe et un faible signal (seed) à la longueur d’onde de la seconde harmonique 

sont envoyés sur le cristal. Dans le premier cas il avait déjà été montré expérimentalement que la 

seconde harmonique est générée avec une charge topologique donnée par la relation m 2ω =2m ω . Ce 

faisceau se sépare ensuite en un certain nombre de solitons à cause des instabilités de modulation 

dans la direction azimuthal [Petrov 98]. Dans la deuxième situation, étudiée seulement du point de vue 

théorique, les prévisions montraient que le nombre des solitons produits dans le cristal est donné par 

n = |2m 2ω − m ω | [Torner 98]. 

Nous avons donc effectué une expérience pour tester la validité de cette analyse théorique. La 

configuration expérimentale est la suivante: une impulsion de 1.1 ps à 1055 nm, issue d’un laser 

Nd:verre à verrouillage des modes, est focalisée dans un cristal LBO 30 mm de long, coupé pour un 

accord de phase non critique de type I; la taille du faisceau pompe est d’environ 50 µm. Un faible signal, 

co-propageant avec la pompe, à la longueur d’onde de la seconde harmonique est aussi envoyé 

sur le cristal. Les vortex sont préparés à l’aide d’hologrammes de haute efficacité générés par ordinateur. 

La charge topologique du faisceau pompe a été fixée égale à 1; des faisceaux signal avec charges 

topologiques différentes (-1,-2,-3) ont été générés. Un soin particulier est aussi prêté à la qualité optique 

des deux faisceaux, qui sont filtrés spatialement afin de réduire au minimun les inhomogéneités 

spatiales, l’ellipticité et l’astigmatisme. 

Fig. 4.3 – Demonstration expérimentale d’une "algèbre de solitons". Le nombre n de solitons observés est déterminé 

par les charges topologiques du faisceau pompe et signal selon la relation n = |2m ω − m 2ω . 

(a): Pattern obtenu en régime linéaire; (b)-(d): [m ω ,m 2ω ] = [1,−1],[1,−2],[1,−3] 

. 

Les résultats expérimentaux sont présentés dans la figure (4.3). Pour des faibles intensités de 

pompe le vortex diffracte et s’étale (fig(4.3 a)). Lorsque la puissance de la pompe est augmentée au 

dessus du seuil du régime solitonique, un nombre contrôlable de solitons est observé (fig4.3b-d), qui 

dépend de la valeur de la charge topologique du faisceau signal et qui vérifie les prévisions théoriques. 

Cette expérience démontre le principe de fonctionnement d’un nouveau type de dispositifs optiques 

capables d’effectuer un traitement de l’information en mélangeant les charges topologiques pour produire 

un nombre contrôlable de solitons. Le schéma expérimentale que nous avons développé reste 

valable pour différents types de mélanges paramétriques, en régime de génération de seconde harmonique 

mais aussi de conversion paramétrique. Le résultat fondamental est que l’information inscrite 

dans les charges topologiques à l’entrée du dispositif est transformée en un ensemble stable, résistant 

et surtout prédéfini des solitons.

4.4 Reconstruction d’images digitales par formation contrôlée de solitons spatiaux 101 

4.4 Reconstruction d’images digitales par formation contrôlée de 

solitons spatiaux 

La propagation sans diffraction est la propriété qui caractérise les solitons spatiaux. Grâce à cette 

propriété un faisceau en régime solitonique est invariant par translation le long de la coordonnée de 

propagation z: sa profondeur de champ est en principe infinie. 

Dans cette section je présenterai une application dans laquelle la propriété de propagation sans diffraction 

des solitons est exploitée pour reconstruire des images digitales. Dans ce contexte on entend 

par image digitale une image formée par plusieurs faisceaux (qui jouent le rôle des pixels) disposés 

sur des noeuds sélectionnés d’un réseau carré. En régime de propagation linéaire, une telle image 

apparaît nette et donc reconnaissable seulement dans un intervalle le long de la direction de propagation 

correspondant à sa profondeur de champ. En dehors de cette zone l’image est brouillée à cause 

des effets de diffraction qui induisent la superposition des différents faisceaux et leur interférence. Cependant, 

en regime non-linéaire, si chaque faisceau est capable d’exciter un soliton, la profondeur de 

champ de l’image sera en principe infinie. L’idée est de trouver des conditions expérimentales telles 

que les solitons soient excités si le plan focal de l’image est à l’intérieur du cristal. Dans ce cas on 

pourra récupérer l’image nette sur la face de sortie du cristal, indépendamment de la position du plan 

focal image dans le cristal. Avec cette technique nous avons obtenu une amélioration de l’intervalle sur 

lequel l’image est clairement reconstruite d’un facteur 3.6 par rapport au régime linéaire. 

Dans cette section je présenterai l’expérience et discuterai les facteurs qui limitent l’intervalle maximal 

attainable. 

4.4.1 Configuration expérimentale 

Le cristal non linéaire utilisé pour la génération des solitons est un cristal de LBO (triborate de 

lithium) de 30mm de long. Le cristal est pompé par un laser Nd : verre, à verrouillage de modes, amplifié 

et doublé en fréquence, qui produit des impulsions de 1.5ps à 527nm. La température du cristal 

est fixée à 107.5C pour réduire au minimum l’écart entre les vitesses de groupe des différents impulsions 

(signal, complémentaire, pompe) Dans ces conditions on obtient une conversion paramétrique 

spontanée à 1.8µm pour le complémentaire et à 0.75µm pour le signal. 

Nous avons effectué deux expériences différentes: avec un seul faisceau pompe de 40 µm de 

largeur à mi-hauteur et avec une pompe constituée des plusieurs faisceaux, obtenue en faisant passer 

le faisceau laser à travers une diapositive sur laquelle une image est reproduite. Le plan de la diapositive 

est ensuite imagé (avec une réduction convenable) sur la face d’entrée du cristal. Un filtrage 

spatial après la diapositive assure une bonne qualité des faisceaux pompe, importante pour l’excitation 

des solitons [Torner 99]. Dans les deux configurations le cristal non linéaire et le système d’imagerie 

(camera CCD) sont solidaires et peuvent être déplacés le long de l’axe de propagation z du faisceau 

pompe. Ce montage nous permet d’étudier la profondeur de champ du faisceau pompe en fonction de 

la position relative de son plan focal et du cristal. Pour repérer aisément la position du cristal par rapport 

au plan image de la pompe on fixe la position de l’origine sur l’axe de propagation z de la manière 

suivante: z = 0 lorsque le plan focal de la pompe coïncide avec la face de sortie du cristal (en régime 

de propagation linéaire). Des valeurs positives de z s’obtiennent déplaçant le cristal dans la direction 

de propagation de la pompe; les valeurs négatives pour des déplacements dans la direction opposée. 

