Table des matières - Gilles Daniel
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80 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société. N A ω = 1 ∑ f k cos(wu k ) [3.14] 2π k=1 N B ω = 1 ∑ f k sin(wu k ) [3.15] 2π k=1 N représentant le nombre de simulations de la série et u k =−π + 2π k N [3.16] représentant la coordonnée de l'échantillon k dans l'intervalle [-π, +π]. Il suffit ensuite de sommer D ω (ou sa valeur relative en la divisant par la somme de toutes les valeurs de D à toutes les fréquences) sur toutes les harmoniques d'une fréquence ω pour obtenir un indice de sensibilité du paramètre associé à ω. Telle que définie originellement, la méthode ne donne qu'une estimation de l'effet principal des paramètres. Une extension proposée par [SAL 99], appelée méthode FAST étendue, permet de calculer l'effet total des paramètres toutes interactions confondues. Elle est plus coûteuse en simulations, nécessitant de faire autant d'échantillonnages FAST qu'il y a de paramètres. Si le modèle est stochastique, on peut facilement répliquer le plan d'échantillonnage : la série à analyser sera simplement n fois plus longue, n étant le nombre de réplicats. 3.4.3.4. Comparaison des trois méthodes La figure 3.8 illustre les résultats de ces trois méthodes sur le modèle de croissance du blé d’hiver. Ne sont figurés que les résultats communs aux trois méthodes, c'est à dire l'effet principal et l'effet total de chaque paramètre. Les gammes de variation des paramètres recouvrent l'incertitude associée aux paramètres, évaluée par des collègues de l’INRA-Grignon à une échelle régionale. La figure 3.8a concerne l'ANOVA. Ce modèle est déterministe et les signatures individuelles des 7 paramètres (non figurées) sont sensiblement linéaires, ce qui est assez courant lorsque la gamme de variation n'est pas trop grande comme ici. Deux niveaux sont donc suffisants pour les caractériser. Le 8ème paramètre est un paramètre qualitatif qui donne le numéro de la série climatique utilisée. Il y a 14 séries climatiques, ce paramètre a donc 14 niveaux. Avec ce nombre de niveaux et de paramètres, le plan complet ne nécessite que 2 7 *14 = 1792 simulations et il n'est pas utile de rechercher des plans fractionnaires. La figure 3.8b illustre la méthode dite de Sobol. Avec 8 paramètres (dont l’année climatique traitée comme une variable continue variant entre 0 et 1 par paliers de longueur 1/14) il faut 8N simulations. Ici la valeur de N est égale à 1000 pour rester
Explorer les modèles par simulation : application aux analyses de sensibilité. 81 comparable avec la méthode FAST qui nécessite ce nombre minimum pour 8 paramètres. Les tirages ont été réalisés par un échantillonnage combinant les principes de l’hypercube latin et du winding stairs. La procédure étant aléatoire, elle a été répétée 20 fois afin d’en montrer la variabilité, soit 20*8*1000=160 000 simulations au total. Le graphe donne la valeur moyenne et les moustaches les valeurs extrêmes. La figure 3.8c donne les résultats pour la méthode FAST étendue qui nécessite donc 8*1000 simulations. La procédure est également répétée 20 fois, en tirant aléatoirement les fréquences des paramètres et les paramètres de déphasage afin que chaque paramètre soit échantillonné avec la même intensité. La procédure a donc nécessité 160 000 simulations. Figure 3.8. Comparaison des méthodes ANOVA, Sobol et FAST. La partie sombre des histogrammes donne l'effet principal du paramètre, la partie sombre + claire l'effet total. Pour Sobol et FAST, les barres donnent les valeurs extrêmes obtenues sur les 20 répétitions. Les résultats des trois méthodes sont extrêmement proches. Les 8 paramètres sont classés de la même manière, sauf par la méthode SOBOL qui inverse en toute queue de classement les deux derniers paramètres. Mais