Table des matières - Gilles Daniel

308 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.
multiplicité des équilibres de Nash (de deux à une infinité, selon le jeu considéré).
Le tableau 14.1. représente le jeu de pure coordination le plus simple sous la forme
dite « normale » (ou « stratégique »). Cette forme ne nous permet de connaître ni
l’ordre des interventions et les enchaînements possibles, ni l’information dont
disposent les joueurs au cours de ces enchaînements. Mais elle nous permet
d’identifier les équilibres de Nash non coopératifs.
Sur le tableau 14.1, les stratégies du joueur 1 figurent en ligne, et celles du
joueur 2 en colonne. Ceux-ci doivent choisir entre deux stratégies dans l’ensemble :
S = {A, B}. On désigne par S 1 la stratégie du joueur 1 et par S 2 celle du joueur 2.
Les gains associés à chaque couple de stratégies sont désignés par : πi(S i,S j)
avec :
i ≠ j ∈ {1,2}. Ils sont représentés entre parenthèses dans les cases de la matrice de
jeu, le gain du joueur 1 : π 1 d’abord, puis celui du joueur 2 : π 2 ensuite, soit : (π 1 , π 2 ).
L’équilibre de Nash est une situation où aucun joueur n’a intérêt à dévier
unilatéralement. Le couple de stratégies (S 1 ,S 2 ) = (A, A) est un équilibre de Nash car
si le joueur 1 dévie unilatéralement et joue B son gain passe de π 1 (A, A) = 1 à π 1 (B,
A) = 0. Il en est de même pour le joueur 2. Le lecteur vérifiera facilement que le
couple de stratégies (B, B) est également un équilibre de Nash.
Jeu (1) 2 joue S 2 = A 2 joue S 2 = B
1 joue S 1 = A (1, 1) (0, 0)
1 joue S 1 = B (0 , 0) (1 , 1)
Tableau 14.1. Jeu de pure coordination.
Formellement, dans le cas à 2 joueurs, pour le joueur i, la stratégie S i * ∈ S est un
équilibre de Nash si la condition suivante est vérifiée :
π i (S i*, S j *) ≥ π i (S i , S j *) pour tout S i ∈ S et tout i, j ∈{1, 2} [14.6]
Pour une stratégie donnée (quelconque) de l’autre joueur, on peut définir la
meilleure réponse d’un joueur comme la stratégie qui maximise son gain,
conditionnellement à cette stratégie donnée de l’autre joueur :
{ 1, 2} S { π ( S )}
∀i, j ∈ , S ∈arg max ,S
[14.7]
i j
i i
S ∈ S
i
On peut alors également définir un équilibre de Nash comme un ensemble de choix tel que la
stratégie de chaque acteur est la meilleure réponse aux stratégies des autres acteurs :
*
* *
{ 1, 2} i { πi( i j)
}
∀i, j ∈ , S ∈ arg max S ,S
[14.8]
*
Si
∈ S
j