Table des matières - Gilles Daniel
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250 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société. Configuration d’entrée 0,0 0,1 1,0 1,1 Sortie (règle 0) 0 0 0 0 Sortie (règle 1) « ET » 0 0 0 1 Sortie (règle 2) 0 0 1 0 Sortie (règle 3) entrée de gauche 0 0 1 1 Sortie (règle 4) 0 1 0 0 Sortie (règle 5) entrée de droite 0 1 0 1 Sortie (règle 6) « OU » exclusif 0 1 1 0 Sortie (règle 7) « OU » 0 1 1 1 Pour k = 3, il y a 2 3 = 8 configurations d’entrée et donc 2 8 = 256 règles de transition différentes. Ces réseaux ont été étudiés de manière approfondie par Wolfram [WOL 84] [WOL 02a]. De même que précédemment, on peut coder ces règles de 0 à 255, en classant les configurations d’entrée et de sortie suivant leur valeur binaire. Le tableau suivant représente par exemple la règle 126 (1111110 en notation binaire) Config. d’entrée Sorties (règle 90) 1,1,1 1,1,0 1,0,1 1,0,0 0,1,1 0,1,0 0,0,1 0,0,0 0 1 1 1 1 1 1 0 Wolfram a mis à jour quatre régimes de dynamiques. Nous en avons déjà vu trois : point fixe, cycle, chaos. Le quatrième régime produit des résultats très surprenants. Il s’agit de formes organisées et complexes, comme celles que l’on peut voir apparaître sur la figure 11.7, qui superpose les configurations que l’on obtient en empilant les itérations successives d’un même réseau de dimension un. Dans l’applet ci-dessous, on attribue la couleur noire à un automate booléen dans l’état « vrai » et une couleur blanche à celui qui est dans l’état « faux ». On voit que cette représentation d’une succession d’itération du même réseau fait apparaître une dentelle complexe formée de triangles de Sierpinsky 50 . Figure 11.7. Structures émergentes dans un réseau d’automates de Wolfram : triangles de Sierpinsky. 50 Le triangle de Sierpinsky est une famille de figures fractales que l’on construit aisément en insérant récursivement des triangles (équilatéraux) les uns dans les autres. On joint à l’intérieur d’un triangle le milieu de ses trois côtés et on le décompose ainsi en quatre triangles, etc…
Des réseaux d’automates aux modèles multi-agents. 251 Cette trouvaille surprenante est-elle une simple curiosité mathématique ou rend-elle compte d’une classe de phénomènes réels plus significative Wolfram a soigneusement inventorié les créations liées aux dynamiques du quatrième type, mais il n’a pas qualifié ces dernières. C’est le fondateur du concept de « vie artificielle », Christopher Langton et d’autres chercheurs du Santa Fe Institute qui ont baptisé cette zone « frontière du chaos ». Dans l’ordre des dynamiques, Langton [LAN 91] a montré que l’on peut identifier un paramètre dans les réseaux d’automates dont la variation conduit du point fixe au chaos en passant par le cycle puis par la « frontière du chaos » 51 . A cette occasion, Christopher Langton a introduit une analogie entre les dynamiques du réseau et les phases de la matière (on prendra l’exemple de l’eau). Le point fixe (et d’une certaine manière le cycle) qui caractérise un réseau complètement ordonné, figé, correspond à l’état solide. Le chaos à l’état gazeux. La « frontière du chaos » correspondrait à l’état liquide, producteur d’ordres évolutifs 52 . c o m plexité cycles Systèmes stables Systèmes complexes Systèmes chaotiques Degré de désordre Figure 11.8. Dynamique des systèmes et complexité. Si l’on pousse un peu plus loin l’analogie, dans l’écosystème terrestre, l’eau est liquide à la surface du globe, tout en étant à l’état gazeux dans l’atmosphère et à l’état solide à la proximité des pôles. Notre écosystème se trouverait donc dans un état global métastable, sans arrêt perturbé aux frontières par des transitions de phase d’un état vers l’autre. Certains chercheurs 53 , comme Stuart Kauffman [KAU 91a], [KAU 93], [KAU 95], émettent alors la conjecture suivante : les phénomènes évolutifs du vivant se dérouleraient « à la frontière du chaos » [HEU 98]. Dans ce qui suit, nous n’aborderons pas les problèmes sous cet angle spéculatif et nous nous limiterons à tenter d’identifier dans quelle mesure notre connaissance de certains phénomènes économiques peut être enrichie par ces résultats. 51 Le lecteur familier avec la théorie du chaos fera le rapprochement avec le coefficient de Lyapounov, dont la valeur sert à évaluer le degré de divergences des trajectoires. 52 Comme le remarque Kauffman [KAU 91] l’analogie n’est pas complètement satisfaisante dans la mesure où l’état liquide est lui même une phase. 53 Cf. Packard [PAC 88], Langton, [LAN 91].
