MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI •• • 2 − ma ( ψ sinψ + ψ cosψ ) = R Lx •• • 2 ma ( ψ cosψ −ψ sinψ ) = R Ly …………………(1) …………………(2) 0 = −mg + RLz ………………(3) •• • •• • 2 2 ( −E ψ + Dψ )cosψ + ( Dψ + Eψ ) sinψ = M Lx …………………(4) •• • •• • 2 2 ( −E ψ + Dψ )sinψ − ( Dψ + Eψ ) cosψ = mga + M Ly ……………(5) •• Cψ = M Lz + Γ m ………………(6) Nous avons 06 équations avec 07 inconnues : ψ , R , R , R , M , M , M Lx Ly Lz Lx Ly Lz Une septième équation sera donnée par la nature physique de la liaison et elle permettra de résoudre le système d’équation complètement. L’équation (6) permet de déterminer la valeur de ψ et en la remplaçant dans les autres équations on déduit les valeurs de toutes les inconnues. 6. Equilibrage statique et dynamique des rotors et des roues 6.1 Mouvements de rotation autour d’un axe fixe d’un solide non équilibré Soit un rotor ou une roue (S) assimilé à un disque de rayon R et d’épaisseur e . On choisit un repère fixe → → → R0 ( O, x0 , y0 , z0 ) lié au bâti fixe. Le rotor (S) est lié au bâti par l’intermédiaire de deux paliers ( P 1 ) et ) de centres respectifs et tel que l’axe P P 1 soit confondu ( P 2 P1 P2 2 −→ avec l’axe de rotation Oz 0 . Pour construire un trièdre direct on considère que l’axe Ox 0 est vertical ascendant. On suppose que le rotor est non équilibré, le centre de masse du rotor n’est pas situé sur l’axe de rotation et ses coordonnées ne sont pas connues au départ. −→ On choisit un second repère s → R ( O, x s → , y s → , z s ) de même centre O et lié au rotor. Son mouvement de rotation est repéré à chaque instant par un angle → → → → ψ = ( x0 , xs ) = ( y0 , ys ) avec → • → • → 0 Ω s = ψ z s = ψ z0 → → z s ≡ 0 car z . Le vecteur position du centre de masse du rotor est donné dans le repère s → R ( O, x s → , y s → , z s ) par : −−→ → → → = a xs + b ys + c z s OG 403

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → x s ψ → x 0 (S) o P1 G x P 2 a → z 0 ≡ → z s → y 0 ψ → y s L 1 L 2 6.2 Etude cinétique du mouvement La matrice de passage du repère vers le repère R est donnée par : Rs 0 → x s → y s → → = cosψ x0 + sinψ y0 → → = −sinψ x0 + cosψ y0 → → z s = z 0 La matrice d’inertie du solide au point O dans la base s → R ( O, x s → , y s → , z s ) est une matrice quelconque de la forme : I O ⎡ A ( S) = ⎢ ⎢ − F ⎢⎣ − E − F B − D − E⎤ − D ⎥ ⎥ C ⎥⎦ R Le vecteur position du centre de masse du solide dans cette même base s’écrit : −−→ → → → OG = a xs + b ys + c z s La vitesse du centre de masse G se déduit par dérivation de cette expression : → 0 V ( G) • −−→ −−→ ⎛ 0 ⎞ ⎛a⎞ ⎜ bψ ⎟ 0 s → d OG d OG −−→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ • ⎟ • → • → 0 = = + Ω s ∧ OG = ⎜ 0 ⎟ ∧ ⎜b⎟ = ⎜ aψ ⎟ = −bψ xs + aψ ys • dt dt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ψ ⎠ ⎝ c ⎠ 0 ⎝ s ⎛ − ⎞ ⎟ ⎠ 404

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