Table des matières - Gilles Daniel
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01.01.2015 Views

336 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société. maille, et éventuellement un angle d’inclinaison). De plus, l’identification d’une cellule ou le voisinage d’une cellule sont calculables rapidement. L’effet de taille n’influence plus le comportement des objets du fait que les mailles sont de formes et de dimensions égales. Inconvénient : elles ne s’adaptent pas forcément aux données descriptives disponibles (découpages administratifs). 15.3.2. Maillages irréguliers Ils s’adaptent mieux à la complexité spatiale de l’espace géographique, mais le maillage perd les propriétés géométriques liées à la régularité. En particulier, l’identification d’une cellule à partir d’un point (x,y) donné, n’est plus calculable par une simple formule arithmétique, mais nécessite un algorithme de recherche plus complexe. De même il faut définir une structure topologique permettant de retrouver directement les voisins d’une maille donnée. Maillages réguliers triangles carrés hexagones Maillages semi-régulier triangles rectangles (facettes de MNT) triangulations de Delaunay Maillage irrégulier mailles polygonales Figure 15.2. Différentes sortes de maillages.

Approche conceptuelle de l’espace. 337 15.3.3. Structure de voisinage associée à un maillage Que le maillage soit régulier ou non, sa structure de voisinage est définie comme l’ensemble des informations nécessaires à une maille quelconque pour trouver ses voisins. Dans un maillage régulier, la structure est très simple et sera décrite par un ensemble de vecteurs de décalage qui, appliqués aux coordonnées d’une maille, donneront par translation les coordonnées des mailles voisines. Comme nous le verrons plus loin, cette structure et l’algorithme très simple qui permet de les calculer constituent l’opérateur de voisinage. Il est très utilisé dans les automates cellulaires. Dans le cas d’un maillage irrégulier, nous décrirons une structure de données plus complexe, dite topologique, qui est associée à la géométrie des mailles pour permettre de retrouver les voisins. 15.3.3.1. Métrique et structure de voisinage Dans un automate cellulaire à cellules régulières (carrées ou même hexagonales), on peut utiliser plusieurs topologies de voisinages. A chaque type de voisinage, correspond une métrique associée qui induit cette topologie. Ainsi, dans SpaCelle, l’utilisateur a le choix entre trois distances, les plus courantes, qui induisent trois types de voisinages distincts. Ces trois distances dérivent d’ailleurs d’une même famille dépendant d’un paramètre p, dite distances de Minkowski : ⎛ n d p( A, B) = ⎜ ∑ bi − ai ⎝ i= 1 1/ p p ⎞ ⎟ ⎠ [15.1] où A et B sont des points dans un espace de dimension n, avec A = (a 1 , a 2 ,…, a n ) et B = (b 1 , b 2 ,…, b n ). Cette famille de distances permet d’exprimer ces trois distances, en dimension 2, dans un même formalisme : a) Avec le paramètre p = 1, on obtient la distance d 1 , appelée souvent en géographie, distance de Manhattan car elle induit un espace où l’on ne peut se déplacer que dans les deux directions : horizontale et verticale. Elle est donc bien adaptée à un maillage cellulaire carré. Elle s’exprime en dimension 2, par : d ( = b − a + b − a [15.2] 1 A, B) 1 1 2 2 Elle correspond, dans un maillage carré, à un voisinage élémentaire (de rayon 1) possédant quatre voisins (Figure 15.3). Ce type est appelé voisinage de von Neumann ou V 4 . b) Avec le paramètre p =2, on obtient la distance euclidienne classique d 2 , qui est celle d’un espace isotrope. Elle correspond mieux à la distance physique usuelle :

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maille, et éventuellement un angle d’inclinaison). De plus, l’identification d’une<br />

cellule ou le voisinage d’une cellule sont calculables rapidement. L’effet de taille<br />

n’influence plus le comportement <strong>des</strong> objets du fait que les mailles sont de formes et<br />

de dimensions égales. Inconvénient : elles ne s’adaptent pas forcément aux données<br />

<strong>des</strong>criptives disponibles (découpages administratifs).<br />

15.3.2. Maillages irréguliers<br />

Ils s’adaptent mieux à la complexité spatiale de l’espace géographique, mais le<br />

maillage perd les propriétés géométriques liées à la régularité. En particulier,<br />

l’identification d’une cellule à partir d’un point (x,y) donné, n’est plus calculable par<br />

une simple formule arithmétique, mais nécessite un algorithme de recherche plus<br />

complexe. De même il faut définir une structure topologique permettant de retrouver<br />

directement les voisins d’une maille donnée.<br />

Maillages réguliers<br />

triangles carrés hexagones<br />

Maillages semi-régulier<br />

triangles rectangles (facettes de MNT) triangulations de Delaunay<br />

Maillage irrégulier<br />

mailles polygonales<br />

Figure 15.2. Différentes sortes de maillages.

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