MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → δ ( S) o → → s 0 → → • → → d ( I 0 ( S) Ω s ) 0 0 0 0 0 = + Ω s ∧ I 0 ( S) Ω s = I 0 ( S) Ω s + Ω s ∧ I 0 ( S) Ω s dt ⎡ A − F − E⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎡ A − F − E⎤ ⎡0⎤ → δ o ( S) = ⎢ F B D ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ F B D ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ 0 ⎥ + ⎢ 0 ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ 0 •• • • ⎥ ⎢⎣ − E − D C ⎥⎦ R ⎢⎣ ψ ⎥⎦ R ⎢⎣ ψ ⎥⎦ R ⎢⎣ − E − D C ⎥⎦ R ⎢⎣ ψ ⎥⎦ R → o •• • → •• • → •• → 2 2 = ( −Eψ + Dψ ) is − ( Dψ + Eψ js + Cψ zs δ ( S) ) s s s s s le moment dynamique peut être exprimé dans la base → ⎡ ⎤ δ o ( S) ⎢ ⎥ i ⎣ ⎦ •• • •• • → 2 2 = ( −Eψ + Dψ )cosψ + ( Dψ + Eψ )sinψ 0 R 0 en utilisant la matrice de passage. ⎡ ⎢ ⎣ •• • •• • → •• → 2 2 + ( −Eψ + Dψ )sinψ − ( Dψ + Eψ )cosψ j0 + Cψ z0 3.3 Energie cinétique Comme le solide a un mouvement de rotation pur autour d’un axe (Δ) confondu avec l’axe → → z s ≡ z 0 , son énergie cinétique est donnée par : ⎤ ⎥ ⎦ E E 0 c 0 c ⎛ 1 ⎜ = 2 ⎜ ⎝V → Ω 0 s → 0 → ⎞⎛ 0 ⎞ ⎟⎜V ( G) ⎟ 1 ⎟ = Ω → ⎜ ⎟ 2 ( O) ⎠⎝ σ 0 ( S) ⎠ → 0 s → 1 σ 0 ( S) = Ω 2 → 0T s 1 • → • → • → 1 → • T 2 T 1 = ψ z I ( ) ( ) 2 s 0 S ψ zs = ψ zs I 0 S zs = ψ I 2 2 2 0 → 0 s I ( S) Ω zz ( S) 0 Ec = 1 Cψ 2 • 2 4. Les différentes actions mécaniques exercées sur le solide Le solide est soumis à l’action de pesanteur due à son propre poids, aux actions de liaisons au niveau des articulations qui sont intermédiaire entre le bâti fixe et le solide, mais aussi à une action motrice où de freinage qui permet de mettre le solide en mouvement ou de le freiner s’il est déjà en mouvement. 4.1 Action de pesanteur Au point G centre d’inertie du solide, l’action de pesanteur est représentée par le torseur ayant pour éléments de réduction : → ⎧ ⎪R p = −mg z ⎨ → → ⎪⎩ M G = 0 → s 401
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Par la formule de transport nous pouvons exprimer le moment au point O, il est donné par : ⎛a⎞ ⎛ 0 ⎞ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M O ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎝− mg ⎠ → −−→ → −−→ → → = M G + OG∧ R p = OG∧ R p = 0 ∧ = mga ys Dans le repère R 0 , il s’écrira : → M O → → = −mga sinψ x0 + mga cosψ y0 4.2 Action due à la liaison rotoïde entre le bâti fixe et le solide L’action de liaison entre le solide et le bâti est représentée par un torseur dont les éléments de → → ⎧ ⎪ RL = RLx x0 + RLy y réduction sont : ⎨ −→ → ⎪ ⎩M LO = M Lx x0 + M → 0 Ly + R Lz → 0 → z 0 y + M Lz Les composantes de l’action de liaison sont déterminées à partir des équations finales qui égalisent le moment dynamique au moment des actions extérieures. La nature de l’articulation et le point de calcul du moment peuvent réduire le nombre d’inconnues dans les équations du mouvement. 4.3 Action due au couple moteur ou au couple de freinage Le solide peut être mis ou maintenu en mouvement de rotation à l’aide d’un couple moteur. Si le solide est déjà en mouvement, pour l’arrêter, il faut aussi appliquer un couple de freinage. Le moment appliqué pour mettre le solide en rotation ou pour l’arrêter est toujours porté par l’axe de rotation. Dans ce cas, le couple moteur ou le couple de freinage sera représenté par un torseur dont les → z 0 éléments de réduction sont : → → ⎧ ⎪Rm = 0 ⎨ → ⎪⎩ M O = Γ m → z s = Γ m → z 0 La valeur du couple moteur ou de freinage 5. Principe fondamental de la dynamique Γ m est connue. Le principe fondamental de la dynamique dans un repère Galiléen traduit l’égalité entre le torseur des actions extérieures appliquées au solide et le torseur dynamique du solide. Nous avons ainsi dans le repère R 0 : → → ⎧ ⎪⎧ D ⎪ R p ⎨ → = ⎨ → ⎪⎩ δ o ( S) ⎪⎩ M 0 ⎧ ⎪ R + ⎨ ⎪⎩ M → L → LO ⎧ ⎪R + ⎨ ⎪⎩ Γ → m → m ⇒ → → → ⎧ ⎪ D = R p + RL + R ⎨ → → ⎪⎩ δ o ( S) = M 0 + M → m → LO → + Γ m 402
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