Table des matières - Gilles Daniel

74 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.
paramètre, ce qui peut être assez coûteux si les réponses sont non linéaires. Et ceci
pour des combinaisons variées des autres paramètres si l'on veut pouvoir évaluer les
interactions entre paramètres et ne pas passer à côté de comportements particuliers
du modèle. Il existe deux grandes familles de méthodes d'exploration de l'espace :
les plans d'expériences factoriels et l'échantillonnage aléatoire.
La technique des plans factoriels consiste à choisir des valeurs bien particulières,
appelées niveaux, pour chaque paramètre, appelé facteur de variation, puis à
combiner les niveaux de manière plus ou moins complète. Le plan factoriel le plus
simple et le plus informatif est le plan complet : il consiste à croiser tous les niveaux
de tous les facteurs pour obtenir toutes les combinaisons possibles. Idéalement, pour
être sûr de bien explorer tout l'espace, il faudrait faire un plan complet avec un assez
grand nombre de niveaux par paramètre. Mais nous avons vu en section 3.1 que c'est
rapidement impossible quand le nombre de facteurs augmente puisqu'un plan
complet nécessite n p simulations, n étant le nombre de niveaux et p le nombre de
facteurs. Il faut donc souvent se résoudre à définir des plans incomplets. Parmi ceuxci,
la classe des plans dits fractionnaires réguliers sont les plus utilisés. L'astuce de
ces plans consiste à ne pas retenir toutes les combinaisons possibles mais à s'assurer
que toutes les combinaisons de paramètres pris 2 à 2, 3 à 3 etc. sont présentes, selon
le degré d'interaction que l'on souhaite explorer. On fait alors l'hypothèse que la
sensibilité du modèle à un paramètre particulier ne dépend que de la valeur de ce
paramètre (pas d'interaction), ou de la valeur d'un autre paramètre (interaction
d'ordre 2), ou de la valeur précise de deux paramètres (interaction d'ordre 3), et ainsi
de suite jusqu'à l'ordre d'interaction retenu. Mais qu'elle ne dépend pas de la valeur
précise d'un plus grand nombre de paramètres. C'est heureusement souvent le cas,
mais il faut remarquer que la chose est difficile à prouver puisqu'il est en général
justement impossible d'aller explorer les ordres d'interaction élevés.
Devoir construire des plans fractionnaires est donc fréquent. Il existe
heureusement une théorie pour la construction de ces plans qui permet d'obtenir des
plans de tailles réduites pour un nombre élevé de facteurs, sous l’hypothèse que
certaines interactions sont négligeables. Par exemple, les plans pour effets
principaux (toutes les interactions sont supposées négligeables) permettent de
construire un plan pour n facteurs à p niveaux (p premier ou puissance d’un
premier), en seulement n(p-1)+1 simulations. Les plans construits par ce type de
méthodes sont en général équilibrés, c’est-à-dire que les combinaisons de niveaux
d’un sous-ensemble de facteurs sont équi-répétées jusqu’à un certain ordre.
Comme son nom l'indique, l'échantillonnage aléatoire (ou de Monte Carlo)
consiste à tirer les valeurs des paramètres aléatoirement. Ce faisant, si l'on
échantillonne de manière assez intensive, on est à peu près sûr de bien explorer la
forme de la réponse du modèle au paramètre, alors qu'avec un plan factoriel nous
avons vu qu'on était en pratique forcé de se limiter à quelques niveaux bien choisis.