MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
Exercice 06 :
On considère, dans le repère orthonormé
deux barres homogènes (S1) lié au repère R
1( O,
x1,
y1,
z1)
et (S2) lié au repère R2
( B,
x2
, y2
, z2
)
Les barres ont une longueur OA=AB = L , de masse m, articulées au point A . Au point B est
articulée un solide (S3) qui est une masse M coulissante suivant l’axe x0
. Soit G1 et G 2 les
centres d’inertie, respectifs des deux barres. On prendra R 0
comme repère de projection.
Les tenseurs d’inertie des deux barres en leurs centres d’inertie respectifs sont donnés par :
⎡0
0 0⎤
⎡A
0 0⎤
2
I G 1(
S1)
=
⎢
⎢
0 A 0
⎢0
0 A⎥ ⎥⎥ ; I
2
( S
2
)
⎢
mL
G
=
⎢
0 0 0 avec :
⎣ ⎦ R
⎢0
0 A⎥ ⎥⎥ A =
12
⎣ ⎦ R
1
→
→
→
R0
( O,
x0
, y0
, z0
) , le système mécanique constitué de
→
→
2
→
→
→
→
→
•
Calculer en fonction de ( ψ , ψ , ψ et L :
••
→
y
1
1. Les vitesses et les accélérations absolues
des points : G 1 , G 2 , B.
2. Le torseur cinétique du système au point O ;
O
ψ
G 1
•
→
y
0
→
y 2
3. Le torseur dynamique du système au point O ;
4. L’énergie cinétique du système.
B
G 2
•
θ
A
→
x
1
Solution :
1. Vitesses et accélérations par dérivation :
1.a. Vitesses
Nous avons :
→
x 0
π
θ = −ψ
⇒ cos θ = sinψ
et sin θ = cosψ
2
→
x
2
⎧(
L / 2)cosψ
−−→
⎪
OG
1=
⎨(
L / 2)sinψ
⇒
⎪
R ⎩ 0
0
→
0
V
( G ) =
1
d
0
−−→
OG
dt
1
•
⎧
⎪ − ( L / 2) ψ sinψ
•
= ⎨ ( L / 2) ψ cosψ
⎪ 0
⎪
R ⎩
0
⎧Lcosψ
+ ( L / 2)cosψ
= (3L
/ 2)cosψ
−−→
⎪
OG
2
= ⎨ Lsinψ
− ( L / 2)sinψ
= ( L / 2)cosψ
⇒
⎪
R ⎩
0
0
→
0
V ( G
2
) =
d
0
−−→
OG
dt
2
•
⎧
⎪ − (3L
/ 2) ψ sinψ
•
= ⎨ ( L / 2) ψ cosψ
⎪ 0
⎪
R ⎩
0
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