MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
R
•
⎧
⎪
AΩ
sx
•
⎪
⎨B
Ω sy
⎪
•
⎪C
Ω sz
⎩
s
+ ( C − B)
Ω
+ ( A − C)
Ω
+ ( B − A)
Ω
sy
sx
sy
Ω
Ω
Ω
sz
sz
sx
= 0
= 0
= 0
⎡A
0 0⎤
⎛Ω
→
→
sx ⎞ ⎛ AΩ
sx ⎞
0
0
σ ( G)
= I
G
( S)
Ω
s
= Cte ⇔
⎢
B
⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢
0 0
⎥ ⎜Ω
sy ⎟ = ⎜ BΩ
sy ⎟ = Cte
⎢ C⎥
⎜ ⎟ ⎜
R sz R C ⎟
⎣0
0 ⎦ ⎝Ω
⎠ ⎝ Ω
sz ⎠R
Le moment cinétique est constant donc son module est aussi constant, on a alors:
2 2 2 2 2 2
A Ω
sx
+ B Ω
sy
+ C Ω
sz
= Cte
s
s
s
Le centre d’inertie du solide est un point fixe donc son énergie potentielle
E
p
= E p0
reste
constante. Comme le champ des forces est conservatif nous pouvons écrire :
E + E = E + E
c
p
c
p0
L’énergie cinétique du solide est donnée par :
⎡A
⎤ ⎛Ω
sx ⎞
T
⎜ ⎟
Ec =
1 →
0 0
→
0
1
Ω I
G
( S)
Ω
0
1
1
=
sx sy sz
⎢ ⎥ ⎜ sy ⎟ =
2
2
⎢ C⎥
⎜ ⎟
⎣0
0 ⎦ R ⎝Ω
sz ⎠R
2 2 2
d’où AΩ
sx
+ BΩ
sy
+ CΩ
sz
= Cte
( Ω , Ω , Ω )
⎢
0 B 0
⎥
Ω Cte
Les composantes de la vitesse de rotation ( Ω Ω , Ω )
car elles sont solutions du système d’équations précédentes.
sx
sy
s
sz
s
, en fonction du temps, sont connues
Pour trouver la valeur des angles d’Euler en fonction du temps, on choisit l’axe
→ →
z 0 ≡ z 1
comme étant l’axe du moment cinétique 0 0
σ ( G)
, alors il sera parallèle à = ψ ; on peut
→
0
alors écrire : σ ( G)
λ z or nous pouvons exprimer le vecteur z dans le repère R par les
matrices de passage :
→
z
0
⎡0⎤
=
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢⎣
1⎥⎦
R
0
⎡0⎤
=
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢⎣
1⎥⎦
R
1
→
=
0
⎡ 0 ⎤
=
⎢ ⎥
⎢
sinθ
⎥
⎢⎣
cosθ
⎥⎦
R
2
→
⎡sinθ
sinϕ
⎤
=
⎢ ⎥
⎢
sinθ
cosϕ
⎥
⎢⎣
cosθ
⎥⎦
R s
→
0
→ • →
Ω1 z0
s
413