Universalité de la fonction Zeta de Riemann - CUMC

Universalité de la fonction Zeta de Riemann
Louis-Philippe Thibault
Université de Montréal, Département de Mathématiques et Statistique
13 juin 2011
Louis-Philippe Thibault (Université de Montréal, Universalité Département de la fonction de Mathématiques Zeta de Riemann et Statistique) 13 juin 2011 1 / 14

La fonction Zeta de Riemann
La fonction Zeta de Riemann est définie par la série suivante :
ζ(z) =
∞∑
n=1
1
, Re(z) > 1.
nz Cette fonction est également représentée par un produit infini, le produit
d’Euler :
ζ(z) = ∏ (
1 − 1 ) −1
p z , Re(z) > 1,
p
où le produit se fait sur tous les nombres premiers. Ceci montre
l’importante relation entre les nombres premiers et la fonction Zeta !
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Quelques propriétés
La fonction Zeta de Riemann s’étend de façon méromorphe sur le plan
complexe. Elle y a les propriétés suivantes :
ζ a un pole simple à z = 1 de résidu 1.
ζ(z) = ζ(z).
ζ satisfait l’équation fonctionnelle
( z
ζ(z)π −z/2 Γ = ζ(1 − z)π
2)
−(1−z)/2 Γ
( 1 − z
2
)
,
où
Γ(z) =
∫ ∞
0
t z−1 e −t dt, Re(z) > 0.
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L’hypothèse de Riemann
La fonction Zeta de Riemann a des zéros à chaque entier pair négatif.
ζ(−2n) = 0, n = 1, 2, . . .
Ceux-ci sont les zéros triviaux de la fonction Zeta.
Hypothèse de Riemann
Tous les zéros non-triviaux de la fonction Zeta de Riemann se situent sur la
droite critique Re(z) = 1/2.
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Universalité
Théorème (Brikhoff 1929)
Il existe une fonction entière f telle que pour toute fonction entière g, il
existe une suite {a n } telle que
lim f (z + a n) = g(z) ∀z ∈ C,
n→∞
et la convergence est uniforme sur les sous-ensembles compacts.
Théorème (MacLane 1952)
Il existe une fonction entière f telle que pour toute fonction entière g, il
existe une suite {n k } telle que
lim f (nk) (z) = g(z) ∀z ∈ C,
k→∞
et la convergence est uniforme sur les sous-ensembles compacts.
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Universalité (suite)
De telles fonctions f sont appelées fonctions universelles au sens de
Birkhoff et MacLane, respectivement. Ces découvertes sont quelque peu
très étonnantes !
Plus tard, il fut même prouvé que la plupart des fonctions entières sont
universelles ! Toutefois, aucun exemple de fonctions entières universelles
n’était connu, jusqu’à ce que Voronin prouve son remarquable théorème
d’universalité, montrant que la fonction Zeta de Riemann a des propriétés
d’universalité.
Attention, la fonction Zeta de Riemann n’est pas entière, puisqu’elle a un
pôle en z = 1.
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Théorème d’universalité de Voronin
Théorème (Voronin 1975)
Pour chaque 0 < r < 1/4 et pour chaque fonction f holomorphe et sans
zéro sur le disque fermé K de centre 3/4 et de rayon r, il existe une suite
de nombres réels τ n → ∞ telle que
max |ζ(z + iτ n) − f (z)| → 0 lorsque n → ∞.
z∈K
Comme corollaire immédiat nous avons que la fonction Zeta de Riemann
peut être approximée par ses propres translatés.
Corollaire
Pour chaque 0 < r < 1/4 il existe une suite de nombres réels τ n → ∞ telle
que
max
z∈K |ζ(z + iτ n) − ζ(z)| → 0 lorsque n → ∞.
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Théorème d’universalité de Voronin (suite)
Cette propriété est fort remarquable, puisque la fonction Zeta de Riemann
était la seule fonction connue possédant la propriété d’universalité à
l’époque. Plus tard, l’universalité d’autres fonctions Zeta fut démontrée. Ce
sont les seules fonctions universelles connues à ce jour !
