MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice 05 : Une barre homogène de longueur AB = 2L , de centre G et de masse m, glisse sans frottement le long d’un escalier tel que représenté sur la figure. Le point A glisse sur le sol et le point C sur l’arrête de l’escalier. La position initiale de la barre étant A B 0 0 . On prendra R 0 comme repère de projection. → → → → ( 0 1 0 1 On donne : OA = x (t) , α = x , x ) = ( y , y ) . −−→ 1. Déterminer les vecteurs : OG , V 0 ( G ) et γ 0 ( G ) ; 2. Appliquer le théorème de la résultante dynamique à la barre ; 3. Appliquer le théorème du moment dynamique à la barre au point G ; 4. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à la barre. Le tenseur d’inertie de la barre en G dans R 1 est donné par : → → I G / R1 ⎡mL ⎢ 3 = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 2 0 0 0 0 0 mL 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ R 1 → y 1 B B 0 C → y 0 G → x 1 → y 1 B B 0 C → y 0 G → R C → R A → x 1 O A 0 A α → x 0 O → P A 0 α A α → x 0 x(t) x(t) Solution : → → → 0 ( 0 0 0 R O, x , y , z ) repère fixe ; → → → 1( 1 1 1 → → → → ( 0 1 0 1 R A, x , y , z ) tel que : α = x , x ) = ( y , y ) et Ω → • → • → 0 1 = α z0 = α z1 385

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI −−→ → → 1. Vecteurs : OG , V 0 ( G) et γ 0 ( G) ; Nous avons : ⎧x −−→ −−→ −−→ ⎪ OG = OA+ AG= ⎨0+ ⎪ R ⎩0 R 0 0 ⎧− ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Lsinα L cosε 0 = R 0 ⎧x − Lsinα ⎪ ⎨ L cosε ⎪ ⎩ 0 → 0 V ( G) = • • ⎧ −−→ ⎪ x− Lα cosα 0 d OG • = ⎨− Lα sinα dt ⎪ 0 R ⎪⎩ 0 → 0 ; γ ( G) = d 0 → 0 V ( G) = dt R 0 ⎧•• ⎛ •• • 2 ⎞ ⎪x− L⎜α cosα −α sinα ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ • ⎪ ⎛ •• 2 ⎞ ⎨ − L⎜α sinα + α cosα ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 2. Théorème de la résultante dynamique, appliqué à la barre La résultante des forces extérieures appliquées à la barre est égale à la masse de la barre par l’accélération de son centre de gravité : ∑ F 0 ext mγ ( G) ⇔ R R P m 0 ( G A + C + = γ ) i → = → → → → → (1) La projection de l’équation (1) sur les axes de R 0 donne : R C R A •• ⎛ •• • 2 ⎞ cosα = m x− mL⎜α cosα −α sinα ⎟ ⎝ ⎠ + R C ⎛ •• • 2 ⎞ sinα − mg = −mL⎜α sinα + α cosα ⎟ ⎝ ⎠ (2) (3) 3. Théorème du moment dynamique, appliqué à la barre au point G ; Le moment résultant des forces extérieures appliquées à la barre est égal au moment dynamique de la barre au même point G. ∑ M ( Fext ) / G = δ G ( S / R0 ) ⇔ GA∧ RA + GC∧ RC = δ G ( S / R0 ) (4) i −→ → → Or le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique : → → 0 d σ G ( S / R0 ) δ G ( S / R0 ) = avec : dt −−→ → −−→ → → 386

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