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Des réseaux d’automates aux modèles multi-agents. 251<br />
Cette trouvaille surprenante est-elle une simple curiosité mathématique ou rend-elle<br />
compte d’une classe de phénomènes réels plus significative Wolfram a soigneusement<br />
inventorié les créations liées aux dynamiques du quatrième type, mais il n’a pas<br />
qualifié ces dernières. C’est le fondateur du concept de « vie artificielle », Christopher<br />
Langton et d’autres chercheurs du Santa Fe Institute qui ont baptisé cette zone<br />
« frontière du chaos ». Dans l’ordre <strong>des</strong> dynamiques, Langton [LAN 91] a montré que<br />
l’on peut identifier un paramètre dans les réseaux d’automates dont la variation<br />
conduit du point fixe au chaos en passant par le cycle puis par la « frontière du<br />
chaos » 51 . A cette occasion, Christopher Langton a introduit une analogie entre les<br />
dynamiques du réseau et les phases de la matière (on prendra l’exemple de l’eau). Le<br />
point fixe (et d’une certaine manière le cycle) qui caractérise un réseau complètement<br />
ordonné, figé, correspond à l’état solide. Le chaos à l’état gazeux. La « frontière du<br />
chaos » correspondrait à l’état liquide, producteur d’ordres évolutifs 52 .<br />
c<br />
o<br />
m<br />
plexité<br />
cycles<br />
Systèmes<br />
stables<br />
Systèmes complexes<br />
Systèmes<br />
chaotiques<br />
Degré de désordre<br />
Figure 11.8. Dynamique <strong>des</strong> systèmes et complexité.<br />
Si l’on pousse un peu plus loin l’analogie, dans l’écosystème terrestre, l’eau est<br />
liquide à la surface du globe, tout en étant à l’état gazeux dans l’atmosphère et à<br />
l’état solide à la proximité <strong>des</strong> pôles. Notre écosystème se trouverait donc dans un<br />
état global métastable, sans arrêt perturbé aux frontières par <strong>des</strong> transitions de phase<br />
d’un état vers l’autre. Certains chercheurs 53 , comme Stuart Kauffman [KAU 91a],<br />
[KAU 93], [KAU 95], émettent alors la conjecture suivante : les phénomènes<br />
évolutifs du vivant se dérouleraient « à la frontière du chaos » [HEU 98]. Dans ce<br />
qui suit, nous n’aborderons pas les problèmes sous cet angle spéculatif et nous nous<br />
limiterons à tenter d’identifier dans quelle mesure notre connaissance de certains<br />
phénomènes économiques peut être enrichie par ces résultats.<br />
51 Le lecteur familier avec la théorie du chaos fera le rapprochement avec le coefficient de<br />
Lyapounov, dont la valeur sert à évaluer le degré de divergences <strong>des</strong> trajectoires.<br />
52 Comme le remarque Kauffman [KAU 91] l’analogie n’est pas complètement satisfaisante<br />
dans la mesure où l’état liquide est lui même une phase.<br />
53 Cf. Packard [PAC 88], Langton, [LAN 91].
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