4.4.2 Profondeur de champ d’un soliton spatial 

La profondeur de champ d’un seul faisceau pompe à été étudiée en régime de propagation fortement 

non-linéaire. Pour une intensité de pompe fixée (120 GW/cm 2 ) on fait varier la position du cristal 

sur l’axe z et on mesure le diamètre du faisceau sur sa face de sortie: nous avons pu observer, pour la


pompe et pour le signal, la formation des solitons (mutually trapped beams) sur un intervalle de 32 mm; 

sur cet intervalle le diamètre des faisceaux à la sortie du cristal est constant. Le résultat important est 

que cet intervalle, qui correspond à la profondeur de champ du soliton, améliore d’environ un facteur 

trois le paramètre confocal du faisceau pompe en régime de propagation linéaire (voir figure 4.4). 

220 

Output beam diameter (mm) 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

Pump (non-linear) 

Signal (non-linear) 

Pump (linear) 

Pump waist 

inside LBO 

crystal 

0 

-20 -10 0 10 20 30 40 

Z (mm) 

Fig. 4.4 – Diamètre du faisceau sur la face de sortie du cristal en fonction de la position du cristal 

On peut aussi remarquer qu’il n’est pas nécessaire de focaliser le faisceau pompe à l’intérieur du 

cristal pour exciter un soliton. Ces mesures ont été faites avec une intensité de pompe constante; il est 

possible d’étendre l’intervalle mesuré si l’on s’accorde la possibilité d’augmenter l’intensité de pompe: 

avec une pompe plus intense les solitons peuvent être excités même si le plan image de la pompe est 

nettement à l’extérieur du cristal. En mesurant le seuil de formation de solitons en fonction de la position 

du cristal, nous avons montré qu’il est possible de déplacer le cristal sur des intervalles allant jusqu’a 

70 mm. On pourrait penser que, moyennant la puissance nécessaire, une profondeur de champ aussi 

grande qu’on le désire soit réalisable. En réalité, pour éviter que des processus non linéaires d’ordre 

supérieur, tels que la génération de continuum démarrent, l’intensité maximale utilisable reste limitée. 

Un point important mis en évidence par la mesure du seuil de formation des solitons est que, 

lorsque le plan image de la pompe se trouve dans le cristal, l’énergie nécessaire à l’excitation du 

régime solitonique est constante. Cette observation, combinée avec la l’invariance du diamètre du 

soliton, illustrée par la figure 4.4, démontre que le plan du col du faisceau pompe peut se déplacer 

librement à l’intérieur du cristal, sans que cela affecte le diamètre des faisceaux pompe, signal et 

complémentaire (les trois en régime solitonique) à la sortie du cristal. 

Les résultats encourageants obtenus dans le cas d’un seul faisceau pompe suggèrent donc la 

possibilité d’appliquer cette technique dans le but d’améliorer la profondeur de champ pour des images 

digitales précédemment décrites. Nous verrons dans le paragraphe suivant que, dans ce cas, d’autres 

effets interviennent à limiter les performances de la technique. 

4.4.3 Reconstruction d’images digitales 

Le faisceau pompe est maintenant une image digitale constituée des plusieurs faisceaux disposés 

de façon à former une flèche. Comme pour un seul faisceau pompe, nous avons observé les modifica-

4.4 Reconstruction d’images digitales par formation contrôlée de solitons spatiaux 103 

tions de l’image reconstruite à la sortie du cristal, lorsque on fait varier la position du cristal par rapport 

au plan image. Les résultats sont illustrés sur la figure 4.5. 

Z 

(mm) 

Pump 

(linear) 

Signal 

(non−linear) 

−1 

+11 

+23 

Fig. 4.5 – Exemple de reconstruction d’une image digitale 

L’intervalle sur lequel l’image est clairement reconstruite en régime non linéaire à la longueur 

d’onde du signal est beaucoup plus grand (24 mm) qu’en régime linéaire (10 mm), où les effets néfastes 

de la diffraction sont évidents. Le principal obstacle à une ultérieure amélioration des performances de 

cette technique de reconstruction d’images simplement en augmentant l’intensité de pompe provient 

de la portion des faisceaux de pompe non couplée avec les solitons. 

En effet cette radiation (background), associée à chaque faisceau-pixel de l’image, n’étant pas 

en régime solitonique, diffracte et peut interférer avec celles des pixels plus proches. Des figures 

d’interférence apparaissent alors et, en régime de haute intensité, en correspondence des maxima 

d’interférence, des nouveaux solitons peuvent être excités. Cela brouille l’image originale par l’ajout de 

pixels non prévus. 

Comme l’interférence s’est révélée être la limitation principale de cette technique, il est intéressant 

d’étudier l’influence des caractéristiques des images à reconstruire (diamètre des pixels, interdistance)sur 

les performances réalisables. À cette fin nous avons mesuré l’intervalle de reconstruction 

maximale pour différentes valeurs du grandissement du système d’imagerie (1/6, 1/5, 1/4, 1/3). On observe 

que l’intervalle maximal de reconstruction décroît et que le seuil du régime solitonique augmente 

au décroître du diamètre des pixels. Les effets de diffraction jouent un rôle de plus un plus important 

et l’intervalle de reconstruction est de l’ordre de la longueur effective du cristal. Pour des diamètres 

des pixels plus grands la diffraction est plus faible et l’intervalle et donné par la somme du paramètre 

confocal d’un pixel et de la longueur effective du cristal. En réalité pour estimer les performances de 

notre système, l’intervalle absolu de reconstruction n’est pas un bon indicateur: il faut le comparer 

à la profondeur de champ de l’image en régime de propagation linéaire. Le meilleur résultat obtenu 

correspond à une amélioration d’un facteur 3.6 par rapport au cas linéaire.



