MECANIQUE RATIONNELLE

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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI Nous allons chercher une relation entre : - le moment dynamique du système en G dans son mouvement par rapport à R 0 et - le moment dynamique du système en G dans son mouvement par rapport à R G . → z o → → y x (S) → z G → → y x Soit M un point du système matériel: Son accélération dans le repère est donnée par : 0 → 0 0 R γ ( M ) = γ ( G) + γ ( M ) Son moment dynamique au point G dans R0 s’écrira : Son moment dynamique au point G dans RG s’écrira : → → G → −−→ → = ∫ ∧ 0 G / R γ 0 S δ GM ( M ) dm → −−→ → G G / R = ∫ GM ∧ γ ( M ) G S δ dm Alors : ⎛ ⎞ GM ( M ) dm → −−→ → → −−→ → −−→ → 0 G 0 G G / R = ∫ ∧ ⎜γ ( G) + γ ( M ) ⎟dm = ∫ GM ∧ γ ( G) dm + ∫ GM ∧ γ 0 S ⎝ ⎠ S S δ → −−→ → −−→ → G G R = ∫ dm ∧ 0 / γ ( G) + ∫ GM ∧ γ 0 S S δ GM ( M ) dm or nous avons par définition du centre d’inertie : ∫ GM dm = 0 on obtient finalement : S −−→ → −−→ → → G G / R = ∧ ( ) = 0 ∫ GM V M dm δ G / RG S δ → → / R = 0 G / RG δ G δ Le moment dynamique en G centre d’inertie du système est le même, qu’il soit présenté dans le repère ou dans le repère R . En un point A quelconque de l’espace nous aurons par la R0 1 → formule de transport : → → −−→ → 0 A / R = σ / AG mV ( G 0 G R G + ∧ σ ) Nous avons ainsi le théorème de Koënig pour le moment dynamique. 299

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 A.KADI 4.4. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique Soit A un point quelconque du repère pas nécessairement un point du système matériel et un point M du système matériel. Nous avons le moment cinétique au point A qui est donné par : σ → A = ∫ S −−→ Dérivons cette expression : ∫ → 0 AM ∧V ( M ) dm R 0 → d → −−→ 0 −−→ → 0 → ⎛ ⎞ −−→ 0 0 σ A d d AM d V ( M ) 0 0 dt = S ⎜ AM ∧V dt ⎝ −−→ ( M ) ⎟dm = ⎠ ∫ S dt ∧V ( M ) dm + → −−→ 0 σ → A d dt 0 → → d AM 0 0 or nous avons : = V ( M ) −V ( A) dt → 0 σ → A d dt → → → ⎛ 0 0 ⎞ 0 = ∫ ⎜V ( M ) −V ( A) ⎟ ∧V ( M ) dm + δ A ⎝ ⎠ S 0 → d AM 0 = ∫ ∧V ( M ) dm + δ A dt S → ∫ S AM ∧ dt dm 0 → → d σ → A 0 0 ⇒ = −V ( A) ∧ mV ( G) + δ A dt on obtient ainsi la relation finale entre le moment cinétique et le moment dynamique → → 0 d σ A δ A = dt → 0 + V → 0 ( A) ∧ mV ( G) Cette relation ne doit en aucun cas être confondue avec la formule de transport. 4.5. Cas particuliers Dans certains cas particuliers la dérivée du torseur cinétique est égale au torseur dynamique : → → 0 d σ A δ A = dt → ⎧ → 0 ⎪1) A est fixe dans R0 ⇔ V ( A) = 0 → → ⎪ → 0 0 Si : ⎨2) A est confondu avec G ⇔ V ( A) ∧ V ( G) = 0 → → → → ⎪ → → 0 0 0 0 ⎪3) V ( A) // V ( G) = 0 ⇔ V ( A) ∧ V ( G) = 0 ⎩ Dans ces trois cas particuliers seulement, nous pouvons écrire : → → → = A ⎪⎧ avec et [ ] A [ D] = D A ⎨ → C A D d C dt ⎪⎩ δ A ⎪⎧ P ⎨ ⎪ ⎩ σ = → → A 300

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