MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
= B
− A
x
x
⎛ ∂Az
⎜
⎝ ∂y
⎛ ∂Bz
⎜
⎝ ∂y
∂Ay
−
∂z
∂B
y
−
∂z
⎞
⎟ + B
⎠
⎞
⎟ − A
⎠
y
y
⎛ ∂A
⎜
⎝ ∂z
⎛ ∂B
⎜
⎝ ∂z
x
x
∂Az
−
∂x
∂Bz
−
∂x
⎞
⎟ + B
⎠
z
⎛ ∂Ay
⎜
⎝ ∂x
⎞ ⎛ ∂B
⎟ − A
⎜
z
⎠ ⎝ ∂x
y
∂Ax
−
∂y
∂Bx
−
∂y
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
→
→
div ( A∧
B)
=
→ −−→
B • rotA
→
−−→
− ArotB
Exercice 20 :
→
→
→
→
Soit un vecteur r = x i + y j+
z k exprimé dans un repère orthonormé R(
O,
i , j,
k)
.
→
→
→
−−−→
()
1) Calculer grad r et
−−−→
⎛ ⎞
grad⎜
1 ⎟ ;
⎝ r ⎠
2) Si U(r) est un champ scalaire à symétrie sphérique, montrer que grad − −−→
( U (r))
est un
vecteur radial ;
3) Calculer div( → r ) et en déduire que pour un champ électrique Coulombien :
→
→
r
E = k on a
r
→ →
div E = 0
;
⎛ 1 ⎞
4) Montrer que Δ⎜
⎟ = 0 avec r ≠ 0 ;
⎝ r ⎠
5) Calculer −−→
⎛ ⎞
rot
→
⎜ r ⎟
⎝ ⎠
Solution :
1 −
1
1
2 2 2 2 2 2
1) Nous avons : r = x + y + z = ( x + y + z ) 2 2 2 2
et = ( x + y + z ) 2
−−−→
→ → →
1 →
1
∂r
∂r
∂r
−
−
→
2 2 2
() r i + j+
k = x( x + y + z ) 2
2 2 2
i + y( x + y + z ) 2
2 2 2
j+
z( x + y + z )
grad = 2 k
∂x
∂y
∂z
r
1
−
→
=
→
→
→
x i + y j+
z k
=
→
2 2 2 r
( x + y + z ) 1
2
r
48