MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Solution : → → → 0 ( 0 0 0 R x , y , z ) repère fixe ; et aussi repère de projection → → → 1( 1 1 1 → → ≡ 0 R x , y , z ) : z 1 z et → → → 2 ( 2 2 2 → → ≡ 0 R x , y , z ) : x 2 x et → 0 1 → Ω ≡ 0 → • → 0 Ω2 ≡ α x0 → → → 3 ( 3 3 3 R x , y , z ) : x 3 − x et → → ≡ 0 → • → 0 Ω3 ≡ − β x0 −−→ = OI ⎧ 0 ⎧ 0 ⎧0 −−→ −−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨b cosα ; OG1 = ⎨ 0 ; OG2 = ⎨bsinα ; ⎪ R ⎩ 0 ⎪ R ⎩R + 2b cosα ⎪ R ⎩R + bcosα 0 0 0 ⎧0 −−→ ⎪ OG3 = ⎨2b sinα ⎪ R ⎩R 0 1. Vitesses et accélérations absolues des points G i avec i = 1,2,3 1.1. Vitesses par dérivation: −−→ ⎧0 → 0 0 d OG1 ⎪ V ( G1 ) = = ⎨0 ; dt • ⎪ R ⎩− 2bα sinα → 0 V d ( G ) = 3 0 dt −−→ OG 3 = 0 R 0 ⎧ 0 ⎪ ⎨2b ⎪ ⎩ 0 • cos α α 1.1. Accélération par dérivation: → 0 V ( G 2 ) = d 0 −−→ OG dt 2 ⎧ 0 • ⎪ = ⎨bα cosα • ⎪ R ⎩− bα sinα 0 → 0 γ ( G ) = → 0 1 γ ( G ) = → 2 0 γ ( G ) = 3 d d d 0 0 0 → 0 V ( G1 ) = dt R 0 ⎧ 0 ⎪ ⎨ 0 •• • ⎪ 2 ⎩− 2bα sinα − 2bα cosα → ⎧ 0 0 • V ( G ⎪ •• 2 ) 2 = ⎨ bα cosα − bα sinα dt •• • ⎪ 2 R ⎩− bα sinα − bα cosα → 0 V ( G dt 3 0 ⎧ 0 • ) ⎪ •• 2 = ⎨2bα cosα − 2bα sinα ⎪ R ⎩ 0 312

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI → Gi ( S i 0 2. Moments cinétiques σ / R ) des S ) en G avec i = 1,2, 3 ; Les moments cinétiques des trois solides en leurs centres d’inertie sont donnés par : → G1 1 0 −−−→ 0 0 σ ( S / R ) = G G ∧ m V ( G ) + I Ω = 0 → σ G2 → σ G3 1 1 1 → 1 1 → 1 → ( i • • ⎡A −−−→ → → 2 0 0 ⎤ ⎜α ⎟ ⎜ A2 α ⎟ • → 0 0 = G ∧ + Ω = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 2G2 m2 V ( G2 ) I 2 2 0 B2 0 0 0 = A2 α 0 ( S 2 / R0 ) ⎢ ⎥ x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎣ 0 0 C ⎥ 2 ⎦ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • • ⎡A −−−→ → → 3 0 0 ⎤ ⎜ β ⎟ ⎜ A3 β ⎟ • → 0 0 = G ∧ + Ω = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 3G3 m3 V ( G3 ) I 3 3 0 B3 0 0 0 = −A3 β 0 ( S3 / R0 ) ⎢ ⎥ x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎣ 0 0 C ⎥ 3 ⎦ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i ⎛ ⎛ − ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ − ⎞ ⎞ → Gi ( S i 0 3. Moments dynamiques δ / R ) des S ) en G avec i = 1,2, 3 ; Les moments dynamiques se déduisent par la dérivée des moments cinétiques : → δ ( S δ G1 → G2 → δ G3 1 / R 0 → 1 d σ ( / ) → G1 S1 R0 ) = = 0 dt → 2 d σ •• → G2 ( S 2 / R0 ) ( S 2 / R0 ) = = A2 α x0 dt → 3 d σ •• → G3 ( S3 / R0 ) ( S3 / R0 ) = = −A3 β x0 dt 4. Moment dynamique du système au point G : / R ) exprimé dans R ; ( i 1 i → δ G1( ∑ 0 0 Le moment dynamique du système au point des trois solides au même point. G 1 est égal à la somme des moments dynamiques → → → → G1 G G G R ∑ δ ( / R0 ) = δ 1( S1 / R0 ) + δ 1( S2 / R0 ) + δ 1( S3 / 0 ) → δ G1 ( ∑ / R ) = 0 d 0 → σ G1( S1 dt / R0 ) d + 0 → σ G1( S dt 2 / R0 ) d + 0 → σ G1( S dt 3 / R ) 0 d → σ G1( S1 / R0 ) dt 0 → = 0 313

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