MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice : 04
On considère les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) et D(0, 2, -1) dans un repère
→
orthonormé R(
O,
i , j,
k)
. Déterminer :
→
→
−→
1) Les éléments de réduction du torseur associé aux vecteurs AC et
2) L’axe central du torseur vectoriellement et analytiquement.
−→
BD ;
Exercice : 05
Soit A un point de l’espace dans un repère orthonormé R(
O,
i , j,
k)
, avec
→
→ → →
→ → → →
21 4 12
OA = − i − j−
k et un vecteur V1
= −3
i + j+
3k
dont l’axe passe par le point A .
9 9 9
T 2
] 0
Soit [ un torseur défini au point O par ses éléments de réduction et tel que :
[ T ]
2
0
→
→ → →
⎧
⎪ R2
= ( α − 4) i + α j+
3α
k
⎨ −→
→
2
⎪M
20
= (2α
+ 9) j+
( −3α
− ) k
⎩
3
= →
1) Déterminer les éléments de réduction du torseur [ 1
] 0
→
R 2
→
−→
M 20
→
T dont la résultante est le vecteur ;
2) Pour quelle valeur de α les deux torseurs sont égaux ;
3) En déduire le pas et l’axe central du torseur [ T 2
] 0
pour cette valeur de α .
4) Calculer le produit des deux torseurs pour α = 2
→
→
V 1
Solution :
1) Eléments de réduction du torseur [ 1
] 0
[ T ]
1
[ T ]
1
0
0
→ → → →
⎧
⎪ V1
= −3
i + j+
3k
⎨ −→ −→
⎪⎩ M
10
= OA∧V1
=
→
→ → → →
⎧
⎪ V1
= −3
i + j+
3k
⎨ −→ →
⎪⎩ M
10
= 11 j−
(11/ 3) k
=
→
; d’où
T
−→
M
−→
= OA∧
→
10
V 1
⎛−
21/ 9⎞
⎛− 3⎞
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ − 4 / 9 ⎟ ∧ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 11 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ −12 / 9⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝−11/
3⎠
2) Les deux torseurs sont égaux si leurs éléments de réductions sont égaux.
→ →
⎧
⎪ V1
= R2
=
2
⇔
0 ⎨ −→ −→
⎪⎩ M
10
= M
[ T ] [ T ]
1
0
20
→ → →
→ → →
⎧
⎪−
3 i + j+
3k
= ( α − 4) i + α j+
3α
k
⇒ ⎨ →
11
→
→
2
→
⎪11
j−
k = (2α
+ 9) j+
( −3α
− ) k
⎩ 3
3
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