MECANIQUE RATIONNELLE
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Solution : P=1500 N ; a = 0,5 m ; DE=L=1m ; R=0,3m ; AC=DB= 2a ; CD=4a ⎛ 0 ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ − Lsin 30° ⎞ ⎛ RAx ⎞ ⎛ RBx ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜ ⎟ →⎜ ⎟ Nous avons: AB⎜8a⎟ ; AH⎜2a⎟ ; AE⎜ 6a ⎟ ; RA⎜ RAy ⎟ ; RB ⎜ 0 ⎟ ; Q⎜ 0 ⎟ ; P⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟ ⎠ ⎝− L cos30° ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟ Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟ Bz ⎠ ⎝− Q ⎜ ⎟ ⎠ ⎝− P⎠ 1) le système est en équilibre statique : → = → → → → ∑ F i 0 ⇒ RA + RB + Q+ P = 0 (1) i −→ → ∑ M i / A = 0 ⇒ AB∧ RB + AH ∧ Q+ AE∧ P = 0 (2) i −→ La projection de l’équation (1) sur les axes donne : R − R = 0 (3) Ax Bx R = 0 (4) Ay RAz + RBz − Q − P = 0 (5) → −→ L’équation vectorielle (2) se traduit par : ⎛ 0 ⎞ ⎛ R ⎜ ⎟ ⎜ ⎜8a⎟ ∧ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝ R Bx Bz ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ − Lsin 30° ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜2a⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 6a ⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝− Q⎠ ⎝− L cos30° ⎠ ⎝− P⎠ ⎝0⎠ En développant cette expression on aboutit à trois équations scalaires : 8 aR Bz − 2aQ − 6aP = 0 (6) RQ − LP sin 30° = 0 (7) 8 aR Bx = 0 (8) → → → −→ On déduit facilement des six équations scalaires la réaction en A et B ainsi que la charge Q. (8) ⇒ R = 0 ; (7) ⇒ Bx → → LP Q = sin 30° = 25000N R 2Q + 6 (6) ⇒ R P Bz = = 7375N ; (5) ⇒ RAz = Q + P − RBz = 19125N 8 (4) ⇒ R = 0 ; (3) ⇒ R R = 0 Ay RA = RAz = 19125N ; RB = RBz = 7375N Ax = Bx 108
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 16 : Un couvercle homogène ayant la forme d’un demi disque de rayon a de poids P est maintenu par un axe horizontal AB avec une liaison sphérique en A et cylindrique en B. Une corde inextensible CD , de masse négligeable est attaché au point C et soulève le couvercle de tel sorte qu’il fasse un angle α = 30° avec l’axe horizontal (oy). L’autre extrémité est attaché au point D (- a,0, a). On donne : OA = OB = a Le centre d’inertie G du couvercle est situé sur l’axe OC et tel que : 1. Ecrire les équations scalaires d’équilibre ; OG = 2. En déduire les réactions des liaisons A et B ainsi que la tension de la corde. z D B z 4a 3π D B A O α C y A O G α C y Solution : x x ⎛− 2a⎞ ⎛ − a ⎞ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ Nous avons: AB⎜ 0 ⎟ ; AC⎜ a cos30° ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎜ ⎟ ⎠ ⎝− asin 30° ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − a ⎟ −→ ⎜ 4a AG cos30° ⎟ ⎜ 3π ⎟ ⎜ 4 a ⎟ ⎜− sin 30° ⎟ ⎝ 3π ⎠ Déterminons les composantes de T → , en effet nous pouvons écrire : T → → → → − a i − 0,866a j+ 1,5a k → → → T = T = −0,5T i − 0, 433T j+ 0,750T k 2 2 2 a ( −1) + ( −0,866) + (1,5) → = T u → CD −→ CD = T CD ⎛ RAx ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ − 0,5T ⎞ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜ ⎟ d’où : RA⎜ RAy ⎟ ; RB ⎜ RBy ⎟ ; T ⎜− 0,433T ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎝ R ⎜ ⎟ Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟ Bz ⎠ ⎝ 0,750T ⎠ ⎛ 0 ⎞ →⎜ ⎟ P⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− P⎠ 109
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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />
A.KADI<br />
Solution :<br />
P=1500 N ; a = 0,5 m ; DE=L=1m ; R=0,3m ; AC=DB= 2a ; CD=4a<br />
⎛ 0 ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ − Lsin 30°<br />
⎞ ⎛ RAx<br />
⎞ ⎛ RBx<br />
⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />
−→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜<br />
⎟ →⎜<br />
⎟<br />
Nous avons: AB⎜8a⎟<br />
; AH⎜2a⎟<br />
; AE⎜<br />
6a<br />
⎟ ; RA⎜<br />
RAy<br />
⎟ ; RB<br />
⎜ 0 ⎟ ; Q⎜<br />
0 ⎟ ; P⎜<br />
0 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ 0 ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝−<br />
L cos30°<br />
⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />
Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟<br />
Bz ⎠ ⎝−<br />
Q ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝−<br />
P⎠<br />
1) le système est en équilibre statique :<br />
→<br />
=<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
∑ F<br />
i<br />
0 ⇒ RA<br />
+ RB<br />
+ Q+<br />
P = 0<br />
(1)<br />
i<br />
−→<br />
→<br />
∑ M<br />
i / A<br />
= 0 ⇒ AB∧ RB<br />
+ AH ∧ Q+<br />
AE∧<br />
P = 0 (2)<br />
i<br />
−→<br />
La projection de l’équation (1) sur les axes donne :<br />
R − R = 0<br />
(3)<br />
Ax<br />
Bx<br />
R = 0<br />
(4)<br />
Ay<br />
RAz + RBz<br />
− Q − P = 0<br />
(5)<br />
→<br />
−→<br />
L’équation vectorielle (2) se traduit par :<br />
⎛ 0 ⎞ ⎛ R<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜8a⎟<br />
∧ ⎜ 0<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ R<br />
Bx<br />
Bz<br />
⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ − Lsin 30°<br />
⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ + ⎜2a⎟<br />
∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 6a<br />
⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−<br />
Q⎠<br />
⎝−<br />
L cos30°<br />
⎠ ⎝−<br />
P⎠<br />
⎝0⎠<br />
En développant cette expression on aboutit à trois équations scalaires :<br />
8 aR Bz<br />
− 2aQ<br />
− 6aP<br />
= 0<br />
(6)<br />
RQ − LP sin 30°<br />
= 0<br />
(7)<br />
8 aR<br />
Bx<br />
= 0<br />
(8)<br />
→<br />
→<br />
→<br />
−→<br />
On déduit facilement des six équations scalaires la réaction en A et B ainsi que la charge Q.<br />
(8) ⇒ R = 0<br />
; (7) ⇒<br />
Bx<br />
→<br />
→<br />
LP<br />
Q = sin 30°<br />
= 25000N<br />
R<br />
2Q<br />
+ 6<br />
(6) ⇒ R P<br />
Bz<br />
= = 7375N<br />
; (5) ⇒ RAz = Q + P − RBz<br />
= 19125N<br />
8<br />
(4) ⇒ R = 0<br />
; (3) ⇒ R R = 0<br />
Ay<br />
RA = RAz<br />
= 19125N<br />
; RB = RBz<br />
= 7375N<br />
Ax<br />
= Bx<br />
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