Table des matières - Gilles Daniel

240 Modélisation et simulation multi-agents pour Sciences de l'Homme et de la Société.
A - Réseaux à décroissance exponentielle de la connectivité
En 1967, Stanley Milgram publie les résultats de son expérience sur les
« réseaux petit monde » [MIL 67]. Il avait demandé à des habitants d'Omaha
(Nebraska), d'envoyer un paquet à un habitant inconnu de Boston (Massachusetts),
en s'aidant de leurs relations pour faire une chaîne jusqu'au destinataire. Ceux qui
réussirent à envoyer le paquet à bon port passèrent généralement par moins de dix
intermédiaires, avec une moyenne de « six degrés de séparation ». Watts et Strogatz,
à partir de leur article de 1998 dans Nature [WAT 98] vont initier l’étude analytique
des propriétés génériques d’une première classe de ces réseaux correspondant au
problème de Milgram, les réseaux « exponentiels » 46 . Plus spécifiquement, Watts et
Strogatz identifient deux propriétés des réseaux, la longueur caractéristique
moyenne et le coefficient de clustering, qui permettent de faire la différence entre les
réseaux aléatoires, réseaux réguliers et les réseaux petit monde (Figure 11.2).
(a) réseau régulier
cyclique dimension 1
connectivité 6
(b) réseau régulier
complètement
connecté
(c) réseau aléatoire:
connectivité
Contrainte
(d) Petit monde:
connectivité 4 3 liens
re-câblés
Figure 11.2. Réseau régulier, aléatoire, et “petit monde” (Source: Moduleco/MadKit - [PHA 04a]).
La longueur caractéristique moyenne L des chemins dans le réseau est égale à la
moyenne pour toutes les paires de nœuds i, j du plus cours chemin d(i, j) entre ces
paires. Pour un réseau aléatoire et un réseau petit monde (avec 0.001 < p < 0.01), la
valeur de L est de l’ordre de : log(N) / log(), alors que pour un réseau régulier,
L est de l’ordre de N / (2), ou N est le nombre de nœuds (d’automates) et
la connectivité moyenne du réseau. Le coefficient de clustering C mesure la moyenne
du nombre de connexion d’un nœud du réseau sur le nombre maximal de connexions
possibles. C’est donc une mesure de l’ordre local. Pour un réseau totalement connecté
(b) on a C = 1, pour un réseau aléatoire C ≅ /N qui tend vers 1/N pour un réseau
aléatoire suffisamment grand). Enfin, pour un réseau petit monde à la Watts et
Strogatz, la valeur de C est proche de celle du réseau régulier dont il s’approche le
plus. On voit ainsi qu’un réseau petit monde a les mêmes caractéristiques d’ordre local
46 Appelés ainsi car la distribution statistique des connectivités décroit exponentiellement, ce
qui permet en particulier de donner un sens aux mesures de moyenne et de variance.