Table des matières - Gilles Daniel

290 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.
Pour introduire la logique qui sous-tend un algorithme génétique, considérons le
problème d’optimisation suivant. Supposons que nous cherchions le maximum
global x* d’une fonction y = f(x) d’un vecteur x sur un domaine compact D. Pour
rendre l’exemple intéressant, supposons que le graphe de cette fonction, c’est-à-dire
le paysage que nous voulons explorer, soit compliqué dans le sens où il comprend
entre autres de nombreux minima et maxima locaux et n’est pas toujours
différentiable. Pour reprendre une image de Holland, faisons l’hypothèse qu’il ne
consiste pas seulement de pics et de vallées, mais aussi de ponts, de tunnels, et
autres structures complexes. Si le domaine D est compact, il est nécessaire de le
discrétiser afin de pouvoir l’explorer numériquement. Soit D’ la discrétisation de D
retenue, et soit x*’ le maximum de f(x) sur D’. Après discrétisation, chaque point de
D’ peut être exprimé par une chaîne binaire, c’est-à-dire par une succession de 0 et
de 1 de longueur donnée. Si les éléments de D sont des points dans un espace
cartésien, chaque chaîne représentera ainsi les coordonnées d’un point x. En codage
binaire, le nombre maximum de points x que l’on peut représenter par des chaînes de
longueur n est de 2 n . La longueur de la chaîne nécessaire pour encoder tous les
points de D’, c’est-à-dire pour les représenter chacun par une chaîne différente,
dépend ainsi de la cardinalité de D’. En d’autres termes, la précision du codage et la
qualité potentielle de la solution en termes du problème original (non discrétisé)
augmentent avec la longueur des chaînes utilisées. Trouver le x*’ qui maximise f(x)
sur D’ revient ainsi à trouver la ou les meilleures dans un ensemble de chaînes
binaires décrivant tous les points en D’. Si la cardinalité de D’ est très grande, il sera
pratiquement impossible de procéder par comparaison directe de tous les points de
D’. Pour trouver le maximum global x* (où plus précisément : pour trouver presque
sûrement un point qui lui soit très proche) un GA commence par générer de façon
aléatoire une population initiale X(0) de solutions potentielles du problème, c'est-àdire
de chaînes x’(0), x’’(0), x’’’(0) ∈ D’. A chacun des éléments de la population
initiale correspond une valeur f(.) plus ou moins élevée de la fonction objectif.
L’algorithme génétique va itérativement remplacer la population initiale par des
populations X(1), X(2), …, en cherchant à chaque itération (a) à augmenter la
proportion de chaînes pour lesquelles f(.) atteint des valeurs élevées ; et (b) à
introduire dans la population d’autres chaînes correspondants à des valeurs encore
plus élevées de f(.). La taille de la population initiale doit être beaucoup plus petite
que la cardinalité de D’ afin que l’utilisation de l’algorithme présente un avantage
comparée à une recherche directe. Elle doit cependant être suffisante pour que
l’algorithme puisse explorer de façon efficace et robuste la quasi-intégralité de D’.
Plus spécifiquement, un algorithme génétique cherche à améliorer itérativement
les caractéristiques d’une population de taille constante de chaînes de longueur
donnée de caractères a i ∈A, où A est un ensemble fini :
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5