Bagchi et Reich ont étendu ce théorème à des conditions plus fortes.
Théorème (Voronin 1975, Reich 1977, Bagchi 1981)
Soit S = {z : 1/2 < Re z < 1}. Pour chaque fonction f holomorphe et ne
s’annulant pas sur S, il existe une suite {τ n } de nombres réels telle que
ζ(z + iτ n ) → f (z) ∀z ∈ S,
et la convergence est uniforme sur les sous-ensembles compacts de S.
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Lien avec l’hypothèse de Riemann
Il n’est pas encore connu s’il est possible d’enlever l’hypothèse que la
fonction ne doit pas s’annuler sur S dans le théorème précédent.
Cependant, la résolution de cette question entraîne la résolution de
l’hypothèse de Riemann (négativement).
Théorème
S’il existe une fonction f holomorphe sur S, ayant des zéros mais n’étant
pas identiquement nulle sur S, et ayant la propriété qu’il existe une suite
{τ n } de nombres réels tendant vers l’infini, telle que
ζ(z + iτ n ) → f (z) ∀z ∈ S,
alors l’hypothèse de Riemann est fausse.
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Autre lien avec l’hypothèse de Riemann
L’hypothèse de Riemann possède une caractérisation en terme de
l’universalité de la fonction Zeta de Riemann. En effet, l’hypothèse de
Riemann est équivalente à prouver que la version de Bagchi du théorème de
Voronin est vraie pour une seule fonction, soit la fonction Zeta de Riemann
elle-même ! Bien sûr, sans l’hypothèse que la fonction Zeta de Riemann ne
doit pas s’annuler dans la région S !
Théorème (Bagchi, 1981)
L’hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si il existe une suite {τ n }
de nombres réels telle que
ζ(z + iτ n ) → ζ(z) ∀z ∈ S,
et la convergence est uniforme sur les sous-ensembles compacts de S.
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Perturbations sur la fonction Zeta de Riemann et effets sur
l’hypothèse de Riemann
En 2003, Pustyl’nikov montra l’existence d’une fonction très particulière et
assez surprenante.
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Perturbations sur la fonction Zeta de Riemann et effets sur
l’hypothèse de Riemann
Théorème (Pustyl’nikov 2003)
Pour chaque sous-ensemble compact K ⊂ C qui ne contient pas le point 1
et pour chaque ɛ > 0, il existe une fonction ζ − partageant d’importantes
propriétés avec ζ :
ζ − est méromorphe avec un pôle unique à z = 1 ;
Les zéros réels de ζ − sont les entiers pairs négatifs ;
La fonction ζ − satisfait la même équation fonctionnelle que la fonction
Zeta de Riemann.
et telle que la fonction ne satisfait pas l’hypothèse de Riemann et telle que
|ζ − (z) − ζ(z)| < ɛ, ∀z ∈ K.
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Perturbations sur la fonction Zeta de Riemann et effets sur
l’hypothèse de Riemann (suite)
En 2009, Niess montra l’existence d’une telle fonction qui avait des
propriétés d’universalité.
Il est également possible de trouver des fonctions méromorphes
approximant ζ et partageant les mêmes propriétés décrites ci-haut et qui
satisfont l’hypothèse de Riemann !
Ainsi, il est possible d’approximer ζ par des fonctions pour lesquelles
l’analogue de l’hypothèse de Riemann tient et aussi par des fonctions pour
lesquelles l’analogues de l’hypothèse de Riemann ne tient pas !
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Références
Paul M. Gauthier.
Approximation of and by the Riemann Zeta-function,
Computational Methods and Function Theory.
Paul M. Gauthier.
Approximating functions having zeros or poles by the Riemann
Zeta-function,
Computational Methods and Function Theory.
Paul M. Gauthier et Eduardo S. Zeron.
Small Perturbations of the Riemann Zeta-function and their zeros,
Computational Methods and Function Theory.
Louis-Philippe Thibault (Université de Montréal, Universalité Département de la fonction de Mathématiques Zeta de Riemann et Statistique) 13 juin 2011 14 / 14