MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI ⎛1⎞ ⎛− 2⎞ ⎛0⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛0⎞ ⎛ −1⎞ ⎛0⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ −→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → → M 1 O = ⎜0⎟ ∧ ⎜ 3 ⎟ + ⎜1⎟ ∧ ⎜−1⎟ + ⎜0⎟ ∧ ⎜− 2⎟ = ⎜7⎟ + ⎜ 0 ⎟ + ⎜−1⎟ = ⎜6⎟ = i + 6 j ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝− 7⎠ ⎝0⎠ ⎝−1⎠ ⎝1⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝3⎠ ⎝− 3⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ [ T ] 1 O → → ⎧ ⎪ R1 = 0 ⎨ −→ → ⎪⎩ M 1O = i + 6 j = → 2) Pas et axe central du torseur [ T 2 ] O Pas du torseur : P → R −→ M → ⎛ ⎜2 i + = ⎝ → → → → ⎞ ⎛ ⎞ j+ 3k ⎟ • ⎜− 3 i + 2 j− 7 k ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ − 3 + 2 − 21 = = 4 + 1+ 9 14 → 2 • 2 2 = − 2 R2 11 7 Axe central du torseur : → −→ −→ R ∧ → 2 M 2 OP = + λ R 2 2 R 2 −→ OP = 1 14 ⎛2⎞ ⎛ − 3⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ∧ ⎜ 2 ⎟ + λ⎜1⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝− 7⎠ ⎝3⎠ 1 14 3) Somme et produit des deux torseurs a) Somme des deux torseurs : [ T ] [ T ] + [ T ] ⎛−13⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ + λ⎜1⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎝3⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 13 − 14 5 14 1 2 ⎞ + 2λ ⎟ ⎟ + λ ⎟ ⎟ ⎟ 3λ ⎟ ⎠ → → → → → → ⎧ ⎪R = R1 + R2 = 2 i + j+ 3k = ⎨ −→ −→ −→ → → ⎪⎩ M O = M 1O + M 2O = −2 i + 8 j− 7 k O = 1 O 2 O → b) Produit des deux torseurs : → ⎧ ⎪ R → −→ → −→ → → → → → → 1 2 [ T ] • [ T ] = • = R • M + R • M = 2 i + j+ 3k − 3 i + 2 j− 7 k = 25 1 2 ⎨ −→ ⎨ −→ 1 2O 2 1O ⎜ ⎟ • ⎜ ⎟ − O O ⎪⎩ M 1O ⎧ ⎪ R → ⎪⎩ M 2O 4) Automoment du torseur somme : → −→ F = R • M O → → → → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜2 i + j+ 3 k ⎟ • ⎜− 2 i + 8 j− 7 k ⎟ = −17 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎝ + ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 68
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice : 04 On considère les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) et D(0, 2, -1) dans un repère → orthonormé R( O, i , j, k) . Déterminer : → → −→ 1) Les éléments de réduction du torseur associé aux vecteurs AC et 2) L’axe central du torseur vectoriellement et analytiquement. −→ BD ; Exercice : 05 Soit A un point de l’espace dans un repère orthonormé R( O, i , j, k) , avec → → → → → → → → 21 4 12 OA = − i − j− k et un vecteur V1 = −3 i + j+ 3k dont l’axe passe par le point A . 9 9 9 T 2 ] 0 Soit [ un torseur défini au point O par ses éléments de réduction et tel que : [ T ] 2 0 → → → → ⎧ ⎪ R2 = ( α − 4) i + α j+ 3α k ⎨ −→ → 2 ⎪M 20 = (2α + 9) j+ ( −3α − ) k ⎩ 3 = → 1) Déterminer les éléments de réduction du torseur [ 1 ] 0 → R 2 → −→ M 20 → T dont la résultante est le vecteur ; 2) Pour quelle valeur de α les deux torseurs sont égaux ; 3) En déduire le pas et l’axe central du torseur [ T 2 ] 0 pour cette valeur de α . 4) Calculer le produit des deux torseurs pour α = 2 → → V 1 Solution : 1) Eléments de réduction du torseur [ 1 ] 0 [ T ] 1 [ T ] 1 0 0 → → → → ⎧ ⎪ V1 = −3 i + j+ 3k ⎨ −→ −→ ⎪⎩ M 10 = OA∧V1 = → → → → → ⎧ ⎪ V1 = −3 i + j+ 3k ⎨ −→ → ⎪⎩ M 10 = 11 j− (11/ 3) k = → ; d’où T −→ M −→ = OA∧ → 10 V 1 ⎛− 21/ 9⎞ ⎛− 3⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ − 4 / 9 ⎟ ∧ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −12 / 9⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝−11/ 3⎠ 2) Les deux torseurs sont égaux si leurs éléments de réductions sont égaux. → → ⎧ ⎪ V1 = R2 = 2 ⇔ 0 ⎨ −→ −→ ⎪⎩ M 10 = M [ T ] [ T ] 1 0 20 → → → → → → ⎧ ⎪− 3 i + j+ 3k = ( α − 4) i + α j+ 3α k ⇒ ⎨ → 11 → → 2 → ⎪11 j− k = (2α + 9) j+ ( −3α − ) k ⎩ 3 3 69
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