MECANIQUE RATIONNELLE
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Les tensions dans les deux câbles s’écriront sous la forme : → → → → → BC = TBC u BC = −0 ,66TBC i + 0,66TBC j+ 0, 33T BC k T → → → → → BD = TBD u BD = −0 ,66TBD i + 0,66TBD j− 0, 33T BD k T La projection de l’équation (1) sur les axes donne les trois équations scalaires : R − 0 ,66T − 0,66T = 0 (3) Ax BC BD RAy + 0 ,66TBC + 0,66TBD − Q = 0 (4) R 0 ,33T − 0,33T = 0 (5) Az + BC BD L’équation (2) s’écrira : ⎛ 3 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 0,66TBC ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 0,66TBD ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1,5 ⎟ ∧ ⎜− Q ⎟ + ⎜1,5 ⎟ ∧ ⎜ 0,66TBC ⎟ + ⎜1,5 ⎟ ∧ ⎜ 0,66TBD ⎟ = ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠ ⎝ 0,33T BC ⎠ ⎝−1⎠ ⎝ − 0,33T BD ⎠ ⎝0⎠ En développant ce produit vectoriel, nous obtenons les trois équations suivantes : − Q + ( 1,5 × 0,33) T + 0,66T − (1,5 × 0,33) T + 0,66T = 0 (6) BC BC ( −3× 0,33) T + 0,66T + (3× 0,33) T + 0,66T = 0 (7) BC BC BD − 3 Q + (3× 0,66) T + (1,5 × 0,66) T + (3× 0,66) T + (1,5 × 0,66) T = 0 (8) BC BC BD BD BD BD BD A partir de l’équation (7) on déduit que : T = 5T BC BD En remplaçant dans l’équation (6) on obtient : Q T BD = = 160, 43N 5,61 D’où : T BC = 802, 15N (3) R = 0 ,66( T + T ) = 635, N Ax BC BD 30 (4) R = Q − 0 ,66( T + T ) = 264, N Ay BC BD 70 (5) R = 0,33( T − T ) = −156, N Az BD BD 70 2 2 2 RA = RAx + RAy + RAz = 705, 85N 100
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 11 : Une plaque triangulaire homogène ABC de poids P est lié à un support fixe par l’intermédiaire d’une articulation sphérique au point A et cylindrique au point C. On donne OA=OC=OB = a. La plaque est maintenue en position inclinée d’un angle de α = 30° par rapport au plan horizontal (xoz) par un câble inextensible BD, accroché au point D à un mur vertical. La corde fait un angle de β = 60° avec la verticale. Une charge de poids Q = 2P est suspendue au point B∈(yoz). Le centre de gravité G de la plaque est situé 1/3 de OB à partir de O. 1. Ecrire les équations d’équilibre statique ; 2. Déterminer les réactions des liaisons aux points A et C ainsi que la tension du câble. y y D β o C x D β o G → T β C x A B α A → P B α Solution : Nous avons OA = OB = OC = a ; z → Q a OG = ; Q = 2P ; α = 30° , β = 60° 3 ⎛ RAx ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ →⎜ ⎟ →⎜ ⎟ Le point B ∈ ( yoz) ; RA⎜ RAy ⎟ ; RC ⎜ RCy ⎟ ; T ⎜ T cos β ⎟ ; Q ⎜− 2P⎟ ; ⎜ ⎟ ⎝ R ⎜ ⎟ Az ⎠ ⎝ R ⎜ ⎟ Cz ⎠ ⎝− T sin β ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 0 ⎞ →⎜ ⎟ P⎜− P⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ z ⎧− a ⎧a ⎧ 0 ⎧ 0 ⎧2a ⎧ a −→ −→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A ⎨ 0 ; C ⎨0 ; B⎨asinα ; G⎨( a / 3)sinα ⇒ AC⎨ 0 ; AB⎨asinα ; ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎩0 ⎪ ⎩a cosα ⎪ ⎩( a / 3)cosα ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎩a cosα ⎧ a −→ ⎪ AG⎨( a / 3)sinα ⎪ ⎩( a / 3)cosα 101
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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique<br />
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3<br />
A.KADI<br />
Les tensions dans les deux câbles s’écriront sous la forme :<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
BC<br />
= TBC<br />
u<br />
BC<br />
= −0<br />
,66TBC<br />
i + 0,66TBC<br />
j+<br />
0, 33T<br />
BC<br />
k<br />
T<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
→<br />
BD<br />
= TBD<br />
u<br />
BD<br />
= −0<br />
,66TBD<br />
i + 0,66TBD<br />
j−<br />
0, 33T<br />
BD<br />
k<br />
T<br />
La projection de l’équation (1) sur les axes donne les trois équations scalaires :<br />
R − 0 ,66T<br />
− 0,66T<br />
= 0<br />
(3)<br />
Ax<br />
BC<br />
BD<br />
RAy + 0 ,66TBC<br />
+ 0,66TBD<br />
− Q = 0<br />
(4)<br />
R 0 ,33T<br />
− 0,33T<br />
= 0<br />
(5)<br />
Az<br />
+<br />
BC<br />
BD<br />
L’équation (2) s’écrira :<br />
⎛ 3 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 0,66TBC<br />
⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛−<br />
0,66TBD<br />
⎞ ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜1,5<br />
⎟ ∧ ⎜−<br />
Q ⎟ + ⎜1,5<br />
⎟ ∧ ⎜ 0,66TBC<br />
⎟ + ⎜1,5<br />
⎟ ∧ ⎜ 0,66TBD<br />
⎟ = ⎜0⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−1⎠<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠<br />
⎝ 0,33T<br />
BC ⎠ ⎝−1⎠<br />
⎝ − 0,33T<br />
BD ⎠ ⎝0⎠<br />
En développant ce produit vectoriel, nous obtenons les trois équations suivantes :<br />
− Q + ( 1,5 × 0,33) T + 0,66T<br />
− (1,5 × 0,33) T + 0,66T<br />
= 0<br />
(6)<br />
BC<br />
BC<br />
( −3×<br />
0,33) T + 0,66T<br />
+ (3×<br />
0,33) T + 0,66T<br />
= 0<br />
(7)<br />
BC<br />
BC<br />
BD<br />
− 3 Q + (3×<br />
0,66) T + (1,5 × 0,66) T + (3×<br />
0,66) T + (1,5 × 0,66) T = 0 (8)<br />
BC<br />
BC<br />
BD<br />
BD<br />
BD<br />
BD<br />
BD<br />
A partir de l’équation (7) on déduit que :<br />
T = 5T<br />
BC<br />
BD<br />
En remplaçant dans l’équation (6) on obtient :<br />
Q<br />
T BD<br />
= = 160, 43N<br />
5,61<br />
D’où :<br />
T BC<br />
= 802, 15N<br />
(3) R = 0 ,66( T + T ) = 635, N<br />
Ax BC BD<br />
30<br />
(4) R = Q − 0 ,66( T + T ) = 264, N<br />
Ay BC BD<br />
70<br />
(5) R = 0,33(<br />
T − T ) = −156,<br />
N<br />
Az BD BD<br />
70<br />
2 2 2<br />
RA = RAx<br />
+ RAy<br />
+ RAz<br />
= 705, 85N<br />
100
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