1. Faccio D, Di Trapani P., Bragheri F., Liberale C., Degiorgio V., Bramati A., Minardi S., Dubietis A., 

Matijosius A., Piskarkas R., Varanavicius A. Title: Far-field spectral characterization of conical 

emission and filamentation in Kerr media, soumis à JOSA B 

2. Conti, C.; Trillo, S.; Di Trapani, P.; Kilius, J.; Bramati, A.; Minardi, S.; Chinaglia, W.; Valiulis, 

G., J. Opt. Soc. Am. B, 19,852, (2002) Title: Effective lensing effects in parametric frequency 

conversion 

3. Minardi, S.; Molina-Terriza, G.; Bramati, A.; Di Trapani, P.; Torner, L.; Torres, J.P.; Petrov, D.V.; 

Soto-Crespo, J.M., Opt.Photonics News, 12, 63, (2001) Title: Controllable patterns of parametric 

solitons 

4. Di Trapani, P.; Bramati, A.; Minardi, S.; Chinaglia, W.; Conti, C.; Trillo, S.; Kilius, J.; Valiulis, G., 

Phys. Rev. Lett., 87,183902/1, (2001) Title: Focusing versus defocusing nonlinearities due to 

parametric wave mixing 

5. Bramati, A.; Chinaglia, W.; Minardi, S.; Di Trapani, P., Opt. Lett.,26, 1409, (2001) Title: Reconstruction 

of blurred images by controlled formation of spatial solitons 

6. Molina-Terriza, G.; Minardi, S.; Bramati, A.; Di Trapani, P.; Torner, L., Opt. Express, 9, (2001) 

Title: Demonstration of vortex-induced beam shaping in seeded second-harmonic generation 



VOLUME 87, NUMBER 18 P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S 29 OCTOBER 2001 

Focusing versus Defocusing Nonlinearities due to Parametric Wave Mixing 

P. Di Trapani, 1 A. Bramati, 1 S. Minardi, 1 W. Chinaglia, 1 C. Conti, 2 S. Trillo, 2,3 J. Kilius, 1,4 and G. Valiulis 4 

1 INFM and Department of Chemical, Physical and Mathemetical Sciences, University of Insubria, Via Lucini 3, 22100 Como, Italy 

2 Istituto Nazionale di Fisica della Materia, INFM-RM3, Via della Vasca Navale 84, 00146 Roma, Italy 

3 Department of Engineering, University of Ferrara, Via Saragat 1, 44100 Ferrara, Italy 

4 Department of Quantum Electronics, Vilnius University, Building 3 Sauletekio Avenue 9, 2040, Vilnius, Lithuania 

(Received 9 August 2000; revised manuscript received 12 January 2001; published 16 October 2001) 

We show experimentally and theoretically that cascading due to two-wave parametric frequency conversion 

in quadratic materials acts as an effective focusing or defocusing nonlinearity, depending not only 

on mismatch, but also on the selected wave, and the dominant type of process (second-harmonic generation 

or down-conversion). A dramatic asymmetry of beam spreading and threshold lowering for soliton 

formation against mismatch is the clear experimental signature of this behavior. 


PACS numbers: 42.65.Tg, 05.45.Yv, 42.65.Pc, 42.70.Qs 

Self-trapped (nondiffractive) wave packets or solitons 

are the most striking manifestation of self-focusing occurring 

in Kerr media with positive nonlinear index [1]. However, 

also second-harmonic generation (SHG) with large 

phase mismatches Dk 2k 1 k 2 , results in an effective 

self-induced Kerr effect for the fundamental harmonic 

(FH) beam, i.e., an intensity-dependent index change 

which is of self-focusing type for Dk . 0 [2,3]. This 

so-called cascading effect, due to reiterated up- and downconversions, 

is a universal x 2 phenomenon occurring 

also via other mixing processes [3,4]. A renewed interest 

in cascading has motivated the pioneering observation of 

parametric solitons in SHG [5], which, unlike solitons 

in true Kerr media, do not undergo catastrophic blowup 

in 2 1 1 dimensions [6]. The field of x 2 trapping was 

then enriched by observations of spatial locking in optical 

parametric amplification (OPA, i.e., down-conversion) of 

quantum noise [7] or finite seed [8], transverse instabilities 

[9] and temporal effects [10] in SHG, and Bessel-like or 

vortex beams in SHG and OPA [11,12]. Theoretically, 

parametric solitons have also stimulated a deep understanding 

of soliton stability with fallout in the whole area 

of nonlinear waves [13]. 

The studies of quadratic wave mixing of confined wave 

packets have been carried out by taking for granted that 

large positive Dk results into self-focusing of parametrically 

generated light. The aim of this Letter is to show 

experimentally and theoretically that this is not generally 

true. Vice versa the outcome of the quadratic wave mixing 

depends critically on the dominant process (SHG vs OPA) 

through the launching conditions, and also on which beam 

is considered. Experimentally, we choose solitons as natural 

candidates to show the diversity existing between SHG 

and OPA, for which we present compelling evidence for 

asymmetric lowering of formation threshold. Conversely, 

to show the different behavior of the two beams we need a 

significant departure from solitons. A comprehensive classification 

of the observed focusing/defocusing features is 

given by means of a novel reduced model. 

We have investigated experimentally focusing and soliton 

formation in SHG and OPA, by means of a laser source 

delivering 1.5-ps pulses (measured by autocorrelation). 

SHG is pumped by a beam at l 0 2pk 0 1055 nm, 

while in OPA a seed at l 0 is amplified by a SH pump 

beam at l 0 2 527.5 nm. A 3-cm-long LBO (lithium 

triborate) crystal was chosen in spite of its relatively 

low nonlinear coefficient d eff 0.85 pmV (x 

k 0 

q2ce 0 n 2 1n 2 d eff 7 3 10 25 W 212 with n 1 

n 2 1.6), because of (i) low (virtually zero) two-photon 

absorption at 527.5 nm; (ii) absence of walk-off due to 

type I temperature-tuned noncritical phase matching. The 

measured phase matching temperature, corresponding to 

peak SHG conversion for a wide FH beam was 159 ± C. A 

nearly Gaussian input pump beam with FWHM diameter 

of 45 mm was focused on the input face of the crystal, 

and its energy was measured by a calibrated energy meter. 

The output beam was imaged onto a CCD camera, where 

the beam profiles and diameters at both FH and SH are 

measured by means of suitable filters. Under low power 

operating conditions, we measure a diffracted output 

FWHM diameter d 150 200 mm. 

