Table des matières - Gilles Daniel
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248 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société. Etat initial des automates Etat suivant des automates A B C A B C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Le nombre d’itérations nécessaires pour se retrouver dans le même état est qualifié de période de l’attracteur. Lorsque la période est de longueur 1, c’est à dire lorsque le réseau reste indéfiniment dans la même position, l’attracteur est un point fixe. On parle de cycle dès que la période est supérieure à 1. Enfin l’ensemble des états du réseau qui conduisent à un attracteur donné forment le bassin d’attraction de l’attracteur. Dans notre exemple, la configuration < 0,0,0 > est un point fixe et les configurations < 0,0,1 > et < 0,1,0 > forment un cycle. Dans ces deux cas, point fixe et cycle coïncident avec le bassin d’attraction correspondant. La configuration < 1,1,1 > est un point fixe et son bassin d’attraction comprend l’ensemble des autres états. Trois configurations n’ont pas de prédécesseurs on les nomme « jardins d’Eden » [WEI 89]. 0,0,0 0,1,0 1,0,0 0,1,1 1,0,1 0,0,1 1,1,0 1,1,1 Figure 11.5. Graphe d’itération du réseau NK = 32. Si l’on considère maintenant un réseau NK= 43, avec une fonction « ET », et trois fonctions « OU », on fait apparaître une conservation de la typologie des attracteurs, avec l’apparition de deux cycles d’ordre 2 supplémentaires, et un élargissement du bassin d’attraction du point fixe associé à la condition ET : < 1,1,1,1 >, qui passe de 3 à 8 éléments. Quelle que soit la configuration de départ, les réseaux NK évoluent vers un attracteur, fixe ou périodique et y restent en l’absence de perturbations (Figure 11.6). 11.2.2.2. Perturbations, complexité et chaos. Pour étudier la stabilité d’un attracteur, on peut introduire des perturbations. On distingue généralement deux types de perturbations : les perturbations d’état et les perturbations structurales. Lorsqu’un seul élément change d’état, la perturbation est minimale. Une telle perturbation peut parfois suffire à faire changer le réseau de bassin d’attraction et donc à modifier sa dynamique. Il peut arriver qu’une telle modification suffise pour entraîner une chaîne de perturbations qui se propage dans
Des réseaux d’automates aux modèles multi-agents. 249 le réseau comme une avalanche. L’état considéré est alors qualifié de « critique ». On parle de perturbation structurale d’un automate pour désigner la modification permanente d’au moins une ou plusieurs connexions ou de la fonction de changement d’état. L’ensemble des propriétés dynamiques du réseau peut se trouver changé de manière radicale. A ET B OU C OU D OU 0,0,0,1 0,0,1,0 1,0,1,1 0,1,1,0 0,1,0,0 0,1,0,1 0,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,1 1,0,1,0 0,1,1,1 1,1,1,1 1,1,0,0 1,1,0,1 1,1,1,0 0,0,1,1 Figure 11.6. Réseau NK = 43 et son graphe d’itération. Dans les systèmes où N = K, le nombre d’entrées de chaque automate est égal au nombre total d’automates du réseau : chaque automate boucle donc sur lui-même. Les propriétés de ces systèmes ont été étudiées par Kauffman. Ils sont très simples, mais le désordre y est maximal et les dynamiques chaotiques. En effet la période des cycles croit exponentiellement, et leur ordre de grandeur moyenne est proche de la racine carrée du nombre d’états distincts. Par exemple pour N = K = 10 on a déjà 2 10 états possibles et donc des cycles d’une longueur moyenne de 2 5 = 32 périodes. 11.2.2.3. Les réseaux de Wolfram et la frontière du chaos Dans le cas où k = 2, on a : 2 2 = 4 configurations d’entrée possibles, et donc 2 4 = 16 règles différentes possibles pour les changements d’état. On peut coder ces règles de 0 à 15 en classant les sorties selon leur valeur binaire. Il est intéressant de classer les configurations d’entrées selon leur valeur binaire, en plaçant les valeurs les plus faibles à gauche. On remarque alors que les règles sont symétriques. Les 8 dernières règles sont les complémentaires des huit premières et peuvent être obtenues en inversant les valeurs de sorties.
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le réseau comme une avalanche. L’état considéré est alors qualifié de « critique ».<br />
On parle de perturbation structurale d’un automate pour désigner la modification<br />
permanente d’au moins une ou plusieurs connexions ou de la fonction de<br />
changement d’état. L’ensemble <strong>des</strong> propriétés dynamiques du réseau peut se trouver<br />
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ET<br />
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OU<br />
D<br />
OU<br />
0,0,0,1<br />
0,0,1,0<br />
1,0,1,1<br />
0,1,1,0<br />
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Figure 11.6. Réseau NK = 43 et son graphe d’itération.<br />
Dans les systèmes où N = K, le nombre d’entrées de chaque automate est égal au<br />
nombre total d’automates du réseau : chaque automate boucle donc sur lui-même.<br />
Les propriétés de ces systèmes ont été étudiées par Kauffman. Ils sont très simples,<br />
mais le désordre y est maximal et les dynamiques chaotiques. En effet la période <strong>des</strong><br />
cycles croit exponentiellement, et leur ordre de grandeur moyenne est proche de la<br />
racine carrée du nombre d’états distincts. Par exemple pour N = K = 10 on a déjà 2 10<br />
états possibles et donc <strong>des</strong> cycles d’une longueur moyenne de 2 5 = 32 pério<strong>des</strong>.<br />
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Dans le cas où k = 2, on a : 2 2 = 4 configurations d’entrée possibles, et donc 2 4 =<br />
16 règles différentes possibles pour les changements d’état. On peut coder ces règles<br />
de 0 à 15 en classant les sorties selon leur valeur binaire. Il est intéressant de classer<br />
les configurations d’entrées selon leur valeur binaire, en plaçant les valeurs les plus<br />
faibles à gauche. On remarque alors que les règles sont symétriques. Les 8 dernières<br />
règles sont les complémentaires <strong>des</strong> huit premières et peuvent être obtenues en<br />
inversant les valeurs de sorties.
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