Table des matières - Gilles Daniel

72 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.
Les fonctions de sensibilité permettent aussi de poser la question de
l'identifiabilité, souvent appelée problème inverse, c'est à dire la possibilité de
définir la valeur des paramètres si l'on a mesuré les sorties du modèle. On comprend
en effet que plus une sortie est sensible à un paramètre, plus la connaissance de cette
sortie permettra de définir la valeur de ce paramètre. Une discussion complète sur
l'identifiabilité est hors de portée de ce chapitre et le lecteur pourra se référer aux
ouvrages de [BAR 74] ou de [WAL 94] par exemple. Mais le principe est que l'on
peut identifier simultanément une série de paramètres sur une (ou des) variable(s) de
sortie si l'action de chaque paramètre sur la sortie est non nulle, et si elle ne peut pas
être reproduite par un autre paramètre ou par une combinaison linéaire des autres
paramètres. Mathématiquement, cela signifie que la matrice des fonctions de
sensibilité est de plein rang (non singulière). Si ce n'est pas le cas, on dira que le
modèle est surparamétré vis-à-vis de ces sorties. Détecter une surparamétrisation est
important car elle signifie que deux paramètres, ou des combinaisons de paramètres,
ont la même action sur le modèle et que ce dernier pourrait probablement être écrit
plus simplement. La figure 3.4 montre que les fonctions de sensibilité ne sont pas
rigoureusement identiques. Mais ce constat n'est pas suffisant d'autant que dans la
pratique il faut tenir compte du fait que les observations sont bruitées, non
continues, et non toujours prises au bon moment. C'est ce qu'on appelle
l'identifiabilité a posteriori. Il est donc utile de dresser le tableau des corrélations
entre fonctions de sensibilité (non figuré) et d'en calculer éventuellement les valeurs
propres. On constaterait par exemple que la corrélation entre le taux de croissance et
la taille maximale atteint 0.99 et qu'elle est très élevée entre la plupart des
paramètres, à l'exception du seuil de fécondité (3) et de la durée de gestation (7),
cette dernière montrant une structure partiellement cyclique. On pourrait donc au
mieux estimer 3 paramètres, le troisième devant être choisi parmi tous les autres.
Mais ceci, à condition de mesurer très précisément l'évolution dans le temps de la
population totale. Or les fonctions de sensibilité peuvent être utilisées pour optimiser
cette prise de mesure : ici, on aura intérêt à échantillonner juste avant les premières
reproductions (j=15 par exemple) afin d'essayer de séparer la mortalité adulte (mais
la probabilité d'observer la mort d'une femelle initiale durant cette période est
faible), puis de manière assez intensive entre le 20 ième et le 50 ième jour pour essayer
de renseigner le seuil de fécondité, puis d'échantillonner régulièrement jusqu'à la fin
de l'expérimentation pour séparer d'autres paramètres, en particulier la durée de
gestation. Ces déductions peuvent être menées de façon plus formelle par des
approches de plan optimal (voir [WAL 94]).
3.4. Sensibilité globale
Les méthodes d'analyses de sensibilités globales cherchent à couvrir plus
largement l'espace des paramètres. Outre le fait de ne plus se limiter à un point de
fonctionnement particulier du modèle, elles permettent de détecter les interactions