Table des matières - Gilles Daniel

Approche conceptuelle de l’espace. 337
15.3.3. Structure de voisinage associée à un maillage
Que le maillage soit régulier ou non, sa structure de voisinage est définie comme
l’ensemble des informations nécessaires à une maille quelconque pour trouver ses
voisins. Dans un maillage régulier, la structure est très simple et sera décrite par un
ensemble de vecteurs de décalage qui, appliqués aux coordonnées d’une maille,
donneront par translation les coordonnées des mailles voisines. Comme nous le
verrons plus loin, cette structure et l’algorithme très simple qui permet de les
calculer constituent l’opérateur de voisinage. Il est très utilisé dans les automates
cellulaires. Dans le cas d’un maillage irrégulier, nous décrirons une structure de
données plus complexe, dite topologique, qui est associée à la géométrie des mailles
pour permettre de retrouver les voisins.
15.3.3.1. Métrique et structure de voisinage
Dans un automate cellulaire à cellules régulières (carrées ou même hexagonales),
on peut utiliser plusieurs topologies de voisinages. A chaque type de voisinage,
correspond une métrique associée qui induit cette topologie. Ainsi, dans SpaCelle,
l’utilisateur a le choix entre trois distances, les plus courantes, qui induisent trois
types de voisinages distincts. Ces trois distances dérivent d’ailleurs d’une même
famille dépendant d’un paramètre p, dite distances de Minkowski :
⎛
n
d p(
A,
B)
= ⎜ ∑ bi
− ai
⎝ i=
1
1/ p
p ⎞
⎟
⎠
[15.1]
où A et B sont des points dans un espace de dimension n, avec A = (a 1 , a 2 ,…, a n ) et
B = (b 1 , b 2 ,…, b n ). Cette famille de distances permet d’exprimer ces trois distances,
en dimension 2, dans un même formalisme :
a) Avec le paramètre p = 1, on obtient la distance d 1 , appelée souvent en
géographie, distance de Manhattan car elle induit un espace où l’on ne peut se
déplacer que dans les deux directions : horizontale et verticale. Elle est donc bien
adaptée à un maillage cellulaire carré. Elle s’exprime en dimension 2, par :
d ( = b − a + b − a
[15.2]
1 A,
B)
1
1
2
2
Elle correspond, dans un maillage carré, à un voisinage élémentaire (de rayon 1)
possédant quatre voisins (Figure 15.3). Ce type est appelé voisinage de von
Neumann ou V 4 .
b) Avec le paramètre p =2, on obtient la distance euclidienne classique d 2 , qui est
celle d’un espace isotrope. Elle correspond mieux à la distance physique usuelle :