MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Exercice : 03 Le système mécanique représenté ci-dessous est composé de deux solides. (S 1 ) : une barre de longueur OO 1 = L , de masse négligeable, maintenue à ses deux extrémités par des liaisons : sphériques O et cylindrique en O 1 (d’axe x ). Le disque (S2) a un rayon R et → 1 une masse m. La barre, lié au repère → → → R1 ( x1, y1, z1) , est en rotation dans le plan vertical à une • → → → → → vitesse angulaire θ par rapport au repère fixe R0 ( O, x0 , y0 , z0 ) autour de l’axe z 0 ≡ z 1 . Le → → → 2 ( 2 2 2 → → ≡ 2 disque lié au repère R x , y , z ) , tourne autour de l’axe x 1 x à une vitesse de rotation • ϕ . Le tenseur d’inertie du disque (S2) au point O 1 dans R 1 est donné par : ⎡A 0 I = ⎢ O ( S 2 ) ⎢ 0 C R ⎢⎣ 0 0 1 0⎤ 0 ⎥ ⎥ C⎥⎦ On prendra 1 1 R comme repère de projection. Déterminer : 0 1. La vitesse de rotation instantanée Ω du disque par rapport au repère fixe ; 2. La vitesse et l’accélération du point O 1 par la cinématique du solide ; → 2 3. Le moment cinétique et le moment dynamique aux points O 1 et O par rapport à R 0 ; 4. L’énergie cinétique du système 5. Appliquer le théorème de la résultante dynamique au système 6. Appliquer le théorème du moment dynamique au système au point O. O θ → y 1 → y 0 → y 2 ϕ → y 1 R θ → z 1 ϕ O 1 O 1 → → → z 2 → x 0 x 1 , x 2 316
UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Solution : 1. Vecteur rotation instantanée du disque par rapport à R0 et exprimé dans R1 → 0 2 Ω • ⎧ ⎪ ϕ → → 1 0 = Ω 2 + Ω1 = ⎨0 • ⎪θ R ⎪⎩ 1 2. Vitesse et accélération absolues du point O 1 dans R 1 par la cinématique du solide ⎧L → → → −→ −→ 0 0 0 ⎪ V ( O1 ) = V ( O) + Ω1 ∧ OO1 ; comme OO1 = ⎨0 et ⎪ R ⎩0 1 ⎧0 → 0 ⎪ Ω1 = ⎨0 • ⎪ R ⎩θ 1 alors : → 0 V → 0 1 ( O ) = Ω 1 ⎧0 −→ ⎪ ∧ OO1 = ⎨0 ⎪ R ⎩θ 1 ∧ • ⎧L ⎪ ⎨0 ⎪ R ⎩0 1 = ⎧ 0 • ⎪ ⎨Lθ ⎪ R ⎩ 0 1 → 0 → → 0 0 → → → Ω -- --→ 0 d 1 0 0 O1 ) = ( O) + ∧ OO1 + Ω1 ∧ Ω1 ∧ OO1 γ ( γ on a : dt → 0 1 0 d Ω dt = → 0 1 1 d Ω dt ⎧0 ⎧L ⎪ ⎪ γ ( O 1) = ⎨0 ∧ ⎨0 •• ⎪ ⎪ R ⎩θ R ⎩0 → 0 1 1 + ⎧0 ⎪ ⎨0 ⎪ R ⎩θ 1 ∧ • ⎧ 0 • ⎪ ⎨Lθ = ⎪ R ⎩ 0 1 • ⎧ ⎪ − 2 Lθ •• ⎨ Lθ ⎪ 0 ⎪ R ⎩ 1 3. Moment cinétique et moment dynamique aux points O 1 et O par rapport à R 0 3.1. Moment cinétique et moment dynamique en O1 • • ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡A 0 0⎤ ⎜ϕ ⎟ ⎜ Aϕ ⎟ → → 0 0 σ ( O ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1) = I O1. Ω 2 = ⎢ 0 C 0 ⎥ 0 0 ⎜ • ⎟ ⎜ • ⎟ R ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦ ⎜θ ⎟ ⎜Cθ ⎟ 1 R ⎝ ⎠ R ⎝ ⎠ 1 1 → 0 δ ( O ) = 1 d 0 → 0 σ ( O1 ) dt = d 1 •• •• • ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ⎜ Aϕ ⎟ ⎛ 0⎞ ⎜ Aϕ ⎟ ⎜ Aϕ ⎟ 0 → → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ • σ ( O ⎟ 1) 0 0 ⎜ ⎟ 2 + Ω1 ∧ σ ( O1 ) = 0 + ⎜ 0⎟∧ 0 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Aϕ ⎟ dt •• • • •• ⎜Cθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝θ ⎠ Cθ ⎝ ⎠ R ⎝ ⎠ ⎜ Cθ 1 R R ⎟ 1 1 R ⎝ ⎠ 1 317
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