First, soliton formation is observed at a well-definite 

pump input energy threshold E T , above which the beam 

widths of both harmonics are locked to a fixed value and 

do not exhibit appreciable changes in response to large 

variations of input energy (see also Ref. [5]). The threshold 

measured in SHG is reported in Fig. 1. It decreases 

abruptly when crossing from the self-defocusing (Dk , 0) 

to the self-focusing (Dk . 0) side. Although in the latter 

region the threshold depends smoothly on Dk, the output 

imbalance (FH to SH energy ratio) at threshold increases 

considerably with Dk, as shown in Fig. 2. 

For comparison, we have measured (see Fig. 3) the 

soliton threshold in OPA with (fixed) 8 nJ FH seed. In 

this case, the measurements are limited to a smaller range 

of jDkj by the onset of competing OPA of quantum 

noise occurring, for high pumping rates, at different 

signal-idler (spontaneously phase matched) wavelengths. 

183902-1 0031-90070187(18)183902(4)$15.00 © 2001 The American Physical Society 183902-1



FIG. 1. Threshold energy for soliton formation against mismatch 

Dk in a SHG experiment. The solid circles are measured 

data, while stars are relative to the peak intensity calculated numerically 

from Eqs. (1) within a CW approximation. 

Nevertheless, by comparing Figs. 1 and 3, it is clear that 

OPA shows the opposite trend. The higher threshold 

measured in OPA for Dk . 0 suggests that the effective 

nonlinearity is of defocusing (focusing) type for Dk . 0 

Dk , 0, unlike the case of SHG. However, in this case 

this focusing/defocusing action must be expected to stem 

from the SH beam which dominates the OPA dynamics. 

To check further the focusing versus defocusing nature 

of the effective nonlinear lensing effect, we have performed 

a second set of measurements in SHG from an 

input FH beam with fixed diameter (d 44 mm) and input 

energy corresponding to the formation of a parametric 

soliton near phase matching (about 1 mJ, see Fig. 1). 

Then, the output beam diameters of the FH and SH beams 

are recorded against mismatch Dk and shown in Fig. 4, 

in a range of about 100 cm 21 corresponding to temperatures 

110 200 ± C. For large absolute mismatches (say 

FIG. 3. 

As in Fig. 1 for an OPA experiment. 

jDkj . 40 cm 21 ), diffraction of the FH beam strongly 

dominates over SHG, and the two beam diameters approach 

the linear limit, reported as a dashed line in Fig. 4. 

Here, unlike the previous set of measurements, we do 

not readjust the input energy to form a soliton when the 

absolute mismatch is changed. Thus, for intermediate 

mismatches, the nonlinearity does not balance completely 

diffraction, and the beams experience significant width 

variations. Remarkably, the two beams exhibit a strongly 

asymmetric behavior against reversal of mismatch. For 

Dk , 0 the FH beam spreads well above the linear limit 

following the well-established defocusing nature of the effective 

nonlinearity. Conversely, for Dk . 0, it is the SH 

beam which experiences a significant spread above the linear 

limit, confirming that the SH beam follows an opposite 

trend with respect to the FH beam, even in SHG. The 

data of Fig. 4 are, to the best of our knowledge, the only 

FIG. 2. 

FH to SH soliton energy ratio versus Dk in SHG. 

FIG. 4. Output beam FWHM diameters d of the FH and SH 

beams measured versus mismatch Dk in a SHG experiment 

with fixed input energy and beam diameter. The dashed line 

represents the linear limit of diffractive spreading. 

183902-2 183902-2



compelling evidence that cascading is a subtle limit, with 

opposite features for the two harmonics. 

The observed features can be explained starting from 

the standard Hamiltonian coupled-mode model [13], conveniently 

written in terms of dimensionless variables as 

i ≠u 1 

≠z 1 s 1 

2 =2 u 1 1 u 2 u 1e 2idkz 0 , 

i ≠u 2 

≠z 1 s 2 

2 =2 u 2 1 u2 1 

2 eidkz 0 , 

(1) 

power ratio Q 2 

/Q 1 

20 

15 

10 

5 

127 

110 

80 

Q 1 

/Q 2 

50 

8 

4 

0 

0 5 10 

Q=25 

Q=25 

50 

80 

127 

where z ZZ d , x, y X, Yr 0 (r p x 2 1 y 2 is 

the radial coordinate, and = 2 ≠x 2 1 ≠2 y the transverse 

Laplacian), r 0 and Z d k 1 r0 2 being a reference input 

pspot-size and diffraction length, respectively. u n x, y, z 

3 2 n Zd xE n X, Y, Z, n 1, 2, are slowly varying 

envelopes, with jE n j 2 being real-world intensities. Here 

dk DkZ d 2k 0 Z d n 1 2 n 2 is the normalized mismatch, 

while s n k 1 k n , i.e., s 1 1 and s 2 1 2 . 

We have dealt with Eqs. (1) following three different 

approaches, all of them accounting for the observed features. 

First, we have resorted to numerical integration of 

Eqs. (1). For any value of Dk, the threshold is determined 

numerically by doing several simulations at different input 

intensities. The stars in Figs. 1–3 correspond to the 

values of threshold and imbalance estimated numerically 

(the computed threshold is CW and thus reported on a different 

vertical scale in GWcm 2 ). The agreement is satisfactory, 

although a more quantitative comparison would 

require accounting for temporal effects (i.e., pulse breaking, 

group-delay, …), not included in Eqs. (1). 

To establish further the asymmetric behavior of mixing, 

the entire family of radially symmetric nodeless soliton 

solutions u n u n0 r expinbz of Eqs. (1) [14], was 

mapped numerically in the plane dk, b. Solitons exist for 

any propagation constant b . 0 when dk . 0, and only 

for b . 2dk2 when dk , 0, becoming infinitely wide 

close to this existence threshold. To our purpose, the soliton 

family is conveniently characterized in terms of power 

Rimbalance R Q 2 Q 1 (or Q 1 Q 2 ), where Q n Q n b, dk 

1` 

2` ju n0j 2 3 2 n dx dy gives the parametric dependence 

of the FH n 1 and SH n 2 powers. Experimentally, 

one does not have direct control on b, but rather 

on the (related) total power Q Qb, dk Q 1 1 Q 2 

which is conserved along z (together with the Hamiltonian) 

[13]. The curves showing the dependence of power 

imbalance Q 2 Q 1 on accessible quantities, i.e., against dk 

for different constant powers Q, are reported in Fig. 5, and 

agree with the observed features. First, strongly asymmetric 

behavior around dk 0 is clearly evident. The FH 

and SH components are comparable only at phase matching, 

whereas the SH content remains weak for dk . 0 and 

is markedly enhanced for dk , 0 (vice versa for the FH 

component). Since soliton formation is obviously favored 

by launching conditions which better match the soliton 

0 

-10 -5 0 5 10 

mismatch δ k 

FIG. 5. Ratio Q 2 Q 1 of SH to FH power components versus 

mismatch dk, for different values of the total soliton power 

Q Q 1 1 Q 2 . Unstable soliton branches are plotted as bold 

curves. The inset shows an enlarged picture of the inverse ratio 

Q 1 Q 2 for positive dk. 

content, this explains why solitons are favored for dk . 0 

in SHG (see Fig. 1), and for dk , 0 in OPA (see Fig. 3). 

