MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
6.3. Energie cinétique d’un solide indéformable
Dans le cas d’un solide indéformable l’énergie cinétique est donnée par :
→ → →
0
(
0 0 0
1
∫ →
2
V
2
S
E = ( M ) dm
C
→ → →
1( 1 1 1 1
Soit R O,
x , y , z ) un repère orthonormé fixe et R O , x , y , z ) un repère lié au solide (S)
indéformable, en mouvement quelconque tel que
O ∈ ( ) .
1
S
→
Ω1
R1
2
0
Soit : la vitesse de rotation du repère par rapport au repère R et M un point
quelconque du solide, nous écrire par la cinématique du solide :
→
→
→ −−−→
0
0
0
V ( M ) = V ( O1
) + Ω1
∧ O1M
L’énergie cinétique du solide (S) en mouvement par rapport à un repère fixe
R 0
a pour
expression :
dE
dt
→
0 →
C
→
0
→
= 0 d V ( M )
0
0
V ( M ) • dm V ( M ) •
∫ =
( M ) dm
dt
∫ γ
S
S
dE
dt
→
→
⎛
−−−→
0
0 ⎞ 0
= V ( O1
)
1
O1M
•
∫ ⎜ + Ω ∧ ⎟ γ ( M ) dm
⎝
⎠
0 →
C
S
en utilisant la règle de permutation dans le produit mixte, l’expression devient :
dE
dt
0
C
→
0
= V
( O )
1
→
0
•
∫
S
γ ( M ) dm + Ω
→ −−−→ →
0
0
1
• ∧
∫ O1M
γ
S
qui peut s’écrire aussi sous la forme de produit de deux torseurs :
dE
dt
0
C
⎧
⎪
= ⎨
⎪
⎩V
→
Ω
0
1
→
0
1
( O )
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
∫
S
•
∫
S
→
0
γ ( M ) dm
→
=
−−−→
0
O M ∧ γ ( M ) dm
1
( M ) dm
[ C] • [ D]
La dérivée de l’énergie cinétique est égale au produit des torseurs cinématiques et
dynamiques, elle est donc égale à la puissance des quantités d’accélérations absolues.
On a vu précédemment, d’après le théorème fondamental de la dynamique que le torseur
dynamique est égal au torseur des efforts extérieurs pour un solide indéformable, d’où
l’expression finale :
dE
C =
dt
P
ext
O1
O1
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