MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
→ ⎛ →
⎜
→ ⎞
⎟
2) Calculer les produits suivants : P•
⎜ P∧ Q ⎟ et
⎜
⎝
⎟
⎠
→
P∧
⎛ →
⎜
⎜ P
⎜
⎝
∧
→ ⎞
⎟
Q ⎟
⎟
⎠
→
Soit un vecteur U
perpendiculaire à
→
→
→
2
= α i + t j−
k ; quelle est la valeur de α pour que le vecteur U soit
→
P .
→
3) Déterminer le volume du parallélépipède formé par les vecteurs
→
→
→
U , P,
Q ;
→
4) Déterminer la composante de Q sur l’axe
Δ passant par les points A(0,0,1) et B(1,2,1)
Exercice 19 :
→
→
→
Soit f un scalaire et A , B,
C trois vecteurs quelconques, vérifier les relations suivantes :
1)
→
→ → −−−→
= fdiv A+
A • gradf
div ( f A)
;
2)
→
rot ( f
→
−−−→
→
→
A)
= gradf ∧ A+
f rot A
→
→
→
→
3) A∧
B∧
C = B(
A • C)
− C(
A • B)
;
→
→
→
→
→
4)
−→
−−→
−−−→
rot ( rotA)
= grad(
div A)
− Δ A ;
→
→
→
−−−→
→
5) rot(
gradf ) = 0 ;
6)
7)
→
→
→
div( rot A) = 0
→
→
div ( A∧
B)
=
→ −−→
B • rotA
→
−−→
− ArotB
Solution :
→
∂ ∂ ∂
1) div( f A)
= ( fAx
) + ( fAy
) + ( fAz
)
∂x
∂y
∂z
=
⎛ ∂Ax
f
⎜
⎝ ∂x
∂Ay
+
∂y
∂A
⎞
z
+ + Ax
z
⎟
∂ ⎠
∂f
+ A
∂x
y
∂f
+ A
∂y
z
∂f
∂z
=
fdiv
→ → −−−→
A + A • gradf
2)
→
rot(
f
⎛ ∂ ⎞ ⎛ fA ⎞ ⎛ ∂fA
x
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ∂x
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂y
→
⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂fA
A)
= ∧ fA =
⎜ ⎟
y
⎜ ⎟ ⎜
∂y
⎜ ∂z
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
∂
⎜
∂
fA
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂z
⎠ ⎝ fAz
⎠ ⎜
⎝ ∂x
z
x
y
∂fAy
⎞ ⎛
− ⎟ ⎜ f
∂z
⎟ ⎜
∂fA
⎟ ⎜
z
− ⎟ = ⎜ f
∂x
⎟ ⎜
∂fAx
− ⎟ ⎜
∂ ⎟ ⎜
f
y ⎠ ⎝
∂Az
∂y
∂Ax
∂z
∂A
y
∂x
+ A
+ A
+ A
z
x
y
∂f
− f
∂y
∂f
− f
∂z
∂f
− f
∂x
∂A
y
∂z
∂Az
∂x
∂A
x
∂y
− A
y
− A
z
− A
x
∂f
⎞
⎟
∂z
⎟
∂f
⎟
⎟
∂z
⎟
∂f
⎟
∂y
⎟
⎠
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