A second subtle point is the strong asymmetry between 

the regions of large negative and positive mismatches dk. 

For dk . 0, Fig. 5 shows that, at constant power, the 

relative FH content of the soliton raises smoothly (and 

indefinitely) with dk, in agreement with the quasilinear 

increase exhibited by SHG data in Fig. 2. Conversely, for 

dk , 0, Q 2 Q 1 increases abruptly where, however, solitons 

become unstable (dQdb , 0 [13], shown as bold 

branches of the multivalued curves in Fig. 5) thus being 

unobservable. Despite the instability affects only a tiny 

region of the plane b, dk close to the existence boundary 

[13], our accurate calculation shows that solitons exhibit 

a strong enhancement of SH content exactly within 

this region. In other words, the parametric soliton instability 

is the counterpart of the well-known plane-wave decay 

instability of the SH beam. In this respect, our available 

data, showing that the SH to FH ratio measured in OPA 

(not reported) never reaches the high values of SHG imbalance 

(FH to SH ratio in Fig. 2), support only qualitatively 

this picture. Conclusive statements on this specific 

point require overcoming the limitation on the achievable 

Dk range in OPA, and account for intrinsic Kerr terms. 

Last but not least, the essential focusing/defocusing 

role of cascading nolinearities can be captured from a 

multiscale reduction [15] of Eqs. (1), taking ´ dk 21 as 

smallness parameter. To this end, the two interacting fields, 

assumed to depend on both the fast longitudinal scale 

z z´, and slow scales z n ńz, x n ńx, y n 

ńy, (n 0, 1, 2, . . .), are expanded as u 1 A 1 Á 1 1 

´2A 2 1 . . . , and u 2 B 1 ´B 1 1 ´2B 2 1 . . . , without 

any assumption on their relative magnitude. By proceeding 

in a standard way [15] (details will be published 

elsewhere), we obtain in terms of original variables, the 

183902-3 183902-3



reduced system obeyed by the leading-order envelopes A 

and B as 

i ≠A 

≠z 1 1 2 =2 A 1 1 

2dk jAj2 A 2 1 

dk jBj2 A 0 , 

i ≠B 

≠z 1 s 2 

2 =2 B 2 1 

dk jAj2 B 0 . 

Although Eqs. (2) do not account for the parametric 

energy conversion since they conserve the individual 

beam powers, they describe correctly the large-scale 

dynamics (averaged over many periods of conversion and 

back-conversion) for large jdkj, thus generalizing the 

self-consistent nonlinear Schrödinger equation (NLSE) 

description of cascading. As compared with previous multiscale 

derivations [16], self-action at SH does not appear, 

since it involves coupling to higher harmonics for which no 

experimental evidence was ever reported. The form of the 

effective cubic terms in Eqs. (2) is similar to those found 

for quasi-phase-matching gratings [17] (where, however, 

they act as a correction to grating-induced phase-matched 

quadratic terms), thus suggesting their universal role for 

parametric mixing of mismatched waves. Importantly, 

the global lensing effect arising from phase curvature 

in Eqs. (2) is affected by both self-induced (at FH) and 

cross-induced terms which compete and act oppositely for 

a fixed dk. This explains the observed physics at a glance. 

First, in SHG (jAj ¿ jBj the two harmonics experience 

defocusing action for opposite signs of dk, in agreement 

with the data reported in Fig. 4. Second, lower threshold 

is expected where the effective nonlinearity dictated by 

the dominant beam, i.e., FH in SHG and SH in OPA 

jBj ¿ jAj, has self-focusing nature thereby balancing 

diffraction. According to Eqs. (2), in agreement with 

Figs. 1 and 3, this occurs for dk . 0 in SHG, and for 

dk , 0 in OPA, respectively. In the focusing regions of 

SHG and OPA, the inverse dependence of the effective 

Kerr coefficients on dk in Eqs. (2) accounts for the slight 

increase of threshold with mismatch. More importantly, 

Eqs. (2) in combination with Fig. 5 shows physically 

that solitons are allowed to exist for dk , 0 because 

the dominant SH component experiences a self-focusing 

action. In other words, contrary to common belief, both 

signs of dk must be regarded as self-focusing as long as 

the prevailing soliton component is considered. 

Finally, note that our reduced model is consistent with 

the well-known NLSE limit, which is obtained from 

Eqs. (2) with B 0. In this case, an axially symmetric 

self-trapped FH beam u 1 Ar is accompanied by a 

stabilizing SH field which, in our approach arise at order 

´ as u 2 ´B 1 A 2 2dkexpidkz. These soliton 

solutions approximate the exact ones of Fig. 5 only for 

dk ¿ 1. Importantly, in OPA a singular self-consistent 

(2) 

equation for a single beam amplitude cannot be derived, 

even for large Dk. This is due to the fact that the FH beam 

is weak, and the beam dynamics remains determined by 

the cross-induced origin of nonlinear phase curvature in 

Eqs. (2). 

In summary, the concept of self-focusing (defocusing) 

originating from parametric conversion depends not only 

on the mismatch sign, but also upon the selected wave and 

the dominant process (SHG or OPA). The physics of this 

phenomenon is inherently contained in the usual coupledmode 

model for two-wave mixing. Striking asymmetries 

between soliton thresholds and evolutions of nonsoliton 

beam diameters confirm this picture. 

This work was funded by INFM (PAIS Project 1999) 

and Project Unesco Uvo-Roste 875.571.0. 

[1] R. Y. Chiao, E. Garmire, and C. H. Townes, Phys. Rev. Lett. 

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Schiek, Y. Baek, and G. I. Stegeman, Phys. Rev. E 53, 1138 

(1996). These experiments were carried out only recently 

in spite of an early prediction by Y. N. Karamzin and A. P. 

