Table des matières - Gilles Daniel

66 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.
∂M
j,
t
si, j,
t
=
[3.4]
∂p
i
Pour visualiser ce que représente la sensibilité, il suffit de dessiner le graphe
reliant la sortie M j,t à une gamme de variation du paramètre p i : la sensibilité est tout
simplement la pente de cette courbe (voire par exemple la figure 3.2). On constatera
aisément que la sensibilité dépend non seulement de la sortie et du paramètre
considéré, mais aussi, et en particulier pour les modèles non linéaires, de la valeur
précise du paramètre, de la valeur des autres paramètres et de l'instant de la
simulation. C'est donc une valeur locale, valable uniquement pour un point de
fonctionnement particulier du modèle. Explorer la sensibilité dans toutes ces
dimensions est donc une entreprise difficile, et c'est tout l'enjeu des méthodes qui
sont exposées ici. Notons que la sensibilité au sens mathématique, sensibilité locale
donc, ne s'applique qu'aux paramètres et sorties à valeur continues et dérivables.
Pour comparer les sensibilités liées à différents paramètres, il est usuel de revenir
à l'unité de la sortie en multipliant s i,j,t par une petite variation du paramètre :
cs
∂ M
j,
t
i, j,
t
= ∆pi
[3.5]
∂ pi
Si ∆p i représente l'incertitude du paramètre i, alors cs i,j,t représente l'incertitude
induite sur la sortie. Si l'on constate alors qu'une valeur de cs i,j,t est sensiblement plus
grande que les autres, cela signifie qu'il serait utile de raffiner la valeur de ce paramètre
pour améliorer la précision du modèle. En revanche, si tous les cs i,j,t sont comparables,
améliorer la précision du modèle est difficile car nécessiterait d'améliorer la précision
de tous les paramètres. Un des premiers usages d'une analyse de sensibilité locale est
donc d'aider à définir si certains paramètres ont une valeur trop imprécise par rapport
aux autres (analyse d'incertitude). Si ∆p i = αp i (même petite variation relative pour
chaque paramètre), alors l'expression devient équivalente à :
ns
i,
j,
t
∂M
j,
t
∂M
j,
t
= pi
=
[3.6]
∂p
∂ ln( p )
i
i
où l'on voit tout l'inconvénient de cette normalisation : elle fait dépendre la
sensibilité de la valeur de p i , même si la sensibilité originelle [3.4] n'en dépend pas,
et revient à calculer une sensibilité par rapport au logarithme de p i . Pour comparer
des sensibilités sur des sorties différentes, on calcule la sensibilité relative en
divisant par la valeur de la sortie. Cette sensibilité relative est également appelée
élasticité dans sa formulation logarithmique :