MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI •• • mL θ L ⎛ •• 2 ⎞ = mg − m ⎜θ sinθ + θ cosθ ⎟ 6 sinθ 2 ⎝ ⎠ ⇒ •• • ⎛ mL 1 L ⎞ L 2 θ ⎜ + m sinθ ⎟ = mg − m θ cosθ ⎝ 6 sinθ 2 ⎠ 2 d’où •• θ = • 2 (2g − Lθ cosθ ) 3 sinθ 2 L(1 + 3sin θ ) Exercice 03 : Un pendule pesant constitué d’un solide homogène de forme quelconque, de masse m tourne autour d’un point fixe O lui appartenant. La liaison entre le solide et le bâti est de type cylindrique. Le pendule est lié au repère → → → R1 ( O, x1, y1, z1) en mouvement de rotation par → → → 0 ( 0 0 0 rapport à un repère fixe R O, x , y , z ) lié au bâti tel que : → → → → ( x0 , x1 ) = ( y0 , y1) = θ Le tenseur d’inertie du pendule en son centre d’inertie G dans le repère R1 est égale à : −−→ → = 1 On donne OG L x avec L= Cte ; R1 est le repère de projection. 1. En utilisant les théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique, établir l’équation différentielle du mouvement ; 2. Retrouver l’expression de cette équation en utilisant le théorème de conservation de l’énergie mécanique totale ; 3. En déduire l’équation différentielle du pendule simple ainsi que sa période. I G → y 1 O → y 0 θ • G Solution : → x 0 mg → x 1 → → → 0 ( 0 0 0 R O, x , y , z ) repère fixe → → → 1( 1 1 1 R A, x , y , z ) est tel que : → • → • → 0 Ω1 = θ z0 = θ z1 378

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Vitesse et accélération du point G : → 0 V ( G) = V ⎧0 ⎧L ⎧ 0 → → −−→ • 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ( O) + Ω1 ∧ OG= ⎨0∧ ⎨0= ⎨Lθ • ⎪ ⎪ ⎪ R ⎩θ ⎩0 ⎩ 0 1 R1 R1 → 0 γ ( G ) = d 0 → 0 V ( G) dt = → 1 0 → d V ( G) 0 + Ω1 ∧V dt • ⎧ ⎪ − 2 ⎧ 0 ⎧0 ⎧ 0 Lθ → •• • •• 0 ⎪ ⎪ ⎪ ( G) = ⎨Lθ + ⎨0∧ ⎨Lθ = ⎨ Lθ • ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R ⎩ 0 R ⎩θ ⎩ 0 0 1 1 R1 ⎪ R ⎩ 1 1. Théorème de la résultante dynamique et du moment dynamique au point G ; 1.a. Théorème de la résultante dynamique au point G ; La résultante des forces extérieures appliquées au solide est égale à la masse du solide par l’accélération de son centre d’inertie. L’articulation au point O est cylindrique, la réaction a → → ( 1 1 deux composantes dans le plan x , y ) → R O → → + P = mγ 0 ( G) (1) La projection de cette équation vectorielle sur les axes donne : • 2 R Ox + mg cosθ = −mθ (2) •• R Oy − mg sin θ = mLθ (3) 1.b. Théorème du moment dynamique au point G ; Le moment des forces extérieures est égal au moment dynamique de la barre. ∑ M ( Fext ) / G = δ G ( S / R0 ) (4) i → → ⎧− L ⎧R Ox → −→ → → ⎪ ⎪ ⎪ ∑ M ( Fext ) / G = GO∧ RO = ⎨ 0 ∧ ⎨ROy = ⎨ 0 = −LROy z1 i ⎪ ⎪ ⎪ R ⎩ 0 ⎩ 0 ⎩− LR 0 R0 R Oy 0 Le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique au point G : ⎧ 0 379

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