Sukhorukov, JETP Lett. 20, 338 (1975). 

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Fuerst et al., Opt. Quantum Electron. 30, 907 (1998). 

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[10] P. Di Trapani et al., Phys. Rev. Lett. 81, 570 (1998); X. 

Liu, L. J. Qian, and F. W. Wise, Phys. Rev. Lett. 82, 4631 

(1999); X. Liu, K. Beckwitt, and F. W. Wise, Phys. Rev. E 

61, R4722 (2000). 

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[13] D. E. Pelinovsky, A. V. Buryak, and Yu. S. Kivshar, Phys. 

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Yu. S. Kivshar, and V. V. Steblina, Phys. Rev. A 52, 1670 

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(Wiley, New York, 1993). 

[16] A. G. Kaloksai and J. W. Haus, Phys. Rev. A 49, 574 

(1994); Phys. Rev. E 52, 1636 (1995). 

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183902-4 183902-4


September 15, 2001 / Vol. 26, No. 18 / OPTICS LETTERS 1409 

Reconstruction of blurred images by controlled formation of 

spatial solitons 

Alberto Bramati, Walter Chinaglia, Stefano Minardi, and Paolo Di Trapani 

Istituto Nazionale per la Fisica della Materia and Department of Chemical, Physical and Mathematical Sciences, 

University of Insubria, Via Valleggio 11, 22100 Como, Italy 

Received March 20, 2001 

Diffracted digital images are reconstructed by excitation of spatial solitons in a bulk x 2 crystal, in the regime 

of single-pass parametric amplification of the quantum noise. © 2001 Optical Society of America 

OCIS codes: 190.4970, 070.4340. 

Quadratic nonlinear interaction is known for supporting 

the process of spatial soliton formation, which was 

observed in both upconversion and downconversion 

schemes. 1 – 3 Attractive features of spatial quadratic 

solitons are phase-sensitive interaction, 4 ultrafast addressing, 

5 and multifrequency trapping, which make 

these solitons interesting for all-optical applications. 

In this Letter we apply the most fundamental and 

well-known property of solitary waves, i.e., diffraction-free 

propagation, for reconstruction of digitized 

images. These kinds of image are formed by selected 

pixellike beams arranged on a square lattice. In the 

linear regime such an image can be reconstructed only 

in a range corresponding to the linear depth of focus, 

because of the blurring effects of diffraction; in the solitary 

regime, because of the translational invariance 

ensured by the diffraction-free propagation, we are 

able to reconstruct the image in a larger range, limited 

by the crystal length or by the occurrence of soliton–soliton 

interaction. We achieved an increase of 

depth of focus of digital images of up to a factor of 

3.6 with respect to the linear case. Limitations 

of this reconstruction method are analyzed by study 

of single-soliton formation with respect to the waist 

position (relative to the nonlinear crystal) of the pump 

beam and by performance of several tests of the whole 

image with different diffraction parameters. Our 

work addresses the problem of many-soliton systems 

in the traveling-wave configuration, which we have 

found only a few experimental studies of in the 

literature. 6 – 9 

The experimental setup is based on a 30-mm 

temperature-tuned lithium triborate crystal, operated 

in noncritical type I phase matching and pumped 

by a 1.5-ps, 527-nm pulse from an amplified, frequency-doubled, 

mode-locked Nd:glass laser. We 

set the crystal temperature to 107.5 ± C to obtain 

generation at 1.8 mm (idler) and 0.75 mm (signal) 

from quantum-noise parametric amplification, ensuring 

minimum group-velocity mismatch between the 

interacting pulses. In a first experiment, we used a 

two-lens telescope (demagnification 53) to reconstruct 

at the crystal’s input face an image of a transparency 9 

(reproducing two digitized capital letters, M and F) 

placed in the high-energy (2-mJ) pump-beam path. 

Each pixel in our image was 35 mm FWHM at the 

crystal entrance and was arranged on a selected 

node of a square lattice with a 120-mm step. A CCD 

camera and a single-lens imaging system were used 

to monitor the reconstructed image at the output face 

of the nonlinear crystal. The achieved results are 

shown in Fig. 1. Figure 1a represents the input image. 

Figure 1b shows the image at the output face of 

the crystal in the linear regime: Dramatic spreading 

effects of diffraction are evident. Figures 1c and 1d 

show the reconstructed images at the output face of 

the crystal in the solitary-wave regime for the pump 

and the signal, respectively: Strong improvement of 

the image quality is achieved for both the signal and 

the pump. The reconstructed image at the signal 

wavelength exhibits better quality than the pump 

profile, which is affected by a background that is due 

to the portion of the pump pulse that is not coupled 

with the generated solitons (i.e., that is due to low 

single-soliton content of the input). 10 Note that this 

high-quality feature of the IR image is a unique 

characteristic of the solitons generated by optical 

parametric amplification 3 that is absent from the 

upconversion (or second-harmonic) regime. 

For purposes of image reconstruction we have to 

compare the nonlinear image-reconstruction range 

with respect to the linear depth of focus: To this end, 

we performed measurements in which we scanned 

Fig. 1. Reconstruction of a multipixel image: a, image at 

the input face of the crystal; b, image at the output face 

of the crystal under conditions of the linear propagation 

regime; c, reconstructed image at the output face for the 

pump wavelength in the strongly nonlinear regime; d, reconstructed 

image at the output face for the signal wavelength 

in the strongly nonlinear regime. 



1410 OPTICS LETTERS / Vol. 26, No. 18 / September 15, 2001 

the crystal through the image plane. Both the 

crystal and the imaging system were mounted on a 

translating stage that could be scanned along the 

propagation direction of the pump beam. We defined 

the position Z of the crystal relative to the image 

plane as follows: The origin of the coordinate system 

corresponds to the position at which the image plane 

(in the limit of low intensity, i.e., the linear propagation 

regime) is coincident with the output face of the 

crystal. Translations of the crystal (and the related 

detecting system) along the propagation direction are 

defined as positive Z; negative Z is reached when the 

crystal is shifted in the opposite direction. Notice 

that, in our reference system, the image plane of the 

pump falls inside the crystal for 0 , Z , 18.8 mm; the 

apparently shorter crystal length is an effect of 

the refractive index of our crystal, which is 1.6. 

