MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Cette égalité est vérifiée pour : α = 1 [ 2 ] 0 4) Pas et axe central du torseur T pour α = 1. Le torseur s’écrit : [ T ] 2 0 ⎧ ⎪ R ⎨ −→ ⎪⎩ M → → → → = −3 i + j+ 3k 2 = → → 20 = 11 j− (11/ 3) k → R2 • M 1 → → → → 11 → 20 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Pas du torseur : P 2 = = 3 3 11 = 0 2 ⎜− i + j+ k ⎟ • ⎜ j− k ⎟ R 19 ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 −→ Axe central du torseur : C’est l’ensemble des point P tel que : −→ OP = 1 19 ⎛ 110 ⎞ ⎜− − 3λ ⎟ ⎛− 3⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛− 3⎞ ⎜ 57 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 11 + − + ⎟ ⎜ 1 ⎟ ∧ ⎜ 11 ⎟ λ⎜ 1 ⎟ λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝−11/ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎜ 33 19 ⎟ ⎜ − + 3λ ⎟ ⎝ 19 ⎠ → −→ −→ R ∧ → 2 M 20 OP = + λ R 2 2 R 2 si (x, y, z) sont les coordonnées du point P alors : nous aurons les trois équations scalaires: 110 11 33 x = − − 3λ , y = − + λ , z = − + 3λ 57 19 19 385 le point P décrit la courbe : 2x + 3y + z = − 57 5) Produit des deux torseurs pour α = 2 2 ] 0 Pour α = 2 le torseur [ s’écrit : ⎧ ⎪ V → T [ T ] → ⎧ ⎪R2 ⎨ ⎪M ⎩ → → → = −2 i + 2 j+ 6 k → 20 = 13 j− k 3 2 = 0 −→ → → −→ → −→ 1 2 [ T ] • [ T ] = • = V • M + R • M = 7 1 2 ⎨ −→ ⎨ −→ 1 2O 2 1O − O O ⎪⎩ M 1O ⎧ ⎪ R → ⎪⎩ M 2O 20 70
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice : 06 [ T 1 ] A ] A Soient deux torseurs et [ définis au même point A par leurs éléments de réduction T 2 → → → dans un repère orthonormé R( O, i , j, k) : → → → → ⎧ ⎪R = −3 i + 2 j+ 2 k ⎨ −→ → → ⎪⎩ M 1A = 4 i − j− 7 k 1 [ T1 ] et [ T ] A = → 2 A → ⎧ ⎪ R2 ⎨ −→ ⎪⎩ M → → → = 3 i − 2 j− 2 k = → → → 2 A = 4 i + j+ 7 k 1) Déterminer l’axe central et le pas du torseur [ T 1 ] A ; 2) Déterminer l’automoment du torseur [ T 1 ] A , montrer qu’il est indépendant du point A ; 3) Construire le torseur [ ] A [ 1 ] A + [ ] A T = a T b T2 avec a et b ∈ IR ; 4) Quelle relation doivent vérifier a et b pour que le torseur [ T ] A soit un torseur couple ; 5) Montrer que le torseur couple est indépendant du point ou on le mesure ; 6) Déterminer le système le plus simple de vecteurs glissants associés au torseur somme : [ T1 ] A + [ T2 ] A Solution : 1) Axe central et Pas du torseur [ T 1 ] A Axe central : Il est défini par l’ensemble des points P tel que : → −→ −→ R ∧ → 1 M 1A = + λ R 2 1 R1 OP −→ OP = 1 17 ⎛− 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛− 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ∧ ⎜ −1⎟ + λ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝− 7⎠ ⎝ 2 ⎠ Pas du torseur [ ] A : → 1 17 ⎛ 12 ⎞ ⎜ − − 3λ ⎟ ⎛−12⎞ ⎛− 3⎞ ⎜ 17 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 13 − + ⎟ ⎜ −13⎟ + λ⎜ 2 ⎟ 2λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 17 ⎝ − 5 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ 5 ⎟ ⎜− + 2λ ⎟ ⎝ 17 ⎠ R1 • M 1 → → → → → → 1A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 28 T 1 P1 = = 3 2 2 4 7 = − 2 ⎜− i + j+ k ⎟ • ⎜ i − j− k ⎟ R 17 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 17 2) Automoment du torseur [ ] A : 1 −→ → −→ → → → → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ T 1 R1 • M 1A = ⎜− 3 i + 2 j+ 2 k ⎟ • ⎜4 i − j− 7 k ⎟ = −28 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 71
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