MECANIQUE RATIONNELLE

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique
Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3
A.KADI
4.4. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique
Soit A un point quelconque du repère
pas nécessairement un point du système matériel
et un point M du système matériel. Nous avons le moment cinétique au point A qui est
donné par :
σ
→
A
=
∫
S
−−→
Dérivons cette expression :
∫
→
0
AM ∧V
( M ) dm
R 0
→
d →
−−→
0 −−→ →
0
→
⎛
⎞
−−→ 0 0
σ
A d
d AM
d V ( M )
0
0
dt
=
S
⎜ AM ∧V
dt ⎝
−−→
( M ) ⎟dm
=
⎠
∫
S
dt
∧V
( M ) dm +
→
−−→
0
σ
→
A
d
dt
0
→
→
d AM 0
0
or nous avons : = V ( M ) −V
( A)
dt
→
0
σ
→
A
d
dt
→
→
→
⎛ 0
0 ⎞ 0
= ∫ ⎜V
( M ) −V
( A)
⎟ ∧V
( M ) dm + δ
A
⎝
⎠
S
0
→
d AM 0
= ∫ ∧V
( M ) dm + δ
A
dt
S
→
∫
S
AM ∧
dt
dm
0 →
→
d σ
→
A 0
0
⇒ = −V
( A)
∧ mV ( G)
+ δ
A
dt
on obtient ainsi la relation finale entre le moment cinétique et le moment dynamique
→
→ 0
d σ
A
δ
A
=
dt
→
0
+ V
→
0
( A)
∧ mV
( G)
Cette relation ne doit en aucun cas être confondue avec la formule de transport.
4.5. Cas particuliers
Dans certains cas particuliers la dérivée du torseur cinétique est égale au torseur dynamique :
→
→ 0
d σ
A
δ
A =
dt
→
⎧
→
0
⎪1)
A est fixe dans R0
⇔ V ( A)
= 0
→
→
⎪
→
0
0
Si : ⎨2)
A est confondu avec G ⇔ V ( A)
∧ V ( G)
= 0
→
→
→
→
⎪
→
→
0
0
0
0
⎪3) V ( A) // V ( G)
= 0 ⇔ V ( A)
∧ V ( G)
= 0
⎩
Dans ces trois cas particuliers seulement, nous pouvons écrire :
→
→ →
= A
⎪⎧
avec et [ ]
A
[ D]
=
D
A ⎨ → C
A
D
d C
dt
⎪⎩ δ
A
⎪⎧
P ⎨
⎪ ⎩ σ
= →
→
A
300