MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 06 :
Un disque plein de rayon a , de masse m roule sans glisser sous l’effet de la gravitation sur
un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. Soit
→ → →
1( 1 1 1
lié au plan incliné, R G,
x , y , z ) lié au centre d’inertie G du disque et R G,
x , y , z ) un
→ →
1
≡ z 2
repère en rotation par rapport à l’axe z tel que x , x ) = ( y , ) = ϕ .
→
→
→
R0
( O,
x0
, y0
, z0
) un repère fixe
→ → → →
(
1 2 1
y2
→ → →
2
(
2 2 2
A l’instant initial, le disque est immobile. La réaction au point de contact entre le disque et le
→
N
plan incliné a deux composantes, l’une normale au plan incliné, l’autreT tangentielle à ce
dernier.
Le tenseur d’inertie du disque en son centre d’inertie G dans le repère R 2
est donné par :
I
C
⎡A
0 0 ⎤
⎢ ⎥
/ R
=
⎢
0 A 0
⎥
avec
2
⎢⎣
0 0 2A⎥⎦
→
2
Ma
A = ; On prendra R 1
comme repère de projection.
4
1. Déterminer la vitesse V 0 ( G)
et l’accélération γ
0 ( G)
du point G ;
2. Appliquer le théorème de la résultante dynamique au disque ;
3. Appliquer le théorème du moment dynamique au disque ;
4. Trouver une équation scalaire liant les paramètres cinématiques y • ,
•
θ et a et qui
traduisent la condition de roulement sans glissement du disque sur le plan incliné ;
••
••
5. En déduire les expressions de N, T, y et ϕ en fonction de m, g, α et a ;
• •
6. Déterminer l’énergie cinétique du disque en fonction de m, a , y et ϕ ;
•
7. Exprimer l’énergie cinétique du disque en fonction de m et y en tenant compte de la
condition de roulement sans glissement ;
8. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au disque, retrouver l’expression de
•
l’accélération linéaire .
→
→
O
x(t)
→
x
0
G
I I
α
•
y
→
x
1
ϕ
→
x 2
→
y 1
→
y 0
O
y(t)
→
x 0
→
T
→
N
G
I I
→
P
α
→
x
ϕ
1
→
x
→
y
2
1
→
y 0
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