The results are presented in Fig. 2, which shows the 

reconstructed image (arrows) for selected positions of 

the nonlinear crystal for the pump in the linear regime 

(Fig. 2a) and for the signal in the solitary-wave regime 

(Fig. 2b). The scanning range over which the image is 

sharply reconstructed in the nonlinear regime is much 

more extended than the linear propagation regime 

(the confocal parameter, as measured by scanning of 

the crystal in the low-intensity regime, is equal to 

10 mm); the range is equal to 26 mm for both the 

pump and the signal. Further improvement of the 

depth of focus by an increase in intensity is limited 

by the background of the solitons. In fact, because 

of diffraction, interference patterns appear in the 

background, leading to the formation of new solitons 

at high intensity, distorting the original image with 

the addition of undesired pixels. This effect is quite 

evident for Z 23 mm in Fig. 2. 

Another factor that limits our nonlinear imagereconstruction 

method could be the range at which 

each pixellike beam is able to excite the soliton. To 

verify whether the range of single-soliton formation 

is comparable with the reconstruction range of the 

multibeam image, we have studied the single-soliton 

formation with respect to the waist position (relative 

to the nonlinear crystal) of a single pump beam. 

The setup for the single-beam experiment is the 

same as that of the first experiment, except that the 

imaging telescope is replaced with a 400-mm focusing 

lens that focuses the whole pump beam to 40 mm 

FWHM. In a first experiment, we fixed the pump 

intensity 120 GWcm 2 and scanned the crystal 

position, measuring the output beam diameter in both 

the green 0.527 mm and the signal 0.75 mm bands. 

In the Z range from 25 to 127 mm (see Fig. 3) we 

were able to observe mutually trapped pump and 

signal beams of 30 mm FWHM, which is a clear 

signature of the achieved soliton regime. The main 

result is that the depth of focus of the pump beam in 

the nonlinear regime is 30 mm, i.e., approximately 

three times the measured confocal length of the same 

pump in the linear propagation regime (Fig. 3). From 

the definition of Z, it is also evident that we do 

not need Z to focus the pump inside the crystal to 

obtain solitary waves. The achieved enhancement 

of the pump-focus depth is not the definitive value 

that can be obtained, depending on pump intensity; 

in fact, as can be seen from Fig. 4, by scanning the 

crystal over 70 mm, we can always trigger the soliton, 

providing suitable threshold power to the pump pulse. 

Of course, not all the pump energy is coupled to the 

soliton; the single-soliton content of the output beam 

changes dramatically across the scan. 10 An interesting 

point about Fig. 4 is that the threshold energy 

soliton formation is constant when the pump waist is 

inside the nonlinear crystal. This result, combined 

with the invariance of the soliton diameter in the 

Fig. 2. Image of the crystal output face at selected Z positions. 

a, pump beam in the linear propagation regime (low 

intensity). At Z 0 each pixel has 30 mm FWHM, and the 

step between pixels is 108 mm. b, signal and pump beams 

in the strongly nonlinear regime. 

Fig. 3. Output beam diameter with respect to pump-waist 

position: comparison between the linear and the solitary 

propagation regimes. Trapping between the signal 

and pump beams is evident for values of Z ranging 

from 25 to 127 mm. The vertical lines represent the 

pump-waist position at the input and output of the 

crystal face. Pump-beam parameters: waist peak intensity, 

120 GWcm 2 ; minimum waist diameter, 40 mm 

FWHM. LBO, lithium borate.


September 15, 2001 / Vol. 26, No. 18 / OPTICS LETTERS 1411 

Fig. 4. Threshold for soliton excitation with respect to 

pump-waist position. The threshold is defined as the lowest 

pump power at which, at the output crystal face, a narrow 

beam (in the green band) is detected whose diameter 

does not change significantly with increasing pump power. 

The vertical lines are the same as in Fig. 3. Minimum 

waist diameter, 40 mm FWHM. LBO, lithium borate. 

trapping range, shown in Fig. 3, demonstrates that the 

beam-waist plane of the pump beam can arbitrarily 

move inside the crystal without any relevant change 

in the size of the mutually trapped pump, signal, or 

idler beams at the crystal output face. 

In the multiple-beam experiment we achieved 

a nonlinear reconstruction range shorter than the 

single-beam depth of focus. As we have already 

shown, improvement by increasing only the intensity 

is impossible. Hence we have tried to optimize our 

results by performing several tests in which we 

varied the diffraction parameters of the image by 

means of telescopes with different demagnifications 

33, 43, 53, 63. For a fixed demagnification, by 

increasing the intensity of the input pump we observe 

typical saturation behavior of the achievable reconstruction 

range. In the limit of large demagnification 

53, 63, where diffraction becomes strong, the reconstruction 

range was found to be comparable with 

the effective length of the nonlinear crystal (19 mm). 

The use of larger demagnifications that require a 

larger intensity was prevented by the limited power 

of our source and the onset of high-order nonlinear 

processes (continuum generation). 

To estimate the performance of our system with 

respect to the linear regime, we calculate the improvement 

factor, defined as the ratio of the nonlinear 

reconstruction range to the linear depth of focus, 

for each tested demagnification value. For a 33 

demagnification, we found an improvement factor 

of 1.5, whereas for a 63 demagnification this value 

increased to 3.6. 

In conclusion, we have achieved reconstruction 

of digital images whose image-plane position is not 

precisely defined; the uncertainty is of the order of 

the crystal length. We have observed a nonlinear 

image-reconstruction range in the signal band 3.6 

times larger than the linear depth of focus. We have 

also verified that the ultimate achievable depth of 

focus in the case of multibeam images in limited 

mainly by the diffraction of the whole pattern. 

A. Bramati’s e-mail address is bramati@fis.unico.it. 

References 

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5. P. Di Trapani and W. Chinaglia, Opt. Lett. 23, 1653 

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W. Sohler, Opt. Lett. 22, 1550 (1997). 

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Torres, and C. Cojocaru, Opt. Lett. 23, 1444 (1998). 

9. S. Minardi, S. Sapone, W. Chinaglia, P. Di Trapani, 

and A. Beržanskis, Opt. Lett. 25, 326 (2000). 

10. L. Torner, J. P. Torres, D. Artigas, D. Mihalache, and 

D. Mazilu, Opt. Commun. 164, 153 (1999).

Conclusion 

Dans cette section, consacrée aux conclusions, je chercherai à dresser un bilan général de mes 

activités de recherche, en dégageant les résultats essentiels et, là où ils existent, les points communs 

aux différentes thématiques. Je rappellerai aussi brièvement les développements prévus pour les différentes 

lignes de recherche. 

