MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice : 02
→
V 1
→
→
→
→
Soient les trois vecteurs = − i + j+
k ; V = j+
2 k , = i − j définis dans un repère
2
→
→
→
V 3
→
→
orthonormé
→
→
→
R ( O,
i , j,
k)
et liés respectivement au points A( 0,1,2) , B(1,0,2),
C(1,2,0
)
T
1) Construire le torseur [ ] associé au système de vecteurs ;
O
→ → →
1
, V2
, V3
2) En déduire l’automoment ;
3) Calculer le pas du torseur ;
4) Déterminer l’axe central du torseur vectoriellement et analytiquement.
V
Solution :
1) Les éléments de réduction du torseur [ T ] O sont :
La résultante :
→
→
→
→
→
→
R = V + V + V = j+
3 k
1
2
3
−→
−−→
−−→
−−→
Le moment au point O : M O
= OA ∧ V1
+ OB ∧V2
+ OC ∧V3
→
→
→
−→
M
O
⎛0⎞
⎛−1⎞
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛1⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞
⎛−
2⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
= ⎜1⎟
∧ ⎜ 1 ⎟ + ⎜0⎟
∧ ⎜1⎟
+ ⎜2⎟
∧ ⎜−1⎟
= ⎜−
2⎟
+ ⎜−
2⎟
+ ⎜ 2 ⎟ = ⎜−
2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝2⎠
⎝ 1 ⎠ ⎝2⎠
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝−
3⎠
⎝ −1⎠
→ −→ → → → → →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2) L’automoment : A = R • M
O = ⎜ j + 3 k ⎟ • ⎜−
i − 2 j−
k ⎟ = −2
− 3 = −5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→
−→
R M
3) Pas du torseur : p =
R
1
− 5
•
O
= = −
2 2 2
4) Equation vectorielle de l’axe central :
+ 3
5
10
Si l’axe (Δ)
est un axe central alors : ∀ P ∈ (Δ)
⇒
−→
M P
→
= λ R
Son équation vectorielle est donnée par :
→
−→
−→
R∧
M
→
O
OP = + λ R avec λ ∈ IR
2
R
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