MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Le moment des forces intérieures en un point A quelconque de l’espace est donné par : −→ −−→ → −−→ → −−→ → −−→ −−−−→ → ⎛ ⎞ ⎛ M A int = ∑⎜ AM i ∧ Fij + AM j ∧ F ji ⎟ = ∑⎜ AM i ∧ Fij + ( AM i + M iM j ) ∧ F ⎝ ⎠ ⎝ i i −−→ → → −−−−→ → → ⎛ ⎞ = ∑⎜ AM i ∧ ( Fij + F ji ) + M iM j ∧ F ji ⎟ = 0 ⎝ ⎠ i ji ⎟ ⎠ ⎞ car → → ( F ij Fji → + ) = 0 et −−−−→ M M i j → → ∧ F = 0 ji Le torseur des forces intérieures est toujours un torseur nul : [ τ ] F int = 0 5. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non Galiléen Soit un repère Galiléen → → → R0 ( O, x0 , y0 , z0 ) et un système matériel (S) lié à un repère → → → R1 ( O1 , x1, y1, z1) en mouvement quelconque mais déterminé et connu par rapport à R0 . L’application du théorème fondamental au système matériel (S) dans son mouvement par rapport au repère Galiléen → → → R0 ( O, x0 , y0 , z0 ) se traduit par l’égalité du torseur dynamique du système et du torseur des forces extérieures en un point A quelconque et s’écrit : [ D] A / R0 [ D] A / R = [ τ ] 0 Fext A / R0 ⎧ → ⎪ D = = ⎨ → ⎪ 0 δ A = ⎪⎩ ∫ S ∫ S → 0 γ ( M ) dm −−→ → 0 AM ∧ γ ( M ) dm Nous avons vu précédemment en cinématique du solide que la loi de composition des vecteurs accélérations s’écrit : → → → ⎛ → 0 0 1 ⎜ 0 d Ω γ ( M ) = γ ( M ) + ⎜γ ( O1 ) + dt ⎝ 0 1 ⎞ −−−→ → → −−−→ → → 0 0 ⎟ ⎛ 0 1 ⎞ ∧ O1M + Ω1 ∧ Ω1 ∧ O1M ⎟ + 2⎜Ω1 ∧V ( M ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 0 1 0 Sous forme réduite cette expression s’écrit : γ ( M ) = γ ( M ) + γ ( M ) + γ ( M ) → γ 0 ( M ) : accélération absolue du point M ; → γ 1 ( M ) : accélération relative du point M ; → → → 1 → C 360
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → 0 γ ( ) : accélération d’entraînement du point M ; 1 M → γ (M ) : accélération de Coriolis (ou complémentaire) du point M. C Ces trois accélérations donnent naissance à des résultantes dynamiques et à des moments dynamiques en un point A quelconque de l’espace, nous aurons ainsi les trois torseurs suivants: [ D] A / R = [ D] [ ] [ ] [ ] 0 A / R + D 1 ie + D A ic = τ A Fext A / R0 - Torseur dynamique du système (S) dans son mouvement relatif par rapport à R 1 : [ D] A / R1 ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪⎩ ∫ S ∫ S −−→ → 1 γ ( M ) dm → 1 AM ∧ γ ( M ) dm - Torseur des forces d’inertie d’entraînement du système (S) [ D ] - Torseur des forces de Coriolis : [ D ] ic ie A∈R 1 / R0 A ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∫ S ∫ S ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪⎩ ∫ S → 0 ∫γ 1 S −−→ ( M ) dm → 0 AM ∧ γ ( M ) dm → → ⎛ 0 1 ⎞ 2⎜Ω1 ∧V ( M ) ⎟dm ⎝ ⎠ −−→ → → ⎛ 0 1 ⎞ AM ∧ 2⎜Ω1 ∧V ( M ) ⎟dm ⎝ ⎠ En remplaçant les expressions des trois torseurs, nous déduisons facilement le torseur dynamique dans le repère non Galiléen R 1 : [ D] A / R [ τ Fext ] A R − [ D ie ] A R R − [ D ic ] / A = 0 ∈ 1 0 1 / Cette expression d’égalité des torseurs se traduit par deux équations vectorielles : 1 ∫ S → 1 γ ( M ) dm = ∑ i F → ext − ∫ S → 0 γ ( M ) dm − 1 ∫ S → ⎛ 0 2⎜Ω1 ∧V ⎝ → 1 ⎞ ( M ) ⎟dm ⎠ ∫ S −−→ → 1 AM ∧ γ ( M ) dm = −−→ AM ∧ ∑ i F → ext − ∫ S −−→ → 0 AM ∧ γ ( M ) dm − 1 ∫ S −−→ → ⎛ 0 AM ∧ 2⎜Ω1 ∧V ⎝ → 1 ⎞ ( M ) ⎟dm ⎠ 361
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