MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
•
⎛
⎜ AΩ
sx
→
•
0
δ (O) =
⎜
⎜
B Ω sy
•
⎜C
Ω sz
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠R
s
⎛Ω
⎜
+ ⎜Ω
⎜
⎝Ω
sx
sy
sz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠R
s
⎛ AΩ
⎜
∧ ⎜ BΩ
⎜
⎝CΩ
sx
sy
sz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠R
s
=
R
•
⎧
⎪
AΩ
sx
•
⎪
⎨B
Ω sy
⎪
•
⎪C
Ω sz
⎩
s
+ CΩ
+ AΩ
+ BΩ
sy
sx
sy
Ω
Ω
Ω
sz
sz
sx
− BΩ
− CΩ
− AΩ
sy
sx
sy
Ω
Ω
Ω
sz
sz
sx
Soient
δ , δ , δ les composantes du moment dynamique exprimé dans le repère lié au
sx
sy
sz
solide, nous obtenons les équations scalaires suivantes :
•
⎧
⎪
AΩ
sx
•
⎪
⎨B
Ω sy
⎪ •
⎪C
Ω sz
⎩
+ ( C − B)
Ω
+ ( A − C)
Ω
+ ( B − A)
Ω
sy
sx
sy
Ω
Ω
Ω
sz
sz
sx
= δ
= δ
= δ
sx
sy
sz
Ce système d’équation dépend des angles d’Euler et de leurs dérivées premières et secondes,
il est assez difficile de le résoudre dans le cas général. Ces équations ne peuvent trouver
solution que dans quelques cas particuliers que nous exposons ici .
• Cas où le moment des forces extérieures, est nul, c’est le cas d’un solide en mouvement de
rotation autour de son centre d’inertie. Ce cas est appelé problème d’Euler-Poinsot.
• Cas d’un solide ayant un ellipsoïde central d’inertie, c’est à dire le point fixe est situé sur
l’axe de révolution et le solide est soumis à la seule force de pesanteur. Ce cas est appelé
problème de Lagrange-Poisson.
• Cas d’un solide ou l’ellipsoïde central d’inertie est de révolution :A= B et en plus
A =2C. le centre de masse est situé dans le plan équatorial. Ce cas est appelé problème de
Kovalevskaia.
7.1 Le point fixe O est confondu avec le centre d’inertie G du solide :
Cas d’Euler-Poinsot
La seule force appliquée est le poids en G, donc le moment des forces extérieures en ce point
est nul, alors le système d’équation s’écrit :
→
0
→
0
→
→
→
0 d σ ( G)
0
0
δ ( G)
= = 0 ⇒ σ ( G)
= I
G
( S)
Ω
s
= Cte
dt
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