MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 5. Energie cinétique 5.1. Définition L’énergie cinétique d’un système matériel continu (S) en mouvement par rapport à un repère fixe R0 est définie par la quantité scalaire exprimée par la relation : 5.2. Théorème de Koënig relatif à l’énergie cinétique → 0 1 ⎛ 0 ⎞ EC = ∫ ⎜V ( M ) ⎟ 2 ⎝ ⎠ S 2 dm Soit 0 → → → R ( O, x, y, z) un repère orthonormé fixe. Le référentiel de Koënig (appelé aussi référentiel barycentrique) R G → → → ( G, x, y, z) est le référentiel lié au centre d’inertie du solide dont les axes sont parallèles à ceux du repère fixe. La vitesse du repère par rapport au repère R est nul : RG 0 → ( R G / R0 → Ω ) = 0 Nous allons chercher une relation entre : - L’énergie cinétique du système dans son mouvement par rapport à - L’énergie cinétique du système dans son mouvement par rapport à R 0 RG et → x → z o → x → z G → y (S) M . → y Soit M un point du système matériel. La loi de composition des vitesses donne : → 0 V → 0 ( M ) = V → G ( G) + V ( M ) en remplaçant cette expression dans celle de l’énergie cinétique nous aurons : E 0 C = ∫ S 1 ⎛ ⎜V 2 ⎝ → 0 or nous avons : ( G) + V → G ⎞ ( M ) ⎟ ⎠ 2 1 ⎛ dm = ⎜V 2 ⎝ −−→ → 0 ⎞ ( G) ⎟ ⎠ → G G d GM V M ) = dans le repère dt 2 ∫ S dm + ( RG ∫ S → 0 V ( G) → G • V ( M ) dm + 1 2 ∫ S ⎛ ⎜V ⎝ → G ⎞ ( M ) ⎟ ⎠ 2 dm E 0 C = 1 ⎛ ⎜V 2 ⎝ → 0 ⎞ ( G) ⎟ ⎠ 2 ∫ S dm + V d dt → 0 ( G) • ∫ S −−→ 1 GMdm + 2 ∫ S ⎛ ⎜V ⎝ → G ⎞ ( M ) ⎟ ⎠ 2 dm nous avons aussi par définition du centre d’inertie que : −−→ → ∫ GMdm = 0 S 301

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI L’expression de l’énergie cinétique devient : E 0 C = 1 ⎛ ⎜V 2 ⎝ → 0 ⎞ ( G) ⎟ ⎠ 2 ∫ S 1 dm + 2 ∫ S ⎛ ⎜V ⎝ → G ⎞ ( M ) ⎟ ⎠ 2 dm qui s’écrit aussi sous la forme réduite : E 0 C → 1 ⎛ 0 ⎞ = ⎜V ( G) ⎟ dm 2 ∫ ⎝ ⎠ 2 S + E G C L’énergie cinétique du système (S) en mouvement quelconque par rapport au repère R 0 est égale à l’énergie cinétique du système dans son mouvement autour de son centre d’inertie G augmentée de l’énergie cinétique du centre d’inertie affecté de la masse totale du système. Cette relation constitue le théorème de Koënig pour l’énergie cinétique. 5.3 Solide indéformable en mouvement quelconque → → → 0 ( 0 0 0 Soit R O, x , y , z ) un repère orthonormé fixe et R O , x , y , z ) un repère lié à un solide indéformable et de centre de d’inertie G. → → → 1( 1 1 1 1 Le solide est en mouvement quelconque tel que O ∈ ( ) . La vitesse de rotation du repère 0 → 0 1 par rapport au repère R est : Ω 1 S Soit M un point quelconque du solide, nous avons par la cinématique du solide : → → → −−→ 0 0 0 V ( M ) V ( O1 ) + Ω1 ∧ O1 = M L’énergie cinétique du solide (S) est donnée par : R 1 E E 0 C 0 C = = ∫ S 1 ⎛ ⎜V 2 ⎝ → 0 ⎞ ( M ) ⎟ ⎠ 2 dm = ∫ S 1 ⎛ ⎜V 2 ⎝ → 0 → 0 1 ( O ) + Ω → → → 1 ⎛ ⎞⎛ −−→ 0 0 0 ⎞ ∫ ⎜V ( M ) ⎟⎜V ( O1 ) + Ω ∧ O1M ⎟dm 2 ⎝ ⎠⎝ 1 ⎠ S 1 −−→ ⎞ ∧ O M ⎟ ⎠ 1 2 dm → 0 = V ( O ) 1 → 1 ⎛ 0 • ∫ ⎜V 2 S ⎝ ⎞ ( M ) ⎟dm + ⎠ ∫ S 1 V 2 → 0 ( M ) • → → → −−→ → = 1 0 0 0 1 V ( O ) • mV ( G) + Ω • ∫ O M ∧V 0 1 1 1 ( M ) dm 2 2 S → ⎛ −−→ 0 ⎞ ⎜Ω1 ∧ O1M ⎟dm ⎝ ⎠ L’expression du moment cinétique déjà développée auparavant est donnée par : → ∫ 0 0 σ ( O ) = O M ∧V ( M ) dm 1 S −−→ 1 → 302

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