MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
1. Equations scalaires du mouvement de la barre ;
a) Théorème de la résultante dynamique :
∑ F
0 i
mγ ( G)
⇔ R
0 ( G
A
+ RB
+ P = mγ
) (1)
i
→
=
→
⎧ L
⎪
sinθ
2
−−→ ⎪L
OG = ⎨ cosθ
⇒
⎪ 2
⎪ 0
R
⎪⎩
0
→
→
→
→
⎧ L
•
⎪ θ cosθ
2
→ ⎪ •
0 L
V ( G)
= ⎨−
θ sinθ
⇒
⎪ 2
⎪ 0
R
⎪⎩
Projetons l’équation (1) sur les axes Ox et Oy:
•
L ⎛
••
2 ⎞
R B
= m ⎜θ
cosθ
−θ
sinθ
⎟
(2)
2 ⎝
⎠
•
L ⎛
••
2 ⎞
R A
− mg = −m
⎜θ
sinθ
+ θ cosθ
⎟ (3)
2 ⎝
⎠
b) Théorème du moment dynamique :
0
→
0
γ ( G ) =
R
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨−
⎪
⎪
⎪
⎩
Le moment des forces extérieures est égal au moment dynamique du système.
0
•
L ⎛
••
2 ⎞
⎜θ
cosθ
−θ
sinθ
⎟
2 ⎝
⎠
•
L ⎛
••
2 ⎞
⎜θ
sinθ
+ θ cosθ
⎟
2 ⎝
⎠
0
0
∑ M ( Fext
) /
O
= δ ( S / R0
)
(4) avec
i
−→
→
→
0
δ ( S / R ) =
0
d
0
σ ( S / R )
0
→
dt
0
0
Calculons le moment cinétique : σ
→
−−→ →
0
( S / R0
) = OG∧
mV ( G)
+ I
G
Le tenseur d’inertie de la barre dans le repère R 1
est donné par :
Le moment cinétique s’écrira :
→
0
1
. Ω
I G
⎡mL
⎢
⎢
12
=
⎢
0
⎢ 0
R
⎢⎣
⎧ L
⎧ L
•
2
⎪
sinθ
⎪ θ cosθ
⎡mL
⎤
2
2
⎢ 0 0 ⎥⎡0⎤
→
⎪
⎪ •
+
⎢
12
0
L
L
σ ( S / R =
∧
⎥⎢
⎥
0
) ⎨ cosθ
m ⎨−
θ sinθ
⎢
0 0 0
⎥⎢
0
• ⎥
⎪ 2
⎪ 2
2
⎢ mL ⎥⎢⎣
θ ⎥
⎪ 0 ⎪ 0
0 0 ⎦
⎢⎣
⎥
⎪
⎪
12 ⎦
⎩
⎩
R
R
1
0
R0
1
2
0
0
0
⎤
0 ⎥
0
⎥
2 ⎥
mL ⎥
12 ⎥⎦
→
2 • 2 • →
2 • →
0
⎛ mL mL ⎞ mL
σ ( S / R = ⎜−
+
⎟
0
) θ θ z0
= − θ z0
, on déduit le moment dynamique par :
⎝ 4 12 ⎠ 6
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