Dans le premier chapitre j’ai discuté l’ensemble des résultats sur la réduction de bruit dans les 

lasers, obtenus au laboratoire dans les dix dernières années. À mon sens, l’importance de l’étude sur 

les caractéristiques de bruit des lasers, réside dans son double aspect de recherche fondamentale 

et appliquée, confrontée aux limites fondamentales de la mécanique quantique d’une part, et aux 

problèmes des systèmes de télécommunications réels d’autre part. 

Le résultat principal de cette recherche peut être énoncé de la manière suivante: les caractéristiques 

de bruit du laser sont déterminés principalement par les propriétés de corrélation entre ses 

modes, soient-ils longitudinaux, transverses, de polarisation, en dessous ou au dessus du seuil d’oscillation. 

La compréhension de ce phénomène a de répercussions pratiques très importantes: savoir 

que le mode principal d’une diode laser peut présenter un excès de bruit de 40 dB n’est en fait pas 

négligeable dans les applications. 

Actuellement nous sommes en train de diminuer notre effort expérimental sur cette thématique, 

et nous utilisons le montage "diodes et vcsels" pour initier aux techniques de l’optique classique et 

quantique des étudiants de licence et maîtrise dans le cadre de stages de courte durée. En revanche, 

nous poursuivons la collaboration avec le groupe de Philippe Grangier et d’Antonio Z. Khoury au Brésil, 

pour améliorer les descriptions théoriques des laser à semi-conducteur. 

Dans le deuxième chapitre j’ai présenté les résultats de l’activité de recherche que j’ai récemment 

entreprise sur l’étude des propriétés non linéaires et quantiques des microcavités semi-conductrices. 

Bien qu’il s’agisse d’un dispositif semi-conducteur, ce système, comme on l’a vu dans le manuscript, 

grâce à ces caractéristiques, présente des analogies beaucoup plus marquées avec les oscillateurs 

paramétriques optiques et les atomes froids en cavité qu’avec les lasers à semi-conducteur. En effet 

nous avons mis en évidence des phénomènes comme la bistabilité optique et la réduction du bruit 

sous le bruit quantique standard, par effet Kerr, de l’emission non linéaire. 

Les derniers résultats obtenus par notre groupe sur les fortes corrélations entre polaritons dans 

le processus de diffusion paramétrique sont à mon avis de grande importance parce qu’ils constituent 

une forte indication de la possibilité de générer de polaritons intriqués. Cette perspective excitante 

permettrait de transférer au coeur du domaine de l’information quantique l’étude de ces dispositifs, 

actuellement encore principalement limitée aux effets non linéaires classiques. 

Je considère aussi que les techniques spécifiques à l’optique quantique que nous employons dans 

l’étude des microcavités constituent une valeur ajoutée importante qui pourrait se révéler cruciale dans 

certaines expériences, notamment concernant la mise en évidence des propriétés de cohérence des 

polaritons. 

L’effort de l’équipe d’optique quantique va sans doute continuer et mon engagement personnel 

augmenter vis-à-vis de cette expérience qui compte actuellement deux étudiants en thèse, dont je suis 

113

114 Conclusion 

co-responsable. 

Le troisième chapitre traite des expériences d’information quantique que nous avons effectuées 

grâce à l’interaction non linéaire d’un faisceau laser avec un nuage d’atomes froids de Césium en 

cavité. Je ne m’attarderai pas à rappeler les résultats fondamentaux que nous avons obtenus dans 

ce système (reduction du bruit de polarisation, génération des faisceaux intriqués en quadrature et en 

polarisation, compréhension théorique complète du système) et dont l’importance apparaît clairement 

dans le manuscript. Plutôt, ici, je tiens à souligner le caractère très général et original des méthodes 

développées au cours de cette étude. En particulier, nous avons mis au point une méthode de détection 

originale de l’intrication qui se fait en une seule mesure au lieu de deux mesures successives chez 

les autres auteurs. Encore, la méthode conçue pour trouver l’intrication maximale dans un système 

à deux modes peut s’appliquer à une vaste classe de systèmes dans lesquels les corrélations ne 

sont pas connues à priori. Un exemple typique est l’oscillateur paramétrique optique de type II en 

fonctionnement dégénéré. 

Cette expérience, avec les perspectives qui lui sont ouvertes sur la réalisation d’une mémoire quantique 

atomique, est certainement celle sur laquelle vont se concentrer les plus grandes ressources 

économiques et humaines de l’équipe d’optique quantique du laboratoire dans le prochaines années. 

Trois étudiants en thèse et trois permanents (Elisabeth Giacobino, Michel Pinard et moi-même) sont 

actuellement engagés dans ce projet, qui se déroule dans un contexte de fortes collaboration et compétition 

au niveau international: notre groupe participe au réseau européen COVAQUIAL, qui réunie 

les principaux protagonistes de la recherche éuropéenne sur l’interaction matière-rayonnement. Je 

considère la recherche connexe, à savoir la réalisation d’une mémoire quantique dans les solides, tout 

aussi stratégique pour notre équipe et j’estime qu’elle sera aussi renforcée, ainsi que la collaboration 

avec l’Institut Fresnel de Marseille chargé de produire les échantillons solides. 

Enfin le quatrième chapitre détaille les activités de recherche que j’ai menées pendant mon séjour 

post-doctoral sur la génération et le contrôle des solitons spatiaux dans des milieux à non linéarité quadratique. 

Cette thématique de recherche est sûrement assez éloignée des mes occupations actuelles. 

Mon post-doc a été l’occasion pour moi d’enricher mes connaissances, tant au niveau expérimental 

que théorique, dans le domaine de l’optique non-linéaire ultra-rapide et de m’approcher du monde 

complexe et fascinant des solitons. En particulier j’ai eu l’occasion et le plaisir de participer, malheureusement 

pour une courte période, à la recherche excitante, qui venait de commencer, visant à générer 

un soliton en trois dimensions, le fameux light bullet, grâce à un mécanisme nouveau: la génération 

spontanée de X-pulses dans un milieu non linéaire. Très récemment les efforts des mes collègues 

dans cette direction leur ont permis de piéger enfin cette bulle de lumière [Di Trapani 03].

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Habilitation Ã diriger des recherches Alberto Bramati - Laboratoire ...

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