MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre d’inertie O 2 dans le repère R 3 est donné par : ⎡A 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ m2 2 2 I O ( S3 ) / R = ⎢ 0 B 0 ⎥ avec A = ( a + b ) , 2 3 3 R ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦ 3 2 m 2 b B = , 3 2 m 2 a C = 3 Déterminer : 1. Le vecteur rotation instantané du repère par rapport à et exprimé dans R ; R3 R0 0 R0 2 R0 R2 R1 R2 2. La vitesse du point M par rapport à et exprimé dans R ; 3. L’accélération du point O 2 par rapport à et exprimé dans ; 4. La vitesse du point N par rapport à et exprimé dans , sachant que : → → → 1 V ( M ) = α( t) x2 + β ( t) y2 ; 5. Le moment cinétique de la tige AB au point O par rapport à et exprimé dans R ; R0 1 R2 R2 6. Le moment cinétique de la plaque au point O 2 par rapport à et exprimé dans ; 7. L’énergie cinétique du système. A • θ → → z , z 0 1 C → z 2 → z 3 → z 2 S 0 S 3 S 2 O 2 S 1 O → B → y 0 → → x 2 , x 3 2b θ O 2 2a M • N • → y 3 → y 2 → x 0 ψ x 1 Solution : 1. Vecteur rotation instantané du repère par rapport à et exprimé dans R ; → → → 0 ( 0 0 0 S 0 R O, x , y , z ) lié au bâti fixe ; → → → 1( 1 1 1 S 1 → • → • → Ω1 0 z1 0 R O, x , y , z ) lié à tel que : = ψ z = ψ ; → → → 2 ( 2 2 2 2 S 2 1 R O , x , y , z ) lié à tel que : Ω = 0 ; x 2 x , → 2 → R3 R0 0 → → ≡ 1 → → z 0 ≡ z 1 → → z 2 ≡ z 1 → → → 3 ( 2 3 3 3 1 R O , x , y , z ) lié à tel que : = θ x = θ ; S 3 → • → • → Ω3 2 x3 → → ≡ 3 x 2 x 351
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 2 OC = AC = CB = L ; O2 C = L 3 → → → • → • → 0 2 1 0 Nous avons : Ω3 = Ω3 + Ω 2 + Ω1 = θ x1 + 0+ ψ z0 avec : → → → → → x1 = cosψ x0 + sinψ y0 → 0 3 Ω • → ⎛ = θ ⎜cosψ x0 + sinψ y ⎝ → 0 • ⎞ ⎟ + ψ z ⎠ → 0 • ⎧ ⎪ θ cosψ • = ⎨θ sinψ • ⎪ ⎪ψ R ⎩ 0 2. Vitesse du point M par rapport à et exprimé dans R ; R0 2 −−→ OM −−→ −−→ −−→ → 2 → → → 2 → → ⎛ = OC+ CO2 + O2M = L z2 + L x2 + a y3 = L z2 + L x2 + a⎜cosθ y2 + sinθ z 3 3 ⎝ → 2 ⎞ ⎟ ⎠ ⎧ 2 ⎪ L −−→ 3 OM = ⎨ a cosθ ; et ⎪L + asinθ ⎪ R ⎩ 2 → 0 V −−→ −−→ 0 2 → d OM d OM −−→ 0 M ) = = + Ω 2 ∧ OM dt dt → 0 V M ) = R 2 ⎧ ⎪ ⎨− ⎪ ⎩ 0 • aθ • aθ sinθ cosθ ⎧ 0 ⎪ + ⎨ 0 ⎪ R ⎩ψ 0 ∧ • ⎧ 2 ⎪ L 3 ⎨ a cosθ ⎪L + asinθ ⎪ R ⎩ 2 = • ⎧ ⎪ − aψ cosθ • ⎨− aθ sinθ + ⎪ • ⎪ R ⎩ aθ cosθ 2 2 3 • Lψ 3. Accélération du point O 2 par rapport à et exprimé dans R ; R0 2 ⎧2 ⎪ L −−→ −−→ −−→ → 2 → OO = OC+ CO = L z + Lx 3 2 2 2 ⎨ 0 3 ⎪ L ⎪ R ⎩ 2 ; 2 → 0 V −−→ −−→ 0 2 → d OO −−→ 2 d OO2 0 = = + Ω 2 ∧ 2 ( O2 ) OO dt dt → 0 2 → −−→ 0 = Ω 2 ∧ 2 V ( O ) OO car → 0 V ( O ⎧ 0 ⎪ ) = ⎨ 0 ∧ • ⎪ R ⎩ψ 2 0 2 d 2 ⎧2 ⎪ L 3 ⎨ 0 = ⎪ L ⎪ R R ⎩ −−→ OO dt 2 → = 0 ⎧ ⎪2 0 • ⎨ Lψ ⎪3 ⎩ 0 0 352
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CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES E
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