compte tenu de l'incertitude de cette méthode pour les paramètres peu actifs, le classement inverse serait tout autant possible. Les 3 méthodes donnent sensiblement les mêmes valeurs relatives, et pratiquement les mêmes proportions entre effet principal et effet total. Cette concordance est attendue et rassurante : elle indique que si les conditions d'utilisation sont respectées, ces trois méthodes sont équivalentes pour ces critères d'effets principaux et totaux. Des trois méthodes l'ANOVA semble de loin la plus parcimonieuse, nécessitant 100 fois moins de simulations que les autres méthodes sur cet exemple. Et cet écart serait plus grand si on avait utilisé un plan fractionnaire. C'est aussi la méthode qui donne le plus d'information : en plus des effets principaux et totaux elle permet de quantifier précisément les interactions (non figuré ici), et ici toutes les interactions
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80 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.<br />
N<br />
A ω = 1 ∑ f k cos(wu k ) [3.14]<br />
2π<br />
k=1<br />
N<br />
B ω = 1 ∑ f k sin(wu k ) [3.15]<br />
2π<br />
k=1<br />
N représentant le nombre de simulations de la série et<br />
u k =−π + 2π k<br />
N<br />
[3.16]<br />
représentant la coordonnée de l'échantillon k dans l'intervalle [-π, +π]. Il suffit<br />
ensuite de sommer D ω (ou sa valeur relative en la divisant par la somme de toutes les<br />
valeurs de D à toutes les fréquences) sur toutes les harmoniques d'une fréquence ω<br />
pour obtenir un indice de sensibilité du paramètre associé à ω. Telle que définie<br />
originellement, la méthode ne donne qu'une estimation de l'effet principal <strong>des</strong><br />
paramètres. Une extension proposée par [SAL 99], appelée méthode FAST étendue,<br />
permet de calculer l'effet total <strong>des</strong> paramètres toutes interactions confondues. Elle<br />
est plus coûteuse en simulations, nécessitant de faire autant d'échantillonnages<br />
FAST qu'il y a de paramètres. Si le modèle est stochastique, on peut facilement<br />
répliquer le plan d'échantillonnage : la série à analyser sera simplement n fois plus<br />
longue, n étant le nombre de réplicats.<br />
3.4.3.4. Comparaison <strong>des</strong> trois métho<strong>des</strong><br />
La figure 3.8 illustre les résultats de ces trois métho<strong>des</strong> sur le modèle de<br />
croissance du blé d’hiver. Ne sont figurés que les résultats communs aux trois<br />
métho<strong>des</strong>, c'est à dire l'effet principal et l'effet total de chaque paramètre. Les<br />
gammes de variation <strong>des</strong> paramètres recouvrent l'incertitude associée aux<br />
paramètres, évaluée par <strong>des</strong> collègues de l’INRA-Grignon à une échelle régionale.<br />
La figure 3.8a concerne l'ANOVA. Ce modèle est déterministe et les signatures<br />
individuelles <strong>des</strong> 7 paramètres (non figurées) sont sensiblement linéaires, ce qui est<br />
assez courant lorsque la gamme de variation n'est pas trop grande comme ici. Deux<br />
niveaux sont donc suffisants pour les caractériser. Le 8ème paramètre est un<br />
paramètre qualitatif qui donne le numéro de la série climatique utilisée. Il y a 14<br />
séries climatiques, ce paramètre a donc 14 niveaux. Avec ce nombre de niveaux et<br />
de paramètres, le plan complet ne nécessite que 2 7 *14 = 1792 simulations et il n'est<br />
pas utile de rechercher <strong>des</strong> plans fractionnaires.<br />
La figure 3.8b illustre la méthode dite de Sobol. Avec 8 paramètres (dont l’année<br />
climatique traitée comme une variable continue variant entre 0 et 1 par paliers de<br />
longueur 1/14) il faut 8N simulations. Ici la valeur de N est égale à 1000 pour rester
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