MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
⎛ RAx
⎞ ⎛ RBx
⎞ ⎛− Psinα
⎞ ⎛ − 2Psin
β ⎞
→ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜
⎟ →⎜
⎟
RA⎜
0 ⎟ ; RB
⎜ 0 ⎟ ; T⎜
0 ⎟ ; F⎜
0 ⎟ ;
⎜ ⎟
⎝ R ⎜ ⎟
Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟
Bz ⎠ ⎝ P cosα
⎜ ⎟
⎠ ⎝−
2P
cos β ⎠
⎛ 0 ⎞
−→⎜
⎟
M ⎜−
M ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
Le système est en équilibre statique, nous avons alors :
→
=
→
→
→
→
∑ F
i
0 ⇔ RA
+ RB
+ T + F = 0
(1)
i
−→
→
∑ M
i / A
= 0 ⇔ M + AB∧
RB
+ AH ∧ T + AE∧
F = 0 (2)
i
−→
−→
→
→
−→
→
→
−→
→
→
Projetons l’équation (1) sur les axes :
RAx + RBx
− 2 Psin
β − Psinα
= 0
(3)
0 = 0
(4)
RAz + RBz
− 2 P cos β + P cosα
= 0
(5)
En développant l’équation vectorielle (2), nous obtenons trois autres équations scalaires :
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ R
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜−
M ⎟ + ⎜2a⎟
∧ ⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ R
Bx
Bz
⎞ ⎛ R cosα
⎞ ⎛− Psinα
⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ − 2Psin
β ⎞ ⎛0⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ + ⎜ a ⎟ ∧ ⎜ 0 ⎟ + ⎜3a⎟
∧ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ Rsinα
⎠ ⎝ P cosα
⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−
2P
cos β ⎠ ⎝0⎠
2 aR Bz
+ aPcosα
− 6aPcos
β = 0
(6)
− M − RP cos
2
α − RP sin
2
α + 2aPc
osβ
= 0 (7)
− 2 aR Bx
+ aPsinα
+ 6aPsin
β = 0
(8)
Le système d’équation permet de trouver toutes les inconnues.
(7) ⇒ M = 2aPc osβ
− RP = P(
a 3 − R)
= P(1,732a
− R)
(8) ⇒
P P
R Bx
= 3 Psin
β + sinα
= (6 +
2 4
3) = 1, 933P
(6) ⇒
P P
R Bz
= 3 P cos β − cosα
= (6
2 4
3 −1)
= 2, 348P
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