MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI STATIQUE La statique est la partie de la mécanique qui étudie l’équilibre des systèmes matériels soumis à un ensemble de forces. Ces systèmes peuvent se réduire à un point matériel, un ensemble de points matériels, un solide ou à un ensemble de solides. Dans ce chapitre nous analyserons les actions mécaniques exercées sur ces systèmes à travers l’étude de l’équilibre de celui-ci. Un système matériel est en équilibre statique par rapport à un repère donné, si au cours du temps, chaque point de l’ensemble garde une position fixe par rapport au repère. 1. Les systèmes de forces dans l’espace Les systèmes de forces sont classés en trois catégories : Concourants : les lignes d’action de toutes les forces du système passent par un même point. C’est ce que l’on appelle forces concourantes en un point. - Parallèles : les lignes d’actions des forces sont toutes parallèles, on dit aussi elles s’interceptent à l’infini - Non concourantes et non parallèles : les forces ne sont pas toutes concourantes et pas toutes parallèles. 1.1. Composantes d’une force → Soit une force F appliquée à l’origine O d’un repère orthonormé R( O, i , j, k) . Les composantes de cette force sont définies par : → → → → z −→ F z → z θ ϕ → F −→ F H → y −→ F x ϕ θ → F −→ F y → y → x → x → F → F → → → → → = F + F = F sinθ + F cosθ = F sinθ cosϕ + F sinθ sinϕ + F cosθ H z → = F sin θ cosϕ i + F sinθ sinϕ j+ F cosθ k → → → → → F → → → = Fx i + Fy j+ Fz k nous avons aussi : 2 2 2 F = Fx + Fy + F 2 z 76

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 1.2. Cosinus directeurs Les projections de la force → F donnent respectivement les angles : sur les trois axes ox, oy, oz → z θ z → F θ , θ , θ nous aurons alors : x y z θ x θ y F x = F cos θ , F = F cosθ , F = F cosθ x y y z z → y → x → → → Si i , j , k sont les vecteurs unitaires du repère nous aurons : F = F i + F j+ F k → x → y → z → → F → → → x i + cosθ y j+ cosθ z k) = F(cos θ = F λ avec → → → λ = cosθ i + cosθ j+ cosθ k x y → z → → Le vecteur λ a la même direction que la force F et pour module 1. cos 2 θ 2 2 cos θ + cos θ = 1 x + y z → 2. Force définie par son module et deux points sur sa ligne d’action Soient deux points A x , y , z ) et B x , y , z ) appartenant à la droite (Δ) support de la → ( A A A −→ force F . Le vecteur AB s’écrira : ( B B B −→ → → → AB = ( xB − x A ) i + ( yB − y A ) j+ ( z B − z A ) k −→ AB = d → + d → + d → AB = d i + d j+ d k x y 2 2 2 x y z = z d → z A x → F B x → y → x Soit le vecteur unitaire le long de la ligne d’action de la force. Il est donné par : → u −→ → → → → AB d 1 → → → x i + d y j+ d z k u = = = ( d x i + d y j+ d z k) AB 2 2 2 d + d + d d x y z Comme la force est donnée par : → → F → → → F = F u = ( d i + d y j+ d z k) d x , Composantes suivant les trois axes du repère : F d x = F d d y d z , Fy = F , Fz F . d d x = 77

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