MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Les deux grandeurs constituent le torseur développé au point A associé au système de vecteurs donnés. On adopte la notation suivante : [ T ] A → ⎪⎧ R ⎨ − ⎪⎩ M = → A Remarque : Un torseur n’est pas égal à un couple de vecteur, mais il est représenté au point A par ses éléments de réduction. 4. Propriétés des vecteurs moments 4.1. Formule de transport des moments ⎧ ⎪ R = ∑Vi i Connaissant le Torseur [ T ] A = ⎨ en un point A de l’espace nous pouvons −→ n −→ → ⎪M A = ∑ ABi ∧Vi ⎪⎩ → i= 1 → déterminer les éléments de réduction de ce même torseur en un autre point C de l’espace. Le moment au point C s’exprime en fonction du moment au point A , de la résultante → R et −→ du vecteur CA . Nous avons en effet : −→ M C = n ∑ i= 1 −→ → CB ∧V i i = n ∑ i= 1 −→ −→ → ( CA+ AB ) ∧V i i = n ∑ i= 1 −→ → CA∧V i + n ∑ i= 1 −→ → AB ∧V i i −→ = CA∧ n ∑ i= 1 → V i + n ∑ i= 1 −→ → AB ∧V i i −→ M C −→ → −→ = CA∧ R + M A −→ M C −→ −→ → = M + CA∧ R A Cette relation très importante en mécanique permet de déterminer le moment en un point C en connaissant le moment au point A. 4.2. Equiprojectivité des vecteurs moments Les vecteurs moments −→ M A au point A et −→ M C au point C ont la même projection sur la droite AC : On dit que le champ des vecteurs moments, est équiprojectif. −→ M C −→ −→ → = M + CA∧ R A → R A −→ M A −→ −→ M A • AC → R C −→ M C −→ −→ M C • AC 54
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI La projection du vecteur moment sur l’axe CA revient à faire le produit scalaire avec le −→ vecteur CA à un facteur multiplicatif près. Nous avons par la formule de transport : −→ M C −→ −→ → = M + CA∧ R A −→ Multiplions cette relation scalairement par le vecteur CA . −→ −→ • M C CA −→ ⎛ −→ ⎜ ⎜ A ⎝ −→ → ⎞ ⎟ = CA• ⎜M + CA∧ R ⎟ = CA• M + CA• ( CA∧ R ) ⎟ ⎠ −→ −→ A −→ −→ → −→ → or CA∧ R est un vecteur perpendiculaire à CA alors : CA• ( CA R ) = 0 on obtient finalement : −→ −→ • M C −→ −→ = CA • M A −→ CA ou −→ −→ ∧ → −→ −→ −→ −→ C • CA = M A • CA M Le produit scalaire est commutatif. Cette expression exprime que les projections des vecteurs moments CA sont égales. −→ M et −→ C M A sur la droite 5. Opérations vectorielles sur les torseurs 5.1. Egalité de deux torseurs Deux torseurs sont égaux (équivalents), si et seulement si, il existe un point de l’espace en lequel les éléments de réduction sont respectivement égaux entre eux. Soient deux torseurs [ T 1] et [ 2 ] tel que : T1 = T2 égaux au point P, cette égalité se traduit par deux égalités T [ ] P [ ] P vectorielles : [ ] [ T ] P T P 2 1 = ⇔ → → ⎧ ⎪R1 = R2 ⎨ −→ ⎪⎩ M 1 P = M −→ 2P 5.2. Somme de deux torseurs La somme de deux torseurs [ ] 1 T et [ ] T est un torseur [ ] 2 T dont les éléments de réduction → R et −→ M P sont respectivement la somme des éléments de réduction des deux torseurs. [ T ] P = [ T1 ] P + [ T2 ] P ⇔ [ T ] P → → → ⎧ ⎪R = R1 + R2 ⎨−→ −→ − ⎪⎩ M P = M 1P + M = → 2P 55
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